Дифференциальная модель дисперсной системы

fmatem — Mon, 26 May 2014 12:40:31 +0000

Рассмотрим методы идентификации и обработки экспериментальных данных, связанные с разработкой композиционных материалов со специальными свойствами. Неизвестные параметры оцениваются на основе сравнения значений их функциональных и структурных характеристик (устанавливаются экспериментально и/или по результатам моделирования), что дает возможность определять поправки к первоначальным значениям параметров и добиться требуемой точности оценки неизвестных параметров методом последовательных приближений [2,3].
С математической точки зрения кинетические процессы во многих дисперсных системах могут быть описаны дифференциальным уравнением второго порядка
(). При анализе таких кинетических процессов необходимо учитывать не только скорость изменения контролируемого параметра, но как минимум и ускорение.
В отклонениях от равновесного состояния x = x_m  здесь будем иметь:
. (1)
Пусть  – корни характеристического уравнения .
При  имеем

При с учетом
будем иметь

Откуда

Тогда

(2)

Имеем

Из = 0 следует

Откуда

или

Так что точке перегиба соответствует значение t = t_n, определяемое из условия

(3)

(при t = t_n вогнутость сменяется на выпуклость).
Займемся определением ₁ и ₂ по экспериментально полученному виду . Так как ₂ < ₁ , то в (2) составляющая затухает быстрее, чем аналогичная составляющая, соответствующая корню ₂. Поэтому значение ₂ можно определить по концу экспериментально полученного процесса .
Без ограничения общности рассуждений можно принять x_m = 1 (равносильно масштабированию).
В силу предыдущего

.(4)

Определим значение t₁ такое, чтобы при t > t₁ выполнялось

Должны иметь

, , .

Откуда

, .

Таким образом,

, t>>t_n.

Введем

Тогда

Откуда

; , .

Из следует

, ;

Откуда

.(5)

Введем

Имеем

,, ; при .

Справедливо

Так что в интервале (1, ) не превышает e. Поэтому уравнение (5) имеет решение лишь при .
Откуда следует , и ₂ должно удовлетворять условию . При этом (тогда ).
Из (3) следует

; .

Из

следует, что с ростом r уменьшается.
Отметим,

График функции , полученный аппроксимацией табличных значений решений уравнения (5) при различных методом наименьших квадратов, приводится на рис. 1.

Рис.1. Вид функции r = r(ν)

Найдем зависимость корней ₁, ₂ (определяют вид кинетического процесса) от параметров модели ₀ и n (определяют упругие и демпфирующие свойства материала).
Из

следует

При этом при .
Справедливо

Вид зависимостей и приводится на рис.2.

Рис.2. Вид функций и

Введем безразмерный коэффициент демпфирования , . Его величина определяется структурой и физико-химическими свойствами материала.
Имеем

Справедливо

Откуда следует

Как видим, с ростом значение растет.
Предложенный подход эффективно использовался при разработке композиционных материалов специального назначения и анализе других сложных систем [1,4…6].

Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » differential model

Дифференциальная модель дисперсной системы