Иногда в учебных экспериментах возникает необходимость периодического (через 1 – 30 с) измерения частоты сигнала. Эта задача может быть успешно решена с помощью ПЭВМ [1 – 5]. Для этого электрические колебания с помощью формирователя импульсов преобразуют в цифровой сигнал, и получившуюся последовательность лог. 0 и лог. 1 заводят в компьютер, например, через LPT–порт (25 вывод – общий, один из выводов 10 – 17 – для ввода сигнала). При использовании ПЭВМ типа Celeron с операционной системой Windows 98 частота поступающих импульсов может быть определена с помощью программы ПР–1, написанной на языке QBasic. На ее основе может быть написана аналогичную программу на языке Pascal или Delphi. В литературе [1, 2, 5] описаны и другие способы сопряжения внешнего устройства с компьютером через последовательный порт или USB–порт и рассмотрены соответствующие программы, обрабатывающие поступающие сигналы. В результате этого ПЭВМ превращается в цифровой частотомер, который позволяет выполнить различные учебные опыты [3; 4, с. 92–116].

Опыт 1.1. Измерение скорости вращения. Чтобы определить скорость вращения вала двигателя, на нем закрепляют диск с прорезями, а рядом устанавливают оптодатчик (светодиод, фотодиод и схема сопряжения), подключенный к ПЭВМ. При вращении диска прорези должны пересекать световой пучок так, чтобы фотодиод периодически освещался и затемнялся. Компьютер определяет частоту импульсов, поступающих с выхода оптодатчика, которая пропорциональна скорости вращения диска.

Опыт 1.2. Частотная модуляция. Порт компьютера соединяют с RC–генератором прямоугольных импульсов, частота которого может изменяться при замыкании и размыкании тумблера. Другой вариант опыта предусматривает использование генератора звуковой частоты, к выходу которого подключен формирователь прямоугольных импульсов. Программу следует отредактировать так, чтобы на экран выводилась последовательность 0 и 1, где 0 соответствует низкой частоте входного сигнала, а 1 – более высокой частоте.

Опыт 1.3. Изучение датчика координаты. К компьютеру подключают RC–генератор, вырабатывающий последовательность прямоугольных импульсов, частота которых зависит от сопротивления резистивного датчика координаты. Запускают программу. Поворачивая подвижный контакт резистора, наблюдают получающийся график зависимости координаты от времени. Можно изменить программу так, чтобы она через заданное время выводила координату движка резистора в числовом виде.

Опыт 1.4. Подключение термодатчика. Если вместо датчика координаты к генератору импульсов подключить терморезистор (например, типа ММТ–12), то при его нагревании частота импульсов будет увеличиваться. Представленная выше программа позволяет получить график зависимости температуры терморезистора от времени.

 2. Изучение передачи ЧМ сигнала по каналу связи

Используя рассмотренный выше частотомер на основе ПЭВМ, можно экспериментально изучить передачу информации по каналу связи с помощью частотно–модулированного сигнала.

Опыт 2.1. Передача информации по проводной линии связи. Два одинаковых компьютера соединяют двумя проводниками, на принимающем запускают программу, декодирующую сообщение, на передающем компьютере – программу, кодирующую сообщение. Общий провод соединяет 25 вывод LPT–порта ПЭВМ 1 с 25 выводом LPT– порта ПЭВМ 2. Сигнальный провод соединяет 3 вывод LPT– порта ПЭВМ 1 с 11 выводом LPT– порта ПЭВМ 2 (рис. 1.1).

При запуске программы–кодера на ПЭВМ 1, она запрашивает передаваемое сообщение (строка символов 0 и 1), затем последовательно перебирает символ за символом, осуществляя частотно–импульсное кодирование, так что на соответствующем выводе LPT–порта появляются импульсы напряжения изменяющейся частоты. Допустим, символу “1″ соответствуют импульсы частотой , символу “0″ – импульсы частотой , а если сообщение не передается, то на выходе – логический 0. Программу–декодер на ПЭВМ 2 запускают раньше начала сеанса связи, она должна осуществлять декодирование поступающих сигналов. После окончания передачи сообщения программа–декодер должна перейти в режим ожидания до начала следующего сеанса связи.

Опыт 2.2. Передача информации по оптическому каналу связи. Для осуществления передачи сообщений с помощью оптической связи к LPT–порту передающей ПЭВМ 1 через схему сопряжения 2 подключают полупроводниковый лазер–указку 3. Его луч должен попадать на фотодиод 4, соединенный через формирователь сигнала 5 с LPT–портом принимающей ПЭВМ 6 (рис. 1.2). Сначала запускают программу–декодер, принимающая ПЭВМ 2 находится в режиме ожидания. Затем запускают программу–кодер на ПЭВМ 1 и с помощью клавиатуры набирают сообщение в виде последовательности 0 и 1. ПЭВМ 1 осуществляет кодирование, и вырабатывает последовательность импульсов изменяющейся частоты. Лазер выдает световые вспышки, периодически освещая фотодиод. ПЭВМ 2 декодирует сообщение и выводит его на экран. Можно предусмотреть передачу сообщений на русском языке, для этого программа–кодер сначала должна закодировать каждую из 32 букв пятью битами 0 или 1, а уже потом получившуюся последовательность 0 и 1 использовать для частотно–импульсной модуляции свечения лазера.

3. Изучение электрических машин с помощью цифрового тахометра

Изучение электрических машин требует снятия их скоростных характеристик, что требует одновременного измерения токов, напряжений и т.д., а также определения частоты вращения ротора. Экспериментальная установка  (рис. 2.1) для изучения электрических машин состоит из асинхронного двигателя 1, вал которого соединен с валом машины постоянного тока 3. На валу установлен диск 2 с прорезями по краю, вблизи него – оптодатчик 4, соединенный через параллельный LPT–порт с персональной ЭВМ. Трехфазный асинхронный двигатель типа ЭАО – 31П подключен к регулируемому источнику переменного напряжения (ЛАТРу) или постоянного напряжения и используется в качестве двигателя или индукционного тормоза. Машина постоянного тока (двигатель от пылесоса) может иметь независимое, параллельное или последовательное возбуждение. Она в различных опытах используется в качестве двигателя, генератора или индукционного тормоза. Оптодатчик состоит из светодиода и фотодиода, расположенных напротив друг друга; между ними находится диск с прорезями. На ПЭВМ запускают программу на языка Pascal, которая определяет время одного оборота вала и вычисляет скорость его вращения.

Опыт 3.1. Изучение зависимости частоты ротора АД от механического момента на валу. АД подключают к ЛАТРУ, а МПТ используют в качестве генератора с независимым возбуждением. Через обмотку возбуждения МПТ пропускают постоянный ток 0,5 – 1 А, к якорю в качестве нагрузки подключают реостат и амперметр с вольтметром. МПТ работает в режиме индукционного тормоза, создаваемый ею тормозящий момент пропорционален току якоря и частоте вращения ротора, который измеряют с помощью ПЭВМ. При постоянной скорости ротора вращающий момент равен тормозящему. На АД подают 90 В и, изменяя сопротивление нагрузки в цепи якоря МПТ, снимают зависимость частоты вращения ротора АД от механического момента на валу (рис. 2.2).

Опыт 3.2. Изучение зависимости частоты вращения ротора АД от потребляемого тока. Проводят аналогичный эксперимент, плавно увеличивая механическую нагрузку на валу путем уменьшения сопротивления цепи якоря МПТ, одновременно измеряя частоту вращения ротора. Снимают зависимость n = f(I_ад). При этом уменьшение частоты вращения ротора АД сопровождается ростом потребляемого тока (рис. 2.3).

Опыт 3.3. Изучение зависимости частоты вращения ротора МПТ в режиме генератора от тока якоря при последовательном возбуждении. Якорь и обмотку возбуждения МПТ соединяют последовательно с реостатом и амперметром и подключают к источнику постоянного напряжения (рис 2.1). Обмотку АД подключают к регулируемому источнику постоянного тока, АД работает в режиме индукционного тормоза. Включают МПТ (в качестве двигателя), пропуская через него ток 1 А. Регулируя напряжение питания АД, плавно увеличивают тормозящий момент, действующий на вал со стороны АД. Снимают зависимость n = f(I_я). При уменьшении частоты вращения ротора МПТ ток возрастает (рис. 2.4).

Опыт 3.4. Изучение зависимости частоты вращения ротора АД нагруженного на МПТ в качестве генератора с независимым возбуждением и постоянной нагрузкой, от напряжения питания АД. Через обмотку возбуждения МПТ пропускают ток возбуждения, к обмотке якоря подключают нагрузку 10 ом. Плавно увеличивая напряжение питания АД, измеряют частоту вращения ротора. Снимают зависимость n = f(U_ад).

Опыт 3.5. Изучение зависимости частоты вращения ротора МПТ в режиме двигателя (последовательное возбуждение) от напряжения питания. Обмотку возбуждения МПТ соединяют последовательно с якорем и через реостат подключают к источнику постоянного напряжения. Изменяя напряжение питания, контролируемое вольтметром, с помощью оптодатчика, подключенного к ПЭВМ, определяют частоту вращения ротора, и снимают соответствующую характеристику n = f(U_мпт).

Опыт 3.6. Изучение зависимости частоты вращения ротора МПТ в режиме двигателя от тока возбуждения. Подключают МПТ к источнику постоянного напряжения, используя параллельную схему возбуждения. Последовательно обмотке возбуждения и якорю МПТ включают реостаты с амперметрами, обе ветви подсоединяют к выпрямителю. Подают напряжение и, изменяя реостатом ток возбуждения, измеряют с помощью ПЭВМ частоту вращения ротора при различных токах возбуждения. Снимают зависимость n = f(I_в).

Опыт 3.7. Изучение зависимости частоты вращения ротора от времени при переходном электро–механическом процессе. Включают двигатель (АД или МПТ) и ждут, пока его скорость не достигнет постоянного значения. Запускают программу, вычисляющую скорость ротора и строящую график ее зависимости от времени. Резко изменяют напряжение питание двигателя (или индукционного тормоза), на экране получается график зависимости скорости от времени. Система переходит из одного установившегося состояния динамического равновесия в другое. Скорость вращения ротора, плавно изменяясь, постепенно приближается к новому предельному значению.

Использование рассмотренных выше экспериментов в учебном процессе способствуют повышению интереса студентов к физике и информационным технологиям, более глубокому усвоению изучаемых вопросов.

Изучение темы “Движение частицы в центрально–симметричном поле” имеет большое значение для понимания курсов физики и астрономии. К обсуждению проблемы движения точки в поле центральной силы сводится задача двух тел; ее изучение также предполагает рассмотрение законов движения планет, обращения спутников вокруг Земли, движения электронов вокруг ядра (теория Бора), опыта Резерфорда по рассеянию альфа–частиц ядрами атомов золота, движения сферического маятника, шарика в осесимметричной потенциальной яме  и т.д.

Один из эффективных способов изучения этого вопроса состоит в применении компьютерных моделей. Используя специальные учебные программы, написанные в Delphi и Visual Basic, можно промоделировать движение частицы в центрально-симметричном поле и установить соответствующие закономерности. Недостаток этой методики состоит в том, что студент не участвует в создании программы и часто работает с ними, не понимая, как вычисляются координаты и скорость частицы. Альтернативный подход заключается в применении небольших учебных программ (10–15 строк), которые студенты способны быстро набрать во время занятия, а затем выполнить серию учебных вычислительных экспериментов. В работах [3, 4] представлены примеры таких программ на языке Pascal.

Настоящая статья посвящена разработке методики проведения лабораторной работы “Изучение движения точки в поле центральной силы” на базе электронных таблиц Excel. Она состоит в теоретическом изучении метода компьютерного моделирования, создании двух или более программ на языке Visual Basic и проведении серии вычислительных экспериментов, подтверждающих законы Кеплера и некоторые другие утверждения. В статье фактически представлена инструкция по выполнению этой работы.

Как известно, школьный и вузовский курсы информатики предполагают освоение табличного процессора MS Excel, который является мощным программным средством, объединяющим в себе электронные таблицы, средства визуального программирования и графический модуль, позволяющий построить различные диаграммы, графики и поверхности. Хотя пакет MS Excel имеет меньше возможностей по сравнению со специализированными пакетами (MathCad, MathLab, Math и т.д.), он позволяет реализовать простейшие алгоритмы численного решения дифференциальных уравнений, создать компьютерные модели и решить достаточно широкий круг задач по физике [5, 8, 9]. Для этого соответствующие диффуравнения представляются в конечно-разностном виде [3–7] и создается макрос (небольшая программа) на языке Visual Basic [1, 2, 10]. Для написания макроса достаточно выбрать: Вид –> Панели инструментов –> Элементы управления –> Кнопка. Необходимо кнопку Command Button1 перенести на таблицу и дважды кликнуть по ней. В появившееся окно следует записать текст программы, которая будет исполняться после запуска. Макрос, произведя расчеты, создает таблицу результатов вычислений, на основе которых стандартными средствами Excel можно построить график изучаемой зависимости [1, 2, 8–10].

2. Теория используемого метода

Рассмотрим материальную точку, движущуюся в центральном поле с потенциальной энергией U=U(r), которая зависит только от расстояния r до центра O. Если это поле притяжения, то на нее действует сила F=F(r), направленная к O (рис. 1.1). Из законов механики следует:

Программа для расчета движения частицы содержит цикл, в котором пересчитываются проекции действующей силы, ускорения, скорости, координаты в последовательные моменты времени t и строится траектория.

На рис 1.2 представлен результат моделирования движения частицы в поле гравитационных сил притяжения, действующих по закону обратных квадратов; траекторией является эллипс. Из рис. 2.1 видно, что при малых скоростях точка движется по эллиптической орбите (траектории 1, 2, 3, 4), а при больших – по гиперболе (траектории 5, 6). Критическому случаю соответствует параболическая траектория. На рис. 2.2 представлены результаты расчетов движения частицы в центральном поле, для которого сила не подчиняется закону обратных квадратов. Видно, что траекторией является незамкнутая кривая (розетка). По теореме Бертрана, частица движется по замкнутой траектории в двух случаях: 1) в поле квазиупругой силы (F пропорциональна r); 2) в поле силы притяжения, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния r до центра O.

По второму закону Кеплера секториальная скорость планеты остается постоянной. Определить секториальную скорость можно следующим образом. Пусть за время dt планета перемещается из A(x,y) в B(x1,y1) (рис. 3.1). Из геометрических соображений:

Радиус–вектор планеты заметает площадь треугольника OAB.  Из рис. 3.2 представлены графики зависимости от времени расстояния r от планеты до Солнца, модуля линейной скорости v и секториальной скорости. Видно, что секториальная скорость не изменяется, это и подтверждает второй закон Кеплера.

При движении частицы в поле сил отталкивания, подчиняющейся закону обратных квадратов, она движется по гиперболической траектории. На рис. 3.3 представлены результаты расчетов движения альфа–частиц в поле положительно заряженного ядра атома (опыт Резерфорда) при различных значениях прицельного параметра (начальной координаты y0).

 3.     Порядок выполнения работы

1. Изучите теорию движения точки в центрально симметричном поле сил притяжения и отталкивания. Запишите теорему Бертрана и законы Кеплера. По каким траекториям может двигаться точка? В каком случае траектория замкнута?

2. Изучите математическую модель явления и алгоритм, позволяющий рассчитать движение точки в поле центральной силы.

3. По направлению к массивному положительно заряженному ядру движутся альфа–частицы (опыт Резерфорда). Рассчитайте траекторию движения альфа–частиц в Excel. Для этого наберите и запустите программу ПР–1. В начале программы следует задать прицельный параметр y0 = 30. Действуют силы отталкивания, поэтому в программе сила F положительна. Траекториями частиц являются гиперболы (рис. 4). Все физические величины измеряются в условных единицах.

4. В опыте Резерфорда определялись вероятности отклонения альфа-частиц ядрами атомов золота на различные углы. Дополните программу так, чтобы она вычисляла угол отклонения направления движения частицы после взаимодействия. Если активизировать оператор Cells(i / 100, 4) = vy /vx, то после запуска программы в столбце D появится тангенс угла между составляющими вектора скорости (рис. 4). Чтобы получить значение угла в градусах, в ячейку E1 записывают “=ATAN(D1)*180/3,1415”, а затем копируют эту формулу в остальные ячейки столбца E.

5. Проведите серию вычислительных экспериментов при различных прицельных параметрах y0=0, 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 25 и т.д., каждый раз правильно определяя угол отклонения частицы и записывая результат в таблицу Excel. По полученным данным постройте график зависимости угла отклонения от прицельного параметра.

6. Промоделируйте движение планеты вокруг Солнца (рис. 5). Для этого наберите программу ПР–2 и запустите ее. Повторите моделирование при других начальных координатах и скоростях планеты. Убедитесь, что при малых скоростях планета движется по замкнутой эллиптической орбите. При увеличении начальной скорости эллипс становится более вытянутым, превращается в параболу (критический случай), а затем в гиперболу.

7. Изучите метод определения секториальной скорости планеты через площадь треугольника ОАВ (рис. 3.1). Активизируйте закомментированные операторы, которые вычисляют секториальную скорость планеты в различные моменты времени и выводят ее в столбец D. Убедитесь в том, что секториальная скорость планеты остается постоянной (второй закон Кеплера).

8. Предложите способ проверки третьего закона Кеплера, из которого следует, что отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси ее орбиты для любой планеты остается постоянным. Для этого необходимо промоделировать движение планеты при различных ее начальных координатах и скоростях, определить период ее обращения и большую полуось орбиты. Если начальные условия задать так: x0=–20, y0=0, vx=0, vy=6 (все величины в условных единицах), то планета начнет свое движение из точки А(x0,0) , лежащей на оси Ox левее нуля, со скоростью, параллельной оси Oy. Через половину периода t1=T/2 она оказывается в точке B(x1,0). Большая ось AB эллипса имеет длину x1–x0 и совпадает с осью Ox. Поэтому большая полуось орбиты a=(x1-x0)/2. Значение x1 и соответствующий ему момент времени t1 могут быть найдены из таблицы, получающейся в результате работы программы ПР–2. Период обращения планеты T=2*t1.

9. Выполните 5–8 численных экспериментов при различных начальных координатах x и скоростях vy и заполните таблицу. Убедитесь, что во всех случаях коэффициент k, равный отношению квадрата периода к кубу большой полуоси орбиты остается постоянным. Пример таблицы приведен ниже.

9. Несколько (3 – 6) раз промоделируйте движение планеты при одинаковых x0 и различных vy, в каждом случае определяя большую полуось a=(x1-x0)/2 орбиты, перигелийное расстояние q (оно равно | x0 | или x1) и эксцентриситет e=1-q/a. Результаты оформите в виде таблицы.

10. Промоделируйте движение точки в поле центральной силы притяжения, не подчиняющейся закону обратных квадратов (рис. 6).

11. Измените программу так, чтобы она моделировала движение частицы в центральном поле силы

Коэффициенты в формуле следует подобрать так, чтобы при больших r преобладали силы притяжения, а при малых – силы отталкивания. Аналогичное уравнение описывает силу взаимодействия между атомами. Получающиеся траектории (рис. 7) зарисуйте в тетрадь.

12. В выводе охарактеризуйте и объясните полученные результаты.

4. Заключение

В статье представлена методика использования электронных таблиц MS Excel для моделирования движения материальной точки в поле центральных сил притяжения и отталкивания. Предложена инструкция к лабораторной работе, которая может быть проведена в компьютерном классе. Рассмотренные программы позволяют: 1) рассчитать движение планет вокруг звезды; 2) промоделировать движение частицы в гравитационном поле по эллиптической, параболической и гиперболической траектории; 3) подтвердить второй и третий законы Кеплера; 4) промоделировать отклонение альфа-частиц в поле отталкивания ядра атома; 5) промоделировать движение частицы в поле силы, не подчиняющейся закону обратных квадратов. Установлено, что для моделирования перечисленных выше явлений достаточно создать два небольших макроса на языке Visual Basic. Использование предложенной лабораторной работы на занятиях по компьютерному моделированию способствует установлению межпредметных связей между математикой, физикой, информатикой, астрономией и повышению интереса к этим дисциплинам.