Одно из направлений развития современной дидактики заключается в использовании математических и имитационных (компьютерных) моделей для изучения процесса обучения [1–9]. Метод имитационного моделирования позволяет исследователю изучать сложные объекты и процессы в случае, когда проводить реальные эксперименты с ними невозможно или нецелесообразно. Сущность этого метода состоит в построении компьютерной модели реальной системы и проведении серии вычислительных экспериментов с целью понимания поведения системы или оценки различных стратегий управления, обеспечивающие ее функционирование [10, c. 12]. Процесс создания имитационной модели Р.Шеннон называет “интуитивным искусством” или “искусством моделирования”, которое “состоит в способности анализировать проблему, выделять из нее путем абстракции ее существенные черты, выбирать и должным образом модифицировать основные предположения, характеризующие систему, а затем отрабатывать и совершенствовать модель до тех пор, пока она не станет давать полезные для практики результаты” [10, c. 34].

Известные модели процесса обучения [1–5, 9] обладают существенным недостатком: они не учитывают, что при многократном использовании учащимся ранее изученных элементов учебного материала (ЭУМ) эти знания усваиваются более прочно и забываются медленнее. Но ведь именно этот процесс повышения прочности усвоенных знаний при их использовании учеником в своей деятельности и лежит в основе формирования умений и навыков, которые сохраняются длительное время. Как говорил Б.Ф. Скиннер, “образование – это то, что остается, когда все выученное забыто.” Данное высказывание можно перефразировать так: образование – это прочные знания, полученные своим трудом за счет их многократного использования, остающиеся у человека после того, как он забыл все непрочные знания, которые не были включены в его учебную деятельность.

В настоящей статье рассматриваются два типа моделей, учитывающих повышение прочности знаний при обучении: 1) многокомпонентная непрерывная модель обучения, учитывающая переход непрочных знаний в прочные; 2) непрерывная модель обучения с изменяющимся коэффициентом забывания. В работе представлены компьютерные программы, написанные на языке Visual Basic в среде Excel, и конкретные результаты моделирования.

1. Многокомпонентная непрерывная модель обучения

Обозначим через U уровень требований, предъявляемый учителем. Он равен (или пропорционален) количеству рассматриваемых ЭУМ, которые должен усвоить учащийся. Суммарные знания ученика Z включают в себя непрочные знания первой категории, более прочные знания второй категории и очень прочные знания  третьей категорий: Z=Z_1+Z_2+Z_3 [6, 7]. В процессе обучения (k=1) сообщаемая учителем информация сначала превращается в знания первой категории, а затем в результате ее использования при выполнении учебных заданий – в знания второй и третьей категории (рис. 1.1). При этом прочность усваиваемого материала постепенно возрастает. Скорость перехода непрочных знаний в разряд более прочных знаний характеризуется коэффициентами усвоения.

При отсутствии обучения (k=0) происходит обратный переход: часть прочных знаний третьей категории постепенно становятся менее прочными знаниями второй категории, те в свою очередь частично переходят в разряд непрочных знаний первой категории, которые забываются. Скорости переходов знаний (i–1)–ой категории в знания i–ой категории и наоборот при обучении и забывании характеризуется коэффициентами усвоения и забывания, которые отличаются друг от друга в e = 2,72… раза. Таким образом, в основу предлагаемой модели положены следующие принципы:

1. Сообщаемая учащимся информация (знания) является совокупностью равноправных несвязанных между собой элементов учебного материала (ЭУМ), число которых пропорционально ее количеству.

2. В процессе обучения учащийся оперирует имеющейся у него информацией, выполняя различные учебные задания. При этом сообщаемые учителем знания сначала усваиваются непрочно (становятся знаниями первой категории), затем по мере их повторения и использования – прочнее (превращаются в знания второй категории), а затем становятся прочными (знания третьей категории).

3. Скорость увеличения непрочных знаний ученика в процессе обучения пропорциональна разности между уровнем требований учителя U (который равен количеству сообщаемых им знаний) и суммарными знаниями ученика Z.

4. Во время обучения скорость превращения непрочных знаний в прочные пропорциональна количеству непрочных знаний.

5. При отсутствии обучения происходит забывание: знания становятся менее прочными и постепенно забываются. Скорость уменьшения прочных или непрочных знаний ученика при забывании пропорциональна количеству этих знаний.

6. Коэффициент усвоения ученика тем выше, чем больше количество усвоенных им знаний Z и чем меньше сложность S изучаемого материала.

Предлагаемая трехкомпонентная модель обучения выражается системой уравнений (при обучении k=1; при забывании k=0):

Результат обучения характеризуется суммарным уровнем приобретенных знаний Z и коэффициентом прочности Pr=(Z_2/2+Z_3)/Z. Если все приобретенные во время обучения знания непрочные (Z_1=Z, Z_2=Z_3=0), то коэффициент прочности Pr=0. Надо стремиться к ситуации, когда все приобретенные знания прочные (Z_3=Z, Z_1=Z_2=0), тогда Pr=1. При длительном изучении одной темы уровень знаний Z увеличивается до U, одновременно с этим происходит повышение доли прочных знаний Z_3, растет прочность Pr.

                                                                                                                                                                                    Программа ПР–1.

Для имитационного моделирования одиннадцатилетнего обучения в школе используется программа ПР–1; результаты представлены на рис 2. Предполагается, что в течение учебного года школьник 275 дней учится, а 90 дней отдыхает на летних каникулах. Уровень требований учителя U и сложность учебной информации S с каждым годом увеличиваются (рис. 2). В программе ПР–2 используется коэффициент 0,07, поэтому сложность растет от 0,07 до 0,77. Коэффициенты усвоения и забывания подобраны так, чтобы график суммарных знаний Z(t) (синяя линия) примерно соответствовал бы достаточно успешному ученику, который усваивает 70–90 процентов требуемой информации (рис. 2). Желтая линия соответствует знаниям первой категории, а красная –– сумме знаний первой и второй категорий. По оси абсцисс откладывается время (в днях), прошедшее с момента поступления ученика в школу.

2. Модель обучения с изменяющимся коэффициентом забывания

Другой подход заключается в учете того факта, что при увеличении числа обращений ученика к конкретному ЭУМ (вопросу, задаче) коэффициент забывания этого ЭУМ уменьшается. Допустим, что ученик в процессе обучения вынужден решать однотипных задач по одной и той же теме. Во время урока он в определенные моменты времени складывает числа (или читает отдельные слова, выполняет задания теста). Остальное время на уроке он занимается другой учебной деятельностью, которая нас пока не интересует. В основе предлагаемой модели [8] лежат следующие утверждения:

1. Учебный курс состоит из N независимых одинаковых по объему и сложности элементов учебного материала (ЭУМ), к которым ученик обращается в случайной или заданной последовательности. В каждый момент времени ученик может работать не более чем с одним ЭУМ.

2. Ученик неоднократно обращается к каждому ЭУМ.  При каждом обращении ученика к i–тому ЭУМ его уровень знаний Z(i) i–того ЭУМ возрастает до 1.

3. После окончания работы с i–тым ЭУМ ученик начинает его забывать. Его уровень знаний Z(i) убывает по экспоненциальному закону, скорость которого определяется коэффициентом забывания gamma(i).

4. Каждому ЭУМ соответствует свой коэффициент забывания. При увеличении числа s(i) обращений ученика к i–тому ЭУМ коэффициент забывания gamma_i уменьшается.

5. По мере увеличения числа s(i) обращений ученика к i–тому ЭУМ время работы ученика с i–тым ЭУМ уменьшается, стремясь к некоторому пределу, который равен минимально возможному времени работы с данным ЭУМ.

6. Суммарное количество знаний в каждый момент времени равно сумме знаний учеником каждого ЭУМ: Z=Z(1)+Z(2)+…+Z(N).

При этом используются формулы:

                                                                                                   Программа ПР–2.

Для моделирования используется программа ПР–2; с ее помощью можно построить графики: 1) зависимости суммарных знаний Z от времени t (рис. 3.1); 2) зависимости среднего времени работы по всем ЭУМ от времени t [8]; 3) зависимости среднего коэффициента забывания по всем ЭУМ от времени t; 4) уровня знаний одного или нескольких ЭУМ от времени t (рис. 3.2). Для графиков на рис. 3 число ЭУМ N=15, а время обучения T=350 УЕВ. Видно, что во время обучения суммарное количество знаний возрастает, а после окончания –– убывает из–за забывания. В случае, когда к некоторому ЭУМ ученик обращается несколько раз, происходит уменьшения скорости забывания; после каждого обращения этот ЭУМ забывается все медленнее и медленнее (рис. 3.2).

Теперь промоделируем изучение N=40 ЭУМ в течение 4 занятий продолжительностью T=150 УЕВ. Занятия разделены перерывами длительностью T_n=100 УЕВ. Во время обучения ученик обращается  то к одному, то к другому ЭУМ с равными вероятностями. По мере роста числа s_i обращений к i–ому ЭУМ уменьшается затрачиваемое время tau_i и коэффициент забывания gamma_i. Используется программа ПР–3, результаты имитационного моделирования представлены на рис. 4.1. Видно, что во время обучения номер i изучаемого ЭУМ изменяется случайно от 1 до 40, суммарный уровень знаний ученика (переменная SZ) при этом увеличивается. Во время перерывов происходит забывание, суммарный уровень знаний ученика SZ уменьшается. На рис. 4.2 представлены результаты моделирования для случая, когда ЭУМ изучаются по порядку. Видно, что из–за уменьшения времени работы с каждым ЭУМ на первом занятии ученик не успевает рассмотреть все ЭУМ даже два раза, а в течение четвертого занятия успевает поработать с большей частью ЭУМ четыре раза.

                                                                                                                      Программа ПР–3.

Заключение

В статье рассмотрены два принципиально различных способа моделирования процесса обучения, которые учитывают изменение прочности знаний при обучении и забывании. Первый подход предполагает построение непрерывной модели, основанной на численном решении системы дифференциальных уравнений. Она исходит из того, что: 1) прочность усвоения различных ЭУМ неодинакова; 2) прочные знания забываются существенно медленнее непрочных; 3) непрочные знания при их использовании учащимся постепенно становятся прочными; 4) при отсутствии обучения прочные знания становятся непрочными. Второй подход заключается в построении дискретной модели, которая учитывает, что при увеличении числа обращений ученика к данному элементу учебного материала: 1) время его использования уменьшается, стремясь к некоторому пределу; 2) коэффициент забывания уменьшается, стремясь к нулю. Результаты моделирования хорошо согласуются с основными выводами теории обучения.

Как известно, процессы обучения и воспитания могут быть сведены к управлению развитием различных качеств личности учащихся с помощью целенаправленных и согласованных воздействий со стороны учителя и родителей. Проблемы управления дидактическими системами и методы математического моделирования процесса обучения проанализированы в многочисленных работах (например, в [1–5; 9]). Так, в книге Л. П. Леонтьева и О. Г. Гохмана [5] рассматриваются следующие аспекты оптимального управления учебным процессом в вузе: разработка оптимального учебного плана, измерение учебной информации, модель связи объема изложенного и усвоенного материала, квантование учебного материала, принцип обратной связи и др. В книге Д.А. Новикова [9] анализируются математические, кибернетические и теоретико–информационные модели итеративного научения.

Настоящая статья посвящена созданию компьютерной модели кибернетической системы “учитель–ученик” и ее использованию для изучения и обоснования важных закономерностей функционирования дидактических систем. Можно предположить, что учет структуры системы “учитель–ученик”, основных информационных потоков и цепей управления позволит более убедительно объяснить некоторые особенности процесса обучения.

1. Построение компьютерной модели дидактической системы

С точки зрения педагогической кибернетики [8] дидактическая система, состоит из источника информации (учителя), приемника информации (ученика), которые соединены прямым каналом связи от учителя к ученику (рис. 1.1). Так же существует обратный канал связи, по которому с некоторой задержкой поступает информация от ученика к учителю; исходя из нее, учитель оценивает состояние ученика, его уровень знаний. Допустим, при изучении новой темы учитель требует от ученика усвоения всей сообщаемой им информации. Тема состоит из N элементов учебного материала (ЭУМ), причем сложность i–того ЭУМ S_i пропорциональна затратам времени и усилий, требующихся для усвоения данного ЭУМ (у самого простого ЭУМ S = 1, а у более сложных – S больше 1). Если все N ЭУМ имеют сложность 1, то уровень требований учителя L (или количество информации, которое должен усвоить ученик) равен N. В общем случае L=S_1+S_2_…+S_N. Скорость передачи информации v равна отношению уровня требований учителя L (или количества сообщенных им знаний) ко времени. Если время измерять в условных единицах (УЕВ), то скорость передачи информации, быстрота изменения количества знаний, коэффициенты усвоения и забывания измеряются в 1/УЕВ.

Предлагаемая математическая модель ученика сводится к следующей системе уравнений:

Эта модель обоснована в статьях [6, 7], через alfa и gamma обозначены коэффициенты усвоения и запоминания соответственно. При этом учитывается следующее: 1. Быстрота увеличения знаний dZn/dt пропорциональна усилиям F, затрачиваемым учеником в единицу времени, которые зависят от разности D между уровнем требований учителя L и знаниями ученика Z. 2. При небольшой разности D = L – Zn  затрачиваемые учеником усилия F возрастают и достигает максимума. При большом отставании D ученик осознает, что не может усвоить требуемый материал, и F уменьшается, стремясь к некоторому пределу b = 0,1 – 0,3 (рис. 1.2). 3. Канал связи между учителем и учеником имеет определенную пропускную способность. При увеличении скорости v поступления информации коэффициент передачи канала связи K сначала равен 1, а затем плавно уменьшается до 0, так как ученик не успевает воспринять, понять и усвоить рассуждения учителя. 4. Уровень обученности ученика в заданный момент времени определяется количеством непрочных знаний Z_1, количеством умений Z_2 и навыков Z_3 (прочных знаний). Непрочные знания забываются быстрее прочных знаний. 5. В процессе обучения у ученика увеличивается количество непрочных знаний Z_1, причем часть непрочных знаний превращаются в более прочные (умения Z_2 и навыки Z_3). 6. После окончания обучения ученик начинает забывать усвоенную информацию; прочные знания (навыки) постепенно превращаются в менее прочные, а количество непрочных знаний Z_1 уменьшается по экспоненциальному закону.

На основе представленной выше системы уравнений в среде Free Pascal создана программа 1, которая моделирует замкнутую дидактическую систему. Она имитирует процесс обучения и позволяет рассчитать количество прочных и непрочных знаний ученика при заданной зависимости уровня требований учителя от времени L(t). Программа содержит цикл по времени, в котором методом конечных разностей определяются Z_1, Z_2 и Z_3 в последовательные моменты времени и строятся соответствующие графики. Способы решения подобных задач рассмотрены в [6–8].

 2. Результаты моделирования замкнутой дидактической системы

С помощью компьютерной программы 1 промоделируем замкнутую дидактическую систему, учитывая не только передачу учебной информации по прямому каналу связи, но и поток информации по обратному каналу связи, которая позволяет учителю непрерывно отслеживать состояние ученика. Предполагается, что учитель может: 1) сообщать новую информацию со скоростью v = const, при этом L(t) = L_0+v(t – t_0); 2) организовывать повторение изученного материала, при этом L = const, v = 0.

Допустим, что учитель излагает новый материал, уровень предъявляемых требований L растет пропорционально t. Когда учитель обнаруживает, что отставание D ученика от предъявляемых требований превышает пороговое значение 150 ЭУМ, он прерывает изложение теории и организует повторение изученного материала в течение 20 УЕВ. Во время повторения уровень требований учителя L остается постоянным, ученик выполняет практические задания, стараясь запомнить изученное ранее. После этого учитель снова приступает к изложению нового материала. Программа 1 как раз моделирует эту ситуацию. Результаты моделирования представлены на рис. 2.1 (v = 12), вертикальные линии соответствуют моментам времени, когда D = 150 ЭУМ, и учитель переходит к повторению. Система самоадаптирующаяся: при увеличении скорости изложения v нового материала ученик чаще задает вопросы, обнаруживая свое непонимание, учитель вынужден чаще останавливать изложение нового материала и заниматься повторением. Средняя скорость передачи знаний не превышает некоторого предельного значения, зависящего от параметров ученика. При малых скоростях сообщения информации (меньше v_к = 8) ученик успевает усвоить материал, и учитель не прерывается на повторение.

На рис. 2.2 представлены графики зависимостей общего уровня требований учителя L и суммарных знаний ученика Z в конце занятия от скорости изложения нового материала. Видно, что пока скорость v сообщения информации ниже критического значения v_к, ученик самостоятельно усваивает учебный материал, L и Z возрастают пропорционально скорости v. Когда скорость изложения v превышает критическое значение v_к, учитель вынужден периодически прерывать изучение теории и заниматься повторением; при этом L и Z уменьшаются. Получается, что независимо от скорости передачи информации учителем увеличения знаний ученика в течение фиксированного времени обучения T не превышает некоторого предельного значения (около 2700 ЭУМ), определяемого пропускной способностью прямого канала связи “учитель–ученик” (рис. 1.1). Это соответствует второй теореме Шеннона о передаче информации по каналу связи с шумом, из которой следует, что если производительность источника превышает пропускную способность канала связи с шумом, то не существует никакого метода кодирования позволяющего безошибочно передать сообщение. Под кодированием в данном случае понимается “укладывание” новой информации в понятийную систему ученика с последующим запоминанием [10, с. 97–100]. Роль шума играют различные случайные процессы, препятствующие пониманию и усвоению.

Изучим зависимость коэффициента обученности K_L=Z/L, количества усвоенной учеником информации Z и числа прерываний учителя N_п от коэффициента усвоения ученика. Для этого зададим конечную скорость v сообщения информации учителем, и проведем серию вычислительных экспериментов при различных коэффициентах усвоения. Результаты позволяют утверждать, что с ростом коэффициента усвоения число прерываний учителя снижается до 0, количество усвоенных учеником знаний Z повышается до vT, коэффициент обученности K_L стремится к 1.

Компьютерная модель ученика также позволяет проанализировать зависимости суммарного времени изучения теории t_т, выполнения практических заданий t_п, коэффициента обученности K_L и числа прерываний учителя N_п от скорости v изложения теоретического материала. В результате проведения серии вычислительных экспериментов получены графики, изображенные на рис. 3. Видно, что при увеличении скорости v изложения материала: 1) суммарное время изучения теории t_т сначала равно длительности обучения T, а затем плавно уменьшается; 2) суммарное время повторения t_п сначала равно нулю, а затем стремится к T; 3) число прерываний учителя N_п сначала равно нулю, затем быстро возрастает, достигает максимума при v = 12 – 14, а затем медленно убывает; 4) коэффициент обученности ученика K_L уменьшается от 1 до 0,8. Величины K, N_п и L с ростом v изменяются ступенчато, потому что возможно только целое число прерываний.

По графикам, представленным на рис. 2.2 и 3, можно определить критическое значение скорости v_к сообщения теоретического материала, при превышении которого ученик уже не может самостоятельно понять и усвоить учителя, который вынужден прерываться и заниматься повторением, разъяснением и выполнением практических заданий. При используемых параметрах модели оно составляет примерно 7. Видимо, оптимальная скорость изложения нового материала лежит в интервале 7 – 9. Когда v превышает 14, ученик не успевает понять теоретический материал, так как коэффициент передачи канала связи мал, а скорость сообщения информации с учетом ее сложности велика. Поэтому учитель вынужден слишком много времени тратить на повторение и закрепление, во время которого коэффициент передачи равен 1 и количество знаний ученика повышаются до уровня требований.

Заключение

В статье рассмотрены математическая и компьютерная модели процесса обучения, и методом имитационного моделирования проанализирована самоадаптирующаяся замкнутая система управления деятельностью ученика. При этом установлено, как зависят количество усвоенных учеником знаний, суммарное время изучения теории и выполнения практических заданий, а также число прерываний учителя от скорости изложения нового материала. Полученные результаты позволяют обосновать правильный выбор скорости изложения нового материала, при котором дидактическая система работает максимально эффективно: учитель успевает рассмотреть большое количество вопросов, а ученик усваивает практически весь изучаемый материал.