1. Статья подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (Грант 08-09-00857-а)

2. Статья подготовлена при финансовой поддержке Конкурса грантов для студентов, аспирантов вузов и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга

В данной работе рассматривается алгоритм управления пьезодвигателем, обеспечивающий апериодический характер переходного процесса и полную компенсацию колебаний.

На рисунке 1 представлена схема моделирования пьезодвигателя, который представляет собой пьезокерамический стержень со следующими параметрами:

Таблица 1 – Параметры пьезодвигателя

Длина
Площадь поперечного сечения
Коэффициент усиления
Внутреннее сопротивление
Емкость пьезоэлемента
Пьезомодуль
Модуль Юнга
Коэффициент упругости
Коэффициенты прямогои обратного пьезоэффекта
Масса пьезоэлемента
Масса стола
Суммарная масса

На рисунке 2 – переходной процесс. При подаче постоянного напряжения равного 10В на вход системы, перемещение  на выходе составит 0.7 мкм. Переходный процесс – апериодический с наложеннымина него затухающими колебаниямис максимальной амплитудой составляющей 8% от установившегося значения.

Упрощенная модель пьезодвигателя. Если пренебречь внутренней обратной связью по скорости ( ), влиянием жесткости конструкции, так как ее влияние мало по сравнению с упругостью( ) Тогда можно представить модель пьезопривода в виде 2 звеньев – колебательного и апериодического, последнее соответствует высоковольтному усилителю на входе, модель представлена на рисунке 3.

Для синтеза алгоритма управления перейдем к описанию привода с учетом его характеристик  в пространстве состояний:

Проверим пару А,С на полную наблюдаемость

Определитель не равен нулю, то есть система полностью наблюдаема. Ее переходной процесс на рисунке 4.

Разработка алгоритма управления.

Допустим мы хотим нулевое перерегулирование и время переходного процесса менее 1секунды.

Расчет: нулевое перерегулирование системе 2 порядка может обеспечить только полином Ньютона :

(3)

Время переходного процесса связано с корнями соотношением : ;или чтотоже самое

;                                                                             (4)

Для проектируемой системы выберем , тогда ХП примет вид :

Построим эталонную модель    

где

соответственно векторы состояния и выхода  ,

соответственно матрицы состояния и выхода.

Алгебраическим спектром собственных значений

матрицы

является ==–48, сообщение которого матрице состояния

проектируемой системы может доставить последней желаемые динамические свойства
в переходном и установившемся режимах. Совпадающие собственные значения матриц Ги   отсутствуют, то есть выполняется условие

;

Матрица примет вид :

= (5)

Выберем матрицуиз условия полной наблюдаемости матриц

= (6)

Матрица векторного преобразования подобия удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра :

(7)

= (8)

=  (9)

Вычислим матрицу прямой связи по  экзогенному задающему воздействию  из условия равенства выхода входу в неподвижном положении  , таким образом   имеет представление:

=1000                                                          (10)

На рисунке 5 – схема управления с Kxи Kgрегулятором. На рисунке 6 – переходной процесс.

Вывод: таким образом, в результате моделирования установлено, что разработанный регулятор для управления пьезоэлектрическим исполнительным устройством на базе многослойной тонкопленочной пьезокерамики, обеспечивает полную компенсацию колебаний в переходном процессе, при его апериодическом характере и заданном времени переходного процесса. Использование такого алгоритма управления пьезоэлектрическим исполнительным устройством в системах позиционирования позволит повысить их точностные характеристики.

Рис. 1 – Математическая модель пьезодвигателя

Рис. 2 – График переходного процесса для модели, представленной на рисунке 1

Рис. 3 –Упрощенная математическая модель пьезодвигателя в пространстве состояний

Рис. 4– График переходного процесса для модели, представленой на рисунке 3

Рис. 5– Схема управления пьезоприводом с Кх и Кg регулятором

Рисунок 6– Переходной процесс в системе, представленной на рисунке 5