Клиническая практика показывает, что появляющаяся при повседневных движениях пациента нагрузка на травмированную конечность, неизбежно передаваемая путем механического контактного взаимодействия с одного костного отломка на другой, должна находиться в интервале, рекомендованном лечащим врачом. Это особенно важно на ранних стадиях заживления перелома [18, стр. 88]. Поэтому необходим постоянный контроль величины нагрузки на фрагменты костей в процессе лечения переломов.

Материалы и методы. Прямые измерения взаимного давления костных отломков в данном случае технически невозможны. Поэтому необходимы устройства, в которых реализовано косвенное измерение указанной выше силы. При косвенных измерениях искомая величина непосредственно не измеряется, а вычисляется по результатам измерений других связанных с ней величин. Например, зная нагрузку на голеностопный сустав можно определить силы контактного взаимодействия костных отломков с учетом особенностей методики остеосинтеза.

В свою очередь, для определения нагрузки на голеностопный сустав травмированной конечности могут быть использованы данные о контактном взаимодействии стопы пациента и опорной поверхности. Существует ряд методик и устройств для исследования контактного взаимодействия стопы и опорной поверхности [http://www.diaserv.ru/scan.html; https://www.uni-due.de/~qpd800/ и др.]. Таким образом, данные о давлении по стопе, являясь результатом прямых измерений, могут быть использованы в качестве исходных данных для моделирования контактного взаимодействия костных отломков как друг с другом, так и с элементами фиксирующих устройств [11, 12, 19, 20].

Результаты и обсуждение. Необходимость ограничения сил контактного взаимодействия костных отломков в процессе заживления перелома обосновывается с учетом биомеханических аспектов регенерации костной ткани, физиологических и клинических аспектов [1–20]. С учетом этих данных, а также социальной значимости затронутой проблемы был разработан вариант устройства для мониторинга нагрузки на фрагменты костей голени в процессе лечения переломов [19].

В предлагаемом устройстве технический результат выражается в улучшении результатов лечения и в профилактике осложнений, для достижения чего в устройстве используются блок цифрового преобразования величины давления по опорной поверхности стопы в величину взаимного давления отломков травмированной кости, а также и аудиовизуальная информация, передаваемая пациенту в виде  звуковых и световых сигналов. Указанный результат достигается тем, что устройство снабжено электронным блоком преобразования величины давления по опорной поверхности стопы в величину взаимного механического давления костных отломков травмированной конечности. Реализация предлагаемого устройства осуществлена с применением микроэлектронных компонентов.

Например, если в начальной стадии послеоперационного лечения перелома нагрузка на травмированную конечность при осторожной ходьбе с дополнительной опорой не должна превышать 10 % от веса пациента, то данное значение устанавливается (программируется) в предлагаем устройстве в качестве предельного. По мере приближения нагрузки к предельному значению, а также при его достижении пациенту выдаётся в аудиовизуальном виде соответствующая предостерегающая информация. Кроме того, названные выше результаты прямых и косвенных измерений по беспроводному каналу передаются в запоминающее устройство для дальнейшей обработки и обоснования рекомендаций по улучшению результатов лечения переломов с учетом индивидуальных особенностей пациента [10, 11].

Заключение. Доклинические испытания рассмотренного устройства выполнены в Больнице скорой медицинской помощи (г. Петрозаводск) [http://www.petrsu.ru/news.html?action=single&id=12015]. Подтверждено, что применение телекоммуникационных технологий и современных датчиков давления по площади контакта стопы с основанием позволяет с использованием методов численного моделирования биомеханических систем обеспечить дополнительные возможности в профилактике послеоперационных осложнений при лечении переломов голени.

Щепа, представляя собой разновидность измельченной древесины, необходима для получения целлюлозы, используется в производстве стружечных плит и в других целях. Области применения щепы и соответствующие характеристики определены в ГОСТ 15815-83 «Щепа технологическая. Технические условия». Характеристики других разновидностей измельченной древесины, в том числе опилок, стружки и других отходов переработки лесоматериалов, приведены в ГОСТ 23246–78 «Древесина измельченная. Термины и определения». Актуальность исследований по направлению, обозначенному в названии данной работы, обусловлена рядом факторов, к которым относится, прежде всего, необходимость уменьшения количества отходов и затрат энергии при переработке круглых лесоматериалов на щепу. В этой связи появляются задачи, для решения которых желательны, однако по техническим условиям невозможны или трудноосуществимы, измерения в производственных условиях таких параметров, как силы контактного взаимодействия деталей технологического оборудования и перерабатываемых лесоматериалов.Как следствие, по причинам технической невозможности или экономической нецелесообразности приобретают особую актуальность приложения методов численного моделирования механических систем к решению этих задач. Применение современных методов численного моделирования и компьютерных технологий существенно уменьшает, но не исключают полностью названные ограничения технической невозможности или экономической нецелесообразности соответствующих экспериментов.

Очистка круглых лесоматериалов от корыв установках барабанного типа.

Теоретические основы технологии очистки круглых лесоматериалов в корообдирочных барабанах изложены в монографииС.П. Бойкова [2], которая остается актуальной и в настоящее время. Однако после публикации данной монографии (1980 г.) появилась необходимость более подробного изучения ряда вопросов. Не останавливаясь на перечислении этих вопросов, отметим лишь, что к их числу можно отнести теоретическое обоснование зафиксированных вэкспериментах А.Н. Коршунова закономерностей уменьшения степени очистки с увеличением диаметра балансов. Результаты этих экспериментов введены в научный оборот в недавно опубликованной статье И.В. Григорьева (с соавторами) [8]. Теоретическое обоснование данной закономерности получено в работе [12], в которой с применением несложной математической модели установлено, что при одной и той же продолжительности технологической операции степень очистки от коры балансов уменьшается с увеличением диаметра балансов. При этом, если в барабан загружены балансы неодинакового диаметра,то, по отношению к балансам малого диаметра, степень очистки от корыбалансов большего диаметра уменьшается пропорционально квадрату увеличения диаметра. Адекватность данноготеоретически найденногоположения [12] подтвержденасравнением с указанными выше независимо полученными экспериментальными даннымиА.Н. Коршунова.

Другие применения методов численного моделирования механических систем к решению задач по совершенствованию технологии очистки круглых лесоматериалов от коры в установках барабанного типа рассмотрены в работах [6, 10, 12, 14, 15, 16].

В контексте данной работы заметим, что при численном моделировании соударений круглых лесоматериалов в корообдирочном барабане неизбежно приходится иметь дело с моделью механической системы, в которой имеются односторонние связи и соударения.Структура такой системы непрерывно изменяется в течение всего процесса окорки по мере вращения барабана (рисунок 1) [14, 15].

Рисунок 1. Балансы в корообдирочном барабане [14]

Анализ состояния такой системы и сил контактного взаимодействия при соударениях ее элементов (включая корпус барабана) представляет собой сложную задачу, для решения которой применяются, как правило, численные методы [17]. Необходимо заметить также, что некоторые задачи такого класса,методы их решения и соответствующая библиографияприведены в работе [18]. Однако, в статье [10]показано применение более эффективного алгоритма, обоснованного в работе [19] и анонсированного в заметке [21]. Реализация данного алгоритма сводится к жордановым исключениям, выполняемым в определенной очередности. Данная очередность определяется с использованием энергетического критерия переходя односторонних связей из возможного состояния в действительное состояние [10, 19].

Измельчение древесины на щепу в дисковых рубительных машинах.

История рубительных машин, первая из которых появилась в 1889 году, продолжается и в настоящее время, что отражено в статьях [16, 21 и др.].Одна из проблем производства щепы заключается в уменьшении массовой доли частиц, некондиционных по форме и размерам. Однако полностью исключить появление отходов в виде таких частиц не удается. Причины появления отходов данного вида, а также технологические решения для реализации потенциала ресурсосбережения при переработке круглых лесоматериалов на щепу рассмотрены в работах [4, 13]. Отличительная особенность этих работ заключается в том, что в них принято во внимание непрерывное уменьшение длины любого отрезка бревна в процессе его измельчения в рубительной машине. В этих работах теоретически и экспериментально показано, что на финишной стадии измельчения отрезок бревна стандартной длины превращается в короткомер, а измельчение короткомеров в рубительной машине приводит к увеличению доли щепы некондиционной крупности. Таким образом, полностью исключить причины появления щепы некондиционной крупности не удается. Однако можно уменьшить долю короткомеров в общем потоке круглых лесоматериалов путем их сортировки по длине, что более подробно рассмотрено в работах [3, 5, 11, 22].

Заключение

Представленный краткий обзор отражает только некоторые новые решения, разработанные в ИЛИСН ПетрГУ и направленные на решение многоплановой проблемы рационального использования древесины. Другие аспекты данной проблемы, в том числе вопросы, требующие продолжения исследований, обсуждаются в работах [1-7, 9-15,28].

Работа выполнена в рамках реализации комплекса мероприятий Программы стратегического развития ПетрГУ на 2012–2016 годы (подпроект:«Совершенствование строительных материалов на основе использования местных ресурсов и отходов переработки древесины»).

В таких случаях применяются универсальные способы решения с использованием компьютера, в качестве которых выступают численные методы. Их программная реализация в относительно простых случаях может быть выполнена самим исследователем на одном из языков программирования. В более сложных случаях может использоваться какая-либо подходящая вычислительная система, например, MathCAD или Matlab.

Большие инженерные задачи обычно требуют специальных математических вычислительных комплексов [1], таких как, например, ANSYS и PHOENICS. Первый из них предназначен для решения различных физических задач (расчет прочности, тепломассообмена, задачи теплофизики, гидрогазодинамики, электромагнетизма, и т.д.). Второй имеет специальную ориентацию на задачи компьютерного моделирования в области динамики жидкости и тепломассообмена.

В представленной работе рассматривается учебная задача о моделировании процесса теплопроводности в плоской неоднородной (составной) пластине, состоящей из нескольких слоев с отличающимися теплофизическими свойствами. Задача может быть использована при обучении студентов основам компьютерного моделирования реальных физических процессов и, в частности, процессов теплопроводности.

Рассмотрим плоскую пластину, состоящую из нескольких слоев. Будем считать, что нижняя сторона пластины теплоизолирована, а остальные поддерживаются при постоянной температуре. Пластина может содержать различные протяженные области, занятые источниками тепла или холода определенной мощности (прямоугольной формы). Рассчитаем распределение температур в пластине в произвольные моменты времени.

Рассматриваемая в такой постановке задача, вообще говоря, является трехмерной, т.к. температура будет изменяться как в плоскости пластины (вдоль осей x и y), так и по ее толщине (по оси z). Однако изменениями температуры по оси z можно пренебречь, если пластина достаточно тонкая, ее теплопроводность велика, а коэффициенты теплоотдачи на верхней и нижней поверхностях относительно малы [1]. Будем считать, что для нашей пластины перечисленные условия выполнены и поэтому температурное поле будет двумерным.

Для решения задачи запишем дифференциальное уравнение теплопроводности:

,                 (1)

где , .

Для двумерного случая уравнение (1) перепишется в виде

.            (2)

В случае необходимости теплообмен с окружающей средой через верхнюю и нижнюю поверхности пластины можно имитировать внутренним стоком теплоты:

,        (3)

где – температура окружающей среды, – площадь верхней (нижней) поверхности пластины, – коэффициент теплоотдачи.

В случае стационарного (установившегося) процесса уравнение теплопроводности (2) перепишется в виде:

.            (4)

На основе (4) можно рассчитать температурное поле в пластине для стационарного случая.

Для численных расчетов будем использовать уравнение (2). Перепишем его в конечно-разностной схеме:

откуда

        (5)

На основе (5) решим задачу о распределении температур в пластине, состоящей из набора слоев.

Моделирование рассматриваемого процесса выполнено в компьютерной программе, написанной в среде визуального программирования Delphi. Для ускорения работы с изображением при разработке программы использовано свойство битовой карты TBitMap – ScanLine [2, 3], представляющее собой массив указателей на строки с данными битовой карты (строки точечного изображения).

Программа позволяет задавать размеры области моделирования (прямоугольной пластины), параметры материала слоев пластины и их размер, мощности источников тепла или холода. Распределение источников тепла (холода) в пластине задается путем выделения мышью областей на пластине.

На рис. 1-2 рассмотрены последовательные этапы моделирования в случае пластинки размером 36×36 см. Пластинка состоит из трех слоев: олово (ширина 15 см), алюминий (ширина 12,5 см) и медь (ширина 8,5 см). Начальные параметры металлов [4], из которых состоят слои пластины, взяты при температуре около 293 К: олово – , , ; алюминий – , , ; медь – , , . Отметим, что параметры металлов изменяются в зависимости от температуры.

Для случая, представленного на рис. 1 на пластинке расположены два источника тепла и прямоугольной формы (15×5 см и 5×8 см) с отличающимися мощностями . Моменты времени: а) t=3 с, б) а) t=8 с, в) t=22 с, г) t=42 с, д) t=68 с, е) t=128 с.

Для случая, представленного на рис. 2 на пластинке расположен источник тепла и источник холода прямоугольной формы (15×5 см и 5×5 см) с отличающимися мощностями . Моменты времени: а) t=3 с, б) а) t=7 с, в) t=20 с, г) t=34 с, д) t=55 с, е) t=108 с. Видно, что источник тепла постепенно нагревает слои пластины и уменьшает область низких температур, образованных источником холода.

Рисунок 1. Распределение температур в пластине в случае двух источников тепла

Рисунок 2. Распределение температур в пластине в случае источников тепла и холода

Материал, изложенный в статье, будет интересен и полезен студентам физико-математических специальностей. На основе него могут быть проведены численные эксперименты в следующих направлениях: изучение влияния коэффициента теплоотдачи на распределение температур в пластине; изучение влияния свойств материала пластины и свойств отдельных включений на распределение температур в пластине; исследование температурных режимов стен зданий при различных погодных изменениях температуры; решение задачи об определении температуры в центральной части пластины на основе значений температур ее поверхностей, и т.д.

Очевидно, что популярность детерминированного хаоса в области прикладных и фундаментальных исследований в дальнейшем будет только возрастать, однако для оптимизации процесса разработки источников хаотических колебаний с требуемыми характеристиками необходим простой и точный инструмент для моделирования устройств со сложной динамикой на стадии их разработки. В противном случае процесс разработки сведётся к методу последовательных приближений – изготовлению нового экспериментального макета путём исследования и корректировки предыдущего. Однако неизвестно приведёт ли данный метод к какому-либо положительному результату, особенно при разработке СВЧ-генераторов хаоса [1, с. 105]. В любом случае данный метод требует существенных временных и материальных затрат. Таким образом, до этапа макетирования целесообразно провести моделирование будущего генератора хаотических колебаний. В низкочастотной области с моделированием подобных схем проблем не возникает: существует множество простых моделей нелинейных элементов, в том числе биполярных и полевых транзисторов [2, с.1 , 3, с. 867], предоставляемых разработчиками и включенных в широко распространённые системы автоматизированного проектирования (САПР). Однако с переходом в диапазон сверхвысоких частот необходимо кроме основных характеристик компонентов учитывать, их паразитные параметры, а также инерционность обратной связи, и распределённый характер составляющих импеданса активного элемента [1, с. 121, 4, с. 42]. Задача моделирования генератора хаоса на основе СВЧ-диодов осложняется тем, что доступных моделей подобных активных элементов, которая может быть использована при моделировании генератора хаоса в САПР, на данный момент нет.

В то же время доступен другой метод моделирования, состоящий в анализе системы уравнений, составленной на основе принципиальной или эквивалентной схемы [1, с. 203, 5, с. 421, 6, с. 4]. При этом существует возможность учесть основные паразитные параметры и эффекты [7, с. 491, 8, с. 330, 9, с. 53]. Для моделирования динамических систем со сложной и хаотической динамикой, аналитические методы решения дифференциальных уравнений либо полностью неприменимы, либо их использование сопряжено с существенными трудностями, по этой причине для получения практически обозримых результатов используются численные методы решения [10, с. 2, 11, с. 110, 12, с. 128, 13, с. 19].

Однако, применение численных методов для решения систем дифференциальных уравнений, обладающих сложной нерегулярной динамикой, может привести к некорректным результатам [11, с. 112]. Исследуемая система может иметь регулярный, но более сложный аттрактор, витки которого близко расположены, что может приводить к перескокам численной траектории в пределах аттрактора вследствие ошибок в вычислениях, связанных с некорректностью решаемой задачи.  Для проверки достоверности полученного численного решения, необходимо проводить сравнение результатов, полученных при разных шагах интегрирования (при разных величинах допуска ошибки) [11, с. 112]. Если при разных шагах интегрирования полученное численное решение обладает свойствами хаотичности, то можно сделать вывод, что причиной хаотичности решения являются свойства самой динамической системы, а не ошибки численного решения.

В большинстве научных источников система дифференциальных уравнений, описывающая исследуемую нелинейную систему, решаются методом Рунге-Кутта 4-го порядка [1, с. 53, 12, с. 132, 14, с. 95], однако, в большом количестве работ, посвященных исследованию систем со сложной и хаотической динамикой, метод решения системы дифференциальных уравнений не указан. При этом какое-либо обоснование выбора того или иного метода численного решения систем дифференциальных уравнений полностью отсутствует. Упоминание о точности полученного численного решения при анализе систем со сложной и хаотической динамикой, либо хотя бы грубая его оценка также встречается в научной периодической печати крайне редко, хотя численному исследованию динамических систем с хаотической динамикой посвящено достаточно большое количество работ как в России, так и за рубежом. При этом возникает вопрос, имеющий важное практическое значение: насколько точен и эффективен тот или иной метод численного решения систем дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему со сложной или хаотической динамикой.

При этом анализ точности численного решения различными методами следует проводить на специальной тестовой задаче, к которой в данном случае предъявляются особенные требования, главное из которых состоит в том, что при изменении управляющих параметров системы в ней должны наблюдаться различные динамические режимы, в том числе режим динамического хаоса.

Одними из наиболее распространенных активных элементов, на основе которых возможна практическая реализация генераторов хаотических колебаний СВЧ- и ММ-диапазона, являются диод Ганна и лавинно-пролётный диод. Что делает целесообразным разработку тестовой системы на основе эквивалентной схемы, включающей указанные активные элементы. Динамические системы на основе указанных активных элементов относятся к классу регенеративных систем, поэтому подобная тестовая система будет описывать не только реальные радиотехнические устройства, в том числе СВЧ-диапазона, включающие лавинно-пролётные диоды или диоды Ганна, но также и все устройства, относящиеся к классу регенеративных системы.

На рис.1 представлена теоретическая модель генератора на диоде Ганна по переменному току.

Рис.1. Эквивалентная схема СВЧ-генератора на диоде Ганна

На рис. 1 использованы следующие обозначения: R, L, C – эквивалентные значения сопротивления потерь, индуктивности и ёмкости резонатора; источник напряжения V_S представляет собой поле внешнего источника в резонаторе; R_d и G_d – активная и реактивная составляющие импеданса активного элемента; R_l – сопротивление нагрузки.

Дифференциальное уравнение, составленное на основе эквивалентной схемы СВЧ-генератора на диоде Ганна и описывающее динамику системы в различных режимах работы, после незначительных логически очевидных преобразований и нормализации имеет следующий вид [15, с. 327]:

       (1)

где dq/dt = i – мгновенное значение тока, τ = ω_rt – нормализованное время, ω_r=(LC)^-1/2 – резонансная частота колебательного контура, q_s и Ω – заряд, эквивалентный амплитуде и нормализованная угловая частота поля внешнего источника, присутствующего в резонаторе. Коэффициенты a, b, c, d – связаны с активной и реактивной частями импеданса диода Ганна и резонатора следующим образом:

Очевидно, что коэффициенты a, b, c, d сложным образом зависят от величины напряжения смещения через параметры β₁, β₃, α₁ и α₃. Так как α₁ и α₃ связаны с параметрами эквивалентной емкости, то их значения определяются резонансной частотой. Параметры β₁ и β₃ связаны с эквивалентным сопротивлением диода Ганна, поэтому они играют большую роль в анализе возникновения колебаний. Кроме того, значение параметра β₃ много меньше по сравнению с величиной β₁, поэтому параметр d принимает значения меньшие величины параметра c [15, с. 328].

Необходимо отметить, что получить решение уравнения (1) весьма затруднительно [15, с. 328], поэтому для упрощения дифференциального уравнения целесообразно ввести новую переменную p = dq/dt. В результате подобного преобразования уравнение примет следующий вид:

    (2)

Традиционно для тестирования численных методов решения дифференциальных уравнений используются тестовые задачи, точное аналитическое решение которых известно, что позволяет сравнить полученное численное решение с точным как для качественного анализа, так и для количественной оценки погрешности численного решения [16,с. 3]. Однако, точное аналитическое решение возможно только в гармоническом режиме работы исследуемой динамической системы. В случае исследования динамической системы в режиме работы, отличном от гармонического, особенно в режим динамического хаоса, получить точное аналитическое решение невозможно. В лучшем случае можно говорить о приближенной оценке решения [17, с. 2], которое получено путём тех или иных упрощений и допущений в постановке задачи, что не позволяет использовать его в качестве точного решения при оценке численных методов. Таким образом, требование наличия точного аналитического решения тестовой задачи в рассматриваемом случае теряет свою актуальность. В данной ситуации необходимо использовать иные способы оценки точности численного решения.

Таким образом, составленное дифференциальное уравнение (2) описывает динамику широкого спектра динамических систем, относящихся к классу регенеративных систем, в том числе СВЧ-генераторов на основе лавинно-пролётных диодов и диодов Ганна в различных режимах работы, в том числе режиме динамического хаоса [18, с. 41]. Поэтому его целесообразно использовать в качестве тестовой задачи для оценки точности и эффективности численных методов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих системы с сложной и хаотической динамикой. Преимущество использования данного уравнения в качестве тестового, кроме того, что оно описывает динамику широкого спектра реальных систем и устройств, состоит в том, что в зависимости от заданного набора значений параметров, возможно получить различные динамические режимы, в том числе автоколебательный режим, многочастотный режим и режим динамического хаоса.

Источники финансирования и выражение признательности

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований в рамках научного проекта № 16-07-00631 а.

Для моделирования систем с хаотической динамикой широко используются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, составленных на основе принципиальной или эквивалентной схемы исследуемой системы [1, с. 205, 2, с. 74]. Однако, применение численных методов в данном случае может привести к некорректным результатам [2, с. 86]. Система дифференциальных уравнений, описывающая исследуемую нелинейную систему, в большинстве работ решается методом Рунге-Кутта 4-го порядка, однако, часто метод решения не указывается. При этом какое-либо обоснование выбора численного метода полностью отсутствует, также, как и хотя бы грубая оценка точности решения. При этом возникает вопрос, имеющий важное практическое значение: насколько точен и эффективен тот или иной метод численного решения систем дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему с хаотической динамикой?

Постановка задачи

Для тестирования численных методов обычно используются задачи, точное аналитическое решение которых известно [3, с. 2]. В случае исследования динамической системы в режиме динамического хаоса, получить точное аналитическое решение невозможно. В лучшем случае можно говорить о приближенной оценке решения [4, с. 5], которое получено путём существенных упрощений, что не позволяет использовать его при оценке точности численных методов.

В работе для тестирования численных методов использована система дифференциальных уравнений [5, с. 327], составленная на основе эквивалентной схемы СВЧ-генератора на диоде Ганна, подходящая также для моделирования широкого класса регенеративных динамических систем [6, с. 329, 7, с. 41, 8, с. 124], которая имеет вид:

где dq/dt = i – мгновенное значение тока, τ = ω_rt – нормализованное время, ω_r=(LC)^-1/2  – резонансная частота колебательного контура, q_s и Ω – заряд, эквивалентный амплитуде и нормализованная угловая частота поля внешнего источника, a, b, c, d – коэффициенты, связанные с импедансом диода Ганна и резонатора, p = dq/dt – переменная, введенная для упрощения уравнения. Хаотичность решения подтверждается результатами спектрального и бифуркационного анализа, а также значениями старшего показателя Ляпунова и корреляционной размерности [5, с. 328].

В MATLAB для численного решения систем дифференциальных уравнений предлагается несколько алгоритмов: одношаговый явный метод Рунге-Кутта 4/5 порядка (ode45), одношаговый явный метод Рунге-Кутта 2/3 порядка (ode23), многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка (ode113), многошаговый метод переменного порядка, основанный на формулах численного дифференцирования (ode15s), одношаговый метод, использующий модификацию формулы Розенброка 2-го порядка (ode23s), неявный метод трапеций с интерполяцией (ode23t), реализация метода TR-BDF2 (ode23tb).

За исключением некоторых общих рекомендаций, выбор того или иного численного метода возлагается на конечного пользователя. При этом неправильный выбор численного метода может привести к существенному увеличению времени решения, а также получению качественно и количественно неверного результата, либо сбою программы.

Основными критериями эффективности численных методов являются их вычислительная сложность и точность получаемых решений [3, с. 3]. Оценка точности численного метода при анализе системы с хаотической динамикой может быть получена при сравнении с более точным численным решением [9, с. 343]. При этом анализируется текущая фактическая погрешность, то есть разность во всех точках вывода между полученным численным решением и более точным численным решением. Оценивались также значения глобальной и среднеквадратичной ошибки численного решения. Кроме того, так как в качестве тестовой задачи выбрана система уравнений, описывающих реальную радиотехническую систему, то целесообразно провести сравнение оценки основных радиотехнических показателей [3, с. 4, 10, с. 19]: ширины спектра, гистограммы распределения и корреляционной функции выходного хаотического колебания при различных шагах интегрирования.

Динамический режим тестовой системы

Величина заряда q_s, эквивалентного амплитуде поля внешнего источника, равна конечному положительному значению. При этом, значения остальных параметров тестового уравнения подобраны таким образом, чтобы после установления колебаний наблюдался режим динамического хаоса, при этом хаотичность решения подтверждается анализом фазового портрета и спектра решения, которые качественно соответствуют аналогичным характеристикам динамических систем в режиме динамического хаоса, а также результатами бифуркационного анализа данной системы, расчетом старшего показателя Ляпунова и корреляционной размерности, которые приведены в работе [5, с. 328]. Значения управляющих параметров, которые, как и в предыдущем случае, подбирались в соответствии с их возможным диапазоном значений с целью сохранения физической адекватности тестовой системы, соответственно равны: a = 1, b = 1, c = -0,001, d = 0,015, q_s = 0,15, Ω = 1,27. На рис. 1, рис. 2, рис. 3 представлены временная реализация полученного численного решения, его фазовый портрет и спектр, соответственно.

Рис.1. Временная реализация численного решения в режиме динамического хаоса при наличии внешнего воздействия

Рис.2. Фазовый портрет численного решения в режиме динамического хаоса при наличии внешнего воздействия

Рис.3. Спектр численного решения в режиме динамического хаоса при наличии внешнего воздействия

Полученные результаты

В качестве основного критерия точности численных методов предлагается использовать так называемую фактическую погрешность, то есть погрешность во всех точках вывода [5, с. 329]. Это позволяет не только сравнить точность методов численного решения, на примере составленной тестовой системы уравнений, в рамках одного динамического режима исследуемой системы, но и в дальнейшем провести сравнение выбранных численных методов в различных динамических режимах, что позволит составить рекомендации по выбору того или иного численного метода в зависимости от специфики поставленной задачи. Кроме того, так как составленная тестовая система дифференциальных уравнений описывает реальную радиотехническую систему – СВЧ-генератор на диоде Ганна, то целесообразно провести сравнение точности оценки основных радиотехнических показателей генератора при использовании различных численных методов. В режиме автоколебаний основными радиотехническими показателями исследуемой системы является амплитуда и частота колебаний СВЧ-генератора [11, 12, с. 866], в многочастотном режиме – частоты гармонических составляющих спектра выходного сигнала и значения решения в точках, соответствующих локальному максимуму решения, в режиме динамического хаоса [13, с. 41] – ширина спектра генерируемого хаотического колебания и значения решения в точках, соответствующих локальному максимуму решения.

Диапазон интегрирования по нормализованному времени τ = ω_rt тестовой системы уравнений во всех динамических режимах составляет [0;700]. Максимальный шаг интегрирования выбран равным h = 0,05. При установке большего значения шага интегрирования возникали существенные сложности с сохранением постоянства шага в течение всего интервала интегрирования, при постоянных значениях параметров RelTol и AbsTol для сохранения равных условий и поддержания чистоты эксперимента, в связи с тем, что в программах численного решения в MATLAB внедрен алгоритм автоматического подбора шага. При анализе численных результатов с переменным шагом невозможно отделить влияние на точность численного решения одних управляющих параметров от других. В качестве более точного численного решения тестовой задачи, с которым производится сравнение всех остальных численных результатов выбрано решение с шагом h = 0,000195. Получить решение с меньшим шагом в течение практически обозримого времени не удалось. Кроме того, при чрезмерном уменьшении шага есть вероятность значительного увеличения вычислительной погрешности, что будет ограничивать точность численного решения с меньшим шагом. При этом для точности того или иного численного метода использовано свое более точное численное решение с шагом h = 0,000195.

Для всех рассмотренных численных методов наблюдается быстрый рост текущей фактической ошибки (рис. 4) на начальном участке интервала интегрирования. Далее на интервале интегрирования наблюдаются резкие скачки фактической ошибки, однако, как диапазон возможных значений, так и максимальные значения фактической ошибки практически постоянны на интервале интегрирования для всех рассмотренных численных методов. Максимальное значение фактической ошибки на интервале интегрирования ограничено размахом колебаний численного решения. Для всех рассмотренных методов численного решения величина фактической ошибки в начале интервала интегрирования снижается с уменьшением шага интегрирования (рис.5а). Наименьшую фактическую ошибку в начале интервала интегрирования продемонстрировал метод ode45, наибольшую – ode15s. Высокую точность в начале интервала интегрирования продемонстрировали также методы ode113 и ode23. На рис. 5 и далее использованы следующие обозначения: (ode45 – “o”; ode23 – “+”; ode113 – “*”; ode15s – “x”; ode23s – “□”; ode23t – “●”; ode23tb – “■”).

Рис.4. Временная зависимость модуля фактической ошибки численного решения для метода ode45 и шагов интегрирования h = 0,05 (а) и h = 0,00039 (б)

Очевидно, что подобный характер изменения текущей фактической ошибки является следствием хаотической динамики тестовой системы. Поэтому при численном решении систем дифференциальных уравнений, описывающих системы с хаотической динамикой, получить точную временную реализацию возможно только на весьма ограниченном интервале интегрирования. Следует отметить, что время, за которое текущая фактическая ошибка достигает своего максимального значения, при использовании методов ode23, ode113, ode23s и ode23t увеличивается с уменьшением шага интегрирования. Таким образом, при необходимости получения точной временной реализации численного решения системы дифференциальных уравнений в режиме динамического хаоса, необходимо значительно уменьшать величину шага интегрирования. Для всех исследованных численных методов, кроме ode15s, наблюдается тенденция незначительного снижения среднеквадратичной ошибки с уменьшением шага интегрирования.

Рис. 5. Зависимость минимальной фактической ошибки (а) и ширины спектра выходного хаотического колебания (б) от шага интегрирования

Основными радиотехническими параметрами системы с хаотической динамикой являются спектральные, корреляционные и статистические свойства выходного хаотического колебания. В связи с этим целесообразно при оценке точности численных методов провести анализ именно указанных параметров выходного колебания, полученных при различных значениях управляющих параметров численных методов. В качестве критериев точности численных методов использованы следующие параметры: гистограмма распределения, ширина спектра, ширина нормированной корреляционной функции и уровень боковых лепестков нормированной корреляционной функции выходного хаотического колебания.

В связи с тем, что получить хотя бы приблизительные оценочные значения указанных параметров не представляется возможным оценка точности численных методов осуществлялась путём сравнения значений данных параметров, полученных при различных шагах интегрирования.

Из анализа зависимости ширины спектра выходного хаотического колебания от шага интегрирования (рис.5б) видно, что для всех исследованных численных методов результат оценки ширины спектра численного решения различен. Кроме того, ни для одного исследованного численного метода не наблюдается тенденции асимптотического приближения оценки ширины спектра хаотического колебания к какому-либо значению с уменьшением шага интегрирования. Из всех рассмотренных численных методов наименьшую величину относительного разброса оценки ширины спектра выходного хаотического колебания продемонстрировали методы ode23t, ode23 и ode15s.

На приведенных гистограммах распределения выходного хаотического колебания (рис.6) отчетливо видны два максимума распределения (рис. 6а), возникающие вследствие того, что хаотический аттрактор имеет две притягивающие области [5, с. 327]. Из анализа гистограмм распределения видно, что изменение шага интегрирования приводит к значительному изменению статистических свойств хаотического колебания. При этом качественные изменения гистограмм распределения выходного хаотического колебания при использовании методов ode23t и ode23tb существенно меньше, чем при использовании остальных рассмотренных численных методов. Следует отметить, что для некоторых значений шага интегрирования при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки статистических характеристик колебания (рис.6б), возникающие вследствие того, что для указанных значений шага на временной реализации наблюдается участок регулярного движения. Следует отметить, что указанное явление имеет место только при использовании одношаговых численных методов решения систем дифференциальных уравнений. При использовании многошаговых методов динамический режим системы оценивается точно при любых использованных значениях шага интегрирования.

Рис.6. Гистограммы распределения выходного хаотического колебания для метода ode45 и шагов интегрирования h = 0,0125 (а) и h = 0,0015625 (б)

Рис. 7. Зависимость ширины нормированной корреляционной функции хаотического колебания от шага интегрирования

Рис. 8. Зависимость уровня боковых лепестков нормированной корреляционной функции хаотического колебания от шага интегрирования

Из анализа зависимости оценки ширины нормированной корреляционной функции от шага интегрирования (рис.7) видно, что для некоторых значений шага при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки указанного параметра, возникающие вследствие неверной оценки динамического режима системы. Из всех рассмотренных численных методов наименьшую величину относительного разброса оценки ширины нормированной корреляционной функции выходного хаотического колебания продемонстрировали методы ode23t и ode23tb.

Из анализа зависимости оценки уровня боковых лепестков нормированной корреляционной функции от шага интегрирования (рис.8) видно, что для некоторых значений шага при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки указанного параметра, возникающие также вследствие неверной оценки динамического режима системы. Из всех рассмотренных численных методов наименьшую величину относительного разброса оценки уровня боковых лепестков нормированной корреляционной функции выходного хаотического колебания продемонстрировали методы ode23tb, ode15s и ode23t.

Из анализа зависимости количества обращений к функции вычисления правых частей видно, что наибольшую эффективность продемонстрировали методы ode23t и ode15s, в то время как наименее эффективными оказались методы ode45 и ode23s. Скорость увеличение количества обращений к функции вычисления правых частей у всех методов приблизительно равна. Быстрее всего численное решение тестовой системы дифференциальных уравнений, описывающей динамическую систему в хаотическом режиме работы, обеспечивается при использовании методов ode23 и ode113. Наибольшее время, для численного решения потребовалось при использовании метода ode23s. Скорость увеличения времени, затрачиваемого на численное решение тестовой системы, приблизительно равна для всех использованных численных методов.

Заключение

Таким образом, для всех рассмотренных численных методов наблюдается быстрый рост фактической ошибки на начальном участке интервала интегрирования. Поэтому при численном решении систем дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы с хаотическим поведением, получить точную временную реализацию численного решения возможно только на весьма ограниченном интервале интегрирования. Анализ полученных результатов говорит о том, что вариация шага интегрирования приводит к значительному изменению спектральных, статистических и корреляционных свойств численного решения. Для некоторых значений шага интегрирования при использовании методов ode45, ode23 и ode23s имеют место существенно неверные оценки радиотехнических параметров колебания, возникающие вследствие неверной оценки динамического режима системы. Следует отметить, что указанное явление имеет место только при использовании указанных одношаговых численных методов решения систем дифференциальных уравнений.

Наибольшую эффективность продемонстрировали методы ode15s и ode23t по количеству обращений к функции вычисления правых частей и методы ode23 и ode113, продемонстрировавшие наименьшее время вычислений.

Источники финансирования и выражение признательности

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований в рамках научного проекта № 16-07-00631 а.

ВВЕДЕНИЕ

Хаотические сигналы СВЧ-диапазона в настоящее время вызывают достаточно большой интерес в широкой области задач прикладной радиотехники: СШП беспроводных системах связи и передачи информации [1, с. 25], средствах высокоточной ближней радиолокации и радиовидения [1, с. 24, 2, с. 469], в задачах радиопротиводействия и радиоподавления [3, с. 88].

Для моделирования и исследования систем со сложной динамикой используются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, так как аналитические методы либо неприменимы, либо их применение требует больших вычислительных и временных затрат [4, с. 273, 5, с. 126]. В то же время применение численных методов при моделировании хаотических систем может привести к качественно и количественно неверным результатам [5, с. 127]. Системы дифференциальных уравнений, моделирующие динамику исследуемых систем, в большинстве научных работ решаются методом Рунге-Кутта 4-го порядка, либо выбору метода вообще не уделяется какого-либо внимания при решении задачи. Точность и достоверность полученного численного решения также редко анализируется в научных работах, которые не посвящены полностью оценке точности численных методов. При этом возникает вопрос, имеющий важную практическую значимость: насколько точно численные методы позволяют качественно и количественно оценить динамику сложной хаотической системы и границы областей различных динамических режимов?

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для тестирования численных методов обычно используются задачи, точное аналитическое решение которых известно [6, с. 2]. В случае исследования динамической системы в режиме динамического хаоса, получить точное аналитическое решение невозможно. В лучшем случае можно говорить о приближенной оценке решения [7, с. 2], которое получено путём существенных упрощений, что не позволяет использовать его при оценке точности численных методов.

В настоящей работе для тестирования численных методов решения дифференциальных уравнений с задержанным аргументом использована система дифференциальных уравнений второго порядка, описывающая динамику СВЧ-генератора на лавинно-пролетном диоде [8, с. 57]:

Дифференциальное уравнение второго порядка может быть преобразовано в систему из двух уравнений первого порядка:

Выражения для активной и реактивной составляющих импеданса имеют вид:

где 

В настоящей работе использованы параметры ЛПД типа 3А707В, работающего в рабочем диапазоне частот 10,4 – 11,7 ГГц. Кристалл диода изготовлен из арсенида галлия, в связи с чем будут использованы следующие электрофизические параметры: относительная диэлектрическая проницаемость материала ε = 12; площадь поперечного сечения p-n-перехода S ≈ 11,7·10^-9 м²; скорость носителей заряда υ_s = 9·10⁴ м/с; угол пролёта области дрейфа носителем заряда на центральной частоте θ_d = 0,744π; ширина слоя умножения l_a ≈0,2W; ширина запорного слоя W = 3,84·10^-6 м. Время пролёта носителем заряда эквивалентного слоя умножения определим по выражению τ_a = l_a/ υ_s. Величину напряжённости электрического поля при рабочем напряжении определим по выражению E_dc = 2U_dc/W. При напряжении на диоде 60 В – E_dc = 3,125·10⁷ В/м; ёмкость пролётной области – C_d = 0,4·10^-12 Ф. Лавинную частоту определим из выражения:

где I0 – ток питания диода.

Функция, определяющая амплитудные свойства импеданса, имеет вид:

где b – параметр аппроксимации коэффициента лавинного умножения, E1- амплитуда переменной составляющей напряжённости электрического поля, I0, I1 – модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядка.

Введение в динамическую систему инерционной обратной связи (отраженного сигнала) способно привести к переходу системы в режим динамического хаоса [8, с. 105, 9, с. 112, 10, с. 123, 11, с. 118]. Для учета наличия инерционной обратной связи система уравнений дополняется дополнительным членом и в результате принимает вид:

где k – коэффициент передачи цепи инерционной обратной связи, τ - величина вносимой задержки.

Последнюю систему уравнений можно рассматривать не только как систему, описывающую систему с хаотической динамикой, но и как традиционный детерминированный генератор синусоидальных колебаний на основе диода с отрицательным сопротивлением при наличии рассогласования с нагрузкой [11, с. 119]. В этом случае анализ данного уравнения позволит определить области стабильной и нестабильной работы исследуемого генератора. Поэтому анализ решения составленного уравнения, также как и оценка точности его численного решения, имеют большую практическую значимость.

В MATLAB для численного решения систем дифференциальных уравнений с постоянной задержкой предлагается только один алгоритм – комбинацию пары явных методов Рунге-Кутта второго и третьего порядка (dde23). Таким образом, в этом случае даже отсутствует выбор численного метода для решения системы уравнений. Но вопрос о количественной и качественной достоверности полученного решения остается открытым.

ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Временная диаграмма численного решения исследуемой системы уравнений показана на рисунке 1.

Рисунок 1. Временная диаграмма численного решения при τ = 54,9 пс и k = 0,1

Значения параметров τ = 54,9 пс и k = 0,1 соответствуют режиму динамического хаоса исследуемой системы уравнений [8, с. 95], что подтверждается анализом старшего показателя Ляпунова, а также результатами спектрального, корреляционного и бифуркационного анализа [8, с. 104, 12, с. 3].

Из рисунка 1 видно, что на начальном участке диапазона интегрирования имеет место гармонический вид генерируемого колебания, но по истечении примерно 60 нс система переходит в режим динамического хаоса. Переход в хаотический режим при изменении управляющих параметров динамической системы (τ, k, ток питания ЛПД и пр.) происходит через перемежаемость устойчивых и неустойчивых колебаний, что подтверждается как результатами численного моделирования [8, с. 105, 12, с. 4], так и результатами экспериментального исследования [8, с. 106, 13, с. 75].

Диапазон интегрирования по времени t тестовой системы уравнений составляет [0; 30 нс], что соответствует более чем 300 периодам колебания исследуемого генератора в детерминированном режиме.

Основными критериями эффективности численных методов являются их вычислительная сложность и точность получаемых решений [6, с. 3]. Оценка точности численного метода при анализе системы с хаотической динамикой может быть получена при сравнении с более точным численным решением [14, с. 345], так как получение точного аналитического решения в данном случае невозможно [7, с. 2, 8, с. 103, 12, с. 4]. При этом возможно проводить анализ текущей фактической погрешности, то есть оценивать разность во всех точках вывода между полученным численным решением и более точным численным решением. Это дает возможность не только проанализировать непосредственно саму величину ошибки, но также оценить скорость и характер накопления фактической ошибки, что также имеет важное практическое значение.

Кроме того, так как в качестве тестовой задачи выбрана система уравнений, описывающих реальную радиотехническую систему, то целесообразно провести сравнение оценки основных радиотехнических показателей [6, с. 5, 15, с. 20]: спектра хаотического колебания и гистограммы распределения выходного хаотического колебания при изменении параметров численных методов.

В настоящей работе оценка точности численного метода решения проводилась при изменении максимально допустимых относительной (RELTOL) и абсолютной (ABSTOL) погрешностей. При этом алгоритм численного решения осуществляет автоматический подбор оптимального шага интегрирования. Анализ полученных решений показал, что шаг интегрирования существенно изменяется в процессе решения и получить решение с фиксированным шагом не представляется возможным. Поэтому для сравнения результатов, полученных при различных параметрах численного метода проводился перерасчет полученного решения с постоянным шагом 1·10^-12 с с помощью функции deval. Изменение значений ABSTOL и RELTOL осуществлялось в пределах от 10^-2 до 10^-6. Получить решение для ABSTOL и RELTOL меньше 10^-6 не удалось. В то время как решение для ABSTOL и RELTOL больше 10^-2 не представляет интереса. По умолчанию ABSTOL и RELTOL равны 10^-3.

На рисунке 2 показаны временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-2 и 10^-6.

Рисунок 2. Временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-2 и 10^-6

Из рисунка 2 видно, что, несмотря на равенство значений всех параметров системы дифференциальных уравнений, полученные численные решения отличаются на всем интервале интегрирования.

На рисунке 3 показана текущая фактическая погрешность численного решения для параметров ABSTOL и RELTOL равных 10^-2 при использовании численного решения при ABSTOL и RELTOL равных 10^-6 в качестве точного решения.

Рисунок 3. Текущая фактическая ошибка численного решения для значений ABSTOL и RELTOL, равных 10^-2

Из рисунка 3 видно, что на начальном этапе интервала интегрирования наблюдается быстрый рост текущей фактической погрешности, в то время как на остальном участке интервала интегрирования величина фактической погрешности ограничивается только размахом решения.

На рисунке 4 показаны спектры численного решения и гистограммы распределения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-2 и 10^-6.

Рисунок 4. Спектр и гистограмма распределения численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10-2 и 10-6

Из рисунка 4 видно, что, несмотря на количественно неверную временную реализацию полученного численного решения, спектральные и статистические характеристики, также как и динамический режим исследуемой системы могут быть с достаточной для практических целей точностью определены из полученного численного решения.

На рисунке 5 показаны временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-3 и 10^-6.

Рисунок 5. Временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-3 и 10^-6

Из рисунка 5 видно, что при значениях ABSTOL и RELTOL установленных по умолчанию (10^-3), что начальный участок временной реализации практически полностью совпадает, но по истечении примерно 80 нс решение представляет собой сложное, но периодическое колебание.

На рисунке 6 показана текущая фактическая погрешность численного решения для параметров ABSTOL и RELTOL равных 10^-3 при использовании численного решения при ABSTOL и RELTOL равных 10^-6 в качестве точного решения.

Рисунок 6. Текущая фактическая ошибка численного решения для значений ABSTOL и RELTOL, равных 10^-3

Из рисунка 6 видно, что на начальном этапе интервала интегрирования также наблюдается быстрый рост текущей фактической погрешности, в то время как на остальном участке интервала интегрирования величина фактической погрешности ограничивается только размахом решения.

На рисунке 7 показаны спектры численного решения и гистограммы распределения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-3 и 10^-6.

Рисунок 7. Спектр и гистограмма распределения численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10-3 и 10-6

Из рисунка 7 видно, что при значениях ABSTOL и RELTOL установленных по умолчанию (10^-3) наблюдаются не только количественные ошибки в определении временной реализации решения, но также и качественно неверное определение спектральных и статистических характеристик, а также динамического режима исследуемой системы.

На рисунке 8 показаны временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-5 и 10^-6.

Рисунок 8. Временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-5 и 10^-6

Из рисунка 8 видно, что временные реализации совпадают на большей части интервала интегрирования. Но, накопление ошибок интегрирования все же приводит к искажению численного решения, так как одним из свойств хаотических систем является высокая чувствительность к изменению начальных условий и экспоненциальная расходимость траекторий в фазовом пространстве.

На рисунке 9 показана текущая фактическая погрешность численного решения для параметров ABSTOL и RELTOL равных 10^-5 при использовании численного решения при ABSTOL и RELTOL равных 10^-6 в качестве точного решения.

Рисунок 9. Текущая фактическая ошибка численного решения для значений ABSTOL и RELTOL, равных 10^-5

Из рисунка 9 видно, что, несмотря на визуальное совпадение временных реализаций, анализ текущей фактической погрешности демонстрирует быстрый рост погрешности на начальном этапе интегрирования, аналогичный рассмотренным выше случаям. На интервале интегрирования до 20 нс, фактическая ошибка численного решения не превышает 10^-2, но далее происходит скачкообразный рост фактической ошибки до величины, ограниченной размахом решения.

На рисунке 10 показаны спектры численного решения и гистограммы распределения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-5 и 10^-6.

Рисунок 10. Спектр и гистограмма распределения численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10-5 и 10-6

Из рисунка 10 видно, что спектральный и статистический анализ численных решений для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-5 и 10^-6 демонстрирует очень близкие результаты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, при численном решении системы дифференциальных уравнений с задержанным аргументом, описывающей систему со сложной хаотической динамикой, получить точную временную реализацию численного решения невозможно, особенно на большом интервале времени. В данном случае можно говорить об оценке временной реализации, а также спектральных и статистических характеристик полученного решения, так как вариация максимально допустимых значений абсолютной и относительной локальных погрешностей (ABSTOL и RELTOL), а, следовательно, и шага интегрирования, приводит к изменению спектральных, статистических и корреляционных свойств численного решения, вплоть до неверной оценки динамического режима исследуемой системы. Поэтому при численном моделировании хаотических динамических систем следует не только внимательно относиться к выбору метода численного решения, но также проводить качественной и количественной достоверности получаемых решений.

Цель Обзор существующей литературы по теме изучения расчетных программных комплексов, направленных на решение различных конструкторских задач, первый важный шаг при выполнении выпускной квалификационной работы магистра, формирующий ее основу.

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную    величину, например, такую, как температура, давление и перемещение, можно заменить дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей. Данная программа задает перечень расчетных средств, которые учитывают разнообразные конструктивные нелинейности, дают возможность решить общий случай контактной задачи для поверхностей, могут допустить образование конечных деформаций и углов поворота [1].

Существует множество расчетных программных комплексов, такие как: ЛИРА САПР, ANSYS Workbench, SCAD, Abakus, MIDAS GTS NX, PLAXIS и многие другие. Каждый программный комплекс следует принципам конечно-элементного анализа, но направлен на решение разных конструкторских задач. Проанализировав множество расчетных комплексов, наиболее подходящим для моделирования экспериментальных данных является ANSYS Workbench, т.к. эта программа позволяет быстро и точно моделировать трещины с последующим анализом напряженно деформированного состояния. ANSYS – это быстрая и практичная программа. Каждое ее обновление улучшает прежние возможности, и делает программу более гибкой и удобной [2].

В расчетном комплексе ANSYS представлен чрезвычайно многогранный список расчетных компонентов, учитывающих разнообразные конструктивные особенности. Они позволяют решить контактную задачу для поверхностей; допускают наличие больших деформаций. ПК МКЭ сокращают время разработки и оптимизации конструкции за счёт определения оптимальных параметров и учитываемых эксплуатационных воздействий [3].

С помощью оптимизации, проектировщику, можно оценивать и анализировать переменные проекта. Используются два метода оптимизации: метод аппроксимации и метод первого порядка. В программе ANSYS стадия постпроцессорной обработки следует за стадиями препроцессорной подготовки и получения решения. С помощью постпроцессорных средств программы пользователь имеет возможность легко обратиться к результатам решения и комментировать их нужным образом, используя обширный набор команд, функций и дружественного интерфейса. Результаты решения включают значения перемещений. А также в программе ANSYS возможно геометрическое построение на плоскости и создание моделей пространственных объектов с использованием примитивов и булевых операций над ними [4].

Существуют два подхода геометрического моделирования в ANSYS: моделирование снизу-вверх и моделирование сверху-вниз. Основы моделирования построены на геометрической субординации объектов: объект низшей размерности – точка, и далее по возрастанию – линии, поверхности, объемные тела [5].

После проведения эксперимента железобетонной балки усиленной углепластиком и выполнив расчет в ПК ANSYS, сравнив результаты, авторы выяснили, что программа позволяет производить корректное объемное моделирование изгибаемых железобетонных элементов, усиленных на стадии, близкой к исчерпанию несущей способности, углепластиком, при задании диаграмм деформирования бетона, арматуры и углепластика [6].

В статье на тему конечно-элементного анализа Гулых К.В. подтверждает, что при решении контактных задач в процессе взаимодействия тел под нагрузкой возможны различные по характеру и по численным параметрам НДС. Сетка разбивки тел на конечные элементы должна соответствовать параметрам напряженно-деформированного состояния. При больших деформациях сетку следует предусматривать достаточно мелкую, с малыми размерами конечных элементов и именно в тех местах, где необходим тщательный контроль результатов. Несоблюдение этого условия значительно снижает точность расчета. Программа ANSYS позволяет, наряду с автоматическим выбором сетки разбиения, корректировать сетку в «ручном режиме» [7].

На примере железобетонной балки в процессе ее нагружения равномерно распределённой нагрузкой, можно спрогнозировать реальную изгибную жесткость изгибаемых элементов которую впоследствии можно использовать в качестве расчетной при формировании сложных каркасных сооружений. Данная задача может быть реализована в любом конечно-элементном комплексе. Наилучшие результаты можно получить только с помощью соответствующего моделирования трещин, которые неизбежны при эксплуатации[8].

В работе [9] были использованы два численных метода решения задач механики, деформирования твердого тела – явный и неявный методы интегрирования уравнений, описывающих равновесные и неравновесные состояния исследуемого объекта. Применение метода конечных элементов дает хорошее приближение несущей способности к опытной. Тем не менее, анализ не показывает хорошую сходимость и зависит от цели расчета (первая или вторая группа предельных состояний, стадия НДС и пр.).

На основании проведенного обзора литературных источников можно сделать вывод, что для выполнения расчетов методом конечных элементов в выпускной квалификационной работе наиболее подходящим является программный  комплекс  ANSYS.