Рисунок 1. Кинематическая схема привода маложестких валов

Исследования выполнены на основе расчетной схемы в виде двухмассной модели (рисунок 2).

Рисунок 2. Расчетная динамическая модель узла ВМЖ

Модель получена последовательным приведением инерционных J_i и упругих е_i (рисунок 3) параметров реальной кинематической цепи (рисунок 1) с сохранением значений потенциальной и кинетической энергий [2].

Рисунок 3. Эквивалентная схема замещения

Рассматриваемая модель обладает двумя степенями свободы и для ее исследования используем уравнения Лагранжа II рода

Кинетическая и потенциальная энергии системы определятся так

.
Беря соответствующие производные и используя уравнения Лагранжа, получим следующую систему дифференциальных уравнений

 , (1)
где М_дв – момент двигателя, Н∙м;  и  – моменты сопротивления, Н∙м.
Определим собственные частоты и формы колебаний, которые, как известно, не зависят от внешних факторов, поэтому систему уравнений (1) рассматриваем однородной, т.е.

 (2)
Решение полученной системы находим в форме


Подставляя это решение во (2) получим

 (3)

Система не будет иметь нулевого решения (при нулевом решении , что соответствует ее равновесию) в том случае, когда ее определитель равен 0.

Раскрывая его, получаем характеристическое уравнение, из которого определяем собственные частоты
; 4376 рад/с = 696, 82 Гц.
Период свободных колебаний Т_с = 1,435∙10^-3 с.
Поскольку время изменения пускового и тормозного моментов (М_п, М_т), согласно исследованиям [3] составляет 0,30,4 с то исследуемая двухмассная модель может быть отнесена к числу высокочастотных. 
Нулевому корню соответствует равномерное вращение системы как жесткого механизма. Корню ₁ соответствуют гармонические колебания масс с моментами инерции  и , сопровождающиеся деформацией упругого элемента. При определенных частотах система уравнений будет тождеством, то есть имеет множество решений, поэтому определитель этой системы позволяет найти отношение амплитуд (формы колебаний).
При = ₀ = 0 . 
При = ₁ .
Отрицательное отношение  означает, что при свободных колебаниях с частотой ₁ массы  и  колеблются в противофазах. Общее решение системы (2) будет описываться уравнениями

То есть крутильная деформация в зоне соединения будет оцениваться углом поворота сечения I-I (рисунок 1), который определяется так

.
Тогда скручивающий момент, воспринимаемый соединением () будет равен

Значение моментов (и ) были рассчитаны по известным формулам [3] для окружных скоростей маложестких валов 220 и 410 м/мин при пуске и торможении.
Установлено, что максимальное значение момента в соединении соответствует окружной скорости 220 м/мин и составляет 5,33 Н∙м.
Графики изменения скручивающих моментов изображены на рисунке 4.

Кривые показывают, что амплитудные значения момента уменьшаются при увеличении скорости по зависимости, близкой к параболической. Цикл изменения момента соответствует собственной частоте крутильных колебаний. За время торможения машины (без учета демпфирования) соединение воспринимает до 200 крутильных колебаний. В данных условиях касательные напряжения в соединении превышают допустимые значения.
С учетом циклического характера нагрузки был определен требуемый коэффициент запаса прочности n ≈ 10 и допустимое значение касательного напряжения [] =2,07∙10⁵ МПа. 
Вывод. Для определения конструктивных параметров соединения маложестких валов на стадии проектирования целесообразно определение динамических усилий и колебаний, возникающих в соединении. Исследования крутильных колебаний в первом приближении может быть выполнено с использованием двухмассной расчетной модели.