Математическое описание модели

При построении линейной модели Брауна можно выделить следующие этапы:

1. По нескольким первым точкам временного ряда строим линейную модель:

y_th(t) = a₀ + a₁t .

Значения параметров линейной модели оцениваются с помощью метода наименьших квадратов.

2. С использованием найденных на предыдущем этапе параметров a₀ и a₁ находим прогноз на шаг вперед (т.е. для t = 1):

y₁ = a₀₍₀₎ + a₁₍₀₎t = a₀₍₀₎ + a_{1(0) .}

3. Находим величину e отклонения фактического значения экономического показателя от расчетного:

e = y(t) – y_th(t) . (1)

4. Корректируем параметры модели по формулам:

a_0(t) = a_0(t-1) + a_1(t-1) + (1 – b²)Чe(t) , (2)

a_1(t) = a_1(t-1) + (1 – b)²Чe(t) , (3)

где b = 1 – a, a – параметр сглаживания.

5. С помощью скорректированных на предыдущем шаге параметров находим прогноз на следующий момент времени (t = 1):

y_th(t) = a_0(t) + a_1(t)t . (4)

Точечный прогноз на будущее рассчитывается по формуле

y_th(n + t) = a_0(n) + a_1(n)t , t = 1, 2, … (5)

Здесь n – число наблюдений.

Компьютерная реализация модели

Рассмотрим построение модели Брауна данным [1] из табл.1.
Табл. 1. Исходные данные для построения модели Брауна

t	y	t	y	t	y
1	27,3	14	193,5	27	400,6
2	41,8	15	207,4	28	409,4
3	42,8	16	221,2	29	426
4	56,2	17	267,2	30	402
5	72,5	18	264	31	398,7
6	56	19	273,8	32	418,1
7	70	20	321	33	424,6
8	74,9	21	317,4	34	435,1
9	103,3	22	342	35	439,8
10	111,3	23	350,6
11	125,2	24	368,5
12	189,3	25	397
13	169,1	26	382,9

При проведении вычислений удобно использовать сочетание нескольких программных продуктов. На первом этапе построение модели линейной регрессии удобно выполнить в электронных таблицах Excel.
В электронных таблицах Excel введем в столбец исходные данные, добавим в таблицу нулевую строку и вычислим параметры a₀ (функция ОТРЕЗОК) иa₁ (функция НАКЛОН) по первым пяти точкам. Вычисление параметра a₀ показано на рис. 1. Вычисление параметра a₁ выполняется аналогично с помощью функции НАКЛОН. 
После построения модельных значений для всех исходных точек вычисляем прогнозные значения по формуле (5).

Рис. 1. Вычисление параметра a₀

Полностью вычисления по модели Брауна в электронных таблицах удобно выполнять при известном фиксированном значении параметра a. Как правило, значение этого параметра неизвестно и в распоряжении экономиста имеется только набор значений y. Тогда для определения параметра aможно использовать следующий алгоритм. Разобьем отрезок [0; 1] на n равных частей. Обозначим точки разбиения как a₀ , a₁ , a₂ , … , a_n (a₀ = 0, a_n= 1). Для каждого значения a_i , i = 1, … , n, выполним вычисления модельных значений y_th . Для характеристики точности вычислений удобно использовать функционал ошибки
 .
По результатам вычислений в качестве параметра a выбираем значение, соответствующее минимуму функционала ошибки.

На рис. 2 показан график исходных и модельных значений.

Реализацию алгоритма подбора параметра удобно проводить с помощью пакетов прикладных программ, например, свободно распространяемого пакета Scilab [5]. 
Аналогичный подход можно применить для подбора параметров в более сложной модели Хольта-Уинтерса [2].

Рис. 2. Исходные и модельные значения в модели Брауна

Проверка точности модели
Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации. Считается, что точность модели хорошая, если среднее значение относительной погрешности не превышает 5% , удовлетворительная, если среднее значение относительной погрешности не превышает 15%, и неудовлетворительная, если среднее значение относительной погрешности больше 15%.
Для каждого отдельного значения y относительная ошибка аппроксимации вычисляется по формуле (y_i - y_th,i)/y_i , i = 1, … , n. Здесь y_th,i – значение y, соответствующее модели. Средняя относительная ошибка аппроксимации получается как среднее всех относительных ошибок. 
Для рассмотренного примера получим значение 6,75. Таким образом, точность модели является хорошей.

Выводы

В данной работе детально описан алгоритм компьютерной реализации модели Брауна и подбора параметров модели. Проведенные вычисления показали хорошее соответствие с имеющимися в литературе данными.