В настоящее время серийно выпускается многообразное оборудование, использующее принципы пульсирующего горения: котлы (АО «Кимовский радиоэлектромеханический завод»), сушилки (Pulse Drying Systems, США), агрегаты воздушного отопления и снегоплавильные установки (ООО «АэроМах»), силовые установки для комплексов воздушных мишеней наземного старта (АО «Эникс»). При этом на базе аппаратов пульсирующего горения (АПГ) можно реализовать гораздо большее количество термонагруженных технологических процессов и применений. И хотя пульсирующее горение известно давно, до сих пор не существует однозначно адекватных методик расчета и моделирования устройств, реализующих этот метод сжигания топлива. Очень часто для получения работоспособного образца приходится проводить сложную процедуру пусконаладочных работ, часто с модернизацией проектной конструкции, причем эта стадия занимает время, значительно превышающее этапы проектирования, технологической подготовки производства и изготовления.

Поэтому создание достаточно простой математической модели, учитывающей основные параметры и описывающей работу АПГ, является весьма актуальным.

В работе [2] с участием автора данной статьи обсуждалась динамика внутрикамерных процессов в АПГ с аэродинамическим клапаном и получено дифференциальное уравнение камеры сгорания

,             (1)

где V – объем камеры сгорания, м³; p – абсолютное давление в камере сгорания, Па, τ – время, с; RT – работоспособность продуктов сгорания, Дж/кг; R – удельная газовая постоянная продуктов сгорания, Дж/(кг·К); T – абсолютная температура продуктов сгорания, К; G_г – постоянный расход горючего, кг/с; ω – круговая частота пульсаций, рад/с;  – частная производная от работоспособности продуктов сгорания по массовому соотношению компонентов образующих топливную смесь k_m при постоянном давлении, Дж/кг; k_m = G_o/G_г; G_o – средний расход окислителя, кг/с; G_п – амплитуда пульсирующей знакопеременной составляющей расхода окислителя, кг/с.

В настоящее время анализ уравнения (1) показал, что оно имеет достаточно простое аналитическое решение, которое заметно облегчает определение параметров динамики внутрикамерных процессов в АПГ. Решением дифференциального уравнения с учетом того, что в начальный момент времени τ  =0 давление в камере соответствует атмосферному давлению p_а, т.е. p(0) = p_a, является функционал вида:

 .              (2)

При конкретных параметрах АПГ (используемое горючее и окислитель, их расходные характеристики и соотношение в топливной смеси, объем камеры сгорания, рабочая частота пульсаций) получены характерные зависимости периодического изменения давления в камере сгорания (рисунок 1).

Рисунок 1 – Изменение давления в камере сгорания АПГ

 Поскольку, фактически, найдена вынуждающая сила, обеспечивающая автоколебательный процесс изменения параметров в АПГ, появилась возможность создать математическую модель всего аппарата для определения параметров движения газов в аэродинамическом клапане и резонансной трубе.

Механизм возбуждения и выхода на стационарный режим пульсирующего горения с собственной частотой в АПГ можно описать следующей схемой. В момент розжига происходит ряд актов тепловыделения и повышения давления в камере сгорания, которое определяет смещение и скорость движения объема продуктов сгорания. Большинство пульсаций затухает вследствие диссипации, а усиливаются только те, которые происходят с собственной частотой системы, т.е. соответствуют условию возникновения резонанса. В условиях резонанса резко возрастают смещения макро объемов газа. Таким образом, на стационарный поток расширяющихся в выхлопную трубу продуктов сгорания, накладывается пульсирующая составляющая со значительной амплитудой. Именно пульсирующая составляющая скорости потока обеспечивает инерционное истечение продуктов сгорания, которое влечет за собой разряжение в камере сгорания (в случае правильного подбора длины выхлопного тракта). Снижение давления способствует притоку компонентов топлива через клапанную систему. При этом они сгорают и обеспечивают рост давления в камере в начале следующего цикла на собственной частоте колебаний системы.

АПГ с аэродинамическим клапаном, в первом приближении, можно рассматривать как акустический резонатор с двумя горловинами (рисунок 2), отличающийся специфическими газовыми средами в элементах конструкции, т.е. как систему, включающую упругий (камера сгорания) и инерциальные дискретные элементы (аэродинамический клапан и резонансная труба).

Рисунок 2 – Расчетная схема АПГ: 1 – аэродинамический клапан, 2 – резонансная труба, 3 – камера сгорания

 Для свободных колебаний системы без учета диссипативных сил и вынуждающий силы, в работе [3] получена система дифференциальных уравнений колебательного движения эквивалентных масс m₁ и m₂

              (3)

с собственной круговой частотой

 ,

где

Эти уравнения учитывают теплофизические свойства газов в аэродинамическом клапане, резонансной трубе и камере сгорания: ρ₁, ρ₂, ρ – плотность газа в аэродинамическом клапане, резонансной трубе и камере сгорания, кг/м³; a – скорость звука в среде объема камеры сгорания, м/с; γ – показатель адиабаты для среды в объеме камеры сгорания. Кроме того они учитывают реальные геометрические параметры АПГ: V – объем камеры сгорания, м³; F₁, F₂, – площадь сечения аэродинамического клапана и резонансной трубы, м²; l₁, l₂ –длина аэродинамического клапана и резонансной трубы.

В реальной системе при пульсирующем горении движущей силой процесса перемещения эквивалентных масс газа в элементах является разность давлений Δp между давлением в камере сгорания и атмосферным давлением. Применительно к нашей эквивалентной механической системе на массы m₁ и m₂ должна действовать вынуждающая сила, связанная с давлением в камере p(τ). Предположим, что давление в камере сгорания падает относительно атмосферного (рисунок 1), тогда на массу m₁ будет действовать сила

P₁ = [p_a – p(τ)]·F₁ ,

вызывающая положительное перемещение этой массы, а на массу m₂ –

P₂ = [p_a – p(τ)]·F₂

с отрицательным перемещением m₂ согласно расчетной схеме (рисунок 2).

Автоколебания в системе невозможны без диссипации энергии. Поэтому необходимо ввести и оценить силы сопротивления, которые возникают при перемещении эквивалентных масс. В простейшем случае силы сопротивления движению можно принять пропорциональными скорости. Действительно, по аналогии с ламинарным течением сплошной среды, сила сопротивления движению элементарного цилиндрического слоя газа или жидкости

,

где μ_т – турбулентная вязкость, Па·с; A = 2·π·r·l – наружная поверхность цилиндрического слоя, м²; v_r – переменная от радиуса канала скорость газа, м/с; r – радиус канала (изменяется от нуля на оси канала до радиуса трубы r_т); l – длина канала, м. Знак «минус» указывает на убывание скорости с увеличением радиуса (при r = r_т величина v_r=0).

Пусть в канале при турбулентном течении сопротивлению соответствует степенной профиль скоростей (закон одной седьмой Кармана)

.

Тогда

,

где v_max – скорость газа на оси потока, м/с.

Среднеинтегральная сила сопротивления, действующая на эквивалентную массу, с учетом того, что в степенном законе Кармана координата r отсчитывается от стенки канала до его оси

 =

=  .

Обозначим  , тогда силы сопротивления, действующие на эквивалентные массы можно представить в виде:

, ,

где  ,    (индексы 1 и 2 относятся к параметрам аэродинамического клапана и резонансной трубы соответственно).

В итоге система дифференциальных уравнений (3), описывающих перемещение эквивалентных масс, в автоколебательном режиме примет вид

,              (4)

где p(τ) определяется функционалом (2).

Полученная система уравнений, по-видимому, не имеет аналитического решения. Тем не менее, численное решение для конкретного проектного АПГ с аэродинамическим клапаном при начальных условиях, когда начальные перемещения и скорости эквивалентных масс равны нулю (рисунок 3 – 5),  позволяют сделать ряд важных заключений.

Рисунок 3 – Первые три цикла перемещений эквивалентных масс (выход на режим)

 Рисунок 4 – Перемещение эквивалентных масс с 7 по 10 цикл (устойчивый автоколебательный режим)

 Рисунок 5 – Изменение скорости движения эквивалентных масс

Анализ математической модели (4) и ее решений в виде графических зависимостей показывает:

- колебания носят гармонический характер при выходе на устойчивый автоколебательный режим;

- перемещения эквивалентных масс реализуются около нового положения равновесия;

- изменение скорости движения эквивалентной массы в резонансной трубе имеет стационарную составляющую, на которую наложены крупномасштабные пульсации;

- параметры изменения скорости хорошо согласуются с результатами эксперимента.