(1)

где t – коэффициент нормального распределения (2 или 2,5);  - средняя квадратическая ошибка единицы веса (принимаемая до уравнивания); - диагональный элемент соответствующей строки нормальных уравнений коррелат.
Превышение допуска говорит о наличии значительных по величине ошибок. В таком случае возникает необходимость локализовать эти ошибки, т.е. определить, в каких измерениях они могли быть допущены. 
Достоинство данной категории методов выявления грубых ошибок в его оперативности. Но при этом некоторые авторы указывают на недостаточную эффективность такого способа исключения грубых промахов: не всегда выполнение условия допусков гарантирует отсутствие ошибок [2, 3, 4].
Более эффективными с точки зрения полноты выявления ошибок являются методы, связанные с результатами уравнивания, которые осуществляются на заключительном этапе обработки измерений.
Одним из наиболее распространенных методов в данной категории является проверка измерений по условию допустимости значений поправок в измерения, полученных в ходе параметрического уравнивания. 
Некоторые исследователи отмечают основной недостаток подобных методов: поскольку в ходе параметрического уравнивания накладывается условие [pvv]=min, значения поправок не будут соответствовать реальным величинам ошибок в данном измерении [3, 5].
Использовать уравнение связи векторов поправок и ошибок измерений для выявления грубых промахов предложил В.А. Коугия [3]:

     (2)

где  - вектор ошибок измерений, а  - матрица линейных преобразований.
В данной методике условием наличия грубого искажения является превышение значения вычисленной поправки ее допустимого значения, вычисляемого по формуле:

     (3)

где  – параметр, принимаемый обычно равным 2,5;  – средняя квадратическая ошибка поправки – корень из i-го диагонального элемента корреляционной матрицы поправок .

Предполагается, что измерению с грубой ошибкой будет соответствовать максимальное значение отношения поправки к её допуску. Тем не менее, автор методики отмечает, что при возникновении ряда условий (например, при равенстве значений отношений поправок к допускам нескольких измерений) локализация ошибок данным способом (как и аналогичными) будет невозможна [4].
Другим примером выявления грубых ошибок по результатам уравнивания является метод наложения условия «pV-максимума» [3, 6], предполагающий, что произведение веса измерения на его поправку в случае наличия в этом измерении грубой ошибки будет больше, чем данное произведение, рассчитанное для других измерений. Поскольку есть возможность наличия нескольких промахов в комплексе измерений, предполагается проводить несколько циклов их выявления и исключения. В этом случае ошибочные величины последовательно обнаруживаются и корректируются на примерную величину ошибки, вычисляемую по формуле:

     (4)

где  - коэффициент влияния истинной ошибки i-го измерения на поправку в i-e измерение.

Такой метод также имеет свои недостатки. Прежде всего, число избыточных измерений должно быть намного больше, чем ошибочных измерений (при этом зачастую в маркшейдерской практике используются съемочные построения с низкой избыточностью). Также исследователи отмечают, что этот метод не работает в случае схождения в одной точке трёх и более измерений, что также достаточно часто встречается в маркшейдерской практике. Помимо этого, результат не будет достоверным, если несколько измерений будут иметь близкие по величине погрешности.
Как видно из рассмотренных примеров, выбор метода выявления грубых ошибок напрямую может повлиять на качество результата данного этапа обработки измерений. Так, при определенной геометрии и избыточности построения локализация и исключение ошибок может представлять собой сложную и даже невыполнимую задачу.
При этом очевидно, что некачественное исключение грубых ошибок, вероятность возникновения которых не стоит недооценивать, напрямую повлияет на точность итоговых результатов съемки. В некоторых случаях даже при достоверном обнаружении промахов возникает необходимость дополнительных измерений, что недопустимо с точки зрения затрат времени и ресурсов.
Таким образом, следует внимательно относиться к выбору методов выявления и исключения грубых ошибок измерений. Также избежать проблем на данном этапе обработки измерений может помочь оценка внутренней и внешней надежности на этапе проектирования построения, поскольку параметры внутренней надежности характеризуют способность сети к выявлению грубых ошибок по результатам уравнивания, а параметры внешней надежности оценивают степень искажения результатов съемки возможными невыявленными ошибками [2, 7].

В мировой и отечественной практике появление новых серий маркшейдерско-геодезических приборов постепенно вытесняет уже существующие образцы как в области практического применения, так и их методологического и научного обеспечения. Фактически единственным исключением из этого правила оказался класс гироскопических приборов.

В основу работы маркшейдерского гирокомпаса положено свойство несвободного гироскопа совершать прецессионные колебания вокруг меридиана. Благодаря этому становится возможным непосредственное определение дирекционных углов в произвольных точках подземного полигона [1].

Первые модели маркшейдерских гирокомпасов были сконструированы еще в первой половине XX века и нашли широкое применение при создании опорных сетей в подземных горных выработках. Конструктивно это был целый комплекс оборудования, масса которого могла достигать величин порядка 600 кг. В дальнейшем совершенствованием отечественных гирокомпасов занималась лаборатория ВНИМИ под руководством Б.И. Никифорова и В.Н. Лаврова. Благодаря изменению конструкции чувствительного элемента гирокомпаса и переходу к торсионному подвесу гиромотора удалось достичь существенного уменьшения габаритов и массы прибора.

Наиболее распространенным отечественным гирокомпасом является модель МВТ-2 (маркшейдерский взрывобезопасный торсионный) (рисунок 1). Разработанный в 1967 году данный прибор выпускался на экспериментальном заводе ВНИМИ на протяжении двух десятков лет, за которые было собрано порядка 200 образцов.

Рисунок 1 – Маркшейдерский гирокомпас МВТ-2

Погрешность определения гироскопического азимута гирокомпасом МВТ-2 в среднем достигла 30”, что в совокупности с взрывобезопасным исполнением отвечало требованиям, установленными министерством угольной промышленности к данному виду приборов.

Следует отметить, что работы по разработке малогабаритных гирокомпасов велись и в других странах (Германии, Венгрии, Японии и пр.). Погрешности определения азимутов в некоторых моделях приборов достигали 15”, благодаря чему они нашли свое применение не только в маркшейдерском деле, но и инженерной геодезии, в которой активно использовались до внедрения в практику спутниковых GNSS систем.

Конструктивная сложность гирокомпасов на всем этапе их существования делала их производство проблематичным, из-за чего их количество всегда было весьма ограниченным. Появление и внедрение спутниковых GNSS систем исключило целесообразность их применения в геодезии, в связи с чем разработка новых моделей гирокомпасов была практически полностью свернута.

На сегодняшний день, производством современных гироскопических приборов активно занимаются только две компании: японская фирма Sokkia, производящая гиронасадки на свои электронные тахеометры Giro1X и GP-1X, и немецкая фирма DMT, выпускающая самый точный гирокомпас в мире GYROMAT. Одним из недостатков этих моделей приборов является отсутствие взрывобезопасного исполнения, что делает невозможным их применение на угольных шахтах опасных по взрыву газа и пыли [2].

Таким образом, использование маркшейдерского гирокомпаса МВТ-2 остается практически безальтернативным для условий отечественной горной промышленности. Хотя многолетняя практика использования рассматриваемых приборов подтверждает усредненную заявленную погрешность, возросшие на предприятиях требования к производству маркшейдерских изысканий и их математической обработке, обосновывают актуальность уточнения метрологических свойств гирокомпасов.

За двадцать лет своего производства конструкция моделей МВТ-2 модернизировалась и изменялась, что в совокупности с ручным изготовлением и сборкой делает каждый отдельный экземпляр прибора, в определенной степени, уникальным.

В связи с этим каждый выпускаемый ВНИМИ гирокомпас проходил контрольные заводские испытания, имеющие целью проверить основные технические характеристики (точность, производительность, потребляемую мощность тока и др.) и установить выявленные недостатки.

Испытания проводились в лабораторных условиях. С каждым гирокомпасом в рабочем диапазоне температур проводилось около 20 определений гироскопического азимута стороны при температурах 0ºC, +20ºC и +40ºC с приведением оси гирокомпаса в меридиан с углами 0º, 10º и 20º. Для получения температуры 0ºC наблюдения проводились или в ночное время, или приборы охлаждались до нуля в холодильной камере. Температура +20ºC – нормальная температура окружающей среды. При температуре +40ºC наблюдения проводились в термокамере.

Погрешность гирокомпаса в рабочем диапазоне температур mt определялась по внутренней сходимости результатов с использованием формулы Бесселя по отклонениям единичных значений гироскопических азимутов – Гi от среднего арифметического из всех – Гср [3]:

     . (1)

В классической методике расчета гироскопического азимута среднее значение положения нуля подвеса торсиона и среднее положение из точек реверсии рассчитывается как среднее арифметическое из двух промежуточно вычисляемых значений, определяемых по формулам вида:

,      (2),       (3)

.       (4)

Легко видно, что при подобной методике расчета ошибки в определении промежуточных точек реверсии (второй и третьей) утраиваются, что искажает окончательное значение рассчитанного гироскопического азимута.

Из курса теории ошибок измерений известно, что наилучшей оценкой нормально распределенной случайной величины является среднее арифметическое значение, вычисленное из всех ее реализаций. Таким образом, при вычислении гироскопического азимута целесообразнее заменить вычисления по формулам (2) – (4) на вычисления вида:

.       (5)

В исследовании было выполнено сравнение погрешности определения гироскопического азимута для 16 различных гирокомпасов, вычисляемого по классической и предлагаемой методике. Полученные результаты представлены в виде гистограммы на рисунке 2.

Рисунок 2 – Погрешность определениея гироазимута рассчитанного по классической и предлагаемой методике

Из рисунка 2 видно, что в большинстве случаев точность полученнных гироазимутов возрастает при расчете точек реверсии через среднее арифметическое по формуле (5).

Принимая сравнительно небольшое количество пусков, выполненных во время контрольных заводских испытаний, значение среднеквадратической погрешности, вычисляемой по формуле (1), определяется с собственной ошибкой, чем можно объяснить противоречие в рассматриваемой гипотезе для некоторых гирокомпасов.

Проведенное исследование позволяет сформулировать следующие выводы:

• Погрешность определения гироскопического азимута может существенно различаться у разных образцов гирокомпаса, и находиться в пределе от 15” до 45”.
• Вычисления гироскопических азимутов по предлагаемой методике позволяет повысить точнотсь результатов на величину порядка 5% относительно классической методики.

,      (1)

где f_i – частная производная функции по измеряемому параметру, m_i – среднеквадратическая погрешность измерения параметра.

При проложении висячего хода с одной гиростороной (пример представлен на рис. 1) инструкция по производству маркшейдерских работ [1] требует прокладывать ход дважды. 

В этом случае погрешность положения последней точки, с учетом влияния погрешности определения дирекционного угла исходной стороны, а также погрешностей угловых и линейных измерений, при проложении хода с использованием электронного тахеометра, будет определяться по формуле:

,      (2)

где m_β – СКП угловых измерений; m_α – СКП определения дирекционного угла гиростороны; L – длина отрезка, соединяющего первую и последнюю точки хода; R – длины отрезков, соединяющих последнюю и i-ую точки хода; α – дирекционный угол стороны; a, b – паспортные коэффициенты погрешности измерений светодальномером. 

Для предрасчета погрешности положения последней точки хода необходимо выполнить ряд построений в САПР, снять с плана построения все необходимые данные и просчитать погрешность положения наиболее «слабой» точки (в данном случае – наиболее удаленной от исходной стороны). Формально задача оценки точности проектируемого хода будет выполнена (сравнение с допуском из инструкции [1]), но оценить негативные факторы, влияющие на точность определения положения точки n, выявить оптимальный способ повышения точности построения, оптимальную геометрию хода, будет затруднительно. 

Существует возможность выполнить подобную оценку в среде программного комплекса «Credo_DAT»: для этого необходимо будет указать координаты всех точек хода, планируемые измерения и предполагаемые величины СКП измерений. В настройках процедуры уравнивания следует выбрать функцию «Проект». В этом случае программа самостоятельно генерирует ожидаемые ошибки и производит процедуру уравнивания, несмотря на отсутствие реально произведенных измерений. В результате будут получены значения средних квадратических погрешностей положения всех точек хода, а также эллипсы ошибок их положения. При данном виде обработки проектных данных искомые параметры будут найдены на порядок быстрее, но вопрос о негативных факторах все также остается открытым.

Оба способа достаточно просты, что является их преимуществом, но они показывают лишь предполагаемую величину возможной ошибки и не дают подробной информации о том, что ее провоцирует. Также в ходе такого предрасчета точности сети не учитывается возможность возникновения ошибок, имеющих значения выше ожидаемых.

Иным способом предрасчета точности точек хода является оценка внешней и внутренней надежности измерений. Данная оценка может производиться по элементам матриц линейных преобразований. Внутренняя надежность показывает контролируемость элементов сети от искажающих факторов – то значение минимальной грубой ошибки, которую можно будет выявить с заданной вероятностью. Основным способом повышения внутренней надежности измерений является увеличение числа избыточных измерений, но в маркшейдерской практике зачастую нет возможности повысить избыточность построения, а повышение точности измерений не всегда дает желаемый результат. Поэтому целесообразнее при проектировании линейно-угловых сетей контролировать не выявляемость тех или иных ошибок, а степень их влияния на определяемые параметры, о которой позволяют судить параметры внешней надежности построения. 

Внешняя надежность показывает влияние невыявленной в ходе уравнивания единицы ошибки на определяемые параметры. Оценка этого параметра важна при низкой контролируемости измерений (внутренней надежности), так как возможно неполное исключение грубых ошибок измерений, что повлияет на точность определяемых по результатам съемки параметров. 
Одним из наиболее распространенных способов обработки данных геодезических и маркшейдерских съемок является метод наименьших квадратов. В матричном изложении принцип наименьших квадратов выражается в следующем равенстве [3, 4]:

,       (3)

где V – матрица поправок в измеренные значения, P – матрица весов измеренных величин. 

При этом система параметрических уравнений поправок имеет вид:V = AT + L, (4)где A – матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок; L – вектор свободных членов уравнений поправок; T – вектор поправок в параметры.

В ходе математических преобразований можно выявить прямоугольную матрицу линейных преобразований В [3, 4]:

В = –QA^TP = ,      (5)

где Q – матрица обратных весов измерений, n – число измерений, t – число неизвестных параметров. 

Так как матрица B является переходным элементом от вектора свободных членов L к вектору поправок T, в ней содержится информация о том, как невыявленные грубые промахи будут влиять на определяемые параметры, что соответствует смыслу внешней надежности [3].

Каждый элемент матрицы В показывает величину, на которую исказится определяемый параметр ввиду наличия невыявленной ошибки в измерении, при этом размерность искажения соответствует размерности исходных данных, а величина ошибки равна единице. Таким образом, элемент матрицы b₁₂ показывает, насколько исказится первый определяемый параметр при наличии во втором измерении 1 мм или 1” ошибки. 

Как видно из формулы, элементы матрицы линейных преобразований B зависят от точности измерений, заложенной в весовой матрице P, и от геометрических параметров съемочного построения, отражающихся в значениях элементов матрицы поправок параметрических уравнений A. Таким образом, повысить надежность линейно-угловой сети на этапе ее проектирования можно изменением точности измерений, а также геометрии построений. 
Что немаловажно, в матрице B заключены значения степени влияния ошибки в любом из измерений на каждый из определяемых параметров, что позволяет провести полноценный анализ уровня надежности сети, оценив не только максимальное значение искажения результатов в случае наличия промахов, но поведение любого из элементов построения, что невозможно при классической оценке точности проектируемых сетей. Более того, с использованием данной матрицы возможно перейти от анализа влияния лишь грубых промахов к оценке искажений результатов от любой по величине ошибки.

На стадии проектирования анализ матриц линейных преобразований позволяет определить, какие измерения требуют повышенного внимания и точности. Также иногда выявляются измерения, не требующие повышенной точности измерений, заявленной в инструкциях, что может снизить время производства работ. Таким образом, оценивая внешнюю надежность проектируемой сети, можно до начала производства работ подобрать наиболее рациональную методику съемки (например, сокращение/увеличение числа приемов измерений одного угла или повторных линейных измерений одной и той же стороны) и геометрию построения, которые будут удовлетворять требованиям рекомендаций и инструкции, а также будут учитывать возможность возникновения значительных по величине ошибок. 
Для удобства можно использовать дополнительную матрицу S [3]:

S = BM,      (6)

где М – диагональная матрица погрешностей измерений. 

Каждый элемент матрицы S отражает, как повлияют на определенные параметры ошибки измерений, равные ожидаемым. Эти ошибки уже непосредственно можно сравнить с допустимыми погрешностями измерений. 

Таким образом, в дополнение к классической «точечной» оценке точности, оценка внешней надежности на этапе проектирования сети позволяет:

1. провести полноценный анализ уровня надежности сети, т.е. поведение любого из элементов построения;
2. подобрать рациональную методику съемки, геометрию построений, а также оптимальное число избыточных измерений;
3. анализировать искажение определяемых параметров от любых по величине ошибок измерений;
4. перейти от степени влияния единицы невыявленной ошибки на определяемые параметры непосредственно к погрешности положения каждого пункта сети.

,       (1)

где f_i – частная производная функции по измеряемому параметру, m_i – среднеквадратическая погрешность измерения параметра.

Для висячего хода погрешность положения последнего пункта будет рассчитываться по формуле (в случае измерения расстояний электронным тахеометром) [2, 3]:

,      (2)

где m_β – СКП угловых измерений; m_α – СКП определения дирекционного угла гиростороны; L – замыкающая хода; R_i – длины отрезков, соединяющих последнюю и i-ую точки хода; α – дирекционный угол стороны; a, b – погрешности измерения длины электронным тахеометром. 

Первое слагаемое формулы (2) учитывает влияние погрешностей измерения горизонтальных углов хода, второе – погрешность определения исходной стороны, остальные слагаемые – погрешность измерения длин сторон хода. Таким образом, для получения величины СКП положения пункта, которую следует сравнивать с допуском, необходимо снять со схемы хода его геометрические параметры (длины сторон, дирекционные углы сторон, приращения координат и длину замыкающей хода). Заложенная точность измерений учитывается параметрами m_β, m_α, a, b.
Величину СКП положения пункта хода можно получить иным способом: провести предрасчет точности в программе Credo_DAT. В данном программном обеспечении реализована функция «уравнивания проектной сети», в ходе выполнения которой предполагаемые значения ошибок для процедуры уравнивания генерируются программой с учетом заданных значений точности измерений. Для получения необходимой величины следует указать в проекте координаты всех пунктов, запроектированные измерения, а также их точность по принятой методике. При этом пункты можно импортировать из другой программы, например, из одной их наиболее распространенных систем автоматизированного проектирования AutoCAD.
Если сравнивать два указанных метода, предрасчет точности в Credo_DAT может оказаться несколько менее трудозатратным, поскольку такой предрасчет не требует ручного снятия графических величин. Тем не менее, определенное время придется потратить на формирование файла проекта сети (указание станций, измерений с каждой из них, указание точности измерений). Поэтому при выборе способа предварительной оценки точности построения следует опираться в первую очередь на точность метода, т.е. на то, насколько достоверны полученные значения погрешностей.
В ходе ряда расчетов для различных съемочных построений было выявлено, что погрешность положения пунктов, полученная при расчете в Credo_DAT, несколько меньше, чем погрешность, полученная при «ручном» расчете по формулам, аналогичным (2).
Схема одного из рассмотренных ходов приведена на рис. 1 (свободный ход, проложенный от исходной стороны 1-2, длина хода 2493 метра). Были приняты следующие значения погрешностей: m_β - 20”, m_α - 30”, μ = 0,001м^1/2, λ = 0,00005 (случай измерения расстояний стальной рулеткой).

Рис. 1. Схема анализируемого хода

Расчет средней квадратической погрешности положения пункта 13 производился по формуле:

где μ – коэффициент случайного влияния погрешностей линейных измерений; λ – коэффициент систематического влияния погрешностей линейных измерений.
Расчет показал следующие результаты:

Ведомость оценки положения погрешностей пунктов по результатам уравнивания, полученная в результате обработки в Credo_DAT, приведена на рис. 2. Как видно из ведомости, расчетное значение СКП 13-ого пункта составило 0,455 м.

Рис. 2. Ведомость оценки точности положения пунктов

Расхождение в величине погрешности, которую необходимо сравнить с допуском, составило 43 мм. Очевидно, что подобное различие может оказаться критичным в определенных случаях. Например, если для принятой методики измерений и геометрии построения предварительные значения СКП окажутся близкими к допуску. В этом случае при расчете в Credo_DAT мы можем получить меньшее значение СКП, удовлетворяющее допуску, в отличие от погрешности, полученной при расчете по формуле. На практике же значение СКП положения пункта может оказаться равным последнему, что покажет недостаточную точность созданного хода вследствие некорректной проверки точности на этапе проектирования сети.
Остается открытым ряд вопросов:
- какая из методик позволяет получить более достоверные значения погрешностей (более близкие к тем, что будут получены на практике);
- можно ли выявить однозначную закономерность в расхождении величин, полученных указанными способами расчета;
- зависит ли величина расхождения результатов предрасчета от исходных данных (типа построения, его геометрии, точности измерений и т.д.);
- и другие. 
Таким образом, вопрос оценки и сравнения двух рассмотренных способов предрасчета точности маркшейдерских съемочных построений требует дополнительных исследований.