Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » almost contact metric structure

О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью

Галаев Сергей Васильевич — Fri, 17 Apr 2015 13:12:42 +0000

Э. Картан (см. [1-3]) первым рассмотрел линейную метрическую связность с кручением вместо связности Леви-Чивиты. Наибольшим интересом среди метрических связностей с кручением пользуется полусимметрическая связность, систематическое исследование которой проведено К. Яно в работе [4]. Четверть-симметрическая связность определена в 1975 г. С. Голабом [5]. Большое количество работ посвящено как метрическим, так и не метрическим связностям с кручением, заданным на многообразиях с почти контактной метрической структурой. Мы остановимся здесь лишь на работе Бежанку [6]. Бежанку определяет связность на многообразии Сасаки с помощью формулы . В адаптированных координатах [7-9] отличными от нуля компонентами связности являются ). Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической в более общем случае почти контактной метрической структурой, чем структура Сасаки. Действительно, так как , то метричность связности Бежанку эквивалентна почти K-контактности [10] почти контактной метрической структуры. Определим на многообразии с почти контактной метрической структурой связность с помощью равенства , где N – произвольный эндоморфизм. Назовем введенную связность N-связностью. Отличными от нуля компонентами N-связности, самое большее, будут ), =. Кручение N-связности определяется равенством.
Имеют место следующие теоремы:
Теорема 1. Тензор кривизны N-связности определяется следующими равенствами.

где

Теорема 2. Существует метрическая N-связность, однозначно определяемая следующими условиями:
1. (свойство метричности),
2. - - p[, ]= (отсутствие кручения),
3. N – симметрический оператор такой, что

, (1)

где - сечения распределения D, : - проектор.
Доказательство. Первые два условия теоремы однозначно определяют внутреннюю метрическую связность [7]. Альтернируя вторую ковариантную производную, получаем: .
Сравнивая полученный результат с (1), находим явное выражение для эндоморфизма N:
, что и доказывает теорему.
Теорема 3. [10] Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: =; =- ; ==-; =0; =0, где ).
Используя результаты теорем 2,3, получаем равенства, фиксирующие отношения между связностью Леви-Чивиты и N- связностью:

,
=.

Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур

Букушева Алия Владимировна — Sat, 23 May 2015 17:27:29 +0000

Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, - - модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса . В работах [1-6] изучались (продолженные) почти контактные метрической структуры , естественным образом определяемые на распределенииD почти контактной метрической структуры . В предлагаемой работе используются так называемые адаптированные координаты [3]. Карту (α, β, γ = 1,…, n; a, b, c, e = 1,…, n-1) многообразия X будем называть адаптированной к неголономному многообразию D, если . Пусть P: TX>D - проектор, определяемый разложением . Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: . Таким образом, мы имеем на многообразии X неголономное поле базисов и соответствующее ему поле кобазисов . Адаптированным будем называть также базис , как базис, определяемый адаптированной картой. Тензорное поле типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если его координатное представление в адаптированной карте имеет вид:

Введем на D структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте  на многообразии X сверхкарту  на многообразии D, где x^n+a - координаты допустимого вектора в базисе . Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной.
Пусть на многообразии X задана контактная метрическая структура . Определим на распределении D как на гладком многообразии почти контактную метрическую структуру , полагая , , , , .
Векторные поля  определяются здесь продолженной связностью [1-6]. Полученную структуру будем называть продолженной почти контактной метрической структурой.
Теорема. Пусть  - допустимое векторное поле Киллинга, заданное на многообразии X. Тогда, полный лифт поля : , является инфинитезимальной изометрией .
Доказательство теоремы сводится к непосредственным вычислением производной Ли от метрического тензора, координатное представление которого имеет вид .

Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой

Галаев Сергей Васильевич — Sat, 25 Jul 2015 11:13:31 +0000

Контактная структура  является аналогом симплектической структуры для многообразия нечетной размерности 2m+1. Ограничение замкнутой дифференциальной 2-формы  на распределении D контактной структуры задает невырожденную форму. В случае почти контактной метрической структуры  на распределении D возникает еще одна невырожденная 2-форма – фундаментальная форма структуры Ω. В общем случае . Формы ω, Ω относятся к классу допустимых тензорных структур к распределению D [1]. Замкнутая допустимая 2-форма в настоящей работе называется допустимой симплектической структурой. Таким образом, допустимые симплектические структуры естественным образом возникают на почти контактных метрических пространствах. Внутренних симплектических связностей, совместимых с данной допустимой симплектической формой бесконечно много.
Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1,  -  модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса .
Предположим, что на X задана почти контактная метрическая структура  [1]. Пусть D - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формойη,  - его оснащение: . Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры.
Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t – полилинейное отображение t: , где F(X) - кольцо гладких функций на X. Допустимую замкнутую внешнюю дифференциальную 2-форму максимального ранга будем называть допустимой симплектической 2-формой. Таким образом, в контактном случае форма  представляет собой естественный пример допустимой симплектической формы.
Пусть ω - произвольная допустимая внешняя 2-форма максимального ранга. В адаптированных координатах ненулевые компоненты ее внешнего дифференциала имеют следующий вид:

,
.

Последнее замечание дает мотивацию для названия допустимой тензорной структуры, сохраняющей постоянными компоненты в некотором адаптированном базисе, интегрируемой допустимой тензорной структурой.
Пусть ω - допустимая симплектическая структура. Внутреннюю линейную связность будем называть внутренней симплектической связностью, если , . N-продолженную симметричную связность [2-5] будем называть N-продолженной симплектической связностью, если . Последнее равенство сводится к двум равенствам: , , . Таким образом, N-продолженная симплектическая связность получается из внутренней симплектической связности добавлением эндоморфизма N, такого, что выполняется .
Теорема 1. Пусть - произвольная N-продолженная связность без кручения. Рассмотрим тензоры N₁ и N₂, определяемые, соответственно, равенствами

, ,
.

Тогда, связность , определяемая условиями

,
, ,

является N-продолженной симплектической связностью.
Теорема 2. Допустимая дифференциальная 2-форма максимального ранга ω является допустимой симплектической формой тогда и только тогда, когда существует совместимая с ней симметричная связность Бежанку.
Доказательство. Если ω - допустимая симплектическая форма, то достаточно положить в карте Дарбу коэффициенты искомой связности равными нулю. Пусть, теперь, - симметричная связность Бежанку, сохраняющая форму ω. Условие выполняется, так как N=0. Далее, проводя циклическую перестановку индексов в равенстве и складывая, затем, полученные равенства, получаем , что и доказывает теорему.

Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях

Букушева Алия Владимировна — Thu, 27 Aug 2015 20:49:41 +0000

Гиперкомплексной структурой на гладком многообразии X называется тройка интегрируемых почти комплексных структур I, J, K, удовлетворяющих соотношению IJ=-JI=K. При этом Х называется гиперкомплексным многообразием.
Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=4m+1, - - модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса . Почти контактной гиперкомплексной метрической структурой на Х [1] называется совокупность тензорных полей на Х, где φ_i QUOTE (i=1, 2, 3) – тензоры типа (1,1), называемые структурными эндоморфизмами, и η - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g – (псевдо) риманова метрика. При этом

. Требуется также, чтобы тензоры φ_i принадлежали к классу допустимых интегрируемых структур [2]. В работе [3] приводится пример почти контактной гиперкомплексной метрической структуры, возникающей на распределении почти контактной кэлеровой структуры. Мы продолжим полученный в работе [1] результат на случай почти контактной гиперкэлеровой структуры.
Многообразие с почти контактной гиперкомплексной метрической структурой назовем почти контактным гиперкэлеровым пространством, если внешние 2-формы замкнуты. Пусть, теперь, – почти контактная кэлерова структура, заданная на многообразии X. Воспользовавшись введенной в работах [4,5] метрической N-продолженной связностью, а также используя процедуру продолжения почти контактных метрических структур [6,7], определим на распределении D почти контактного кэлерова пространства почти контактную гиперкомплексную метрическую структуру , полагая,

, , , , , , , .

Теорема. Структура является почти контактной гиперкэлеровой структурой тогда и только тогда, когда тензор Схоутена исходной почти контактной кэлеровой структуры обращается в нуль.