.

Непосредственная проверка подтверждает достижение цели.
Определяющую роль в формировании и доказательствах основных результатах работы играет следующее утверждение.
Теорема 1. Если  - -регулярный оператор, то существует -регулярный оператор , удовлетворяющий условию 3)  для любых  таких, что .
Доказательство. Итак на семействе  всех -регулярных топологических операторов введен частичный порядок  следующим образом: , если для любого  выполняется . Покажем, что в  каждая цепь имеет верхнюю грань. Пусть  - цепь и  для любого . Ясно, что  является верхней гранью множества . Пусть  - максимальный элемент множества . Покажем, что  для любых  таких, что . Допустим противное, т. е. что существуют открытые множества  такие, что , но . Положим

.

По предположению . Для произвольного открытого множества  положим

и

.

Оператор  определим правилом:

для любого . Покажем, что оператор . Очевидно выполнение условия 1) определения 1. Пусть  и . Если , то  и, следовательно, . Если

,

то, в силу монотонности оператора  (если , то ), элемент  содержится как в множестве  так и в множестве . Таким образом, . Пусть теперь . Выполнение условия  следует из того, что

 и .

Таким образом, выполнено условие 2) определения 1. Итак, , а это противоречит максимальности оператора . Теорема доказана.
Замечание. Аналогичным образом можно доказать существование -регулярного топологического оператора , удовлетворяющего кроме условия 3) условию 4) для любого , такого, что  или, вместо условия 3), условию   для любых  таких, что .
Существенную роль в изложении последующих результатов работы играет понятие неприводимого отображения . Непрерывное, сюръективное отображение  называется неприводимым, если для любого замкнутого подмножества  такого, что  выполняется .
Определение 3 (Gleason A.M., Rainwater J.). Компакт  называется проективным в классе компактов, если для любых компактов  и , каждого непрерывного отображения  компакта  на  и любого непрерывного отображения  существует непрерывное отображение  такое, что .
Известны следующие понятия и факты:
1. Компакт является проективным в классе в классе компактов в том и только в том случае, если он является ретрактом стоун-чеховское компактификации дискретного пространства . 
2. Всякий компакт  является непрерывным образом некоторого проективного в классе компактов пространства  при неприводимом отображении  .
3. Пара  называется проективной резольвентой или абсолютом пространства  .
4. Компакт  является экстремально несвязным пространством, а отображение  - неприводимым .
5. Если некоторый компакт  и отображение  обладает свойствами  и , то найдется гомеоморфизм , такой, что  . 
Таким образом,  и  определены однозначно (в понятном смысле), а  называется естественным отображением  на . В дальнейшем, если это не будет приводить к двусмысленности, абсолют компакта  будем обозначать , подразумевая, что его существованию сопутствует единственное естественное неприводимое отображение .
Основным результатом работы является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть ,  - компакты. Для того, чтобы существовало непрерывное сюръективное отображение  необходимо и достаточно, чтобы существовал -регулярный топологический оператор .
Доказательство. Необходимость. Пусть  - непрерывное сюръективное отображение. Искомый -регулярный топологический оператор  определи следующим правилом. Для всякого открытого множества  положим

(если  - непрерывное отображение, то для  через  обозначается малый образ множество ). Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый.
Достаточность. Пусть  - -регулярный топологический оператор. Учитывая теорему 1 можно считать, что оператор  удовлетворяет условиям:
1. , .
2. для любых .
3. для любых  таких, что .
Для всякого открытого множества  положим

.

Пусть  - подсемейство всевозможных открыто-замкнутых подмножеств пространства , а  - сужение оператора  на семейство . Оператор  определим следующим правилом. Для всякого  положим . По построению оператор  является инъективным отображением и удовлетворяет условиям:
1. , .
2. Для любых  таких, что  выполняется

.

3. Для любых  выполняется

.

4. Для любых  таких, что  выполняется .
Построение искомого отображения  осуществляется следующим образом.
Для каждой точки  совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств  таких, что  обозначим через . Ясно, что для любого  семейство  центрировано (соответствующее свойство оператора ). Таким образом,  для любого . Для каждой точки  множество  обозначим через . Покажем, что  для любого . 
Допустим противное, т. е. что для некоторого  существуют точки  такие, что . Рассмотрим открыто-замкнутую окрестность  точки  в , не содержащую . В силу свойств оператора  точка  должна содержатся либо в , либо в , что и приводит к противоречию. Таким образом,  для любой точки . 
Отображение, ставящее в соответствие каждой точке  одноточечное множество , обозначим через . Докажем непрерывность этого отображения.
Пусть  – произвольное открыто-замкнутое подмножество компакта  и  - произвольная точка множества , т. е. . Так как семейство  замкнуто относительно конечных пересечений (третье свойство оператора ), то существует , являющееся подмножеством . По построению  образы всех точек множества  относительно отображения  принадлежат множеству , а значит и множеству . Таким образом, непрерывность отображения  доказана. 
Сюръективность отображения  следует из компактности  и инъективности оператора .
Теорема доказана.
Следствие 1. Если  - ретракт компакта , то существует непрерывное сюръективное отображение .
Доказательство. Пусть  - ретракция. Искомый -регулярный топологический оператор  определяется следующим правилом. Для любого  положим . Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый. Следствие доказано.
Для каждого хаусдофова пространства  через  обозначается множество всех непустых компактных подмножеств пространства , наделенное топологией Вьеториса. Базу этой топологии образуют всевозможные множества вида

для всех .
Следствие 2. Для любого компакта  существует непрерывное сюръективное отображение . 
Доказательство. Пусть  - естественное вложение компакта  в . Искомый -регулярный топологический оператор  определяется следующим правилом. Для любого  положим . Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый. Следствие доказано.
Доказательство следующего утверждения основана на свойствах проективной резольвенты .
Следствие 3. Для любого компакта  существует непрерывное сюръективное отображение .
Через  обозначается множество неотрицательных непрерывных функций на пространстве , через  - функция на , тождественно равная  на  .
Всякое отображение  называется функциональным оператором.
Определение 4. Отображение  называется -регулярным функциональным оператором, если отображение  инъективно и выполняются следующие условия:
1) ,
2)  для любых .
Теорема 3. Пусть ,  - компакты. Если существует -регулярный функциональный оператор , то существовует непрерывное сюръективное отображение  .
Доказательство. Пусть - -регулярный функциональный оператор. Определим топологический оператор  правилом

для каждого открытого множества . Непосредственная проверка показывает, что  является -регулярным топологическим оператором. Для завершения доказательства остается сослаться на теорему 2. Теорема доказана. 
Определение 5. Топологический оператор  - называется регулярным оператором, если отображение  инъективно и удовлетворяет условиям:
1) , ,
2) если , то  для любых .
Теорема 4. Если  - регулярный оператор, то существует регулярный оператор , удовлетворяющий условию 3)  для любых  таких, что .
Доказательство. Так же, как и при доказательстве теоремы 1считаем, что на семействе  всех регулярных топологических операторов введен частичный порядок  следующим образом:, если для любого  выполняется . Покажем, что в  каждая цепь имеет верхнюю грань. Пусть  - цепь и  для любого . Ясно, что  является верхней гранью множества . Пусть  - максимальный элемент множества . Покажем, что  для любых  таких, что . Допустим противное, т. е. что существуют открытые множества  такие, что , но . Положим

.

По предположению . Для произвольного открытого множества  такого, что  и  положим  и  для остальных любого . Непосредственная проверка показывает, что, что оператор , а это противоречит максимальности оператора . Теорема доказано.
Далее  - суперрасширение пространства  . 
Система  замкнутых подмножеств топологического пространства  называется сцепленной, если любые два элемента системы  пересекаются. Всякая сцепленная система замкнутых подмножеств содержится в некоторой максимальной сцепленной системе. Суперрасширением пространства  называется множество  максимальных сцепленных систем замкнутых подмножеств , наделенное волмэновской топологией, т. е. замкнутую предбазу в  образуют множества вида , где  замкнуто в . 
Теорема 5. Пусть ,  - компакты. Для того, чтобы существовало непрерывное отображение  такое, что  необходимо и достаточно, чтобы существовал регулярный топологический оператор .
Доказательство. Необходимость. Пусть  - непрерывное отображение такое, что  и  - естественный регулярный оператор продолжения открытых множеств пространства , построенный в . Искомый регулярный топологический оператор  определим следующим правилом. Для всякого открытого множества  положим

.

Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый.
Достаточность. Пусть  - регулярный топологический оператор. Рассмотрим регулярный оператор , определенный правилом:  для любого . В силу теоремы 4 можно считать, что оператор  удовлетворяет условию: 3)

для любых  таких, что . Для каждой точки  совокупность всех открытых подмножеств  компакта  таких, что , обозначим через  и положим . Ясно, что семейство  является сцепленной системой и единственным образом дополняется до максимальной сцепленной системы  замкнутых подмножеств компакта . Отображение  определим правилом  для любого . Непосредственная проверка доказывает непрерывность отображения  и выполнение условия . Теорема доказана.
Следствие 4. Если  - компакты,  и  - каппа-метризуемый компакт , то существует непрерывное отображение  такое, что .
Доказательство. В силу результатов работ  существует регулярный оператор продолжения открытых подмножеств . Факт его существования и подтверждает, с учетом теоремы 5, справедливость данного следствия.