И.С.Якиманская, кандидат психологических наук, определяет развивающее обучение как обучение, которое, обеспечивая полноценное усвоение знаний, формирует учебную деятельность и тем самым непосредственно влияет на умственное развитие [1, с.5].

Идея развивающего характера обучения интересует педагогов разных поколений на протяжении многих лет. Практически во всех трудах Я.А. Коменского и Ж.Ж. Руссо присутствует идея развития в процессе обучения. Также одним из основоположников является швейцарский педагог Иоганн Генрих Песталоцци (1746-1827). По его мнению, процесс обучения должен раскрывать в каждом ребенке все его силы и способности. Песталоцци говорил: «Глаз хочет смотреть, ухо – слышать, нога – ходить и рука хватать. Но также и сердце хочет верить и любить. Ум хочет мыслить»[6]. Адольф Дистервег (1790-1866), немецкий педагог, основательно исследовал проблемы развивающего обучения и продолжил дело Песталоцци, дополнив его модель обучения особыми рекомендациями (идти в обучении от простого к сложному, от известного к неизвестному, от близкого к далекому и др.). В отечественной дидактике теория развивающего обучения берет свое начало в работах К.Д. Ушинского, который обосновал дидактические принципы, позволившие точно выстроить образовательный процесс. Особая роль отводится разработкам Л.С. Выготского, относящимся к 20-30 годам двадцатого века. Он выделил уровни когнитивного развития ребенка:

1)    актуальный (его определяет способность самостоятельно решать задачи);

2)    потенциальный (определяется теми задачами, которые ученик может решить при помощи взрослого).

Между двумя данными уровнями находится расстояние, которое Л.С. Выготский назвал «зоной ближайшего развития».

Чтобы полностью понимать когнитивное развитие детей и правильно строить процесс обучения, необходимо определять и актуальный, и потенциальный уровни их развития. Такой вид обучения и  был назван Л.С. Выготским развивающим.

Принципы, которые, при условии совместного действия, могут реализовать принцип развивающего обучения:

• Принцип природосообразности – понимание взаимосвязи естественных и социальных процессов;
• Принцип преемственности  – новое сохраняет в себе определенные элементы старого;
• Интегральный принцип единства личности, сознания и деятельности – совершенствует воспитанность, обученность и образованность;
• Принцип межпредметных связей – способствует углублению знаний учащихся, развивает навыки самостоятельной познавательной деятельности;
• Принцип межличностного общения;
• Принцип наглядности – как обогащение учащихся чувственным познавательным опытом.

Л.В. Занков главной задачей обучения видел общее развитие учащихся, которое понимается как развитие умственных, волевых качеств и чувств школьников. Суть одного из главных положений системы обучения Л.В. Занкова состоит в том, что каждый предмет начального образования важен для развития учащегося, причем не только его познавательных возможностей, но и самой личности. Цель, которую необходимо достигнуть при развивающем обучении, это сформированная общая картина мира. Л.В. Занков также сформулировал несколько дидактических принципов:

1) обучение должно проходить на высоком уровне трудности (ученикам необходимы препятствия, которые они будут преодолевать);

2) ведущая роль принадлежит теоретическим знаниям;

3) осознание ребенком процесса обучения (понимание способов действий, с помощью которых происходит процесс учения);

4) темп обучения – быстрый;

5) целенаправленная и систематическая работа над общим развитием всех учащихся, в том числе и наиболее слабых.

В системе образования прогрессивной называют методику Эльконина-Давыдова, которая видоизменила традиционные формы и методы организации учебного процесса. Данная методика развивает не только интеллектуальные качества ребенка, но и его психические процессы. Механизм учебного процесса предполагает, что ученик сам ставит себе задачи и определяет методы их решения. В системе Эльконина-Давыдова очень важную роль играет действие обобщения. Именно с него начинается освоение учебного предмета. Оно должно быть выстроено как учебная деятельность, предполагающая предметно-практические действия, а  затем общий способ действия конкретизируется применительно к частным случаям.

Если рассматривать развивающее обучение в курсе математики, то основным содержанием выступает формирование содержательного обобщения, понятия действительного числа – стержня школьной математики. Особое место имеют текстовые задачи, так как они способствуют формированию рациональных способов анализа текстов, т.е. помогают выделить математическую структуру задачи, смоделировать ее, используя знаково-символические средства.

Целям и содержанию развивающего обучения соответствует следующая схема, изображенная на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема реализации целей развивающего обучения

Не стоит забывать и о включении учеников в творческую деятельность, благодаря которой возникает осознание детьми процесса учения: для чего необходимо изучать те или иные темы, какая взаимосвязь у изучаемых вопросов, как новые знания могут им помочь при изучении других тем. При развивающем обучении ученик не получает знания в готовом виде, учителю необходимо организовать класс на их добывание. Ученики привыкли отвечать на вопросы, задача учителя – научить их самих ставить вопросы. Для этого можно создавать ситуации противоречия, в которых требуется поиск решения. Например, рассмотрение уравнения 15+х=9 перед изучением отрицательных чисел. Кроме того, есть темы, которые будет интереснее изучать, если учащиеся сами составят ряд вопросов, помогающих изучению. Например, при изучении темы «Измерение отрезков» в 7 классе ученики могут задать следующие вопросы, которые определят ход урока:

1. Что означает измерить отрезок?
2. Как и чем можно измерять отрезки?
3. Какие существуют единицы измерения длины отрезков?

Хорошее средство для активизации познавательной деятельности в развивающем обучении – использование субъектного опыта учащихся, чему способствует решение задач с практическим содержанием. При объяснении темы «Координатная плоскость» будет целесообразно попросить учеников привести примеры из своей жизни, где положение объекта задается с помощью чисел. Ответы могут быть различными: положение фигуры на шахматной доске, место человека в кинозале и т.д.

Еще один хороший метод развития познавательной деятельности заключается в том, чтобы предложить ученикам практическую деятельность, а после ее выполнения самостоятельно сделать выводы. Например, в 8 классе во время объяснения теоремы Пифагора нужно дать ученикам задания: выполнить чертеж прямоугольного треугольника, найти длины его сторон, вычислить квадрат гипотенузы и сумму квадратов катетов. По завершении выполнения задания они смогут сами сформулировать теорему.

А. Дистервег говорил: «Плохой учитель преподносит истину, хороший – учит ее находить»[7]. Развивающее обучение ориентировано на общее развитие школьников, раскрытие ученика как личности. Поэтому такой способ обучения не оставляет учителю других вариантов, кроме как быть «хорошим учителем», создавая максимум необходимых условий для правильного формирования личности ученика, развивая, в первую очередь, навыки самостоятельности и учитывая его способности и интересы.

Еще в XVII веке идея функции встречается у Рене Декарта. Он ввел данный термин в 1673г., и понятие функции первоначально носило геометрический характер. С появлением таких ученых, как Бернулли и Эйлер, понятие функции приобретает аналитический характер. Современное определение функции трактуется как соответствие между множествами любой природы, в курсе алгебры оно имеет название – определение Дирихле-Лобачевского.

С течением времени были хорошо изучены элементарные функции, которые теперь изучаются в школе.

Функция называется элементарной, если ее значения могут быть получены из постоянных чисел и значений независимых переменных посредством конечного числа элементарных операций [1, с.13]. В их число входят следующие функции (Рисунок 1):

1)    алгебраические функции (степенные с любым действительным показателем);

2)    трансцендентные функции (показательная и логарифмическая функции, тригонометрические и обратные тригонометрические функции).

Рисунок 1. Элементарные функции

Трактовки понятия функция делятся на 2 вида:

1)                классические – опираются на понятие переменной величины (функция – переменная величина, числовое значение которой изменяется в зависимости от числового значения другой [2, с. 258]);

2)                современные (если каждому элементу х множества М поставлен в соответствие некоторый элемент y множества N, то говорят, что на множестве М задана функция, и пишут: у=f(x) [3, с.2]).

Классическое определение, называющее функцией переменную величину, зависящую от другой переменной величины (аргумента), подходит  к обычным аналитическим числовым функциям, изучаемым в школьном курсе математики, является традиционным и часто применяется в преподавании.

Стоит обратить внимание и на базовые модели теории функций. В их число входят функции, определенные на данных множествах:

1)                на числовом множестве;

2)                на множестве точек геометрического пространства;

3)                на множестве двоичных последовательностей;

4)                на множестве векторов;

5)                на множестве геометрических фигур;

6)                на множестве событий.

Проблема изучения понятия функции в школе является очень актуальной. Многие педагоги и методисты выделяют его как фундаментальное математическое понятие. Стоит отметить выступление педагога высшей немецкой школы Феликса Клейна, который главной целью обучения ставил необходимость обеспечить усвоение понятия функции еще на ранних этапах. По его мнению, оно должно пронизывать все преподавание алгебры и геометрии, то есть играть руководящую роль в школьном курсе математики.

И все же несомненную ценность представляет и ряд других понятий, которые должны получить самостоятельное развитие в ходе обучения. В их числе находятся понятия следующих содержательно-методических линий: линии числа, преобразований курса алгебры и начал анализа, линии уравнений, неравенств и их систем. Немаловажно также развитие логического мышления учащихся. Нет необходимости выделять какую-либо одну из представленных идей школьного курса математики и давать ей развитие за счет других, ведь все эти теории изучаются во взаимосвязи.

Безусловно, изучение функций развивает функциональное мышление учащихся, дети знакомятся с идеей всеобщей непрерывности, бесконечности, формируют у себя умения анализировать, находить зависимости между изменениями различных объектов, работать с абстрактным материалом. Изучение свойств функций позволяет познавать явления окружающего мира. Но в младших классах ученики могут оказаться неподготовленными к восприятию понятия функции в силу своего недостаточного математического развития. Это только повлечет за собой затраты времени на дополнительное объяснение, что ставит под сомнение идею Ф. Клейна.

В школе основное внимание уделяется числовым функциям. Понятие соответствия, лежащее в основе определения понятия функции, доступно учащимся 5 класса. При решении текстовых задач ученики используют различные функциональные зависимости.

Среди зависимостей наиболее часто встречаются следующие:

1)                цена, вес и стоимость;

2)                скорость, время и расстояние;

3)                стороны прямоугольника и его площадь;

4)                стороны прямоугольника и его периметр;

5)                работа, время работы и оплата и т. д.

Необходимо заранее подготовить учеников к осмысленному усвоению понятия функции и идеи функциональной зависимости. Для этого используются специально подобранные упражнения, которые направлены на накопление учениками опыта, на активацию их образного мышления. Очень важно, чтобы учащиеся поняли, что выражение, которое они рассматривают, будет принимать разные значения в зависимости от числовых значений переменных. Такие упражнения способствуют пониманию учениками различных способов выражения функциональной зависимости. Кроме того, важным аспектом изучения функций является введение понятия множества. Именно данный термин предшествует формулировке понятия функции. Выяснение понятия «множества» целесообразно производить не сразу на математических примерах, а начиная с более простых, например: совокупность парт в кабинете, письменных принадлежностей в пенале, учеников в классе. А затем постепенно можно вводить и такие термины, как элементы множества, подмножество, принадлежность множеству и др.

В школе чаще всего используются аналитический и формальный походы к изучению функций, поэтому учащиеся запоминают определения и формулировки свойств, не подкрепляя их образами. Нужно больше внимания уделять графикам функций, с их помощью легче будет понять многие свойства функций, такие, как нули функции, монотонность, область значений функции.

Понимание функции как математической модели реальных процессов определяет общекультурный аспект изучения математики. В связи с этим учащиеся должны уметь видеть функциональную зависимость не только в алгебраических формулах, но и в других школьных предметах и в жизни. Такое построение учебного материала отвечает принципу целостности образования[2, с.264].

Сформированность понятия функциональной зависимости у учащихся –  это важная задача целевой деятельности педагога. Она направлена на становление математического мышления и развитие творческой деятельности учеников. Развитие функционального мышления главным образом предполагает формирование способностей к овладению общими учебными приемами и умениями, обнаружению новых связей.

1. Деятельностный.
2. Личностно ориентированный.
3. Компетентностный.

О.Б. Епишева в книге [1] отмечает, что, психологическую основу концепции деятельностного подхода составляет положение: «усвоение содержания обучения и развитие ученика происходят не путем передачи ему некоторой информации, а в процессе его собственной активной деятельности. Знания приобретаются и проявляются только в деятельности».

Возникают вопросы: какую деятельность должны выполнять обучающиеся для усвоения содержания учебного предмета, как сделать эту деятельность успешной?

В пособии И.Е. Маловой [2] дано определение «Личностно ориентированное обучение (ЛОО) – такой вид обучения, при котором обучающиеся являются субъектами обучения и собственного развития» и раскрыты следующие характеристики ЛОО: ключевым понятием ЛОО является понятие субъектного опыта учащегося; основным образовательным источником является учебный предмет и процесс его освоения; основной задачей учителя является организация деятельности обучающихся с учебным содержанием с целью обогащения их субъектного опыта.

Также отмечается, что «учителю надо уметь анализировать содержание школьных учебников не только с позиций учебного предмета (математики), но и с позиций ученика: мотивирован ли материал, сможет ли ученик в нем самостоятельно разобраться (а если нет, то с какими трудностями столкнется), какой развивающий потенциал он несет, какую пользу приносит ученику», что значительное внимание должно быть уделено ведению учебных диалогов, подчинённых следующим правилам: 1) диалог мотивирован; 2) диалог несет определенную (ясную для учащихся) направленность; 3) диалог должен соблюдать этапность; 4) в диалоге используются преимущественно общие вопросы; 5) диалог устанавливает связи с предыдущим, последующим и будущим; 6) диалог переходит в полилог, когда на вопрос учителя или ученика отвечают разные учащиеся, когда ученики сами проводят коррекцию ответов и т. д.; 7) по мере изучения материала диалог начинается с обращения к опыту ученика; 8) постепенно инициатива ведения диалога перекладывается на учащихся [2].

Возникают вопросы: каким должен быть учебный диалог с обучающимися; как организовать их деятельность, чтобы они стали субъектами обучения и собственного развития; какой субъектный опыт обучающиеся могут приобрести, работая с тем или иным математическим содержанием?

Компетентностный подход появился сравнительно недавно. Его введение в образование обусловлено проблемой, с которой сталкиваются обучающиеся: достаточно хорошо владея теоретическими знаниями, они испытывают трудности на практике.

В статье [3] А.В. Хуторской обращает внимание, что «данный подход предполагает овладение отдельными друг от друга знаниями и умениями в комплексе». Автор дает следующее определение понятия компетентности: «Компетентность – совокупность личностных качеств ученика (ценностно-смысловых ориентаций, знаний, умений, навыков, способностей), обусловленных опытом его деятельности в определенной социально и личностно-значимой сфере».

Среди компетенций выделена следующая иерархия:

I.     Ключевые – компетенции социального взаимодействия человека в обществе.

II.   Общепредметные – те качества личности, которые формируются, проявляются в системе учебных предметов.

III.  Предметные – компетенции успешного усвоения содержания и методов деятельности в конкретной учебной дисциплине.

Возникают вопросы: какие компетенции связаны с тем или иным математическим содержанием и процессом его освоения; как их формировать?

Реализации перечисленных основ обучения помогает использование компьютерной презентации на учебных занятиях при условии, что слайды компьютерной презентации отражают приемы организации математической деятельности, учебный диалог, нацеленность на обогащение субъектного опыта обучающихся и др.

Раскроем некоторые приёмы реализации методологических основ обучения, которые были использованы в теме «Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации» из учебного плана дисциплины «Алгебра».

Одним из приемов включения студентов в процесс целеполагания является организация обсуждения плана занятия. Для успешной деятельности студентов были использованы следующие приемы:

– Словесное формулирование пунктов плана.

– Определение студентами типа задач, решаемых на занятии, на основе конкретного примера:

Постройте ортогональную систему векторов пространства 

Благодаря поэтапной анимации, пункт плана «Решение задачи на …» после ответа студента превращается в «Решение задачи на ортогонализацию».

Традиционно практические занятия по математике начинаются с актуализации теоретических сведений. Удобно для этой цели применять математический диктант с незаконченными предложениями.

На слайде с математическим диктантом определения и теоремы формулируются в виде незаконченных предложений, которые должны продолжить студенты во время письменной работы.

Например, вопрос об определении «Нормированный вектор» выглядит как «Пусть V– евклидово  пространство. Вектор a∈V называется нормированным, если…».

При работе с задачей на ортогонализацию деятельность студентов направлена на освоение способа решения этого типа задач. Слайд включает методические приемы:

1. Анализ условия с составлением краткой записи:

Дано: базис

Найти: ортогональную систему векторов

2. Использование вопроса «Как решаются такие задачи?» на этапе поиска способа решения. Данный вопрос появляется перед началом формулирования шагов алгоритма и предусматривает следующие ситуации: если на лекции был изучен алгоритм – вопрос помогает его актуализировать, если нет, то выявить его.
3. Словесное формулирование шагов алгоритма для самоуправления решением и развития словесно-логического мышления:

Шаг 1: Выделим ортогональную подсистему из базиса 

Шаг 2: Заменим на выразив  через векторы  Получим:

и т.д.

4. Разбиение алгоритма на шаги  для выполнения соответствующих действий.
5. Единое оформление повторяющихся шагов алгоритма.
6. Поэтапная анимация для детальной реализации шагов алгоритма.
7. Акцентирование на графических образах соответствующих действий для активации образного мышления.
8. Проговаривание, запускающее процесс интериоризации.

Обогащают содержание решённой задачи приёмы:

1. Вопрос «Является ли полученная система векторов линейно независимой?», позволяющий повторить признак независимости ортогональных векторов.
2. Вопрос «Является ли полученная система базисом?», позволяющий повторить определение базиса.
3. Прием пошаговой анимации в ответах, где каждое условие появляется после паузы, что помогает студентам структурировать ответ о базисе.

Завершается работа над задачей подведением итогов с целью обогащения опыта учащихся. При работе со слайдом «Итоги» можно использовать следующие методические приемы:

1. Вопрос о типе задачи, ответ на который образует центр подведения итогов.
2. Вопрос об алгоритме решения задач данного типа, что позволяет сформулировать его в общем виде:

Вопрос «Как решаются задачи на ортогонализацию базиса векторного пространства?». Ответ:

Шаг 1. Выделяем  ортогональную  подсистему из базиса.

Шаг 2. Заменяем следующий вектор базиса на новый через линейную комбинацию предыдущих векторов ортогональной системы.

Для этого:

а) находим коэффициенты разложения по соответствующим формулам;

б) вычисляем координаты нового вектора.

3. Вопрос о выводах относительно полученной системы векторов, что помогает повторить способ обоснования того, что полученная система является базисом векторного пространства.

Установлению связи между задачами помогают приемы:

1. Использование данных, полученных при решении одних задач, в качестве условия других задач.
2. Разбиение задачи на подзадачи.

При решении задачи на нормирование в условии используются данные, полученные в задаче на ортогонализацию, что в дальнейшем позволяет обобщить два типа задач и рассмотреть новый – на ортонормирование базиса векторного пространства.

Алгоритм решения задачи на ортонормирование базиса состоит из двух этапов:

Этап 1: Ортогонализировать систему векторов

и сделать вывод, что полученная система векторов является ортогональным базисом.

Этап 2: Нормировать векторы:

и сделать вывод, что полученная система векторов является ортонормированным базисом.

Прием разбиения задачи на подзадачи помогает составить план решения задачи на дополнение системы векторов до ортонормированного базиса:

Шаг 1. Дополним систему векторов до базиса.

Шаг 2. Ортогонализируем базис.

Шаг 3. Нормируем базис.