(1)

; (2)

 (3)

 (4)

 (5)

При записи системы дифференциальных уравнений (1)-(5) использованы следующие обозначения: , безразмерные температура, магнитная индукция, функция тока и напряженность вихря;  характерные масштабы;  безразмерный внутренний источник теплоты;  размерный внутренний источник теплоты;  размерный тепловой поток тепла, отводящийся от внешней поверхности слоя;  безразмерный текущий радиус;  размерный текущий радиус;  размерные радиусы внутренней и внешней сферы;  полярный угол; коэффициент магнитной вязкости;  электрическая проводимость жидкости;  безразмерная толщина сферического слоя; , , , , безразмерные числа Грасгофа, Рейнольдса, Пекле, магнитное число Рейнольдса, параметр магнитного взаимодействия. Остальные обозначения общепринятые. Постоянная величина J, входящая в уравнение энергии (3), определяет величину джоулевой диссипации. 
В работе при проведении вычислительного эксперимента для температуры задавались следующие граничные условия: на внутренней поверхности слоя  () граничное условие первого рода (постоянное значение температуры), а на внешней поверхности () граничное условие второго рода (отвод тепла) [2]: . Для заданных граничных условий постоянная величина вычислялась по формуле: .
Граничное условие для температуры на оси симметрии: .
Граничные условия для функции тока, напряженности вихря и магнитной индукции имели следующий вид:

; ;
.

Граничные условия для вихря на границах сферического слоя предполагают линейное изменение его по нормали [5].
Локальные числа Нуссельта на границе внутренней и наружной сферы рассчитывались по формулам:

Осредненные числа Нуссельта вычислялись из соотношений:

 

Численное решение задачи осуществлялось с помощью метода конечных элементов. Для аппроксимации рассчитываемых функций использовались билинейные девятиточечные конечные элементы. Система полученных нелинейных алгебраических уравнений решалась методом итераций с использованием нижней релаксации. В качестве начальных приближений задавались нулевые значения напряженности вихря, температуры, функции тока, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции. Решение считалось достигшим нужной точности, если на текущей итерации для всех расчетных полей модуль разности между новым и старым значением поля в каждом узле становился меньше заданной погрешности. При расчете на каждой «внешней» итерации новых значений температуры, вихря и магнитной индукции, для расчета функции тока из разностного аналога уравнения Пуассона (2) осуществлялся «внутренний» итерационный цикл до достижения заданной степени точности. 
В результате численного решения задачи были получены поля температуры, функции тока, напряженности вихря, магнитной индукции и распределения чисел Нуссельта в сферическом слое.
На рисунках 16 приведены результаты расчетов полей температуры, функции тока, напряженности вихря, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции и распределения чисел Нуссельта. Расчеты проводились для следующих значений безразмерных критериев подобия:

На рисунке 1 приведены результаты расчетов поля температуры. 

а б в г д е ж
Рисунок 1 – Поле температуры: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Для всех режимов теплообмен в слое осуществляется конвекцией. Диапазон изменения температуры для результата рис. 1, а (13,840; 1). Такая же качественная и количественная ситуация сохраняется и для электропроводной жидкости (рис. 1, б). Учет джоулевой диссипации (рис. 1, в) изменяет поле температуры, особенно в экваториальной области. Диапазон изменения температуры (14,620; 1). Учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипацией (рис. 1, г, д), приводит к дальнейшему изменению поля температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 1, г (9,240; 1,537), а для результата рис. 1, д (19,367; 1). Неучет джоулевой диссипации, несмотря на наличие внутренних источников (стоков) тепла (рис. 1, е, ж), изменяет поле температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 1, е (11,367; 1), а для результата рис. 1, ж (17,981; 1).
На рисунке 2 приведены результаты расчетов локальных чисел Нуссельта на внутренней (красная линия) и внешней (зеленая линия) поверхности сферического слоя. 

   
а б в г  
д е ж

Рисунок 2 – Распределение локальных чисел Нуссельта: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Следует отметить, что согласно заданному граничному условию для температуры на внешней границе слоя, распределение локальных чисел Нуссельта совпадает с осредненным и принимает постоянное значение 20 (здесь и далее). Распределения локальных чисел Нуссельта на внутренней границе слоя имеют или максимум (рис. 2, а, б, ж), или минимум (рис. 2, в-е) при значении полярного угла  (экваториальная плоскость). Значение осредненного и диапазон изменения локальных чисел Нуссельта следующие:
37,599; 4,96256,363; 37,599; 4,96256,363; 
29,411; 5,92968,228; 8,028; 3,05032,086; 
50,794; 14,493102,570; 16,198; 1,51943,750; 
59,001; 9,95784,268 соответственно для результатов рис. 2, а-ж.
На рисунке 3 приведены результаты расчетов поля функции тока. Для всех случаев в слое образуются две конвективные ячейки. Для результатов, представленных на рис. 3, а, б, ж, жидкость в северном полушарии слоя движется против часовой стрелки (красный цвет значения функции тока положительные), а в южном – по часовой стрелке (синий цвет значения отрицательные). Максимальное значение функции тока соответственно 5,65; 5,65; 6,77. Учет джоулевой диссипации (рис. 3, в), так же как и учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипации (рис. 3, г, д), изменяет направление циркуляции жидкости в ячейках на противоположное. Максимальное значение функции тока для результатов рис. 3, в-д 5,32; 3,66; 6,62. Неучет джоулевой диссипации, при учете внутренних источников тепла (рис. 3, е), сохраняет направление циркуляции жидкости, а учет внутренних стоков тепла (рис. 3, ж) изменяет направление циркуляции жидкости на противоположное, по сравнению с результатами рис. 3, в-е.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 3 – Поле функции тока: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Максимальное значение функции тока для результата рис. 3, е 4,13.
На рисунке 4 приведены результаты расчетов поля напряженности вихря. В слое (рис. 4) образуются два крупномасштабных вихря. 

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 4 – Поле напряженности вихря: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

В зависимости от режима структура вихрей, хотя и незначительно, но изменяется. Для результатов рис. 4, а, б, ж в северном полушарии жидкость движется против часовой стрелки (значения напряженности вихря положительные), а в южном – по часовой стрелке (значения отрицательные). Максимальная интенсивность вихрей 5,97·10; 5,97·10; 7,50·10 соответственно для результатов рис. 4, а, б, ж. Для результатов, представленных на рис. 4, в-е, направление движения жидкости изменяется на противоположное. Максимальная интенсивность вихрей соответственно 5,94·10; 4,27·10; 7,61·10; 4,63·10.
На рисунке 5 приведены результаты расчетов поля радиальной и меридиональной составляющей магнитной индукции. Радиальная составляющая магнитной индукции (рис. 5, а-е) в северном полушарии принимает отрицательные значения, за исключением небольшой области у внутренней границы слоя, а в южном – положительные, за исключением небольшой области у внутренней поверхности слоя.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 5 – Поле магнитной индукции. Радиальная составляющая: а с учетом магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил, ; ж меридиональная составляющая 

Для результатов рис. 5, а и 5, е в экваториальной части слоя образуются две локальные зоны, в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции изменяют свой знак (с минуса на плюс и с плюса на минус). Меридиональная составляющая магнитной индукции (рис. 5, ж) принимает положительные значения практически во всем слое, за исключением небольшой области у внутренней границы, в которой значения меридиональной составляющей магнитной индукции отрицательные. Оказалось, что качественно и количественно структура поля меридиональной составляющей магнитной индукции практически не изменяется для рассмотренных режимов. Максимальная интенсивность радиальной составляющей  4,00·10^-4; 5,80·10^-4; 5,61·10^-4; 5,94·10^-4; 5,62·10^-4; 3,76·10^-4 соответственно для результатов рис. 5, а-е, а меридиональной 1,00·10^-2.
Представленные выше результаты получены для значения числа Грасгофа  Ниже приведены результаты, позволяющие проследить влияние увеличения интенсивности конвекции на тепловые и гидродинамические процессы в слое. 
На рисунках 610 приведены результаты для  Значения остальных безразмерных критериев подобия не изменялись. 
На рисунке 6 приведены результаты расчетов поля температуры. 

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 6 – Поле температуры: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Перенос энергии в слое для всех режимов осуществляется конвекцией. Структура поля температуры изменяется в зависимости от режима. Диапазон изменения температуры для результата рис. 6, а (7,566; 1). Такая же качественная и количественная ситуация сохраняется и для электропроводной жидкости (рис. 6, б). Учет джоулевой диссипации (рис. 6, в) изменяет поле температуры. Диапазон изменения температуры (8,399; 1). Учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипации (рис. 6, г, д), приводит к дальнейшему изменению поля температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 6, г (5,196; 1,472), а для результата рис. 6, д (11,373; 1). Неучет джоулевой диссипации, несмотря на наличие внутренних источников (стоков) тепла (рис. 6, е, ж), изменяет поле температуры. Диапазон изменения температуры для результата рис. 6, е (4,696; 1), а для результата рис. 6, ж диапазон изменения температуры (12,571; 1).
На рисунке 7 приведены распределения чисел Нуссельта. Распределения локальных чисел Нуссельта на внутренней границе слоя имеют или максимум (рис. 2, а, б, е), или минимум (рис. 2, в-д, ж) при значении полярного угла . 

   
а                                                            б                                                             в                                                           г

  
д                                                          е                                                           ж

Рисунок 7 – Распределение локальных чисел Нуссельта: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Учет джоулевой диссипации, совместно с учетом источников и стоков тепла (рис. 7, в-д), изменяет распределение локальных чисел Нуссельта по сравнению с результатами рис. 7, а, б. Неучет джоулевой диссипации (рис. 7, е, ж) приводит к изменению распределения локальных чисел Нуссельта. Значение осредненного и диапазон изменения локальных чисел Нуссельта следующие:
37,599; 4,48553,542; 37,599; 4,48553,542;
28,950; 7,62263,279; 7,750; 0,89730,684; 
50,174; 16,49594,693; 16,197; 0,38225,214; 
59,004; 20,688106,304 соответственно для результатов рис. 7, а-ж.
На рисунке 8 приведены результаты расчетов поля функции тока. Для всех случаев в слое образуются две конвективные ячейки.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 8 – Поле функции тока: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

Для результатов, представленных на рис. 8, а, б, е, жидкость в северном полушарии слоя движется против часовой стрелки (значения функции тока положительные), а в южном – по часовой стрелке (значения отрицательные). Максимальное значение функции тока соответственно 2,08·10; 2,08·10; 1,63·10. Учет джоулевой диссипации (рис. 8, в), так же как и учет внутренних источников и стоков тепла, совместно с учетом джоулевой диссипации (рис. 8, г, д), изменяет направление циркуляции жидкости в ячейках на противоположное. Максимальное значение функции тока для результатов рис. 8, в-д 1,89·10; 1,40·10; 2,26·10. Неучет джоулевой диссипации, при учете внутренних источников тепла (рис. 8, е), изменяет направление циркуляции жидкости, а учет внутренних стоков тепла (рис. 8, ж) сохраняет направление циркуляции жидкости, по сравнению с результатами рис. 8, в-д. Максимальное значение функции тока для результата рис. 8, ж 2,39·10.
На рисунке 9 приведены результаты расчетов поля напряженности вихря. 

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е                                 ж
Рисунок 9 – Поле напряженности вихря: а без учета магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил,  ж с учетом магнитных сил, 

В слое (рис. 9, а, б, е) образуются два крупномасштабных вихря, в которых жидкость движется против часовой стрелки (значения положительные) в северном полушарии, и по часовой стрелке (отрицательные значения) – в южном. Максимальная интенсивность этих вихрей 2,43·10²; 2,43·10²; 1,64·10² соответственно для результатов рис. 9, а, б, е. Для результатов, представленных на рис. 9, в-д, ж, образуются два среднемасштабных вихря. В северном полушарии жидкость движется по часовой стрелке (значения отрицательные) а в южном – против часовой стрелки (значения положительные). Максимальная интенсивность вихрей составляет величину 2,32·10²; 1,68·10²; 2,96·10²; 3,23·10² соответственно. Неучет джоулевой диссипации при наличии внутренних источников тепла приводит к изменению направления циркуляции жидкости (рис. 9, е). 
На рисунке 10 приведены результаты расчетов поля радиальной составляющей магнитной индукции.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е
Рисунок 10 – Поле радиальной составляющей магнитной индукции: а с учетом магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил, 

Значения радиальной составляющей магнитной индукции (рис. 10) в северном полушарии отрицательные, за исключением небольшой области у внутренней границы слоя, а в южном – положительные, за исключением небольшой области у внутренней границы. Для результатов рис. 10, а, д в экваториальной части слоя образуются две локальные зоны, в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции изменяют свой знак (с минуса на плюс и с плюса на минус). Максимальная интенсивность радиальной составляющей  1,13·10^-3; 9,15·10^-4; 8,58·10^-4; 1,06·10^-3; 8,35·10^-4; 1,12·10^-3 соответственно для результатов рис. 10, а-е.
На рисунке 11 приведены результаты расчетов поля меридиональной составляющей магнитной индукции. Значения меридиональной составляющей (рис. 11) положительные практически во всем слое, за исключением небольшой области у внутренней границы слоя, в котором ее значения отрицательные. В зависимости от режима поле меридиональной составляющей магнитной индукции претерпевает, хотя и незначительные, изменения. Эти изменения происходят в экваториальной плоскости, проявляясь в увеличении зоны отрицательных значений меридиональной составляющей, похожей на треугольник, вершина которого стремится к внешней границе слоя. Максимальная интенсивность меридиональной составляющей не превышает значения 1,00·10^-2.

а                                 б                                 в                                 г                                 д                                 е
Рисунок 11 – Поле меридиональной составляющей магнитной индукции: а с учетом магнитных сил,  б с учетом магнитных сил,  в с учетом магнитных сил,  г с учетом магнитных сил,  д с учетом магнитных сил,  е с учетом магнитных сил, 

Анализ результатов, полученных по предложенной математической модели, позволяет сделать следующие выводы:
для всех режимов в слое образуются две конвективные ячейки и два вихря; 
учет электропроводности жидкости (без учета других факторов) не влияет на теплообмен и гидродинамику жидкости в слое;
учет джоулевой диссипации изменяет направление циркуляции жидкости в ячейках; 
в структуре радиальной составляющей магнитной индукции при: , и  образуются две дополнительные зоны;
интенсификация конвекции в слое влияет на структуру меридиональной составляющей магнитной индукции;
математическая модель и полученные результаты могут быть полезными при исследовании тепловых и гидродинамических процессов в недрах Земли и других планет.

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

Для всех полученных результатов, где каждый рисунок представлен десятью фрагментами, соответствующими режимам их расчета, приняты следующие обозначения:
а(, ГУ-2),
б(, ГУ-2),
в (, ГУ-2),
г (, ГУ-2),
д (, ГУ-2),
е (, ГУ-2),
ж (, ГУ-1),
з (, ГУ-1),
и (, ГУ-1),
к (, ГУ-1). 
Для всех случаев, за исключением результата рис.1, ж, теплообмен в слое осуществляется конвекцией. Диапазоны изменения температуры для результатов рис. 1, а-к составляют соответственно [19,413; 1], [17,316; 1], [12,500; 1], [10,904; 1], [12,505; 1], [12,500; 1], [0; 1], [0; 1], [0; 1], [0; 1]. Для температурных граничных условий типа ГУ-2 учет джоулевой диссипации и уменьшение параметра магнитного взаимодействия  ведет к уменьшению диапазона изменения температуры, 
На рисунке 2 приведены результаты расчетов локальных чисел Нуссельта на внутренней (красная линия) и внешней (зеленая линия) поверхности сферического слоя. 

    
а                                                          б                                                         в                                                       г                                                        д

    
е                                                        ж                                                        з                                                        и                                                         к

Следует отметить, что согласно заданному граничному условию для температуры на внешней границе слоя (ГУ-2, рис. 2, а-е), распределение локальных чисел Нуссельта совпадает с осредненным и принимает постоянное значение 25 (здесь и далее). Распределения локальных чисел Нуссельта на внутренней границе слоя имеют минимум в случае граничных условий типа ГУ-2 (рис. 2, а-е), а в случае граничных условий типа ГУ-1 (за исключением результата рис. 2, ж) максимум (на внешней границе слоя) и минимум (на внутренней границе слоя) (рис. 2, з-к) при значении полярного угла  (экваториальная плоскость). Значение осредненного и диапазон изменения локальных чисел Нуссельта:
57,355; 22,06895,105; 47,389; 17,06882,235; 
57,353; 24,65490,148; 46,124; 18,71076,088; 
57,354; 24,65590,150; 57,354; 24,65590,150; 
соответственно для результатов рис. 2, а-е. И для результатов рис. 2, ж-к:
1,569; 0,684; 
5,689; 2,6137,054; 2,480; 0,0525,074; 
3,213; 1,5043,900; 1,401; 0,0383,182; 
2,884; 0,5105,017; 5,581; 0,1968,790. 
На рисунке 3 приведены результаты расчетов поля функции тока. Для всех случаев в слое образуются две конвективные ячейки. Для температурных граничных условий ГУ-2 и ГУ-1 жидкость в северном полушарии слоя движется по часовой стрелке (синий цвет значения функции тока отрицательные), а в южном против часовой стрелки (красный цвет значения положительные) (рис. 3, а-е, з-к). Исключение составляет результат, полученный в режиме теплопроводности при значении числа Грасгофа (рис. 3, ж). Максимальное значение функции тока соответственно 1,51·10; 1,42·10; 4,91·10; 4,57·10; 4,91·10; 4,91·10; 8,32·10^-6; 4,75·10; 1,04·10; 1,53·10. 

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

На рисунке 4 приведены результаты расчетов поля напряженности вихря. Для всех режимов в слое, за исключением случая, представленного на рис. 4, ж, образуются два крупномасштабных вихря. В зависимости от режима структура вихрей, хотя и незначительно, но изменяется. Для результатов рис. 4, а-е, з-к в северном полушарии жидкость движется по часовой стрелке (синий цвет значения отрицательные), а в южном против часовой стрелки (красный цвет значения положительные). Для температурных граничных условий ГУ-1 форма вихрей отлична от формы вихрей при температурных граничных условий ГУ-2 (рис. 4, ж, и, к).

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

Для результата, представленного на рис. 4, ж, вблизи внутренней границы слоя образуются еще два мелкомасштабных вихря, в которых направление движения жидкости изменяется на противоположное по сравнению с направлением движения жидкости в крупномасштабных вихрях. Максимальная интенсивность вихрей 8,55·10; 7,91·10; 2,96·10²; 2,71·10²; 2,96·10²; 2,96·10²; 4,89·10^-5; 2,88·10²; 6,02·10; 7,62·10 соответственно для результатов рис. 4, а-к. 
На рисунке 5 приведены результаты расчетов поля радиальной составляющей магнитной индукции. 

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

Радиальная составляющая магнитной индукции для всех случаев в северном полушарии принимает отрицательные значения, за исключением небольшой области вблизи внутренней границы слоя, а в южном – положительные, за исключением небольшой области вблизи внутренней поверхности слоя. В экваториальной части слоя у внутренней границы слоя образуются две небольшие области, в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции изменяют знак (с плюса на минус). В зависимости от режима структура вихрей претерпевает, хотя и небольшие, изменения. Максимальное значение радиальной составляющей магнитной индукции в слое  1,23·10^-3; 1,24·10^-3; 2,58·10^-3; 2,52·10^-3; 2,58·10^-3; 2,58·10^-3; 8,55·10^-4; 2,55·10^-3; 1,03·10^-3; 1,13·10^-3соответственно для результатов рис. 5, а-к.
На рисунке 6 приведены результаты расчетов поля меридиональной составляющей магнитной индукции. Меридиональная составляющая магнитной индукции для всех случаев принимает положительные значения практически во всем слое, за исключением области у внутренней границы слоя, в которой значения меридиональной составляющей магнитной индукции отрицательные. В зависимости от режима структура поля меридиональной составляющей магнитной индукции в слое изменяется. Максимальное значение меридиональной составляющей магнитной индукции в слое 1,00·10^-2; 1,00·10^-2; 1,05·10^-2; 1,04·10^-2; 1,05·10^-2; 1,05·10^-2; 1,00·10^-2; 1,07·10^-2; 1,00·10^-2; 1,00·10^-2; соответственно для результатов рис. 5, а-к.

    

а                                б                                в                                г                                д

    

е                                ж                                з                                и                                к

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:
для всех режимов и температурных граничных условий (за исключением случая при ) теплообмен в слое осуществляется конвекцией; 
характер изменения распределений чисел Нуссельта при ГУ-1 и Гу-2 имеет значительные отличия;
при ГУ-2 учет джоулевой диссипации приводит к уменьшению диапазона изменения температуры, значений функции тока и вихря в слое при тех же самых критериях подобия;
для всех режимов и температурных граничных условий в расчетной области образуются две конвективные ячейки и два вихря с одинаковой структурой течения, за исключением случая при . Форма вихрей при ГУ-1 и Гу-2 различна; 
структура радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции зависит от безразмерных критериев подобия и типа граничного условия для температуры;
полученные результаты могут быть применены для моделирования различных условий при изучении тепловых и гидродинамических процессов в сферических слоях, например в жидком ядре Земли.

In article [1] presents an overview of the state of immersion and convective heat transfer problems lithospheric plate in the subduction zone. In spite of a great number of publications dealing with a study of the natural mantle convection, the questions concerning the character, structure and the primary reason for occurrence of the convection remain still open. In fact, the influence of convection on the geometry of plates and, also, differences in the character of convection caused by using the Newtonian and non-Newtonian models of Earth’s mantle, has not been studied yet.
Undoubtedly, solution of these questions will entail great difficulties as at the stage of setting the problems so at the stage of their numerical solution. The above difficulties are caused by non-linearity of the problem, that is, the temperature and pressure dependence, practically, of all parameters of the mantle, lack of information on a lot of rheological parameters, restriction to the stability of the numerical solution due to prevalence of viscosity members over the inertial ones in the Navier-Stokes equations.
The main shortcoming of the above mathematical models is the fact that phases transitions at 670 km depth causing jumps in viscosity and density of the mantle substance which, in the opinion of some researchers, may lead to localization of the convection in the upper mantle, are not taken into account.

2. Formulation of the Problem

The paper considers a 2-D model of the continuous convection of the lithospheric plate close to oceanic trench with regard for the heat of the phase transition. The subduction zone is considered, where lithospheric plate collides with continental, and then on a trough, which axis is located under an angle to the land surface, is immersed in mantle. The depth of immersing of lithospheric plate in mantle is determined as a result of the task decision. Constructing the mathematical model, the following assumptions have been adopted [1]: the lithospheric plate and the underlying mantle are considered as the non-compressible Newtonian liquid with a very high viscosity. The temperature at a boundary between the mantle and the plate is constant and equals to the temperature of solid state T_s. The thermal conductivity , the viscosity of the substance and the heat flux q_v are determined with account of their temperature dependence: 
1. 
Index 1 denotes the lithosphere parameters, 2 – the mantle parameters. The dependence of the density p on the temperature of the medium is assumed to be

2. Border between lithosphere and mantle is isotherm of solid phase with value of temperature Ts.
3. The relative quantity of the solid phase (characterizing melting and crystallization of the substance) contained in the mantle or lithosphere is determined depending on the state of the substance (a solid state with a temperature T_S or a liquid state with a temperature T_L). The relative quantity of the solid phase , depending of temperature, approximates by cubic spline [1]:

At < 0.95 it is assumed that the substance is in the melted (liquid) state, while at > 0.95 – in the solid state. A set of parameters for the lithosphere and the mantle used for the calculations are listed in the Table.
Following the hypothesis propounded in 1960 by H. Hess, the lithospheric plate motions are going on in a rectilinear manner starting from the areas of formation of the plates up to the zones of under thrusting, which allows us to solve the problem in a plane vertical layer. It results from systematic investigations of the island arc and continental margin zones that the depth of subsidence of the under thrusting plate does not exceed 700 km. Therefore, the extent of the area calculated along the Y-axis is assumed to be 1000 km. According to the results obtained, the extent of the calculated area along the X-axis is assumed to be 3000 km.

3. Mathematical Model

Fig. 1 shows physical setting of a problem [1]. The horizontal oceanic plate moves towards the continental plate with a constant velocity U₀, and subsides in the asthenosphere in the trench zone at an angle to the land surface with the same velocity. In turn, the continental plate moves towards the oceanic plate with a velocity U_k. Most often the lithospheric plates are subsiding in the subduction zones at an angle of 45°, though in some sectors of the island arcs the angles of subsidence from 30° to 90° have been marked. Here U_k - velocity of a continental plate, U₀ - velocity of oceanic (lithospheric) plate; index 1 – lithosphere parameters, 2 – mantle parameters; – angle of immersing of oceanic plate; Г1, Г2, Г3 - right, lower and left border of a trench, on which the plate is immersed, accordingly. 

Fig. 1. Physical formulation of the problem

Location of trough, on which the plate is immersed, is considered equal Lx /2. The lower border Г2, up to which the velocity of immersing of a plate is known, is determined on the interval of temperature melting. At achievement of melting temperature (liquid) T_L the lithospheric plate melts and depth of its immersing in mantle is determined.
The mathematical statement of a task describing convection in subduction zone includes the equations of movement of an incompressible liquid in the Boussinesq approximation, continuity and energy with account internal heat sources. The governing dimensionless equations can be written as [1]:

,
,
.

Where
, , , , , , , , , , , , , , . , , ,  Stefan, Reynolds, Grashof and Peclet numbers.
 .

.
, H = [0;1] the dimensionless mantle depth. 

Boundary conditions: 
 = 0 at Y = 1;  = 1 at Y = 0;  at X = 0 and X = Lx/Ly.
 , (k = 1,2,3) at border Г1, Г2, Г3 (fig. 1).
 at border Г1, Г3;  at border Г2.
 at X = [0; (Lx/2Ly - Lp/2Ly)]; Y = 1.
 at X = [(Lx/2Ly - Lp/2Ly); Lx/Ly]; Y = 1.
,  at X = [0; Lx/Ly];  at;  at Y = 0.
 at  (fig. 1). 
 on Г1, Г3 (fig. 1) and inside a trench.
For intensity of a vortex W the boundary conditions were calculated with the use of boundary conditions for stream function. In accounts the non-uniform grid with a condensation in trench region and at the upper boundary of the area (Y = 1) was applied.
Dimensionless local Nusselt numbers on top (Y=1) and bottom (Y=0) to border of calculated area were determined by the expression  (the derivative was calculated on three points with the second order of approximation).
The calculations were performed on a nonuniform grid with concentration nodes in the chute region, day surface and vertical boundaries of the computational domain (fig. 2).

Fig. 2. The computational grid

The values of temperature at upper and lower border are accepted equal T_c = 1400 K, T_h = 2400 K. The extent of area on an axis х is accepted equal 3000 km, and on an axis y – 1000 km. Lithosphere thickness Ln - 100 km. The Temperatures of solid state Ts and liquid state T_L are 1800К and 1900К accordingly. Velocity of movement of a continental plate Uк = 2 сm/year, and velocity of oceanic plate U₀ 1 сm/year. Re=1,0510^-19; Gr= 3,210^-14; Pe = 251; Ste = 3. Gravitational acceleration value g = 9,8 is constant. 
In fig. 1 the results of calculation for velocity of movement oceanic plate 1 сm/year and angle of a feat under continental plate 30^o are submitted. 

In trench region isothermals “bend” to lower boundary of the area. Under oceanic and continental plates two large-scale convective cells are formed, the liquid in which is gone in opposite directions. And besides convective cell and vortex under continental plate flow round immersed lithosphere and penetrate into area of oceanic convective cell and vortex, located to the right of subduction zone, moving them to the right. Immersion depth of the lithosphere reaches about 300 km. The distributions of Nusselt numbers on the upper and lower boundaries of the area are given. At value x ~ 1700 km in the collision region of plates takes place minimum heat flow on the upper border of calculated area that will be agreed with known experimental data [1, 2].
In fig. 2 the results of calculation for velocity of movement oceanic plate 1 сm/year and angle of a feat under continental plate 45^o are submitted.

 

In fig. 3 the results of calculation for velocity of movement oceanic plate 1 сm/year and angle of a feat under continental plate 60^o are submitted.

Comparing the results shown in fig. 1, 2, 3, we can see that the immersion depth of lithospheric plate for Uк = 2 сm/year and U₀ = 1 сm/year is weakly dependent from the angle of immersing of oceanic plate. With increasing angle of immersing the isotherms deflection in the chute region increases (figs. 1, 2, 3).
The intensity of the stream functions as for cell continental and oceanic increases with increasing angle of immersing. For want of it has a place a small decrease in the continental scale cells and a small increase in the scale of the oceanic cell.
The intensity of the vortex as for a continental cell and oceanic cell will increase, with increasing angle of immersing from 30⁰ to 45⁰ (figs. 1, 2). For the angle 60⁰ (fig. 2) the intensity of the vortex as for a continental cell and oceanic cell decreases on a comparison with the results shown in fig. 3. For all modes scale of continental vortex is decreases and scale of oceanic vortex is increases.
The interval of a modification of significance of the Nusselt number on the upper and lower boundary of the computational domain increases with increasing angle. Minimum heat exchange at the upper boundary of the computational domain and a maximum heat exchange at the lower boundary of the computational domain are at the value of x 1700 km.
In fig. 4 the structure of current of a liquid in a subduction zone for various angle values of subsidence of lithosphere is given. Velocity of movement of a continental plate U_k = 2 сm/year.

Analyzing the results of modeling we can make the following conclusion:
- with the increasing angle of immersing deflection of isotherms in the chute region is increased;
- with the increasing angle of immersing the intensity of a stream function is increased. Scale of a continental cell decreases, and oceanic – increases; 
- the intensity of vortex increases with increasing angle of immersing from 30⁰ to 45⁰, and for angle of immersing 60⁰ decreases on a comparison with results for angle 45⁰. For all modes scale of a continental vortex decreases, and oceanic – is increased;
- with the increasing of immersing angle the values ​​of the Nusselt numbers will increase;
- the received decisions as it is qualitative, and will quantitatively be agreed on depth of immersing of a plate in a mantle and under the law of change of a heat flow on a surface of the Earth with known experimental and theoretical results of other authors.Thus, suggested the mathematical model and the results obtained contribute to the available information on investigation of convection in the Earth’s interior and may be of use for better understanding and explanation of such phenomena as subduction, lithospheric plate motion and heat flow change at Earth’s surface.

 (1)

 (2)
   (3)

Задача (1)-(3) решалась в переменных вихрь () функция тока () температура (). Математическая постановка задачи в безразмерной форме в сферической системе координат с учетом симметрии по долготе имеет вид [1]:

 (4)

При проведении вычислительного эксперимента для температуры задавались граничные условия первого рода: значения температуры на внутренней Г₁ (r = 1) и внешней Г₂ (r = r₂) поверхности сфер (внутренняя сфера более нагрета) .
Граничное условие для температуры на оси симметрии: .
Постоянная величина J, входящая в уравнение энергии (6), в зависимости от типа граничных условий для температуры принимает различные значения. Для граничных условий первого рода величина J определяется из выражения

_.

Граничные условия для функции тока, напряженности вихря и магнитной индукции имели следующий вид:

; ;
.

Граничные условия для вихря на границах сферического слоя предполагают линейное изменение его по нормали [2].
Локальные числа Нуссельта на границе внутренней и наружной сферы рассчитывались по формулам:

Осредненные числа Нуссельта вычислялись из соотношений:

 

Численное решение задачи осуществлялось с помощью метода конечных элементов. Алгоритм решения задачи представлен в [3]. В результате численного решения задачи были получены поля температуры, функции тока, напряженности вихря, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции и распределения локальных чисел Нуссельта на внутренней и внешней поверхностях сферического слоя. 
На рисунках 14 приведены стационарные результаты расчетов для следующих значений безразмерных критериев подобия:
На рисунке 1 (I без учета теплоты джоулевой диссипации; II с учетом теплоты джоулевой диссипации) приведены результаты расчетов для числа Прандтля Pr=0,1. 

При не учете теплоты джоулевой диссипации (рис. 1, I) теплообмен в слое осуществляется практически теплопроводностью. Значения локальных чисел Нуссельта (рис. 1, I, е; на внутренней поверхности слоя кривая красного цвета, на внешней зеленого) практически не отличаются от осредненных. Интенсивность теплообмена на внутренней поверхности слоя выше, чем на внешней. В слое образуются две конвективные ячейки (рис. 1, I, б) и четыре вихря (рис. 1, I, в).
В конвективной ячейке северного полушария жидкость движется против часовой стрелки (красный цвет, значения положительные), а южного – по часовой (синий цвет, значения отрицательные). Вихревая структура течения представлена двумя крупномасштабными вихрями вблизи внешней границы слоя и двумя мелкомасштабными вихрями вблизи внутренней границы слоя. Направления движения жидкости в крупномасштабных и мелкомасштабных вихрях противоположные. Значения радиальной составляющей магнитной индукции (рис. 1, I, г) в северном полушарии отрицательные, за исключением небольшой области у внутренней поверхности слоя (где они положительные), а в южном – положительные, за исключением небольшой области у внутренней поверхности слоя (где они отрицательные). Значения меридиональной составляющей магнитной индукции (рис. 1, I, д) положительные у внешней поверхности слоя и отрицательные у внутренней.
Учет теплоты джоулевой диссипации (рис. 1, II) приводит к значительным изменениям лишь поля температуры и распределения локальных чисел Нуссельта по сравнению с результатами, приведенными рис. 1, I. Структура течения жидкости и поле магнитной индукции практически не изменяются и поэтому не приводятся (оказалось, что такая тенденция имеет место и для других рассмотренных значений числа Прандтля Pr=1; 5; 50; 100). Механизм теплообмена в слое изменяется с кондуктивного на конвективный. Интенсивность теплообмена на внешней поверхности слоя выше, чем на внутренней. На внешней поверхности слоя значения локальных чисел Нуссельта положительные, а на внутренней отрицательные.
На рисунке 2 приведены результаты расчетов для числа Прандтля Pr=1. 
При не учете теплоты джоулевой диссипации (рис. 2, I) теплообмен в слое уже осуществляется конвекцией (рис. 2, I, а) по сравнению с результатом, приведенным на рис. 1, I, а. Интенсивность теплообмена на внутренней поверхности слоя выше, чем на внешней. 
Учет теплоты джоулевой диссипации (рис. 2, II) изменяет поле температуры (рис. 2, II, а), а интенсивность теплообмена на границах сферического слоя (рис. 2, II, е) изменяется на противоположную по сравнению с результатом рис. 2, I, е.

Интенсивность теплообмена на внешней поверхности слоя выше, чем на внутренней. На внешней поверхности слоя значения локальных чисел Нуссельта положительные, а на внутренней отрицательные (рис. 2, II, е).
Структура течения жидкости и поле магнитной индукции практически не изменяются по сравнению с результатами, представленными на рис. 1, I, б, в, г, д.
На рисунке 3 приведены результаты расчетов для числа Прандтля Pr=5. 
Увеличение числа Прандтля приводит к дальнейшему изменению поля температуры и распределения чисел Нуссельта.

Как без учета теплоты джоулевой диссипации (рис. 3, I), так и с учетом (рис. 3, II) теплообмен в слое осуществляется конвекцией. Характер поведения локальных чисел Нуссельта качественно изменяется незначительно, но при не учете теплоты джоулевой диссипации (рис. 3, I, е) имеет место равенство значений локальных чисел Нуссельта на внутренней и внешней поверхностях в точках их пересечений.
Структура течения жидкости и поле магнитной индукции практически не изменяются.
На рисунке 4 приведены результаты расчетов для числа Прандтля Pr=50. 
Увеличение числа Прандтля приводит к дальнейшему значительному изменению поля температуры и распределения локальных чисел Нуссельта. 
Как учет теплоты джоулевой диссипации, так и не учет ее (рис. 4, I и 4, II) значительно изменяет поле температуры и распределение локальных чисел Нуссельта при сравнении с предыдущими результатами. Особенно заметное изменение имеет место как для поля температуры (рис. 4, II, а), так и для распределения числа Нуссельта на внешней поверхности слоя (рис. 4, II, е) при учете теплоты джоулевой диссипации.

Структура течения жидкости и поле магнитной индукции практически не изменяются.
Оказалось, что увеличение числа Прандтля до 100 не приводит к изменению поля температуры, распределения локальных чисел Нуссельта, структуры течения жидкости и поля магнитной индукции.
Из анализа полученных результатов можно сделать следующие выводы:
при отсутствии гравитационного поля для всех рассмотренных режимов структура течения жидкости и поле магнитной индукции в сферическом слое сохраняются; 
учет теплоты джоулевой диссипации оказывает значительное влияние на температурное поле жидкости в слое и распределение локальных чисел Нуссельта;
математическая модель и полученные результаты могут быть полезными при исследовании тепловых и магнитогидродинамических процессов в замкнутых объемах в условиях невесомости.

На рисунках 1-4 приведены некоторые стационарные результаты для следующих значений безразмерных критериев подобия:

На рисунке 1 (I - без учета теплоты джоулевой диссипации; II - с учетом теплоты джоулевой диссипации) приведены результаты расчетов для числа Прандтля Pr=0,1.

При не учете теплоты джоулевой диссипации (рис. 1, I) в слое зарождается конвективный теплообмен. Значения локальных чисел Нуссельта (рис. 1, I, е; на внутренней поверхности слоя - кривая красного цвета, на внешней - зеленого) имеют максимум и минимум соответственно на внутренней и внешней поверхности слоя. Интенсивность теплообмена на внутренней поверхности слоя выше, чем на внешней. В слое образуются две конвективные ячейки (рис. 1, I, б) и четыре вихря (рис. 1, I, в). В конвективной ячейке северного полушария жидкость движется против часовой стрелки (красный цвет, значения положительные), а южного – по часовой (синий цвет, значения отрицательные). Вихревая структура течения представлена двумя крупномасштабными вихрями вблизи внешней границы слоя и двумя мелкомасштабными вихрями вблизи внутренней границы слоя. В крупномасштабном вихре северного полушария жидкость движется против часовой стрелки, а южного – по часовой. Направления движения жидкости в крупномасштабных и мелкомасштабных вихрях противоположные. Значения радиальной составляющей магнитной индукции (рис. 1, I, г) в северном полушарии отрицательные, за исключением небольшой области у внутренней поверхности слоя, а в южном – положительные, за исключением небольшой области у внутренней поверхности слоя. Значения меридиональной составляющей магнитной индукции (рис. 1, I, д) положительные у внешней поверхности слоя и отрицательные у внутренней.

Рисунок 1 – Результаты расчетов поля температуры (а), функции тока (б), напряженности вихря (в), радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции (г, д), распределение локальных чисел Нуссельта (е)

Учет теплоты джоулевой диссипации (рис. 1, II) приводит к значительным изменениям лишь поля температуры и распределения локальных чисел Нуссельта по сравнению с результатами, приведенными рис. 1, I. Структура течения жидкости и поле магнитной индукции практически не изменяются и поэтому не приводятся. Оказалось, что и для других рассмотренных в работе значений чисел Прандтля структура течения жидкости в сферическом слое не изменяется, так как при отсутствии сил гравитации в уравнении движения жидкости отсутствует число Грасгофа (ответственное за силы гравитации) и поле скорости не зависит от поля температуры.

В слое имеет место развитая конвекция. Поле температуры по форме похоже на каверну. Интенсивность теплообмена на внешней поверхности слоя выше, чем на внутренней. На внешней поверхности слоя значения локальных чисел Нуссельта положительные, а на внутренней - отрицательные.

На рисунке 2 приведены результаты расчетов для числа Прандтля Pr=1.

При не учете теплоты джоулевой диссипации (рис. 2, I) в слое развитая конвекция (рис. 2, I, а) в отличие от результата, приведенного на рис. 1, I, а. Основное изменение температуры происходит в области полюсов и в тонком слое вблизи внутренней поверхности в области экватора. Интенсивность теплообмена на внутренней поверхности слоя выше, чем на внешней.

Учет теплоты джоулевой диссипации (рис. 2, II) изменяет поле температуры (рис. 2, II, а), а интенсивность теплообмена на границах сферического слоя (рис. 2, II, е) изменяется на противоположную по сравнению с результатом рис. 2, I, е. Интенсивность теплообмена на внешней поверхности слоя выше, чем на внутренней. На внешней поверхности слоя значения локальных чисел Нуссельта положительные, а на внутренней - отрицательные (рис. 2, II, е).

Рисунок 2 – Поле температуры (а), распределение локальных чисел Нуссельта (е)

На рисунке 3 приведены результаты расчетов для числа Прандтля Pr=5.

Рисунок 3 – Поле температуры (а), распределение локальных чисел Нуссельта (е)

Увеличение числа Прандтля приводит к дальнейшему изменению поля температуры и распределения чисел Нуссельта.

Как без учета теплоты джоулевой диссипации (рис. 3, I), так и с учетом ее (рис. 3, II) теплообмен в слое осуществляется конвекцией. Распределение локальных чисел Нуссельта (рис. 3, II, е) претерпевает значительное изменение.

Из анализа полученных результатов можно сделать следующие выводы:

• при отсутствии гравитационного поля для всех рассмотренных режимов структура течения жидкости и поле магнитной индукции в сферическом слое сохраняются;
• учет теплоты джоулевой диссипации оказывает значительное влияние на температурное поле жидкости в слое и распределение локальных чисел Нуссельта;
• математическая модель и полученные результаты могут быть полезными при исследовании тепловых и магнитогидродинамических процессов в замкнутых объемах в условиях невесомости.