Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » Шорин Владимир Алексеевич

Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс

Шорин Владимир Алексеевич — Tue, 18 Apr 2017 14:07:33 +0000

Введение
Динамика гетерогенных структур с фазовыми переходами на границах играет важную роль в природных и искусственных системах [1].
Например, каждую зиму в г.Москве от сорвавшихся с крыш снеголедовых масс и сосулек страдает более 50 человек и до 300 автомобилей.
Самолеты, вертолеты, морские суда, портовые сооружения, нефтегазовые, космические объекты и др. подвержены обледенению. Эти процессы чреваты серьезными финансовыми потерями, гибелью людей.
Математическое моделирование динамики гетерогенных структур снеголедовых масс является актуальной задачей.
1. Фундаментальная модель нестационарного теплообмена
Модель описывается в рамках двухмерного нестационарного уравнения теплопроводности, граничные условия задают конвективный теплообмен с окружающей средой.
Рассматривается бесконечная структура прямоугольного сечения, составленная из разнородных материалов. Материалы различаются теплофизическими свойствами: теплопроводностью , удельной теплоемкостью С, коэффициентом теплообмена с окружающей средой . На верхних и нижней гранях происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой . Две другие грани теплоизолированы.
В начальный момент времени структура нагрета до температуры . Задача состоит в нахождении поля температур .
В математическом отношении задача сводится к решению нестационарного уравнения теплопроводности в двухмерной области G c соответствующими краевыми и начальными условиями:
;
;
, , , .
Здесь  тепловой поток;  – коэффициент теплопроводности,  – удельная теплоемкость;  – температура в момент . Решение  ищется в цилиндре , основанием которого является прямоугольник G с границей дG.
2. Конечно-разностная модель гетероструктуры
Задача решается методом конечных разностей, в G вводится пространственная сетка

и сетка по времени
.
Здесь  – переменные шаги сетки по пространству в направлениях Х и Y и по времени, соответственно.
Задача решается на сетке , вводится сеточная функция температуры , определенная на . Разностная схема во внутренней области G записывается на крестообразном шаблоне с центром в узле
На сетке  рассматривается ячейка с центром в узле  и вершинами в полуцелых узлах, то есть образованными пересечением прямых, проходящих через середины отрезков, соединяющих узлы шаблона, параллельно направлениям X и Y. Размеры ячейки по этим направлениям:

Площадь ячейки , разностные производные определяются

Здесь введены безиндексные обозначения для размеров ячейки и производных Вводятся также безиндексные обозначения для потоков через грани ячейки:

В соответствии с интегро-интерполяционным методом построения разностных схем уравнение теплового баланса для ячейки имеет вид:
(2)
Здесь использовано обозначение , .
Узлам, лежащим на границе дG, будут соответствовать шаблоны и ячейки несколько иного вида. Если дополнить шаблон в этих точках фиктивными узлами, то уравнение баланса в них запишется так же, требуется только положить нулевым соответствующие фиктивные шаги. В общем случае размеры ячейки будут:
(3)
где , .
Потоки через пограничные грани ячейки определяются в случае граничного узла из краевых условий исходной задачи:

Разностная схема на сетке :
, (4)
где

Таким образом, на каждом временном слое  получена нелинейная система алгебраических уравнений (4), в которую решение подобной системы на предыдущем слое входит как неизвестная функция. На нулевом слое задано начальное распределение:
.
3. Модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов.
Для организации внешнего интеграционного процесса вводится вектор-функция  и операторы , определенные равенствами:
, тогда система (4) запишется так:
. (5)
Для решения ее используется линейно-квадратический процесс. Система (5) переписывается в виде:
(здесь  – значение функции на верхнем временном слое), применяется линейно-квадратичный итерационный процесс:
.
Верхним индексом помечается номер итерации. Здесь  и  линейные операторы
,
где например,

.
Внутренний итерационный процесс организуется следующим образом. На каждой итерации внешнего процесса линейная система разностных уравнений записывается без индексов внешней итерации, вводится диагональный оператор D так, что , и в операторном виде система имеет вид:
.
Для приближения решения этого оператора уравнения применяется двухслойная итерационная схема с чебышевским упорядоченным набором параметров
.
Здесь  – упорядоченный чебышевский набор параметров. В пространственной сеточной функции  в смысле некоторого скалярного произведения удовлетворяются условия самосопряженности, положительной определенности и ограниченности оператора
,
,
,
,
гарантирующие сходимость внутреннего итерационного процесса.
Границы спектра  и  оператора  эффективно оцениваются по теории Гершгорина.
4. Импульс градиента температур
Конкретные исследования по описанию алгоритму проведены для следующих значений параметров линейной задачи:

где
Температурное поле и характер его изменения во времени имеют общий для всех вариантов расчета характерный вид. Температура металла практически постоянна по объему, и при переходе из стали в наледь поверхности теплообмена со средой круто падает, то есть в точках наледи, лежащих на его поверхности по границе с металлом, возникает значительный градиент температуры, направленный вдоль поверхности наледи. Кривая зависимости градиента температуры в угловой точке от времени имеют характерную форму, близкую к форме импульса. Близость кривой к импульсной форме определяется величинами  и .
При уменьшении и  импульс сглаживается. Такая зависимость от  и  сохраняется при всех исследованных отношениях , причем от  острота и амплитуда импульса зависят существенно сильнее, чем от , отношение  слабо влияют на форму зависимости и определяет преимущественно амплитуду импульса.
Градиент температуры в угловой точке достигает своего максимального значения примерно в одно и то же время (около одной секунды с начала остывания) при различных значениях из исследованных интервалов. Крутизна фронта пропорциональна его амплитуде и растет с увеличением как  и , так и с увеличением отношения . В то же время крутизна спада слабо зависит от отношения  и определяется главным образом значениями  и .
Полученные результаты позволяют объяснить предпочтения в выборе материала кровли.
5. Модель процесса замерзания жидкого слоя
Математическое моделирование нестационарных тепловых полей состоит в решении нестационарного уравнения теплопроводности в двумерной области G с соответствующими граничными и начальными условиями:
(6)
Особенностью рассматриваемой задачи является необходимость учета фазового перехода из жидкого в твердое состояние.
Для сквозного счета таких задач без явного выделения фронта затвердевания нужно учесть, что при температуре фазового перехода энергия Е, как функция температуры, испытывает переход величины , который называется теплотой фазового перехода, поэтому для энергии справедливо:
, где

Это выражение подставляется в уравнение энергии:
, и учитывая что
есть дельта-функция Дирака, получается уравнение:
, справедливое и в области фазового перехода. Выражение  и  входят в уравнение одинаковым образом, причем  представляет собой сосредоточенную теплоемкость на поверхности .
Для перехода к разностной схеме заменяется дельта-функция приближенно – образной или размазанной функцией , где – величина полуинтервала, на котором функция отлична от нуля.
Таким образом, вводится сглаженная или эффективная теплоемкость , которая удовлетворяет условию  вне интервала .
Изменение энтальпии на интервале  сокращается, т.е.
.
На интервале можно, например, взять , что будет соответствовать интерполяции – функции с помощью прямоугольного импульса. На том же интервале производится сглаживание коэффициента теплопроводности . Вводится сглаженный, или, эффективный коэффициент , совпадающий с  при  и с  при .
Например, если задавалось

То можно взять

В результате получается задача для уравнения теплопроводности со сглаженными коэффициентами:
,
.
Моделирование процессов затвердевания границ льда и основы позволяют выбрать композитные тонкие слои по границам гетероструктур [1].

Выводы
1. Рассмотрена фундаментальная модель процесса теплообмена в гетероструктуре в форме нестационарного уравнения теплопроводности.
2. Описана конечно-разностная модель гетероструктур с введением пространственной сетки и применением интегро-интерполяционного метода построения разностных схем.
3. Предложена эффективная модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов с применением двухслойной итерационной схемы с чебышевским упорядоченным набором параметров.
4. Модель процесса замерзания жидкого слоя наледи построена без явного выделения фронта затвердевания с учетом теплоты фазового перехода.
5. Проведены системные исследования тепловых процессов в гетероструктурах, установлены закономерности протекания нестационарных процессов.
Заключение
1. Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс с фазовыми переходами на границах позволили установить новые закономерности нестационарных процессов обледенения наиболее распространенных в технике гетероструктур.
2. Использование установленных закономерностей в практике проектирования гетероструктур представляет новые возможности в получении более безопасных конструкций.
3. Наиболее распространенные гетероструктуры крыш зданий и сооружений целесообразно устраивать с разными коэффициентами трения точечно по всей крыше и узкой (около 1 %), полосе гидрофобного композита по краям крыш для снижения размера сосулек до безопасного. В качестве тонкослойных композитов для разных материалов крыш разработаны и испытаны эффективные, весьма долговечные и недорогие составы, а также технологии их нанесения с учетом конкретных условий применения.

Свободное колебание частиц меди во впадине шероховатой поверхности при отсутствии смазки и в вязкой среде. Оптимальное решение колебаний

Шорин Владимир Алексеевич — Thu, 12 Oct 2017 10:18:27 +0000

Металлоплакирующие смазки, реализующие эффект избирательного переноса широко используются в текстильном технологическом оборудовании. Данный тип смазок получают путем введения в смазочные материалы порошка или соединений низкомодульных металлов, которые в процессе трения осаждаются на рабочие поверхности, образуя плакирующий слой.
В связи с этим, решение задачи о свободном колебании частиц меди во впадине шероховатой поверхности при отсутствии смазки и в вязкой среде очень важно при моделировании и создании металлоплакирующих смазок.
Представим частицу меди в виде шара, а впадину микронеровности имеющей сферический вид. Определим частоты колебания шарика на внутренней поверхности шарового сегмента.
1. Рассмотрим колебания шарика, катящегося по внутренней поверхности шарового сегмента, причем F_тр= 0. Эта задача аналогична задаче свободного колебания частиц из антифрикционного металла во впадине шероховатой поверхности, смоделированной как шаровой сегмент при отсутствии смазки (рисунок 1).

Рисунок 1. Шарик, катящийся по внутренней поверхности шарового сегмента

Будем рассматривать колебания относительно мгновенной оси О. На шарик действует сила тяжести Р, момент которой равен  (ограничимся углами, для которых , в радианах) Припишем углу направление по правилу правого винта, т.е. навстречу моменту силы.
Уравнение колебаний получим из основного уравнения динамики вращательного движения [1]:  – 2-ой закон Ньютона для вращательного движения, где J – момент инерции масс.
; ; . (1)
;
(2)
По теореме Гьюгенса–Штейнера находим
, (3)
тогда
;
Обозначим величину  через .
Частоту собственных колебаний находим, решив уравнение:
(4)
;
, (5)
где ₀ – круговая частота или частота собственных колебаний

2. Для вязкой среды из уравнения (5) получим
, (6)
где  момент силы трения относительно оси, проходящей через точку О.
, где  − сила вязкого сопротивления, которая должна быть приложена в центре масс шарика и равна . Тогда
. (7)
, (8)
где – сопротивление среды по Стоксу. (9)
; .
, (10)
.
Выразим величину  из (10) через n – коэффициент демпфирования.
Найдем частоту затухающих колебаний, решая дифференциальное уравнение вида
, получаем .
Для нашего случая ,
где d – диаметр шарика; _d – динамическая вязкость среды; m – масса шарика.
Произведем расчет свободных колебаний шарика для поверхностей с различным показателем Rz. , выбираем из условия, что , где Rz – высота микронеровностей по десяти точкам согласно ГОСТ 2789 (таблица 1).

Таблица 1. Свободные колебания шарика для поверхностей с различными показателями Rz

№ п/п	Rz•10^-6 м	R•10^-6 м	_ω0•10³ Гц
1	6,3	3	1,528
2	3,2	1,5	2,161
3	1,6	0,7	3,164
4	0,8	0,35	4,474

Расчет частоты затухающих колебаний медного шарика в вязкой среде (пластичная смазка ЦИАТИМ-201) [2] (таблица 2).
Имеем . Покажем, что для случая n² .
Выше было получено , где – диаметр медного шарика (зависит от величины шероховатости); – динамическая вязкость пластичной смазки ЦИАТИМ-201.
= 1000 кг•с/м² при t = 0 ^oC; m масса медного шарика.
, где – плотность меди, кг/м³, V – объем; .
Тогда .
.
.

Таблица 2. Частоты затухающих колебаний медного шарика в вязкой среде с различными показателями Rz

№ п/п	Rz•10^-6 м	n²•10²² Гц²	Гц²
1	6,3	0,074	2,33
2	3,2	0,64	4,67
3	1,6	13,5	10
4	0,8	216	20

Из того, что n² можно сделать вывод, что колебания медного шарика в вязкой среде апериодичны при данных условиях.
В зависимости от ₀ подбираем вязкость среды, чтобы уменьшить износ, трение и шум.
Оптимальное решение колебаний.
1. Задача состоит в том, чтобы систему привести от заданных начальных условий и до положения равновесия ; . При ограниченном силовом управлении идеальный закон для линейной колебательной системы имеет вид
, где – параметр граничных условий.
Фазовый портрет движения системы показан на рисунке 2.

Рисунок 2. Фазовые портреты движения линейной колебательной системы при идеальном управлении силой гашения колебаний (Т_min) для двух разных точек 1 и 2

; .
2. Пусть при движении системы из начального состояния ; в конечное в фазовой плоскости можно управлять только одним импульсом S (рисунок 3) .

Рисунок 3. Фазовый портрет линейной колебательной системы ударным импульсом при гашении колебаний

Критерий – максимальная средняя мощность гашения.
, где Э – энергия.
Если , то ; ; .
При 0; , а место приложения импульса (, ₁, ) определяется решением системы
.

.
3. Задача предыдущая, только критерием является максимальная поглощающая энергия .
При решение совпадает с предыдущим, а при ; ; .
Колебательной системой в нашем случае является вся исследуемая машина, т.е. в колебательную систему входят: частицы порошка наполнителя, масляная основа смазки и узлы трения с крутильными колебаниями, которых, например, в крутильной машине до 7000 штук, а в пневмопрядильных машинах параллельно в технологическом процессе участвуют 240 прядильных блоков. Это называется функциональной избыточностью, что является характерной особенностью текстильного оборудования. Вся колебательная система находится под действием вибраций.
Выводы. Из решения вышеуказанных задач можно сделать предположение, что большое множество частиц меди под действием вибраций начинают сами колебаться относительно системы, тем самым, создавая мельчайшие ударные импульсы, которые в совокупности уменьшают амплитуду и частоту колебаний всей системы.
Из вышесказанного следует, что колебания частицы наполнителя апериодичны. А колебания в узле трения наблюдаются с явно выраженным периодом, т.е. они периодичны. Следовательно, эти мельчайшие импульсы частиц меди по фазе не будут совпадать с колебаниями узла, а напротив, будут в противофазе и уменьшать амплитуду и частоту колебаний.
Если удается уменьшить параметры вибрации на 15…20 %, то это дает колоссальный экономический эффект.

Исследование надежности маложестких валов машин с учетом динамических нагрузок в соединении

Шорин Владимир Алексеевич — Wed, 23 May 2018 09:51:06 +0000

Маложесткие валы – ответственные элементы технологического оборудования, определяющие эффективность его эксплуатации. На основе изучения конструкций технологического оборудования текстильной отрасли машиностроения выявлен большой класс маложестких деталей широкой номенклатуры типа “вал”: валы сплошные и полые, шпиндели, валы оригинальной конструкции прядильного оборудования (вытяжные цилиндры, мотальные, плющильные валы и др.). Их количество на одну прядильную машину составляет до 170 единиц. Опыт эксплуатации и анализ отказов технологического оборудования прядильных производств показывает, что до 30 % отказов по количеству и до 60 % по времени простоя приходится на маложесткие валы [1, 2]. Замена вышедших из строя маложестких валов связана с демонтажем валов, а также сопрягаемых узлов и деталей, с полной или частичной потерей работоспособности оборудования. Наибольшее число отказов машин при этом связано с поломками узла валов малой жесткости, в частности в зоне их соединения. Обеспечение работоспособности валов малой жесткости представляет собой весьма актуальную задачу, особенно в условиях массового производства технологического оборудования.
Максимально возможные величины нагрузок в соединении соответствуют режимам пуска и останова машин, и определяют характер крутильных деформаций элементов соединения. Для анализа надежности работы соединения проведено исследование напряжений, возникающих в наиболее податливых элементах соединения камеры 1 и стержня (хвостовик) 2 (рисунок 1).

Рисунок 1. Кинематическая схема привода маложестких валов

Исследования выполнены на основе расчетной схемы в виде двухмассной модели (рисунок 2).

Рисунок 2. Расчетная динамическая модель узла ВМЖ

Модель получена последовательным приведением инерционных J_i и упругих е_i (рисунок 3) параметров реальной кинематической цепи (рисунок 1) с сохранением значений потенциальной и кинетической энергий [2].

Рисунок 3. Эквивалентная схема замещения

Рассматриваемая модель обладает двумя степенями свободы и для ее исследования используем уравнения Лагранжа II рода

Кинетическая и потенциальная энергии системы определятся так

.
Беря соответствующие производные и используя уравнения Лагранжа, получим следующую систему дифференциальных уравнений

, (1)
где М_дв – момент двигателя, Н∙м; и – моменты сопротивления, Н∙м.
Определим собственные частоты и формы колебаний, которые, как известно, не зависят от внешних факторов, поэтому систему уравнений (1) рассматриваем однородной, т.е.

(2)
Решение полученной системы находим в форме

Подставляя это решение во (2) получим

(3)

Система не будет иметь нулевого решения (при нулевом решении , что соответствует ее равновесию) в том случае, когда ее определитель равен 0.

Раскрывая его, получаем характеристическое уравнение, из которого определяем собственные частоты
; 4376 рад/с = 696, 82 Гц.
Период свободных колебаний Т_с= 1,435∙10^-3 с.
Поскольку время изменения пускового и тормозного моментов (М_п, М_т), согласно исследованиям [3] составляет 0,30,4 с то исследуемая двухмассная модель может быть отнесена к числу высокочастотных.
Нулевому корню соответствует равномерное вращение системы как жесткого механизма. Корню ₁ соответствуют гармонические колебания масс с моментами инерции и , сопровождающиеся деформацией упругого элемента. При определенных частотах система уравнений будет тождеством, то есть имеет множество решений, поэтому определитель этой системы позволяет найти отношение амплитуд (формы колебаний).
При = ₀= 0 .
При = ₁.
Отрицательное отношение означает, что при свободных колебаниях с частотой ₁ массы и колеблются в противофазах. Общее решение системы (2) будет описываться уравнениями

То есть крутильная деформация в зоне соединения будет оцениваться углом поворота сечения I-I (рисунок 1), который определяется так

.
Тогда скручивающий момент, воспринимаемый соединением () будет равен

Значение моментов (и ) были рассчитаны по известным формулам [3] для окружных скоростей маложестких валов 220 и 410 м/мин при пуске и торможении.
Установлено, что максимальное значение момента в соединении соответствует окружной скорости 220 м/мин и составляет 5,33 Н∙м.
Графики изменения скручивающих моментов изображены на рисунке 4.

1 – при скорости 3,7 м/с; 2 – при скорости 6,8 м/с
Рисунок 4 – Графики изменения момента в соединении ВМЖ

Кривые показывают, что амплитудные значения момента уменьшаются при увеличении скорости по зависимости, близкой к параболической. Цикл изменения момента соответствует собственной частоте крутильных колебаний. За время торможения машины (без учета демпфирования) соединение воспринимает до 200 крутильных колебаний. В данных условиях касательные напряжения в соединении превышают допустимые значения.
С учетом циклического характера нагрузки был определен требуемый коэффициент запаса прочности n ≈ 10 и допустимое значение касательного напряжения [] =2,07∙10⁵ МПа.
Вывод. Для определения конструктивных параметров соединения маложестких валов на стадии проектирования целесообразно определение динамических усилий и колебаний, возникающих в соединении. Исследования крутильных колебаний в первом приближении может быть выполнено с использованием двухмассной расчетной модели.