Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » Галаев Сергей Васильевич

О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью

Галаев Сергей Васильевич — Fri, 17 Apr 2015 13:12:42 +0000

Э. Картан (см. [1-3]) первым рассмотрел линейную метрическую связность с кручением вместо связности Леви-Чивиты. Наибольшим интересом среди метрических связностей с кручением пользуется полусимметрическая связность, систематическое исследование которой проведено К. Яно в работе [4]. Четверть-симметрическая связность определена в 1975 г. С. Голабом [5]. Большое количество работ посвящено как метрическим, так и не метрическим связностям с кручением, заданным на многообразиях с почти контактной метрической структурой. Мы остановимся здесь лишь на работе Бежанку [6]. Бежанку определяет связность на многообразии Сасаки с помощью формулы . В адаптированных координатах [7-9] отличными от нуля компонентами связности являются ). Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической в более общем случае почти контактной метрической структурой, чем структура Сасаки. Действительно, так как , то метричность связности Бежанку эквивалентна почти K-контактности [10] почти контактной метрической структуры. Определим на многообразии с почти контактной метрической структурой связность с помощью равенства , где N – произвольный эндоморфизм. Назовем введенную связность N-связностью. Отличными от нуля компонентами N-связности, самое большее, будут ), =. Кручение N-связности определяется равенством.
Имеют место следующие теоремы:
Теорема 1. Тензор кривизны N-связности определяется следующими равенствами.

где

Теорема 2. Существует метрическая N-связность, однозначно определяемая следующими условиями:
1. (свойство метричности),
2. - - p[, ]= (отсутствие кручения),
3. N – симметрический оператор такой, что

, (1)

где - сечения распределения D, : - проектор.
Доказательство. Первые два условия теоремы однозначно определяют внутреннюю метрическую связность [7]. Альтернируя вторую ковариантную производную, получаем: .
Сравнивая полученный результат с (1), находим явное выражение для эндоморфизма N:
, что и доказывает теорему.
Теорема 3. [10] Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: =; =- ; ==-; =0; =0, где ).
Используя результаты теорем 2,3, получаем равенства, фиксирующие отношения между связностью Леви-Чивиты и N- связностью:

,
=.

О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве

Галаев Сергей Васильевич — Fri, 22 May 2015 12:25:56 +0000

Изучение геометрии касательных расслоений начинается с основополагающей работы [1] Сасаки, опубликованной в 1958 году. Сасаки, используя риманову метрику g, заданную на гладком многообразии X, определяет риманову метрику G на касательном расслоении TX многообразия X. Конструкция Сасаки основана на естественном расщеплении (имеющему место благодаря существованием на римановом многообразии связности Леви-Чивиты) касательного расслоения TTX многообразия TX в прямую сумму вертикального и горизонтального распределений, слои которых изоморфны слоям расслоения TX. Нечетным аналогом касательного расслоения является распределение D почти контактной метрической структуры (, , , g). Также как и расслоение TTX, касательное расслоение TD, благодаря заданию связности над распределением [2] (а затем, и N-продолженной связности – связности в векторном расслоении (X,D)), расщепляется в прямую сумму вертикального и горизонтального распределений. Как показано в [2, 3], на многообразии D, тем самым, естественным образом определяется почти контактная метрическая структура, позволяющая, например, придать инвариантный характер аналитическому описанию механики со связями. В работе [3] на многообразии D определяется геодезическая пульверизация связности над распределением, являющаяся аналогом геодезической пульверизации, заданной на пространстве касательного расслоения TX и имеющая ясную физическую интерпретацию: проекции интегральных кривых геодезической пульверизации связности над распределением совпадают с допустимыми геодезическими (траекториями движения механической системы со связями). Предлагаемая работа посвящена развитию идеи обобщения конструкции Сасаки [1] на случай нечетной размерности.
Кручение внутренней линейной связности [4] S по определению полагается равным

S, = - - p[, ].

Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем

= - .

Так же как и связность в объемлющем пространстве, внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством некоторого векторного расслоения. В случае внутренней связности в качестве такого расслоения выступает распределение D. Говорят, что над распределением D задана связность, если распределение ), где разбивается в прямую сумму вида , где  – вертикальное распределение на тотальном пространстве D.
В работе [2] было введено понятие продолженной связности. Продолженная связность всегда рассматривается относительно некоторой связности над распределением и определяется разложением TD =  VD, где HD  . Как следует из определения продолженной связности, для ее задания достаточно задать векторное поле  на многообразии D, имеющее следующее координатное представление  где эндоморфизм  может быть выбран произвольно. Будем называть кручением продолженной связности кручение исходной внутренней связности. В дальнейшем продолженную связность будем называть N-продолженной связностью.
Теорема. Существует N-продолженная метрическая связность, однозначно определяемая следующими условиями:
1.  (свойство метричности),
2.  -  - p[, ]= (отсутствие кручения),
3. N – симметрический оператор, такой, что

, (8)

Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой

Галаев Сергей Васильевич — Sat, 25 Jul 2015 11:13:31 +0000

Контактная структура  является аналогом симплектической структуры для многообразия нечетной размерности 2m+1. Ограничение замкнутой дифференциальной 2-формы  на распределении D контактной структуры задает невырожденную форму. В случае почти контактной метрической структуры  на распределении D возникает еще одна невырожденная 2-форма – фундаментальная форма структуры Ω. В общем случае . Формы ω, Ω относятся к классу допустимых тензорных структур к распределению D [1]. Замкнутая допустимая 2-форма в настоящей работе называется допустимой симплектической структурой. Таким образом, допустимые симплектические структуры естественным образом возникают на почти контактных метрических пространствах. Внутренних симплектических связностей, совместимых с данной допустимой симплектической формой бесконечно много.
Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1,  -  модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса .
Предположим, что на X задана почти контактная метрическая структура  [1]. Пусть D - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формойη,  - его оснащение: . Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры.
Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t – полилинейное отображение t: , где F(X) - кольцо гладких функций на X. Допустимую замкнутую внешнюю дифференциальную 2-форму максимального ранга будем называть допустимой симплектической 2-формой. Таким образом, в контактном случае форма  представляет собой естественный пример допустимой симплектической формы.
Пусть ω - произвольная допустимая внешняя 2-форма максимального ранга. В адаптированных координатах ненулевые компоненты ее внешнего дифференциала имеют следующий вид:

,
.

Последнее замечание дает мотивацию для названия допустимой тензорной структуры, сохраняющей постоянными компоненты в некотором адаптированном базисе, интегрируемой допустимой тензорной структурой.
Пусть ω - допустимая симплектическая структура. Внутреннюю линейную связность будем называть внутренней симплектической связностью, если , . N-продолженную симметричную связность [2-5] будем называть N-продолженной симплектической связностью, если . Последнее равенство сводится к двум равенствам: , , . Таким образом, N-продолженная симплектическая связность получается из внутренней симплектической связности добавлением эндоморфизма N, такого, что выполняется .
Теорема 1. Пусть - произвольная N-продолженная связность без кручения. Рассмотрим тензоры N₁ и N₂, определяемые, соответственно, равенствами

, ,
.

Тогда, связность , определяемая условиями

,
, ,

является N-продолженной симплектической связностью.
Теорема 2. Допустимая дифференциальная 2-форма максимального ранга ω является допустимой симплектической формой тогда и только тогда, когда существует совместимая с ней симметричная связность Бежанку.
Доказательство. Если ω - допустимая симплектическая форма, то достаточно положить в карте Дарбу коэффициенты искомой связности равными нулю. Пусть, теперь, - симметричная связность Бежанку, сохраняющая форму ω. Условие выполняется, так как N=0. Далее, проводя циклическую перестановку индексов в равенстве и складывая, затем, полученные равенства, получаем , что и доказывает теорему.