Автор статьи более 10 лет работает в этом направлении; полученные результаты представлены на сайте http://komp-model.narod.ru. В частности на нем размещены электронные варианты учебного пособия [2], а также выложены первые 6 глав учебника “Компьютерное моделирование”, рассчитанного на студентов педагогических вузов [3]. В нем рассмотрены следующие теоретические темы: 1. Компьютерное моделирование как метод научного познания. 2. Непрерывно–детерминированные модели динамических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. 3. Дискретно–детерминированные модели. 4. Дискретно–стохастические модели. 5. Непрерывные стохастические модели. Кроме того, учебник содержит большое количество задач, решение которых предполагает создание компьютерных моделей на языке Pascal. Рассмотрим некоторые из них.

         Задача 1. Нитяной маятник, состоящий из подвешенного на нити тела, находится в горизонтальном потоке воздуха. Скорость движения воздуха в потоке изменяется случайным образом, а направление остается неизменным. Необходимо изучить движения маятника, получить кривую распределения его угловой координаты, найти ее среднее значение и среднеквадратическое отклонение.

 Используемая программа [2, 3] содержит цикл по времени, в котором случайным образом разыгрываются промежутки времени между порывами ветра и с некоторым шагом рассчитываются ускорение, скорость и координата маятника. На экране строится график зависимости угла от времени и гистограмма относительных частот (рис. 1.2). Здесь среднее значение угла 0,186 рад, а среднее квадратическое отклонение СКО =0,216 рад.

Задача 2. Имеется металлическая сетка между двумя электродами, из которой случайным образом с вероятностью q=1-p удалены некоторые узлы. Необходимо изучить зависимость вероятности образования перколяционного кластера, соединяющего электроды, от вероятности наличия узла р. Для этого используется метод статистических испытаний, реализованный в программе [2, 3]. Сначала, исходя из заданной вероятности p наличия занятой ячейки, случайным образом формируется ячеистая структура (рис. 2.1), после чего определяется, содержит она перколяционный кластер или нет. Эта процедура многократно повторяется, что позволяет определить вероятность перколяции P при данном p. Затем проводится аналогичный вычислительный эксперимент при других p и строится график зависимости P(p) (рис. 2.2).

Рис. 2. Изучение перколяции методом статистического моделирования.

Задача 3. С помощью вероятностных клеточных автоматов промоделировать жизнь колонии бактерий, потребляющих вещества из питательной среды. Допустим, что каждая ячейка двумерной среды может находиться в 6 живых (возбужденных) состояниях s=1, 2, …, 6 или в мертвом состоянии s=0. Живая клетка потребляет полезные вещества из питательной среды (их количество в каждой ячейке записывается в массиве p[i, j] ), и остается живой 6 тактов, после чего умирает от старости. При этом количество полезных веществ p_{i,j} в данной ячейке с каждым тактом уменьшается на dp. Если p_{i,j}=0, то клетка погибает от голода. Если ячейка мертва a_{i,j}=0, а количество питательных веществ меньше заданного уровня U_2, то оно с каждым шагом повышается на некоторую положительную случайную величину dp_2: p_{i,j}:=p_{i,j}+dp_2. Чтобы ячейка a_{i,j} ожила, ей необходимо иметь 3 или более живых соседа, а уровень питательных веществ p_{i,j} не должен быть меньше U_1. Результаты моделирования приведены на рис. 3. При определенных параметрах модели происходит автоволновой процесс, возникают спиральные автоволны [3]. В других случаях по среде распространяется одиночная волна возбуждения, либо все живые ячейки быстро погибают от недостатка питания.

Рис. 3. Рост колонии бактерий: вероятностный КА.

  Задача 4. Имеется однородная пластина, на которой расположены источник тепла и источник холода известной мощности. Граничные условия заданы. Необходимо решить уравнение теплопроводности в полярных координатах и рассчитать температуру в различных точках пластины. Предлагаемая программа, решающая уравнение теплопроводности, представлена в [2]. Он содержит два вложенных цикла по i   и j, в которых перебираются все узлы двумерной сетки и пересчитываются значения температуры  на следующем временном слое. При ее запуске на экране появляется цветное изображение, границы одноцветных областей соответствуют изотермам. Пример результата вычислений приведен на рис. 4.1.

Задача 5. Рассчитать распределение потенциала в двумерной области, решив уравнение Пуассона в полярных координатах. Потенциалы отдельных точек и граничные условия заданы.Задача решается аналогично [2]. Результаты вычисления распределения потенциала в двумерной области представлены на рис. 4.2.

Рис. 4. Результаты решения ДУЧП в полярных координатах на ПЭВМ.

  Задача 6. С помощью двумерных клеточных автоматов создайте модель наполнения сосуда вязкой жидкостью. Сосуд содержит внутри себя различные препятствия: цилиндрический стержень, пластину, перегородки и т.д. Решение задачи представлено в [2], результаты приведены на рис.4.

Рис. 5. Падение сыпучих материалов, вытекание вязкой жидкости.

Задача 7. Измерительный прибор электромагнитной системы состоит из неподвижного магнита и подвижной обмотки, к которой прикреплена стрелка и пружина. Необходимо промоделировать движение стрелки при подаче на обмотку напряжения u(t), получающегося в результате однополупериодного выпрямления. Результаты –– на рис. 6.1 [2]. 

         Задача 8. Система автоматического регулирования скорости, состоит из двигателя постоянного тока, вал которого соединен с тахометром, подключенным к электронному устройству управления, регулирующему напряжение на обмотке якоря u(t). Необходимо изучить работу этой самоадаптирующейся системы при изменении механической нагрузки на валу. Используемая программа представлена в [2]. Получающиеся графики представлены на рис. 6.2.  Видно, что при резком изменении момента нагрузки скорость ротора, совершив несколько колебаний, возвращается к заданному значению A[2].

Рис. 6. Модель измерительного прибора. Система “двигатель–генератор”.

Рис. 7. Деформация упругой ткани, висящей в вертикальной плоскости.

Задача 9. В вертикальной плоскости за две точки подвешена прямоугольная упругая пластина (ткань) известной массы. К заданным точкам приложены силы определенной величины и направления. Необходимо рассчитать, какую форму примет упругая пластина под действием этих сил и сил тяжести. Задача решается методом конечных элементов [2]. Пластина (ткань) разбивается на элементы четырехугольной формы. При этом приближенно считается, что каждый конечный элемент эквивалентен четырехугольнику, вершины которого соединены шестью упругими стержнями. Программа случайным образом изменяет координаты каждой вершины и ищет такое состояние системы, при котором ее потенциальная энергия минимальна. Результаты моделирования представлены на рис. 7.

Задача 1. Вязкоупругий стержень, двигаясь по инерции в поле тяжести, соударяется с горизонтальной поверхностью, деформируется, отскакивает от нее, переворачивается и снова падает на поверхность. Необходимо промоделировать это явление.

Вместо стержня рассмотрим совокупность твердых макроскопических частиц (шариков или дисков), взаимодействующих друг с другом с заданными силами притяжения, отталкивания и внутреннего трения. Расстояние между центрами частиц обозначим через r. Проекцию F_r силы взаимодействия на ось r зададим так: 1) если r > 10, то частицы не взаимодействуют: F_r = 0; 2) если r лежит в интервале [6; 10], то между частицами действует сила упругости F_r=1000(8–r); 3) если r < 6, то частицы отталкиваются: F_r = 10000. Величины r и F_r заданы в условных единицах.

При неупругих деформациях тела, когда i–тая частица смещается относительно соседней j–той частицы, на i–тую частицу действует сила вязкого трения. Она направлена в сторону противоположную относительному движению. Чтобы рассчитать ее проекции на координатные оси, на каждом временном шаге t нужно сформировать матрицу S, элементами которой являются расстояния s_{i,j}(t–1) между i–ой и j–ой частицами в момент t – 1. Тогда сила внутреннего трения будет равна – r(s_{i,j}(t)–s_{i,j}(t–1))/dt, где s_{i,j}(t) – расстояние между i–той и j–той частицами в момент t, r – коэффициент внутреннего трения, а выражение в скобках пропорционально скорости относительного движения этих частиц [2].

Рис. 1. Падение неупругого тела на горизонтальную поверхность.

Используется программа PR–1. В ней последовательно перебираются все частицы и для каждой определяются проекции равнодействующей всех действующих сил (включая силу тяжести). После этого вычисляются проекции ускорения, скорости и координаты каждой частицы в следующий момент t+1. Результаты моделирования представлены на рис. 1.

Задача 2. Тело кубической формы находится в невесомости и взаимодействует с частицей известной массы так: 1) частица отлетает от одной из его вершин, двигаясь вверх; 2) движущаяся частица соударяется с одной из вершин куба. Считая, что движение кубика плоское, необходимо рассчитать состояние системы в последующие моменты времени.

Рис. 2. Частица отлетает от одной из вершин куба. Частица сталкивается с кубом; куб отскакивает от поверхности.

Задача решается аналогично. При моделировании взаимодействия частицы с первоначально покоящимся кубом получаются результаты, представленные на рис. 2.1. Если частица отлетает от одной из его вершин, двигаясь вверх, то в соответствии с законами сохранения импульса и момента импульса, центр масс куба начнет двигаться вниз, а сам куб –– вращаться. Когда движущаяся частица соударяется с одной из вершин куба, в общем случае происходит нецентральный удар; частица и куб разлетаются (рис. 2.2). На рисунках также показаны траектории движения двух максимально удаленных точек тела. Чтобы куб сохранял свою форму, необходимо увеличить коэффициенты в выражении для силы упругости и вязкого трения. При упругом соударении частицы куба с горизонтальной поверхностью изменяется знак вертикальной проекции скорости.

Задача 3. Горизонтальная балка закреплена за левый конец, а правый конец нагружен. Центральная часть балки имеет дефекты, уменьшающие ее прочность. Промоделируйте деформацию балки, разрушение и движение ее частей. Все точки балки перемещаются параллельно вертикальной плоскости (движение плоское).

Балку представим в виде совокупности частиц шарообразной формы, расположенных в плоскости XOY и взаимодействующих друг с другом с силами притяжения и отталкивания. Кроме того, при относительном движении частиц возникает сила вязкого трения. По условию коэффициент жесткости в центральной части балки несколько меньше среднего; частицы, расположенные вблизи правого конца имеют большую массу. Результаты моделирования представлены на рис. 3. Видно, что под действием силы тяжести балка деформируется, разламывается на две части, одна остается на месте, а другая падает вниз и соударяется с горизонтальной поверхностью.

Рис. 3. Моделирование разрушения балки (в центральной части дефект).

Задача 4. На массивную мишень налетает снаряд и происходит частично упругое или абсолютно неупругое взаимодействие. Промоделируйте это явление, используя метод больших частиц. Силой тяжести пренебречь.

Результат моделирования частично упругого удара при достаточно большой массе мишени представлен на рис. 4. Видно, что сразу после удара мишень деформируется и “отталкивает” снаряд. После столкновения оба тела возвращаются к своей первоначальной форме. В программе исключены силы притяжения, действующие между частицами снаряда и мишени, поэтому снаряд отлетает от мишени.

Рис. 4. Частично неупругое соударение снаряда и мишени.

Если уменьшить коэффициенты упругости и вязкости, а также сделать так, чтобы модель учитывала силы притяжения, возникающие при сближении частиц снаряда и мишени, то удастся промоделировать абсолютно неупругий удар  (рис. 5). После взаимодействия деформированные снаряд и мишень движутся с равными скоростями и вращаются в соответствии с законами сохранения импульса и момента импульса.

Рис. 5. Абсолютно неупругое соударение снаряда и мишени.

         Задача 5. Вокруг планеты вращается спутник. Планета создает на поверхности спутника приливную волну, которая его деформирует и изменяет скорость вращения. В результате спутник начинает вращаться в направлении своего орбитального движения. Промоделируйте это явление.

Рис. 6. Моделирование движения вязкого спутника.

Эта задача проанализирована в книге [5, с. 17–22]. Требуется рассмотреть движение и взаимодействие трех частиц, моделирующих спутник, которые движутся вокруг планеты, расположенной в начале координат O (рис. 6.1). Со стороны планеты на каждую из трех частиц действует сила гравитационного притяжения. Частицы также притягиваются друг к другу, а при сближении взаимодействуют с силами упругости. При относительном движении между частицами действует сила вязкого трения.

Программа [2] позволяет рассчитать положение планеты и трех частиц, моделирующих спутник, а также строит график зависимости угловой скорости вращения спутника w от времени. Начальные условия заданы так, что при t = 0 спутник вращается вокруг планеты по часовой стрелке, а вокруг своей оси –– в противоположном направлении, то есть против часовой стрелки. В результате движения в неоднородном поле планеты образующаяся приливная волна уменьшает скорость вращения спутника вокруг своей оси, а затем заставляет его вращаться в направлении орбитального движения. Чтобы вычислить угловую скорость w собственного вращения спутника выбирают любые две принадлежащие ему частицы, например, m_2 и m_3, и  определяют время t’, в течение которого выполняется условие (рис. 6.2):

(y_2(t–1)–y_3(t–1))*( y_2(t)–y_3(t)) > 0.

Это неравенство перестает выполняться в момент, когда прямая, соединяющая частицы m_2 и m_3 становится горизонтальной. Соответствующее время t’ равно половине периода T, поэтому w=2*3,1415926 /w.

Рис. 7. Зависимость скорости вращения спутника от времени.

Получающийся график зависимости проекции угловой скорости вращения спутника от времени приведен на рис. 7. Сначала спутник вращается в сторону, противоположную направлению его орбитального движения. Видно, что угловая скорость w спутника по модулю уменьшается до нуля, изменяет свое направление, а затем растет, стремясь к некоторой постоянной величине w’. При этом ее значение совершает затухающие колебания относительно w’. Следует понимать, что в нашем случае спутник движется не по эллиптической орбите с небольшим эксцентриситетом (как Луна вокруг Земли), а по сильно вытянутой незамкнутой орбите. При этом он близко приближается к планете (в область с сильно неоднородным гравитационным полем); в этот момент приливная волна оказывает наибольшее влияние на торможение спутника и его раскручивание в прямом направлении.

Задача 6. Внутри сосуда имеется столб вязкой жидкости, касающийся его левой вертикальной стенки. Если систему предоставить самой себе, то произойдет обрушение столба жидкости. Необходимо создать двумерную модель этого явления.

Будем использовать метод больших частиц. Проекцию F_r силы взаимодействия между частицами на ось r зададим так: 1) если r > 10, то частицы не взаимодействуют: F_r; 2) если r лежит в интервале [ 7; 10 ], то частицы притягиваются: F_r = –1000; 3) если r < 7, то частицы отталкиваются: F_r = 20000. Величины r и F_r заданы в условных единицах.

Рис. 8. Моделирование обрушения столба вязкой жидкости.

Решением задачи является программа PR–2. В ней заданы начальное состояние системы (процедура Nach_uslov), учтены силы взаимодействия частиц друг с другом и со стенками сосуда (процедура Sila). Тело программы содержит цикл по времени (Repeat … until;), в котором пересчитываются проекции ускорений, скоростей и координаты 300 частиц жидкости [2].

При запуске программы PR–2 моделируется обрушение столба жидкости, которая растекается по дну сосуда к его правой стенке, соударяется с ней, образует всплеск и частично возвращается обратно (рис. 8). Через некоторое время движение прекращается. Модель допускает изменение плотности и вязкости жидкости, ускорения свободного падения и размеров сосуда.

Задача 7. На поверхность вязкой жидкости падает неоднородное тело, имеющее квадратное сечение. Необходимо рассчитать движение тела в случаях, когда средняя плотность тела больше или меньше плотности жидкости. Движение плоское.

Для построения компьютерной модели рассмотрим двумерную модель тела, состоящую из 48 частиц различной массы (рис. 9). Чтобы тело “было твердым”, то есть не меняло своей формы, необходимо исключить перемещения составляющих его частиц. Этого можно достичь, увеличив силу вязкого трения (коэффициент rs, программа PR-3), действующую между частицами.

Следует учесть, что при погружении тела в жидкость на частицы, оказавшиеся ниже уровня жидкости, действует сила Архимеда, направленная вверх (противоположно оси Oy). Если плотность тела в данной точке меньше плотности жидкости, то сила Архимеда, действующая на соответствующую частицу, превышает силу тяжести. Используется программа PR–3 [2]; результаты моделирования для тела, средняя плотность которого больше плотности жидкости, представлены на рис. 9. Тело неоднородное, у черных частиц масса в 5 раз больше чем у белых, центр масс не совпадает с центром плавучести. Тело сначала движется вниз, после взаимодействия с поверхностью жидкости начинает вращаться по часовой стрелке и погружается вглубь жидкости. Затем оно, совершая колебания, всплывает вверх. Если средняя плотность тела больше плотности жидкости, то оно будет опускаться вниз.

Рис. 9. Движение тела, упавшего на поверхность жидкости.

Задача 8. На поверхности воды плавает бревно, к концу которого привязана упругая нить с грузом известной массы. Груз поднимают до заданного уровня, а затем отпускают так, чтобы он двигался в вертикальной плоскости, проходящей через ось бревна. Необходимо рассчитать движение груза и бревна с течением времени.

Рис. 10. Движение плавающего бревна и привязанного к нему груза.

Рис. 10. Движение плавающего бревна и привязанного к нему груза.

          Задача решается рассмотренным выше методом; используемая программа представлена в [2]. При ее запуске бревно опускается на поверхность жидкости и погружается на глубину, при которой сила тяжести уравновешивается силой Архимеда. После этого груз, привязанный к бревну нитью заданной длины, приходит в движение. Если масса груза велика, то бревно тонет. В случае, когда груз имеет небольшую массу, он совершает колебания, вызывая движения бревна (рис. 10); через некоторое время система переходит в состояние покоя. Движение системы зависит от плотности и вязкости жидкости, плотности бревна, его объема и массы груза.

1. Основные принципы моделирования.

Сформулируем принципы, которые могут быть положены в основу компьютерной модели обучения:
1. Скорость изменения количества знаний равна сумме скорости усвоения и скорости забывания.
2. Обучение организовано так, что ученик хотя бы в течение нескольких минут удерживает в памяти каждый элемент учебного материала (ЭУМ) и может его повторить. При этом учащийся стремится запомнить (пусть не на долго) всю сообщаемую ему информацию Z_0. Уровень требований учителя U равен количеству сообщаемых учителем знаний Z_0.
3. Скорость увеличения знаний пропорциональна: 1) количествe знаний Z ученика в степени b (b из интервала [0; 1]); 2) мотивации M или количеству усилий F, затрачиваемых учеником. Действительно, чем больше ученик знает, тем легче он усваивает новые знания из–за образующихся ассоциативных связей с имеющимися. С другой стороны, чем ниже мотивация M учащегося, тем меньше усилий он затрачивает и тем ниже скорость увеличения знаний. Если прирост знаний много меньше их общего количества Z (обучение в течение одного или нескольких занятий), то можно считать, что Z остается постоянным и b = 0.
5. Усилия ученика F (мотивация М к учебной деятельности) прямо пропорциональна разности между уровнем предъявляемых требований U и уровнем знаний Z: F=M=k(U–Z). В случае, когда U–Z превышает некоторое пороговое значение C, ученик перестает прикладывать усилия: F=M=0.
6. Скорость забывания пропорциональна количеству имеющихся у учащегося знаний: dZ/dt= – gZ, (g>0), где g – коэффициент забывания.
2. Однокомпонентная модель обучения.

В простейшем случае можно считать, что сообщаемая учителем информация (знания) является совокупностью равноправных несвязанных между собой элементов, число которых пропорционально ее количеству Z. Все элементы учебного материала (ЭУМ) одинаково легко запоминаются и с одинаковой скоростью забываются. В этом случае процесс обучения можно описать уравнением:

Когда Z мало, скорость роста уровня знаний невысока из–за отсутствия возможности образования ассоциативных связей. По мере увеличения Z она растет, но при Z стремящемся к U уменьшается за счет снижения усилий F (мотивации M). Если U превышает Z на величину большую критического значения C, то ученик перестает учиться.
Чтобы промоделировать процесс обучения, необходимо перейти от записанного выше диффуравнения к конечно–разностному уравнению [2, c. 55–56]. Используемая компьютерная программа содержит цикл по времени t, в котором вычисляется скорость увеличения знаний, определяется уровень знаний в следующий дискретный момент времени t+1, строится соответствующая точка графика, после чего все повторяется снова. Упрощенная блок–схема алгоритма представлена на рис. 1.

Используя компьютерную модель обучения, можно обосновать известный принцип “от простого к сложному”. Допустим, сначала изучается сложная тема, а затем простая, то есть сначала уровень требований учителя высокий, а затем низкий (U_1 > U_2). Если U_1 очень сильно превосходит уровень знаний Z ученика, то мотивация к обучению пропадает, и уровень знаний не растет (ученик просто не может усвоить материал). Если же U_1 < Z + C, то ученик усваивает сложную тему, прилагая большое количество усилий F. При изучении второй более простой темы скорость роста знаний не высока из–за того, что уровень требований U_2 незначительно превосходит уровень знаний Z ученика, и он не затрачивает много усилий F. В идеале при изучении различных тем ученик должен затрачивать примерно одинаковое количество усилий.

На рис. 2 показано, как ведет себя рассмотренная выше модель обучения, когда уровень U предъявляемых требований (количество изучаемого материала, сложность заданий) скачкообразно увеличивается. Сначала учащимся предлагают сравнительно простые задания; когда они их освоят, дают задания сложнее, затем еще сложнее и т.д. Для того, чтобы уровень знаний рос, необходимо обеспечить не очень большой разрыв между Z и U (рис. 2.1). Слишком резкое увеличение уровня требований (сложности изучаемого материала) приводит к снижению мотивации и уменьшению уровня знания вследствие забывания (рис. 2.2). Если сначала предложить сложные задания (уровень требований U высок), а затем простые, то обучения происходить не будет. Для повышения эффективности обучения необходимо таким образом подбирать уровень требований (сложность предлагаемых учащимся заданий), чтобы: 1) сохранялась высокая мотивация к обучению; 2) ученик при изучении различных тем работал бы с одинаковым напряжением, прилагая примерно равное количество усилий; 3) работа, совершаемая в течение занятия, не превышала бы некоторое пороговое значение.

3. Учет изменения работоспособности ученика.

Будем считать, что скорость увеличения знаний ученика пропорциональная его коэффициенту научения a, работоспособности r, приложенным усилиям F (мотивации M) и уровню знаний Z в степени b. Работоспособность r зависит от степени усталости ученика; она сначала равна r_0, а затем по мере совершения учеником работы P плавно снижается до 0. Получаем следующую математическую модель [2, с. 66 – 68]:

Здесь P_0 –– работа, совершаемая учеником на занятии (решение задач, выполнение заданий), после выполнения которой его работоспособность уменьшается от r_0 = 1 до 0,5. При обучении уровень требований учителя (сообщаемые им знания) больше уровня знаний ученика (U > Z), и учебная работа, совершенная учеником (число выполненных заданий), зависит от приложенных усилий (интенсивности мыслительной деятельности) и длительности обучения. Усилия ученика F пропорциональны его мотивации или разности между уровнем требований U учителя и количеством знаний Z:

Здесь N –– число элементарных промежутков времени, на которое разбит урок. Если уровень предъявляемых требований мал (U < Z), то есть ученик на уроке занят решением простых для него задач, то затрачиваемые им усилия пропорциональны времени: P = k t. Это позволяет учесть появление у ученика усталости и снижение работоспособности даже в случае, когда он выполняет простые задания длительное время. В перерывах между занятиями ученики отдыхают, работоспособность восстанавливается. Максимальная работоспособность ученика в данное время учебного дня снижается по экспоненциальному закону. Получаем уравнения:

Здесь r_0 = r(t_0) –– работоспособность в момент начала отдыха t_0 (то есть в конце урока), где r_max –– максимальная работоспособность ученика в данное время учебного дня. Скорость увеличения знаний при прочих равных условиях тем выше, чем меньше субъективная сложность (трудность понимания) S изучаемого материала. Сложность учебного материала S лежит в интервале от 0 до 1 и в общем случае зависит от уровня изучения других вопросов. Математическая модель выражается уравнениями:

4. Многокомпонентная модель процесса обучения.
Выше предполагалось, что все элементы учебного материала усваиваются одинаково прочно. Но на практике те знания, которые включены в учебную деятельность ученика, запоминаются значительно прочнее, чем знания, которые он не использует. При этом формируются интеллектуальные умения и навыки. Можно предположить, что компьютерная имитация будет более точно соответствовать реальному процессу обучения, если учесть, что: 1) прочность усвоения различных ЭУМ неодинакова, поэтому все ЭУМ следует разделить на несколько категорий; 2) прочные знания забываются существенно медленнее непрочных; 3) непрочные знания при их использовании учащимся постепенно становятся прочными [2, с. 70 – 72]. Предлагаемая многокомпонентная модель обучения выражается системой уравнений:

Коэффициенты усвоения a_i характеризуют быстроту перехода знаний (i – 1)–ой категории в знания i–ой категории. Если прирост знаний ученика существенно меньше их общего количества, то b = 0. При изучении одной темы растет общее количество знаний Z, и постепенно увеличивается количество прочных знаний Z_4.

5. Обобщенная многокомпонентная модель обучения.
Автором предложена обобщенная модель обучения, не имеющая аналогов в известной ему литературе. Пусть работоспособность ученика в начале учебного дня r_0 =1.

Результаты использования двухкомпонентной модели приведены на рис. 5. Прочные знания Z_2 в процессе обучения растут, а после –– практически не забываются. Непрочные знания Z_1 = Z – Z_2 забываются существенно быстрее. Работоспособность ученика во время урока плавно снижается, а во время перерывов –– повышается до величины, которая постепенно уменьшается в течение дня из–за накапливающейся усталости. Эти и другие модели обучения представлены на сайте “Информационные технологии и физическое образование” ( http://mayer.hop.ru ).

Рассмотренные выше имитационные модели учебного процесса позволяют создать обучающую программу (пакет программ), моделирующую обучение школьников, которую можно использовать для тренировки студентов педагогических вузов. Она должна допускать изменение параметров учеников, длительность занятий, распределения учебного материала и стратегии поведения учителя. В процессе ее работы студент (“учитель”) изменяет скорость подачи учебной информации, быстро реагирует на вопросы учеников, проводит контрольные работы, ставит оценки, пытаясь добиться наибольшего уровня знаний за заданное время. После окончания обучения на экран выводятся графики, показывающие изменение знаний “учеников” класса, обучающая программа анализирует работу “учителя” и ставит ему оценку.

Чтобы решить это уравнение на ЭВМ, запишем его в конечных разностях. Для этого заменим производные их конечно-разностными аппроксимациями:

Для решения рассматриваемой стационарной задачи используется релаксационный метод последовательных приближений: во всех внутренних узлах сетки задаются произвольные исходные значения потенциала; его значения во внешних узлах должны соответствовать граничным условиям. Осуществляется первая итерация, в ходе которой перебираются все внутренние узлы сетки и, исходя из начальных значений, определяют новые уточненные значения функции. Затем осуществляются второе, третье, … приближения, причем результаты i–ой итерации используются в качестве исходных для (i+1)-ой итерации. В результате получающиеся значения приближаются к истинному распределению потенциала.

Для реализации этого алгоритма требуется зарезервировать в памяти ЭВМ три двумерных массива размерностью N x M, элементами которых являются числа типа real или single (язык Pascal). Один массив для диэлектрической проницаемости, два других –– для потенциалов на шаге t и t+1. Это не позволяет в среде Free Pascal создать сетку с большим числом узлов. Увеличить число узлов можно, задав диэлектрическую проницаемость целыми числами. Вместо двух массивов для потенциалов на различных временных слоях следует создать один, но в этом случае, чтобы избежать накапливания ошибок, придется перебирать элементы в четырех различных направлениях.

Алгоритм состоит в последовательном переборе узлов сетки слева на право и справа на лево, сверху вниз и снизу вверх, в ходе которого вычисляются значения потенциала в них. Перед каждым проходом следует учесть граничные условия задачи, то есть приравнять потенциалы на границе двумерной области к заданной величине или функции координат. Используемая программа ПР–1 содержит: 1) процедуру Sreda, в которой задается диэлектрическая проницаемость среды в узлах сетки; 2) процедуру Gran, в которой учитывается распределение потенциала вдоль границы области; 3) процедуру Raschet, в которой задается распределение заряда и вычисляется потенциал в различных узлах (i, j); 4) процедуру Draw, выводящую результат вычислений на экран; 5) основную часть программы, в которой осуществляется вызов перечисленных процедур в требуемом порядке [3-5].

На рис. 1.1 и 2 представлены результаты ее использования для расчета электрического поля в двумерной неоднородной среде с диэлектрической проницаемостью eps = 1+a*x*y, созданным двумя пластинами, которые имеют потенциалы 350 и –350 В, и зарядами q1 и q2. В пространстве между пластинами имеется заземленный проводник, его потенциал равен нулю.

Задавая различные распределения зарядов, потенциалов, диэлектрической проницаемости среды и граничные условия, можно решить и другие задачи. Например, рассчитать электрическое поле, создаваемое двумя параллельными разноименно заряженными пластинами, в случаях, когда в пространство между ними внесен: 1) прямоугольный брусок с диэлектрической проницаемостью меньшей, чем у окружающей среды (рис. 2.1); 2) прямоугольный брусок с диэлектрической проницаемостью большей, чем у окружающей среды (рис. 2.2); 3) цилиндр с диэлектрической проницаемостью большей, чем у окружающей среды (рис. 2.3);  4) труба с  с диэлектрической проницаемостью большей, чем у окружающей среды (рис. 2.4); 5) пластина с диэлектрической проницаемостью большей, чем у окружающей среды, расположенная под углом (рис. 2.5); 6) металлический цилиндр (рис. 2.6). Программа ПР–2 рассчитывает линии равного потенциала и силовые линии электрического поля в случае, когда в пространство между заряженными пластинами внесена труба с диэлектрической проницаемостью большей, чем у окружающей среды. Из рисунков видно, что на границе раздела различных сред происходит преломление силовых линий; причем в средах с большей диэлектрической проницаемостью они располагаются реже (напряженность меньше). При внесении в электрическое поле проводящего цилиндра (потенциалы всех  его точек равны), силовые линии оказываются перпендикулярными к поверхности.

Рассмотренный выше подход позволяет решить одномерную задачу, например, рассчитать распределение потенциала электростатического поля  между двумя бесконечно большими пластинами 1 и 3, расположенными перпендикулярно оси Ox на расстоянии b друг от друга (рис. 3.1). Потенциалы пластин заданы; между ними расположена пластина 2 из диэлектрика, заряженная положительно или отрицательно. Рядом с пластиной 3 имеется слой диэлектрика с некоторой диэлектрической проницаемостью. На рис. 3.2 показано получающееся распределение потенциала вдоль оси Ox в случае, когда между металлическими пластинами имеется толстая пластина с заданной диэлектрической проницаемостью, внутри которой равномерно “размазан” электрический заряд. Представлено не только искомое распределение потенциала, но и несколько предшествующих ему приближений; это помогает понять сущность метода последовательных итераций [3-5].

Выше рассмотрены методы решения уравнения Пуассона в декартовых координатах. Теперь рассчитаем распределение потенциала в двумерной области, имеющей форму четверти круга, для чего решим уравнение Пуассона в полярных координатах (рис. 4.1). Граничные условия зададим так:

Потенциалы двух точек поддерживаются равными 50 В и – 80 В. Уравнение Пуассона в полярных координатах и соответствующее конечно-разностное уравнение имеют вид:

Отсюда выражают потенциал в узле (i, j). Для решения задачи используется программа ПР-3. Результаты вычисления распределения потенциала в двумерной области при заданных граничных условиях представлены на рис. 4.2. Программа выполняет последовательность итераций, получающиеся значения потенциалов постепенно приближаются к искомым значениям, которые соответствуют точному решению задачи.

Теперь рассчитаем электростатическое поле в пространстве между двумя электродами 1 и 2 при наличии заряженного шара 3 (рис. 5.1), используя цилиндрические координаты. Распределение потенциала должно удовлетворять уравнению Пуассона:

Электроды обладают цилиндрической симметрией, то же самое относится к распределению заряда и граничным условиям. Задача сводится к нахождению распределения потенциала в плоскости осевого сечения xOz. В конечных разностях получаем:

Используется программа ПР-4, в которой перебираются все узлы двумерной сетки и с каждой итерацией пересчитываются значения потенциала. После 5000 итераций осуществляется построение силовых линий. Для этого в пространство между электродами запускаются невесомые частицы–маркеры, которые перемещаются вдоль силовых линий и рисуют свою траекторию. Напряженность поля равна градиенту потенциала.Для определения направления силовой линии в точке с координатами x, z используются формулы:

Результаты расчета электростатического поля представлены на рис. 5.2. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены от положительного электрода к отрицательному.

Обсуждение и анализ рассмотренных выше задач на занятиях по компьютерному моделированию способствуют более глубокому пониманию методов решения дифференциальных уравнений с частными производными, повышает интерес студентов к программированию, физике и математике.

1. Постановка задачи 

Рассмотрим ядерный реактор ­–– устройство, в котором протекает управляемая цепная ядерная реакция, сопровождающаяся выделением большого количества энергии (рис. 1). Он состоит из камеры 1, окруженной защитой, в которую помещают ядерное топливо и замедлитель нейтронов. Для управления работой реактора используются стержни 3, вдвигаемые в активную зону 2 с помощью двигателя 4. Через активную зону прокачивается водяной или жидкостный теплоноситель, который поступает в теплообменник, где и передает тепло водяному пару, вращающему паровую турбину. Для контроля интенсивности ядерной реакции используют датчики радиоактивности и температуры 6, подключенные к устройству управления 5, которое включает двигатель, перемещающий управляющие стержни.

В реактор загружают ядерное топливо так, чтобы его масса превысила критическое значение. Начинается цепная ядерная реакция: в результате поглощения нейтрона ядром урана и его деления на осколки в среднем образуется K = 2,5 нейтронов. После деления ядра 99 процентов нейтронов появляются сразу же –– это мгновенные нейтроны. Остальные испускаются через некоторое время (10 – 50 c) после 1 – 2 актов бета–распадов получившихся осколков деления. Часть из них поглощается управляющими стержнями, а оставшиеся захватываются ядрами и вызывают их деление. Чтобы уменьшить интенсивность ядерной реакции, в активную зону вводят управляющие стержни, поглощающие нейтроны [1, c. 336–340]. Типичная нестационарная задача реакторной физики состоит в расчете пуска, увеличения мощности и остановки ядерного реактора.

2. Модель сферического ядерного реактора, учитывающая диффузию нейтронов и теплопроводность среды

Рассмотрим сферический ядерный реактор (рис. 1.2), состоящий из ядерного топлива 1, защиты 2 и управляющих стержней 3. Модель должна учитывать образование нейтронов в результате ядерного распада, их диффузию и теплопроводность среды [2, 3, 7]. Запишем соответствующие уравнения в сферических координатах:  

В устройство управления заложена программа запуска, разгона и остановки реактора, а также регулирующая функция, связывающая напряжение U на выходе датчика с усилием F, создаваемым двигателем. Каждый управляющий стержень имеет массу m и соединен с демпфером, который необходим для затухания возникающих колебаний. Уравнение движения управляющих стержней имеет вид: , где r – коэффициент сопротивления. Увеличение x приводит к росту доли нейтронов, поглощаемых управляющими стержнями. Регулирующая функция, связывающая усилие двигателя с напряжением U на выходе датчика, имеет вид: . Здесь U_0  – заданное значение напряжения, а разность  пропорциональна быстроте изменения напряжения U. Первое слагаемое учитывает отклонение наблюдаемого U от заданного уровня U_0, а второе слагаемое –– быстроту изменения U. Когда U  превышает U_0 и/или быстро растет, двигатель действует на систему стержней с силой F, вдвигая их в активную зону на расстояние x. Для шарового реактора поглощающая способность материала с ростом расстояния r до центра O убывает обратно пропорционально квадрату r, поэтому .

При заданных параметрах реактора подберем регулирующую функцию F(U) и зависимость U_0(t), при которых он плавно входит в рабочий режим, увеличивает свою мощность до некоторого значения, а затем останавливается. Используемая программа ПР–1 содержит цикл по времени, в котором рассчитываются концентрация нейтронов n, число ядер предшественников C и температура T (процедура Raschet), определяется напряжение на выходе датчика и глубина x погружения стержня (процедура Upravlenie), результаты выводятся на экран (процедура Draw). При этом регулирующая функция имеет вид: F(t)=0.01(U(t)/5-U_0)+10(U(t)-U(t-1)), а зависимость напряжения U_0 от времени может быть задана так, чтобы избежать резких “всплесков радиоактивности”. Все величины измеряются в условных единицах.

Можно убедиться, что при таком задании управляющей функции F(U) и зависимости U_0(t) интенсивность “ядерной реакции” изменяется плавно, “реактор” работает без резких всплесков уровня “радиоактивности”. На рис. 2 представлены графики распределения нейтронов n(r) и температуры T(r) в процессе работы реактора в различные моменты времени. Графики зависимостей n(t), T(t) и x(t) при пуске, работе и остановке реактора показаны на рис. 3. Видно, что в установившемся режиме система находится в динамическом равновесии, управляющие стержни, а с ними концентрация нейтронов n и температура T, колеблются с небольшой амплитудой. В момент t_2 заданный уровень U_0 падает до нуля, стержни погружаются на максимальную глубину, ядерная реакция быстро затухает, температура понижается до температуры среды. Если управляющая функция F(U) не будет зависеть от скорости изменения U (например, F(t)=0,01*(U(t)/5–U_0)), то при запуске “реактора” происходит быстрый рост “радиоактивности”.

3. Точечная модель реактора (упрощенный вариант)

Пренебрежем размерами реактора и будем считать, что его состояние определяется набором единых осредненных величин (концентрация нейтронов и температура). При этом мы не учитываем диффузию нейтронов, неоднородное нагреванием активной зоны и создаем точечную модель ядерного реактора.

Начнем с простых рассуждений. За единицу времени возьмем время, требуемое для появления нового поколения нейтронов (обычно несколько минут). Пусть в момент t = 0 в реакторе N = 10 нейтронов. Нейтроны поглощаются ядрами, те распадаются, появляется новое поколение нейтронов. Коэффициент размножения нейтронов равен K=2,4, то есть в момент t = 1 появляется N_1=K*N нейтронов, в момент t = 2 появляется N_2=K*N_1 нейтронов и т.д. Долю нейтронов, вылетающих в окружающую среду, обозначим через p_1; долю нейтронов, поглощаемых управляющими стержнями –– через p_2. Тогда за время dt dN=p_1*N*dt нейтронов вылетает в окружающую среду, а dN_2=p_2*N*dt нейтронов поглощается стержнями. Оставшиеся dN_3=N*(1–p_1–p_2)*dt нейтронов захватываются ядрами, вызывают их деление, в результате чего появляется следующее поколение нейтронов и выделяется энергия dE= E_1*dN_3 и выделяется мощность P = dE/dt.

Датчики радиоактивности реагируют на изменение числа вылетающих из реактора элементарных частиц, на выходе получается напряжение U=k_1*N_1. Датчик температуры отслеживает температуру теплоносителя, прокачиваемого через активную зону, на его выходе получается напряжение, пропорциональное средней температуре в центральной части активной зоны: U=k_2*T.

Программа ПР – 2, моделирующая работу реактора, содержит цикл по времени с шагом dt = 0.01, в котором вычисляются количество нейтронов dN_1, вылетевших из реактора, число нейтронов dN_2, поглощенных управляющими стержнями, число нейтронов dN_3, захваченных ядрами и вызвавших их деление, вырабатываемая мощность P, напряжение на выходе датчиков U, усилие двигателя F. Это позволяет рассчитать смещение x управляющих стержней (a и v – их ускорение и скорость):

Один раз за 1/dt=100 циклов (то есть с шагом 1) моделируется появление нового поколения нейтронов численностью N(t+dt). Результаты вычислений выводятся на экран в виде графиков зависимостей P(t) и x(t).

Промоделируем пуск ядерного реактора, плавное увеличение его мощности до заданного уровня и остановку. Пусть сначала ядерное топливо не загружено в реактор; оно разделено на части, доля p_1 нейтронов, вылетающих в окружающую среду, велика. Ядерное топливо загружают в реактор (p_1 плавно уменьшается по закону p_1=0,2exp(–0,25*t)), стержни максимально вдвинуты в активную зону (p_2=0,7). Как задан закон изменения U_0(t), ясно из программы ПР–2.

Результаты моделирования представлены на рис. 4. Сначала происходят колебания радиоактивности, обусловленные пуском реактора, затем число образующихся нейтронов практически равномерно возрастает до тех пор, пока реактор не войдет в рабочий режим. В течение интервала [t_3; t_4] реактор выдает постоянную мощность, а начиная с t_4, его мощность равномерно уменьшается, и реактор останавливается. На графиках видно, как колеблются управляющие стержни при запуске реактора, и как они вдвигаются в активную зону при его остановке. Сначала стержни вдвинуты, доля поглощаемых ими нейтронов максимальна и равна p_2=0,7. После t_1 они начинают выдвигаться, p_2 уменьшается, это приводит к запуску реактора: имеет место всплеск радиоактивности и вырабатываемой энергии. Стержни быстро вдвигаются, p_2 растет, возникающие колебания быстро затухают, переходный процесс заканчивается, система входит в установившийся режим. Изменяя коэффициенты в регулировочной функции F(U), можно убедиться, что реактор далеко не всегда ведет себя устойчиво: при некоторых a и b резко увеличивается число появляющихся нейтронов и вырабатываемая энергия, цепная реакция становится неуправляемой.

Компьютерная модель позволяет изучить ситуацию, когда после перехода реактора в установившийся режим происходит резкий всплеск радиоактивности, например, из–за того, что количество нейтронов на небольшое время увеличивается на 10 процентов, а затем возвращается к прежнему значению. На получающихся графиках видно, как реагирует система. Происходит переходный процесс, управляющие стержни, совершив несколько колебаний, останавливаются, система возвращается в состояние динамического равновесия. Понятно, что при слишком сильном увеличении количества нейтронов система выходит из равновесия, реакция становится неуправляемой, происходит ядерный взрыв.

4. Решение системы диффуравнений для точечной модели ядерного реактора

Процессы, происходящие в ядерном реакторе, можно описать следующей системой дифференциальных уравнений [2, 3, 7]:

На рис. 5 приведены результаты моделирования работы реактора, управляемого по уровню радиоактивности (программа ПР–3). Модель также позволяет проанализировать различные способы пуска ядерного реактора, и убедиться в том, что при резком изменении интенсивности ядерной реакции в небольших пределах система ведет себя устойчиво.

Промоделируем работу ядерного реактора, управление которым осуществляется по температуре теплоносителя при ступенчатом изменении U_0(t) (рис. 6). Для этого в программу ПР–3 следует внести небольшие изменения. Видно, что глубина погружения стержней при резком изменении U_0 совершает затухающие колебания. В момент t_4 управляющие стержни начинают погружаться, ядерная реакция прекращается. На рис. 7 представлены результаты моделирования работы реактора при плавном повышении U_0. Программа позволяет промоделировать аварийную ситуацию, когда интенсивность ядерной реакции, пропорциональная n, резко возрастает. Система автоматически реагирует и снова входит в нормальный режим. Понятно, что рассмотренные выше модели очень приблизительны и представляют интерес только для обучения.

1.     От чего зависит сложность учебника

Сложность учебного текста, как известно, определяется такими факторами, как средняя длина предложений, соотношение конкретных и абстрактных понятий, использование математических выражений и т.д. [7, с. 32–46]. Следует различать сложность учебника и количество информации в нем: учебник имеющий более высокую информативность (за счет большего числа страниц) может оказаться менее сложным. Сложность системы зависит от количества входящих в нее подсистем, связей между ними, а также сложности подсистем. Сложность текста определяется числом и сложностью используемых понятий, математических формул и других элементов знания в пересчете на 1 страницу текста. При этом понятно, что формулировка определения мгновенного ускорения, в котором используется понятие производной, ощутимо сложнее определения средней скорости, изучаемой в начальной школе. Совершенно аналогично формула, содержащая тригонометрические функции, логарифмы или интегралы сложнее формулы, которая имеет такое же количество символов и содержит только арифметические операции.

Сложность учебного физического текста в первую очередь зависит от  степени абстрактности изложения изучаемых вопросов. Известно, что изучение основ физической науки требует от школьников и студентов развитого абстрактного мышления. Даже рассмотрение механических и тепловых явлений предполагает использование  идеализированных моделей (материальная точка, идеальный газ) и разнообразных математических абстракций (система отсчета, вектора и их проекции, графики и т.д.). При изучении основ электродинамики, оптики, атомной и ядерной физики обучаемые вынуждены представлять в своем воображении различные объекты (электромагнитные волны, атомы, элементарные частицы) и явления (фотоэффект, ядерная реакция), которые не воспринимаются их органами чувств и не могут быть изучены экспериментально на уроке.

Уровень абстракции характеризует степень отвлеченности используемых понятий и проводимых рассуждений. В зависимости от конкретной задачи можно изучать один и тот же объект на различных уровнях абстракции. В теории познания абстрактное противопоставляется конкретному. К самому низкому уровню абстракции относится конкретная вещь, воспринимаемая органами чувств (данный шарик, именно этот термометр, конкретный амперметр). Более высоким уровнем абстракции является понятие родовой сущности вещи (“барометр вообще”). Следующий уровень соответствует использованию в своих рассуждениях идеализированных моделей (капельная модель ядра) или объектов (фотон, атом), которые нельзя пронаблюдать в повседневной жизни или в физической лаборатории. Высокую степень абстрактности имеют математические модели (число 5, прямой угол, график колебаний). Восхождение от конкретного к абстрактному приводит к созданию качественной, а затем и количественной  теории, содержащей сложные формулы с интегралами и производными.

Для оценки сложности учебников используется метод контент–анализа, заключающийся в “переводе в количественные показатели массовой текстовой информации” и их последующей статистической обработке. Текст учебника физики включает в себя собственно текстовую информацию, рисунки (графическая информация) и формулы.  Следуя принципу “измерять то, что можно измерить” [1], при анализе текста можно подсчитывать число использований различных понятий, формул, рисунков, содержащих эмпирическую и теоретическую информацию и т.д. Вместо того, чтобы анализировать весь текст учебника (это достаточно трудоемкая процедура) можно сделать репрезентативную выборку страниц, и оценить их среднюю сложность. Результат такой оценки можно распространить на весь учебник, если объем выборки достаточно велик (30–40 страниц из 400).

Будем различать физическую F и математическую M сложности учебника. Чтобы оценить физическую сложность, необходимо определить уровень абстрактности используемых моделей, степень их оторванности от повседневного жизненного опыта, наличие кажущегося противоречия между теоретическими рассуждениями и “здравым смыслом” или повседневным опытом. Математическая сложность текста зависит от количества и сложности используемых формул и рисунков, содержащих математические абстракции.

2. Определение физической сложности учебника

Под физической сложностью учебника будем понимать величину F, складывающуюся из сложности рассмотренных в нем физических объектов, явлений, экспериментов и физических теорий (постулатов, идей, следствий). Физическая сложность учебника оценивается так:

1. Анализируют оглавление учебника, при необходимости просматривают отдельные главы и оценивают общую сложность изучаемых объектов, явлений, а также физических теорий по шкале 1­–2–3–4–5: A=1, если в учебнике рассмотрены только физические объекты и явления, воспринимаемые органами чувств человека (вода, пружина, секундомер, отражение света), а их объяснения очевидны и не требуют воображения; A=3, если в учебнике обсуждаются объекты и явления, которые можно пронаблюдать в физической лаборатории (осциллограф, фотоэффект, электролиз) и/или приводятся объяснения, для понимания которых необходимо представлять молекулы, атомы, гравитационные и электромагнитные поля; A=5, если в учебнике рассматриваются эксперименты, невоспроизводимые в условиях обучения (ядерная реакция, ускоритель элементарных частиц) и/или присутствуют рассуждения. противоречащие “здравому смыслу” (корпускулярно–волновой дуализм, относительность одновременности). Значения A=2 и 4 являются промежуточными.

2. Выбирают n=10–15 страниц i–того учебника, которые равномерно распределены по всем тексту (например, если в учебнике 280 страниц, можно выбрать 25, 50, 75, … 275 страницы). Выбранные, а также две последующие страницы (25–26–27, 50–51–52, …) подвергают анализу, в ходе которого оценивается уровень физической сложности информации, изложенной на этих трех страницах по той же шкале. В результате для каждой из трех страниц ставят оценку B (j =1, 2, …, n), которую заносят в таблицу подобную  табл. 1. Среднюю физическую сложность учебника вычисляют по формуле (1).

3. Вычисляют физическую сложность i–того учебника по формуле (2). Коэффициенты подбираются так, чтобы подкорректировать вклад оценок A и B в общую оценку физической сложности F.

3. Определение математической сложности учебника

Математическая сложность учебника характеризуется сложностью математических моделей, используемых для описания изучаемых явлений и решения физических задач. Косвенно она может быть определена путем подсчета количества формул (с учетом их сложности) и рисунков, на которых изображены математические абстракции (вектора, силовые линии, графики). Математическая сложность учебника определяется следующим образом:

1. Анализируют математические формулы, представленные в i–том учебнике, и оценивают общий уровень их сложности (показывающий уровень знаний ученика, который способен понять эти формулы): C=1 – используются только арифметические действия; C=2 – в формулах присутствуют квадратные корни и возведение в степень; C=3 – в некоторых формулах имеются тригонометрические функции; C=4 – кроме тригонометрических функций используются логарифмы и пределы; C=5 – применяются дифференциалы, производные, интегралы, комплексные числа; C=6 – в учебнике используются операторы, содержащие производные (оператор набла, скобки Пуассона и т.д.).

Таблица 1. Таблица результатов анализа одного из учебников.

2. Выбирают n=10–15 страниц i–того учебника, которые равномерно распределены по всем тексту (25–26–27, 50–51–52 и т.д.) и подсчитывает количество формул N, их сложность K и число рисунков N_p, содержащих математическую информацию (вектора, графики, системы координат). Один рисунок, содержащий математические абстракции, приравнивается к формуле со сложностью 2. Вычисляют математическую сложность для каждой из трех страниц, для этого число формул умножают на их сложность, а к результату прибавляют число рисунков, умноженное на весовой множитель 2 (формула (3)). После этого для каждого i–того учебника рассчитывают среднее значение D и среднее число формул на трех страницах по формулам (4) и (5).

3. Вычисляют комплексный показатель математической сложности учебника по формуле (6). Весовые коэффициенты позволяют подкорректировать вклад этих оценок в общую оценку физической сложности, которая должна находиться в интервале [0; 1].

Используемые формулы представлены ниже. Для определения общей сложности учебника применяется формула (7).

Таблица 2. Сводная таблица результатов анализа учебников физики.

4. Результаты оценки сложности учебников

Результаты вычислений комплексных показателей физической F и математической M сложности учебников физики представлены в таблице 2. Общая сложность S вычислялась по формуле (7). На рис. 1 изображено распределение учебников в пространстве, образованном осями F и M. Числа, стоящие рядом с точками, совпадают с номерами учебников в таблице 2 (а не с номером в списке литературы). Видно, что наибольшую сложность имеет вузовский учебник по квантовой физике [20], а наименьшую –– учебники физики за 7 класс [14] и за 8 класс [15]. Последние два учебника [14, 15],  учебник физики [16] за 9 класс и учебники [9, 13] за 11 класс имеют математическую сложность M меньше 0,4. Учебники [9, 13, 16] имеют физическую сложность более 0,4, в то время как их математическая сложность достаточно низка (0,2 – 0,3). Учебник для 10 класса [3] по механике имеет невысокую физическую сложность (0,10), но достаточно высокую математическую сложность (0,57). В нем рассматриваются механические явления, большинство из которых можно пронаблюдать в повседневной жизни, но при этом используются достаточно сложные математические модели. Учебники для школ [4, 5, 8, 10, 11, 12, 17], а также учебники для вузов [18, 19, 20] имеют физическую и математическую сложности более 0,4.

Рассмотренный выше метод позволяет достаточно быстро “измерить” сложности F и M различных учебников физики и выдвинуть предположение о том, какой из учебников целесообразнее использовать в той или иной ситуации. При этом не учитывается содержательная сторона учебных текстов, правильность логических выводов, методическая обоснованность рассуждений, так как изначально предполагается, что анализируемый учебник соответствует всем стандартным требованиям, предъявляемым к такого рода изданиям.

Предложенная методика оценки физической и математической сложности позволяет произвести сравнительный анализ различных учебных пособий. Результаты подобной экспертизы могут быть учтены при написании учебников нового поколения, а также в работе учителей. Хорошо известно, что учащиеся отличаются своими интересами, знаниями математики, и имеют неодинаковые способности к усвоению различных видов информации. Определив физическую и математическую сложности учебника, можно спрогнозировать, какие учащиеся будут лучше усваивать тот или иной материал.

1. Использование оптодатчика, подключенного к ПЭВМ

Установка для изучения реактивного движения (рис. 1.1) состоит из сегнерова колеса, выполненного в виде подвешенной на нити 1 двухлитровой пластиковой бутылки 3 с двумя изогнутыми трубками 5 диаметром 3–5 мм. К крышке бутылки прикреплен диск 2 диаметром 200 мм, по краю которого выполнены 96 или 48 прорезей. В верхней части бутылки имеется отверстие для воздуха. Вблизи края диска находится оптодатчик, состоящий из лампочки накаливания 6 на 6,3 В и фотодиода 7, подсоединенного к формирователю счетных импульсов 8, который подключен к параллельному порту компьютера 9. Формирователь импульсов представляет собой усилитель на двух транзисторах, к выходу которого подключен триггер Шмидта. При вращении диска происходит периодическое освещение и затемнение фотодиода, в результате чего в компьютер поступает последовательность логических 0 и 1, которая обрабатывается программой, написанной на языке Pascal или QBasic. Результаты измерений выводятся на экран в цифровом или графическом виде. Рассматриваемый метод определения скорости вращения с помощью оптодатчика описан в статье [2].

Общие принципы использования параллельного интерфейса для обмена информацией с внешними устройствами и конкретные примеры программ рассмотрены в [3–5]. В нашем случае питание датчика осуществлялось от компьютера. В качестве общего провода может использоваться один из 18, 19, 20, … 25 выводов параллельного интерфейса LPT. Проводом питания + 5 В может служить 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 вывод. Для этого в начале программы, обрабатывающей сигналы с датчика, в ячейку памяти 378h записывают число 255, что соответствует двоичному числу 11111111. При этом на выводах 2–9 порта LPT появляется напряжение высокого уровня, соответствующее лог. 1,  которое используется для питания датчика. Совокупность 8 логических нулей и единиц, снимаемых с выводов 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 и 17 порта LPT, записывается в ячейку памяти с адресом 379h. Если сигнал с формирователя импульсов подается на один из перечисленных выводов параллельного интерфейса, то в этой ячейке памяти при различных состояниях датчика будут записаны различные числа.

Рассмотрим программу 1, позволяющую протестировать оптодатчик, подключенный к параллельному порту принтера. Она включает питание схемы и считывает число из ячейки памяти 379h, которое зависит от состояния выхода формирователя счетных импульсов.  Если после запуска программы осветить фотодиод, то на экран будет выводиться одно число (например, 255), а если затемнить, – то другое (127).

Программа 2 запускает формирователь импульсов и затем в течение заданного интервала времени (1–3 с) считает количество прорезей диска, прошедших через оптодатчик. В этом же цикле определяется угловая скорость, результат записывается в файл и на экране ставится соответствующая точка графика. После этого все повторяется. На экране компьютера получается график зависимости угловой скорости диска от времени.

Эксперимент проводят следующим образом. Закрывают сопла сегнерова колеса пластилином и наполняют бутылку водой, после этого закручивают крышку с диском и подвешивают бутылку на нити. Запускают программу и открывают сопла, – бутылка с диском начинает вращаться. На экране компьютера строится графика зависимости модуля угловой скорости бутылки от времени (рис. 2.1). Скорость вращения бутылки сначала возрастает, достигает максимального значения, после чего уменьшается. За счет закручивания нити возникает момент упругих сил, который останавливает сегнерово колесо и заставляет его вращаться в противоположном направлении. Возникают крутильные колебания, амплитуда которых уменьшается.

Аналогичный эксперимент был проведен с колесом Сегнера, имеющим вид цилиндрического сосуда с двумя изогнутыми трубками, который установлен на вертикальном заостренном стержне. Нами использовалась готовый прибор “Сегнерово колесо”, у которого масса вращающейся части без воды 0,3–0,4 кг, объем сосуда 1 л, причем сопла расположены на 25 см ниже дна сосуда. Перед проведением измерений сопла закрывают пробками, сосуд наполняют водой и закрывают цилиндрической крышкой, к которой прикреплен диск с 96 или 48 прорезями по краю. Получающийся график зависимости угловой скорости от времени представлен на рис. 2.2. Из него видно, что скорость сегнерова колеса сначала возрастает, достигает максимума, затем, когда вода почти вся вытекла, уменьшается до нуля вследствие действия тормозящего момента.

2. Использование геркона, подключенного к ПЭВМ

Для экспериментального изучения вращения сегнерова колеса можно использовать датчик замыкания–размыкания на герконе. Геркон следует подключить, например, к 13 и 25 выводам параллельного порта принтера. При поднесении к нему магнита контакты геркона замыкаются. Если запустить программу 1 при разомкнутых выводах 13 и 25 (общий) порта принтера, то оператор INP(&H379) возвратит число 01111111 (или 127 в десятичной системе счисления), в чем можно убедиться, выведя его на экран с помощью оператора PRINT INP(&H379). При замыкании выводов 13 и 25 оператор INP(&H379) возвращает число 01101111 (или 111), в котором 5 бит инвертирован.

Для измерения скорости вращения сегнерова колеса к сосуду с противоположных сторон приклеивают два постоянных магнита, а рядом устанавливают датчик на герконе так, чтобы прохождение мимо него магнита вызывало замыкание контактов. Программа должна определять время замыкания или время между двумя последовательными замыканиями (размыканиями). Получающиеся при этом графики полностью аналогичны рассмотренным выше.

 3. Использование видеокамеры

Еще один метод изучения зависимости скорости вращения от времени состоит в записи движущегося тела на видеокамеру и разложении получившегося видеоклипа на отдельные кадры. В опыте используется пластиковая бутылка с двумя изогнутыми трубками, к которой прикреплен горизонтальный диск с радиальной полосой (меткой). Над ним устанавливают цифровую видеокамеру, а ее объектив направляют вниз. Включают видеокамеру и открывают сопла колеса Сегнера, оно начинает вращаться. Для разложения получившегося видеофрагмента в последовательность отдельных кадров применяется программа Adobe Premiere 6.0. С помощью графического редактора Paint определяют координаты   начала и конца полоски в каждом 10 кадре (рис. 3.1). Если частота кадров 25 кадров/c, то это позволяет вычислить угловую координату диска через каждые 1/2,5 с. Результаты вводят в электронные таблицы Excel и строят графики зависимостей угловой скорости и координаты от времени (рис. 3.2).

Погрешность определения координаты тела зависит от его скорости. Размытость изображения точки при скорости 0,5 м/с и частоте кадров 25 Гц (время съемки одного кадра равно 1/25=0,04 с) составляет 1–2 см.

4. Компьютерная модель явления

С целью компьютерного моделирования вращения сегнерова колеса, подвешенного на нити, написана программа, строящая графики зависимостей его массы, угловой координаты и скорости от времени. В основу компьютерной модели положен метод конечных разностей Эйлера, заключающийся в нахождении малых приращений анализируемых функций (массы сегнерова колеса, высоты жидкости, скорости, ускорения и т.д.), которые соответствуют малым приращениям времени. Модель учитывает, что при закручивании нити возникает момент упругих сил. Получающиеся результаты имитационного моделирования (рис. 1.2) согласуются с экспериментальными кривыми. При этом используется следующий алгоритм:

Рассмотренные эксперименты способствуют формированию научного мировоззрения студентов и школьников [6], приводят к повышению интереса к физике и информационным технологиям. Они могут лечь в основу учебного исследования, проекта, курсовой или дипломной работы студента.

Иногда в учебных экспериментах возникает необходимость периодического (через 1 – 30 с) измерения частоты сигнала. Эта задача может быть успешно решена с помощью ПЭВМ [1 – 5]. Для этого электрические колебания с помощью формирователя импульсов преобразуют в цифровой сигнал, и получившуюся последовательность лог. 0 и лог. 1 заводят в компьютер, например, через LPT–порт (25 вывод – общий, один из выводов 10 – 17 – для ввода сигнала). При использовании ПЭВМ типа Celeron с операционной системой Windows 98 частота поступающих импульсов может быть определена с помощью программы ПР–1, написанной на языке QBasic. На ее основе может быть написана аналогичную программу на языке Pascal или Delphi. В литературе [1, 2, 5] описаны и другие способы сопряжения внешнего устройства с компьютером через последовательный порт или USB–порт и рассмотрены соответствующие программы, обрабатывающие поступающие сигналы. В результате этого ПЭВМ превращается в цифровой частотомер, который позволяет выполнить различные учебные опыты [3; 4, с. 92–116].

Опыт 1.1. Измерение скорости вращения. Чтобы определить скорость вращения вала двигателя, на нем закрепляют диск с прорезями, а рядом устанавливают оптодатчик (светодиод, фотодиод и схема сопряжения), подключенный к ПЭВМ. При вращении диска прорези должны пересекать световой пучок так, чтобы фотодиод периодически освещался и затемнялся. Компьютер определяет частоту импульсов, поступающих с выхода оптодатчика, которая пропорциональна скорости вращения диска.

Опыт 1.2. Частотная модуляция. Порт компьютера соединяют с RC–генератором прямоугольных импульсов, частота которого может изменяться при замыкании и размыкании тумблера. Другой вариант опыта предусматривает использование генератора звуковой частоты, к выходу которого подключен формирователь прямоугольных импульсов. Программу следует отредактировать так, чтобы на экран выводилась последовательность 0 и 1, где 0 соответствует низкой частоте входного сигнала, а 1 – более высокой частоте.

Опыт 1.3. Изучение датчика координаты. К компьютеру подключают RC–генератор, вырабатывающий последовательность прямоугольных импульсов, частота которых зависит от сопротивления резистивного датчика координаты. Запускают программу. Поворачивая подвижный контакт резистора, наблюдают получающийся график зависимости координаты от времени. Можно изменить программу так, чтобы она через заданное время выводила координату движка резистора в числовом виде.

Опыт 1.4. Подключение термодатчика. Если вместо датчика координаты к генератору импульсов подключить терморезистор (например, типа ММТ–12), то при его нагревании частота импульсов будет увеличиваться. Представленная выше программа позволяет получить график зависимости температуры терморезистора от времени.

 2. Изучение передачи ЧМ сигнала по каналу связи

Используя рассмотренный выше частотомер на основе ПЭВМ, можно экспериментально изучить передачу информации по каналу связи с помощью частотно–модулированного сигнала.

Опыт 2.1. Передача информации по проводной линии связи. Два одинаковых компьютера соединяют двумя проводниками, на принимающем запускают программу, декодирующую сообщение, на передающем компьютере – программу, кодирующую сообщение. Общий провод соединяет 25 вывод LPT–порта ПЭВМ 1 с 25 выводом LPT– порта ПЭВМ 2. Сигнальный провод соединяет 3 вывод LPT– порта ПЭВМ 1 с 11 выводом LPT– порта ПЭВМ 2 (рис. 1.1).

При запуске программы–кодера на ПЭВМ 1, она запрашивает передаваемое сообщение (строка символов 0 и 1), затем последовательно перебирает символ за символом, осуществляя частотно–импульсное кодирование, так что на соответствующем выводе LPT–порта появляются импульсы напряжения изменяющейся частоты. Допустим, символу “1″ соответствуют импульсы частотой , символу “0″ – импульсы частотой , а если сообщение не передается, то на выходе – логический 0. Программу–декодер на ПЭВМ 2 запускают раньше начала сеанса связи, она должна осуществлять декодирование поступающих сигналов. После окончания передачи сообщения программа–декодер должна перейти в режим ожидания до начала следующего сеанса связи.

Опыт 2.2. Передача информации по оптическому каналу связи. Для осуществления передачи сообщений с помощью оптической связи к LPT–порту передающей ПЭВМ 1 через схему сопряжения 2 подключают полупроводниковый лазер–указку 3. Его луч должен попадать на фотодиод 4, соединенный через формирователь сигнала 5 с LPT–портом принимающей ПЭВМ 6 (рис. 1.2). Сначала запускают программу–декодер, принимающая ПЭВМ 2 находится в режиме ожидания. Затем запускают программу–кодер на ПЭВМ 1 и с помощью клавиатуры набирают сообщение в виде последовательности 0 и 1. ПЭВМ 1 осуществляет кодирование, и вырабатывает последовательность импульсов изменяющейся частоты. Лазер выдает световые вспышки, периодически освещая фотодиод. ПЭВМ 2 декодирует сообщение и выводит его на экран. Можно предусмотреть передачу сообщений на русском языке, для этого программа–кодер сначала должна закодировать каждую из 32 букв пятью битами 0 или 1, а уже потом получившуюся последовательность 0 и 1 использовать для частотно–импульсной модуляции свечения лазера.

3. Изучение электрических машин с помощью цифрового тахометра

Изучение электрических машин требует снятия их скоростных характеристик, что требует одновременного измерения токов, напряжений и т.д., а также определения частоты вращения ротора. Экспериментальная установка  (рис. 2.1) для изучения электрических машин состоит из асинхронного двигателя 1, вал которого соединен с валом машины постоянного тока 3. На валу установлен диск 2 с прорезями по краю, вблизи него – оптодатчик 4, соединенный через параллельный LPT–порт с персональной ЭВМ. Трехфазный асинхронный двигатель типа ЭАО – 31П подключен к регулируемому источнику переменного напряжения (ЛАТРу) или постоянного напряжения и используется в качестве двигателя или индукционного тормоза. Машина постоянного тока (двигатель от пылесоса) может иметь независимое, параллельное или последовательное возбуждение. Она в различных опытах используется в качестве двигателя, генератора или индукционного тормоза. Оптодатчик состоит из светодиода и фотодиода, расположенных напротив друг друга; между ними находится диск с прорезями. На ПЭВМ запускают программу на языка Pascal, которая определяет время одного оборота вала и вычисляет скорость его вращения.

Опыт 3.1. Изучение зависимости частоты ротора АД от механического момента на валу. АД подключают к ЛАТРУ, а МПТ используют в качестве генератора с независимым возбуждением. Через обмотку возбуждения МПТ пропускают постоянный ток 0,5 – 1 А, к якорю в качестве нагрузки подключают реостат и амперметр с вольтметром. МПТ работает в режиме индукционного тормоза, создаваемый ею тормозящий момент пропорционален току якоря и частоте вращения ротора, который измеряют с помощью ПЭВМ. При постоянной скорости ротора вращающий момент равен тормозящему. На АД подают 90 В и, изменяя сопротивление нагрузки в цепи якоря МПТ, снимают зависимость частоты вращения ротора АД от механического момента на валу (рис. 2.2).

Опыт 3.2. Изучение зависимости частоты вращения ротора АД от потребляемого тока. Проводят аналогичный эксперимент, плавно увеличивая механическую нагрузку на валу путем уменьшения сопротивления цепи якоря МПТ, одновременно измеряя частоту вращения ротора. Снимают зависимость n = f(I_ад). При этом уменьшение частоты вращения ротора АД сопровождается ростом потребляемого тока (рис. 2.3).

Опыт 3.3. Изучение зависимости частоты вращения ротора МПТ в режиме генератора от тока якоря при последовательном возбуждении. Якорь и обмотку возбуждения МПТ соединяют последовательно с реостатом и амперметром и подключают к источнику постоянного напряжения (рис 2.1). Обмотку АД подключают к регулируемому источнику постоянного тока, АД работает в режиме индукционного тормоза. Включают МПТ (в качестве двигателя), пропуская через него ток 1 А. Регулируя напряжение питания АД, плавно увеличивают тормозящий момент, действующий на вал со стороны АД. Снимают зависимость n = f(I_я). При уменьшении частоты вращения ротора МПТ ток возрастает (рис. 2.4).

Опыт 3.4. Изучение зависимости частоты вращения ротора АД нагруженного на МПТ в качестве генератора с независимым возбуждением и постоянной нагрузкой, от напряжения питания АД. Через обмотку возбуждения МПТ пропускают ток возбуждения, к обмотке якоря подключают нагрузку 10 ом. Плавно увеличивая напряжение питания АД, измеряют частоту вращения ротора. Снимают зависимость n = f(U_ад).

Опыт 3.5. Изучение зависимости частоты вращения ротора МПТ в режиме двигателя (последовательное возбуждение) от напряжения питания. Обмотку возбуждения МПТ соединяют последовательно с якорем и через реостат подключают к источнику постоянного напряжения. Изменяя напряжение питания, контролируемое вольтметром, с помощью оптодатчика, подключенного к ПЭВМ, определяют частоту вращения ротора, и снимают соответствующую характеристику n = f(U_мпт).

Опыт 3.6. Изучение зависимости частоты вращения ротора МПТ в режиме двигателя от тока возбуждения. Подключают МПТ к источнику постоянного напряжения, используя параллельную схему возбуждения. Последовательно обмотке возбуждения и якорю МПТ включают реостаты с амперметрами, обе ветви подсоединяют к выпрямителю. Подают напряжение и, изменяя реостатом ток возбуждения, измеряют с помощью ПЭВМ частоту вращения ротора при различных токах возбуждения. Снимают зависимость n = f(I_в).

Опыт 3.7. Изучение зависимости частоты вращения ротора от времени при переходном электро–механическом процессе. Включают двигатель (АД или МПТ) и ждут, пока его скорость не достигнет постоянного значения. Запускают программу, вычисляющую скорость ротора и строящую график ее зависимости от времени. Резко изменяют напряжение питание двигателя (или индукционного тормоза), на экране получается график зависимости скорости от времени. Система переходит из одного установившегося состояния динамического равновесия в другое. Скорость вращения ротора, плавно изменяясь, постепенно приближается к новому предельному значению.

Использование рассмотренных выше экспериментов в учебном процессе способствуют повышению интереса студентов к физике и информационным технологиям, более глубокому усвоению изучаемых вопросов.

Изучение темы “Движение частицы в центрально–симметричном поле” имеет большое значение для понимания курсов физики и астрономии. К обсуждению проблемы движения точки в поле центральной силы сводится задача двух тел; ее изучение также предполагает рассмотрение законов движения планет, обращения спутников вокруг Земли, движения электронов вокруг ядра (теория Бора), опыта Резерфорда по рассеянию альфа–частиц ядрами атомов золота, движения сферического маятника, шарика в осесимметричной потенциальной яме  и т.д.

Один из эффективных способов изучения этого вопроса состоит в применении компьютерных моделей. Используя специальные учебные программы, написанные в Delphi и Visual Basic, можно промоделировать движение частицы в центрально-симметричном поле и установить соответствующие закономерности. Недостаток этой методики состоит в том, что студент не участвует в создании программы и часто работает с ними, не понимая, как вычисляются координаты и скорость частицы. Альтернативный подход заключается в применении небольших учебных программ (10–15 строк), которые студенты способны быстро набрать во время занятия, а затем выполнить серию учебных вычислительных экспериментов. В работах [3, 4] представлены примеры таких программ на языке Pascal.

Настоящая статья посвящена разработке методики проведения лабораторной работы “Изучение движения точки в поле центральной силы” на базе электронных таблиц Excel. Она состоит в теоретическом изучении метода компьютерного моделирования, создании двух или более программ на языке Visual Basic и проведении серии вычислительных экспериментов, подтверждающих законы Кеплера и некоторые другие утверждения. В статье фактически представлена инструкция по выполнению этой работы.

Как известно, школьный и вузовский курсы информатики предполагают освоение табличного процессора MS Excel, который является мощным программным средством, объединяющим в себе электронные таблицы, средства визуального программирования и графический модуль, позволяющий построить различные диаграммы, графики и поверхности. Хотя пакет MS Excel имеет меньше возможностей по сравнению со специализированными пакетами (MathCad, MathLab, Math и т.д.), он позволяет реализовать простейшие алгоритмы численного решения дифференциальных уравнений, создать компьютерные модели и решить достаточно широкий круг задач по физике [5, 8, 9]. Для этого соответствующие диффуравнения представляются в конечно-разностном виде [3–7] и создается макрос (небольшая программа) на языке Visual Basic [1, 2, 10]. Для написания макроса достаточно выбрать: Вид –> Панели инструментов –> Элементы управления –> Кнопка. Необходимо кнопку Command Button1 перенести на таблицу и дважды кликнуть по ней. В появившееся окно следует записать текст программы, которая будет исполняться после запуска. Макрос, произведя расчеты, создает таблицу результатов вычислений, на основе которых стандартными средствами Excel можно построить график изучаемой зависимости [1, 2, 8–10].

2. Теория используемого метода

Рассмотрим материальную точку, движущуюся в центральном поле с потенциальной энергией U=U(r), которая зависит только от расстояния r до центра O. Если это поле притяжения, то на нее действует сила F=F(r), направленная к O (рис. 1.1). Из законов механики следует:

Программа для расчета движения частицы содержит цикл, в котором пересчитываются проекции действующей силы, ускорения, скорости, координаты в последовательные моменты времени t и строится траектория.

На рис 1.2 представлен результат моделирования движения частицы в поле гравитационных сил притяжения, действующих по закону обратных квадратов; траекторией является эллипс. Из рис. 2.1 видно, что при малых скоростях точка движется по эллиптической орбите (траектории 1, 2, 3, 4), а при больших – по гиперболе (траектории 5, 6). Критическому случаю соответствует параболическая траектория. На рис. 2.2 представлены результаты расчетов движения частицы в центральном поле, для которого сила не подчиняется закону обратных квадратов. Видно, что траекторией является незамкнутая кривая (розетка). По теореме Бертрана, частица движется по замкнутой траектории в двух случаях: 1) в поле квазиупругой силы (F пропорциональна r); 2) в поле силы притяжения, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния r до центра O.

По второму закону Кеплера секториальная скорость планеты остается постоянной. Определить секториальную скорость можно следующим образом. Пусть за время dt планета перемещается из A(x,y) в B(x1,y1) (рис. 3.1). Из геометрических соображений:

Радиус–вектор планеты заметает площадь треугольника OAB.  Из рис. 3.2 представлены графики зависимости от времени расстояния r от планеты до Солнца, модуля линейной скорости v и секториальной скорости. Видно, что секториальная скорость не изменяется, это и подтверждает второй закон Кеплера.

При движении частицы в поле сил отталкивания, подчиняющейся закону обратных квадратов, она движется по гиперболической траектории. На рис. 3.3 представлены результаты расчетов движения альфа–частиц в поле положительно заряженного ядра атома (опыт Резерфорда) при различных значениях прицельного параметра (начальной координаты y0).

 3.     Порядок выполнения работы

1. Изучите теорию движения точки в центрально симметричном поле сил притяжения и отталкивания. Запишите теорему Бертрана и законы Кеплера. По каким траекториям может двигаться точка? В каком случае траектория замкнута?

2. Изучите математическую модель явления и алгоритм, позволяющий рассчитать движение точки в поле центральной силы.

3. По направлению к массивному положительно заряженному ядру движутся альфа–частицы (опыт Резерфорда). Рассчитайте траекторию движения альфа–частиц в Excel. Для этого наберите и запустите программу ПР–1. В начале программы следует задать прицельный параметр y0 = 30. Действуют силы отталкивания, поэтому в программе сила F положительна. Траекториями частиц являются гиперболы (рис. 4). Все физические величины измеряются в условных единицах.

4. В опыте Резерфорда определялись вероятности отклонения альфа-частиц ядрами атомов золота на различные углы. Дополните программу так, чтобы она вычисляла угол отклонения направления движения частицы после взаимодействия. Если активизировать оператор Cells(i / 100, 4) = vy /vx, то после запуска программы в столбце D появится тангенс угла между составляющими вектора скорости (рис. 4). Чтобы получить значение угла в градусах, в ячейку E1 записывают “=ATAN(D1)*180/3,1415”, а затем копируют эту формулу в остальные ячейки столбца E.

5. Проведите серию вычислительных экспериментов при различных прицельных параметрах y0=0, 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 25 и т.д., каждый раз правильно определяя угол отклонения частицы и записывая результат в таблицу Excel. По полученным данным постройте график зависимости угла отклонения от прицельного параметра.

6. Промоделируйте движение планеты вокруг Солнца (рис. 5). Для этого наберите программу ПР–2 и запустите ее. Повторите моделирование при других начальных координатах и скоростях планеты. Убедитесь, что при малых скоростях планета движется по замкнутой эллиптической орбите. При увеличении начальной скорости эллипс становится более вытянутым, превращается в параболу (критический случай), а затем в гиперболу.

7. Изучите метод определения секториальной скорости планеты через площадь треугольника ОАВ (рис. 3.1). Активизируйте закомментированные операторы, которые вычисляют секториальную скорость планеты в различные моменты времени и выводят ее в столбец D. Убедитесь в том, что секториальная скорость планеты остается постоянной (второй закон Кеплера).

8. Предложите способ проверки третьего закона Кеплера, из которого следует, что отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси ее орбиты для любой планеты остается постоянным. Для этого необходимо промоделировать движение планеты при различных ее начальных координатах и скоростях, определить период ее обращения и большую полуось орбиты. Если начальные условия задать так: x0=–20, y0=0, vx=0, vy=6 (все величины в условных единицах), то планета начнет свое движение из точки А(x0,0) , лежащей на оси Ox левее нуля, со скоростью, параллельной оси Oy. Через половину периода t1=T/2 она оказывается в точке B(x1,0). Большая ось AB эллипса имеет длину x1–x0 и совпадает с осью Ox. Поэтому большая полуось орбиты a=(x1-x0)/2. Значение x1 и соответствующий ему момент времени t1 могут быть найдены из таблицы, получающейся в результате работы программы ПР–2. Период обращения планеты T=2*t1.

9. Выполните 5–8 численных экспериментов при различных начальных координатах x и скоростях vy и заполните таблицу. Убедитесь, что во всех случаях коэффициент k, равный отношению квадрата периода к кубу большой полуоси орбиты остается постоянным. Пример таблицы приведен ниже.

9. Несколько (3 – 6) раз промоделируйте движение планеты при одинаковых x0 и различных vy, в каждом случае определяя большую полуось a=(x1-x0)/2 орбиты, перигелийное расстояние q (оно равно | x0 | или x1) и эксцентриситет e=1-q/a. Результаты оформите в виде таблицы.

10. Промоделируйте движение точки в поле центральной силы притяжения, не подчиняющейся закону обратных квадратов (рис. 6).

11. Измените программу так, чтобы она моделировала движение частицы в центральном поле силы

Коэффициенты в формуле следует подобрать так, чтобы при больших r преобладали силы притяжения, а при малых – силы отталкивания. Аналогичное уравнение описывает силу взаимодействия между атомами. Получающиеся траектории (рис. 7) зарисуйте в тетрадь.

12. В выводе охарактеризуйте и объясните полученные результаты.

4. Заключение

В статье представлена методика использования электронных таблиц MS Excel для моделирования движения материальной точки в поле центральных сил притяжения и отталкивания. Предложена инструкция к лабораторной работе, которая может быть проведена в компьютерном классе. Рассмотренные программы позволяют: 1) рассчитать движение планет вокруг звезды; 2) промоделировать движение частицы в гравитационном поле по эллиптической, параболической и гиперболической траектории; 3) подтвердить второй и третий законы Кеплера; 4) промоделировать отклонение альфа-частиц в поле отталкивания ядра атома; 5) промоделировать движение частицы в поле силы, не подчиняющейся закону обратных квадратов. Установлено, что для моделирования перечисленных выше явлений достаточно создать два небольших макроса на языке Visual Basic. Использование предложенной лабораторной работы на занятиях по компьютерному моделированию способствует установлению межпредметных связей между математикой, физикой, информатикой, астрономией и повышению интереса к этим дисциплинам.

Одно из направлений развития современной дидактики заключается в использовании математических и имитационных (компьютерных) моделей для изучения процесса обучения [1–9]. Метод имитационного моделирования позволяет исследователю изучать сложные объекты и процессы в случае, когда проводить реальные эксперименты с ними невозможно или нецелесообразно. Сущность этого метода состоит в построении компьютерной модели реальной системы и проведении серии вычислительных экспериментов с целью понимания поведения системы или оценки различных стратегий управления, обеспечивающие ее функционирование [10, c. 12]. Процесс создания имитационной модели Р.Шеннон называет “интуитивным искусством” или “искусством моделирования”, которое “состоит в способности анализировать проблему, выделять из нее путем абстракции ее существенные черты, выбирать и должным образом модифицировать основные предположения, характеризующие систему, а затем отрабатывать и совершенствовать модель до тех пор, пока она не станет давать полезные для практики результаты” [10, c. 34].

Известные модели процесса обучения [1–5, 9] обладают существенным недостатком: они не учитывают, что при многократном использовании учащимся ранее изученных элементов учебного материала (ЭУМ) эти знания усваиваются более прочно и забываются медленнее. Но ведь именно этот процесс повышения прочности усвоенных знаний при их использовании учеником в своей деятельности и лежит в основе формирования умений и навыков, которые сохраняются длительное время. Как говорил Б.Ф. Скиннер, “образование – это то, что остается, когда все выученное забыто.” Данное высказывание можно перефразировать так: образование – это прочные знания, полученные своим трудом за счет их многократного использования, остающиеся у человека после того, как он забыл все непрочные знания, которые не были включены в его учебную деятельность.

В настоящей статье рассматриваются два типа моделей, учитывающих повышение прочности знаний при обучении: 1) многокомпонентная непрерывная модель обучения, учитывающая переход непрочных знаний в прочные; 2) непрерывная модель обучения с изменяющимся коэффициентом забывания. В работе представлены компьютерные программы, написанные на языке Visual Basic в среде Excel, и конкретные результаты моделирования.

1. Многокомпонентная непрерывная модель обучения

Обозначим через U уровень требований, предъявляемый учителем. Он равен (или пропорционален) количеству рассматриваемых ЭУМ, которые должен усвоить учащийся. Суммарные знания ученика Z включают в себя непрочные знания первой категории, более прочные знания второй категории и очень прочные знания  третьей категорий: Z=Z_1+Z_2+Z_3 [6, 7]. В процессе обучения (k=1) сообщаемая учителем информация сначала превращается в знания первой категории, а затем в результате ее использования при выполнении учебных заданий – в знания второй и третьей категории (рис. 1.1). При этом прочность усваиваемого материала постепенно возрастает. Скорость перехода непрочных знаний в разряд более прочных знаний характеризуется коэффициентами усвоения.

При отсутствии обучения (k=0) происходит обратный переход: часть прочных знаний третьей категории постепенно становятся менее прочными знаниями второй категории, те в свою очередь частично переходят в разряд непрочных знаний первой категории, которые забываются. Скорости переходов знаний (i–1)–ой категории в знания i–ой категории и наоборот при обучении и забывании характеризуется коэффициентами усвоения и забывания, которые отличаются друг от друга в e = 2,72… раза. Таким образом, в основу предлагаемой модели положены следующие принципы:

1. Сообщаемая учащимся информация (знания) является совокупностью равноправных несвязанных между собой элементов учебного материала (ЭУМ), число которых пропорционально ее количеству.

2. В процессе обучения учащийся оперирует имеющейся у него информацией, выполняя различные учебные задания. При этом сообщаемые учителем знания сначала усваиваются непрочно (становятся знаниями первой категории), затем по мере их повторения и использования – прочнее (превращаются в знания второй категории), а затем становятся прочными (знания третьей категории).

3. Скорость увеличения непрочных знаний ученика в процессе обучения пропорциональна разности между уровнем требований учителя U (который равен количеству сообщаемых им знаний) и суммарными знаниями ученика Z.

4. Во время обучения скорость превращения непрочных знаний в прочные пропорциональна количеству непрочных знаний.

5. При отсутствии обучения происходит забывание: знания становятся менее прочными и постепенно забываются. Скорость уменьшения прочных или непрочных знаний ученика при забывании пропорциональна количеству этих знаний.

6. Коэффициент усвоения ученика тем выше, чем больше количество усвоенных им знаний Z и чем меньше сложность S изучаемого материала.

Предлагаемая трехкомпонентная модель обучения выражается системой уравнений (при обучении k=1; при забывании k=0):

Результат обучения характеризуется суммарным уровнем приобретенных знаний Z и коэффициентом прочности Pr=(Z_2/2+Z_3)/Z. Если все приобретенные во время обучения знания непрочные (Z_1=Z, Z_2=Z_3=0), то коэффициент прочности Pr=0. Надо стремиться к ситуации, когда все приобретенные знания прочные (Z_3=Z, Z_1=Z_2=0), тогда Pr=1. При длительном изучении одной темы уровень знаний Z увеличивается до U, одновременно с этим происходит повышение доли прочных знаний Z_3, растет прочность Pr.

                                                                                                                                                                                    Программа ПР–1.

Для имитационного моделирования одиннадцатилетнего обучения в школе используется программа ПР–1; результаты представлены на рис 2. Предполагается, что в течение учебного года школьник 275 дней учится, а 90 дней отдыхает на летних каникулах. Уровень требований учителя U и сложность учебной информации S с каждым годом увеличиваются (рис. 2). В программе ПР–2 используется коэффициент 0,07, поэтому сложность растет от 0,07 до 0,77. Коэффициенты усвоения и забывания подобраны так, чтобы график суммарных знаний Z(t) (синяя линия) примерно соответствовал бы достаточно успешному ученику, который усваивает 70–90 процентов требуемой информации (рис. 2). Желтая линия соответствует знаниям первой категории, а красная –– сумме знаний первой и второй категорий. По оси абсцисс откладывается время (в днях), прошедшее с момента поступления ученика в школу.

2. Модель обучения с изменяющимся коэффициентом забывания

Другой подход заключается в учете того факта, что при увеличении числа обращений ученика к конкретному ЭУМ (вопросу, задаче) коэффициент забывания этого ЭУМ уменьшается. Допустим, что ученик в процессе обучения вынужден решать однотипных задач по одной и той же теме. Во время урока он в определенные моменты времени складывает числа (или читает отдельные слова, выполняет задания теста). Остальное время на уроке он занимается другой учебной деятельностью, которая нас пока не интересует. В основе предлагаемой модели [8] лежат следующие утверждения:

1. Учебный курс состоит из N независимых одинаковых по объему и сложности элементов учебного материала (ЭУМ), к которым ученик обращается в случайной или заданной последовательности. В каждый момент времени ученик может работать не более чем с одним ЭУМ.

2. Ученик неоднократно обращается к каждому ЭУМ.  При каждом обращении ученика к i–тому ЭУМ его уровень знаний Z(i) i–того ЭУМ возрастает до 1.

3. После окончания работы с i–тым ЭУМ ученик начинает его забывать. Его уровень знаний Z(i) убывает по экспоненциальному закону, скорость которого определяется коэффициентом забывания gamma(i).

4. Каждому ЭУМ соответствует свой коэффициент забывания. При увеличении числа s(i) обращений ученика к i–тому ЭУМ коэффициент забывания gamma_i уменьшается.

5. По мере увеличения числа s(i) обращений ученика к i–тому ЭУМ время работы ученика с i–тым ЭУМ уменьшается, стремясь к некоторому пределу, который равен минимально возможному времени работы с данным ЭУМ.

6. Суммарное количество знаний в каждый момент времени равно сумме знаний учеником каждого ЭУМ: Z=Z(1)+Z(2)+…+Z(N).

При этом используются формулы:

                                                                                                   Программа ПР–2.

Для моделирования используется программа ПР–2; с ее помощью можно построить графики: 1) зависимости суммарных знаний Z от времени t (рис. 3.1); 2) зависимости среднего времени работы по всем ЭУМ от времени t [8]; 3) зависимости среднего коэффициента забывания по всем ЭУМ от времени t; 4) уровня знаний одного или нескольких ЭУМ от времени t (рис. 3.2). Для графиков на рис. 3 число ЭУМ N=15, а время обучения T=350 УЕВ. Видно, что во время обучения суммарное количество знаний возрастает, а после окончания –– убывает из–за забывания. В случае, когда к некоторому ЭУМ ученик обращается несколько раз, происходит уменьшения скорости забывания; после каждого обращения этот ЭУМ забывается все медленнее и медленнее (рис. 3.2).

Теперь промоделируем изучение N=40 ЭУМ в течение 4 занятий продолжительностью T=150 УЕВ. Занятия разделены перерывами длительностью T_n=100 УЕВ. Во время обучения ученик обращается  то к одному, то к другому ЭУМ с равными вероятностями. По мере роста числа s_i обращений к i–ому ЭУМ уменьшается затрачиваемое время tau_i и коэффициент забывания gamma_i. Используется программа ПР–3, результаты имитационного моделирования представлены на рис. 4.1. Видно, что во время обучения номер i изучаемого ЭУМ изменяется случайно от 1 до 40, суммарный уровень знаний ученика (переменная SZ) при этом увеличивается. Во время перерывов происходит забывание, суммарный уровень знаний ученика SZ уменьшается. На рис. 4.2 представлены результаты моделирования для случая, когда ЭУМ изучаются по порядку. Видно, что из–за уменьшения времени работы с каждым ЭУМ на первом занятии ученик не успевает рассмотреть все ЭУМ даже два раза, а в течение четвертого занятия успевает поработать с большей частью ЭУМ четыре раза.

                                                                                                                      Программа ПР–3.

Заключение

В статье рассмотрены два принципиально различных способа моделирования процесса обучения, которые учитывают изменение прочности знаний при обучении и забывании. Первый подход предполагает построение непрерывной модели, основанной на численном решении системы дифференциальных уравнений. Она исходит из того, что: 1) прочность усвоения различных ЭУМ неодинакова; 2) прочные знания забываются существенно медленнее непрочных; 3) непрочные знания при их использовании учащимся постепенно становятся прочными; 4) при отсутствии обучения прочные знания становятся непрочными. Второй подход заключается в построении дискретной модели, которая учитывает, что при увеличении числа обращений ученика к данному элементу учебного материала: 1) время его использования уменьшается, стремясь к некоторому пределу; 2) коэффициент забывания уменьшается, стремясь к нулю. Результаты моделирования хорошо согласуются с основными выводами теории обучения.

Изучение основ физической науки, повышение качества физического образования требует модернизации преподавания физики, освоения методологии научного познания, совершенствования методики изучения отдельных вопросов [4, с. 8–57]. Определенный интерес при изучении интерференции световых волн представляет собой вопрос о временной когерентности [5, с. 199–276]. Как известно, свет излучается при переходе атомов из возбужденного состояния в основное. При этом образуются цуги световых волн, которые можно упрощенно представить в виде “обрывков” гармонических волн, имеющих определенную пространственную и временную протяженность. Результат интерференции во многом зависит от того, будет ли разность хода превышать длину цуга, пройдут ли цуги точку наблюдения в перекрывающиеся промежутки времени или нет. В настоящей статье обсуждается один из вариантов методики экспериментального и теоретического изучения интерференции цугов. Она может включать в себя использование компьютерной программы, моделирующей это явление и позволяющей рассчитать интенсивность в точке наблюдения при различных разностях хода для цугов различной длины.

Обсуждая интерференцию волновых цугов, обычно говорят о когерентных волнах, длине и времени когерентности. Когерентными называются волны, которые способны интерферировать. Вообще, когерентность –– это “коррелированное протекание во времени и пространстве нескольких случайных колебательных или волновых процессов, позволяющее получить при их сложении четкую интерференционную картину” [6, с. 394–396]. Минимальная задержка между волнами, приходящими в некоторую точку наблюдения, при которой они уже не интерферируют, называется временем когерентности. Если волны представляют собой “обрывки” синусоид, то время когерентности примерно равно длительности цуга t_к, а длина когерентности –– длине цуга L_к=v* t_к.

1.     Качественное объяснение интерференции цугов

Допустим, два источника периодически излучают цуги одинаковой частоты, длина L_к  которых равна двум длинам волн. Считая, что в точку наблюдения волны приходят с одинаковыми  амплитудами, рассчитаем зависимость результирующей  интенсивности I от разности хода x. Цуги, приходящие в точку наблюдения, результат их суперпозиции при различных разностях хода x, а также график зависимости I(x), полученный методом компьютерного моделирования, представлены на рис. 1.

При разности хода  x=0 цуги достигают точки наблюдения одновременно и в фазе, поэтому усиливают друг друга и создают максимум нулевого порядка (k=0). Когда разность хода x равна половине длины волны (k равно 1 или –1), цуги практически полностью гасят друг друга, в результате наблюдается минимум. Нескомпенсированными остаются только две крайние полуволны, поэтому результирующая интенсивность близка, но не равна нулю. Если разность хода x равна длине волны, то перекрывающиеся части цугов усиливают друг друга (k=2) и наблюдается максимум. Однако, так как цуги приходят в точку наблюдения не одновременно, то они перекрываются не полностью, поэтому результирующая  интенсивность меньше, чем в центральном  максимуме. Если разность хода x равна 1,5 длин волн (k=3), то наблюдается минимум, в котором результирующая интенсивность больше, чем в первом минимуме.

При разности хода x, равной или превышающей длину когерентности  L_к, цуги проходят точку наблюдения в неперекрывающиеся интервалы времени, поэтому  результирующая интенсивность равна сумме интенсивностей каждой волны по отдельности и интерференция не наблюдается. Таким образом, интерференция наблюдается тогда, когда разность хода x меньше длины когерентности L_к, при этом число минимумов интенсивности равно удвоенному числу длин волн в цуге.

2. Компьютерная модель интерференции цугов

Пусть два источника периодически и одновременно излучают цуги волн длительностью t_к, которые имеют равные частоты f = 1/T. Рассчитаем интенсивность в точке наблюдения при различных разностях хода x и изучим зависимость результата интерференции от длины когерентности L_к [3, с. 71]. Результирующее колебание в соответствии с принципом суперпозиции равно сумме складываемых колебаний. Средняя интенсивность пропорциональна интегралу от квадрата смещения частиц среды в точке наблюдения за время, много большее периода испускания цугов, отнесенное к этому времени. Длину когерентности L_к можно найти, как произведение длительности цуга (то есть времени когерентности) на скорость волны. Если число длин волн в цуге обозначить через n, то получим следующие формулы:

Алгоритм построения графика зависимости интенсивности при интерференции цугов волн от разности хода состоит в следующем: 1) задается разность хода x; 2) вычисляется средняя интенсивность I, для этого складываются колебания, создаваемые источниками в точке наблюдения при заданной разности хода x, результат возводится в квадрат и интегрируется по времени; 3) на координатной плоскости “интенсивность–разность хода” ставится точка; 4) разность хода x увеличивается на небольшую величину, после чего компьютер переходит к операции 2. Численное интегрирование осуществляется методом прямоугольников или трапеций, которые подробно рассмотрены в [1].

Используется программа 1. Получающиеся графики зависимости интенсивности I от разности хода x для цугов, длина L_к которых равна трем и четырем длинам волн, изображены на рис. 2. Анализируя рис. 1 и 2, можно обнаружить, что число минимумов интенсивности, наблюдаемых при интерференции цугов, равно удвоенному числу длин волн в цуге.

3.     Экспериментальное изучение интерференции звуковых цугов.   

Рассмотрим методику экспериментального изучения интерференции звуковых цугов и введения понятия временной когерентности, разработанную в учебно–исследовательской лаборатории “Учебный физический эксперимент” Глазовского государственного педагогического института под руководством профессора В.В.Майера. Она подробно описана в диссертации “Методика учебного фундаментального эксперимента по волновой физике” [2, c. 125–133], которую можно скачать с сайта http://maier-rv.glazov.net .

Для демонстрации зависимости результата интерференции от степени временной когерентности волн используется экспериментальная установка, изображенная на рис. 3. Одинаковые  динамики  1 и 2 соединены  с одним из выходов генератора звуковых цугов 4, к другому выходу которого подключено  устройство задержки 5, соединенное с входом запуска ждущей развертки осциллографа 8. Приемником звука служит микрофон 3, соединенный с входом усилителя 6, выход которого подключен к лампочке накаливания 7 и входу Y осциллографа. Один из динамиков закреплен в штативе, а другой держат в руке. Для измерения разности хода волн применяется линейка. Принципиальные схемы генератора звуковых цугов и устройства задержки представлены в приложении к диссертации [2, c. 230–233].

Установка функционирует следующим образом. Генератор звуковых цугов периодически вырабатывает последовательности из нескольких электрических колебаний, преобразуемых динамиками в звуковые цуги, и одновременно формирует импульс, поступающий на устройство задержки. Через регулируемый промежуток времени устройство задержки выдает электрический импульс, запускающий ждущую развертку осциллографа. В результате на экране высвечивается осциллограмма усиленного сигнала с выхода микрофона. Так как частота следования генерируемых цугов, равная частоте запуска развертки, достаточно  велика, то глаз, в силу  своей  инерционности, воспринимает осциллограмму как неподвижную. Для индикации среднего значения интенсивности волны в точке, где находится микрофон, используется подключенная к выходу усилителя лампочка накаливания или вольтметр.

С помощью переключателя переводят генератор звуковых цугов в режим непрерывных колебаний. Динамики включают в фазе и устанавливают их рядом друг с другом на одинаковых расстояниях от микрофона. При этом наблюдается яркое свечение индикаторной лампочки, амплитуда синусоидальной осциллограммы достигает максимума. Приближая или удаляя от микрофона динамик 2, последовательно проходят чередующиеся минимумы и максимумы, демонстрируя периодическое изменение яркости свечения лампочки и амплитуды синусоиды на экране. При этом во всех максимумах лампочка горит в полный  накал, а во всех минимумах –– практически не горит. Таким образом,  при наложении двух гармонических волн, имеющих равные частоты, независимо от разности хода между ними происходит интерференция; такие волны являются когерентными.

Переключают генератор звуковых цугов в режим, в котором он выдает цуги длиной, например, в три или пять длин волн. Отодвигают подвижный динамик от неподвижного настолько, чтобы на экране были отдельно видны осциллограммы цугов, излучаемых каждым источником звука. Уменьшают расстояние между динамиками и демонстрируют, что пока разность хода x превышает длину цуга L_к (то есть время запаздывания одного цуга относительно другого превосходит их длительность t_к), цуги через точку наблюдения следуют один за другим, и яркость лампочки не меняется. В этом случае результирующая интенсивность в точке, где находится микрофон, равна сумме интенсивностей накладывающихся  волн, то есть  интерференция отсутствует.

Приближая  подвижный динамик к неподвижному, показывают, что когда разность хода между волнами становится меньше длины цугов, результирующая интенсивность начинает изменяться от максимального до минимального значений, причем максимумы становятся все более высокими, а минимумы –– более глубокими. На экране осциллографа наблюдается, как один цуг частично накладывается на второй, давая при этом минимум, максимум или промежуточное значение амплитуды. Получающиеся осциллограммы изображены на рис. 3 справа. Когда разность хода становится близкой к нулю, в минимумах лампочка полностью гаснет. Если оба цуга приходят к микрофону одновременно и в фазе, они полностью накладываются и взаимно усиливают друг друга, лампочка горит с максимальной яркостью. Это происходит в случае, когда динамики  равноудалены от микрофона, а их диффузоры колеблются синфазно. Рассмотренный эксперимент убедительно доказывает, что результат  интерференции реальных волн зависит не только от разности хода, но и от длины составляющих их цугов, и позволяет ввести понятие временной когерентности волн.

Заключение

В статье рассмотрен один из возможных вариантов методики изучения интерференции цугов и введения понятия временной когерентности. Он предполагает проведение учебного эксперимента со звуковыми цугами и использование компьютерной модели, позволяющей рассчитать и построить график зависимости результирующей интенсивности в точке наблюдения от разности хода для цугов различной длины. Использование натурного и вычислительного экспериментов позволяет убедительно доказать, что: 1) при наложении цугов волн интерференция происходит тогда, когда цуги проходят точку наблюдения в перекрывающиеся промежутки времени; 2) чем больше длительность и пространственная протяженность цуга (время и длина когерентности), тем больше разность хода волн, при которых они еще интерферируют; 3) число минимумов интенсивности, наблюдаемых при интерференции цугов, равно удвоенному числу длин волн в цуге.

Метод имитационного моделирования является одним из современных методов исследования процесса обучения [2, 3]. Он состоит в построении сначала математической, а затем компьютерной модели дидактической системы и проведении с ней серии вычислительных экспериментов при различных условиях с целью установления или обоснования закономерностей обучения [1, 4].

Рассмотрим ученика, который характеризуется набором параметров, и учителя, владеющего несколькими методами обучения. Основная задача дидактики состоит в том, чтобы так выбрать методы и так распределить изучаемый материал в течение времени обучения, чтобы в конце его ученик справился с заданной системой тестов. Пусть изучаемая тема состоит из N логически связанных между собой элементов учебного материала (ЭУМ), которые следуют друг за другом. Сложность S самого простого ЭУМ будем считать равной 1, тогда для более сложных ЭУМ S больше 1. Уровень требований, предъявляемых учителем, будем рассчитывать по формуле: Tr = S_1 + S_2 + … + S_N. Если все N ЭУМ имеют сложность 1, то Tr = N. Сформулируем закон дидактики: скорость увеличения знаний Zn пропорциональна усилиям F(t) ученика, прилагаемым в единицу времени, эффективности методики обучения E, коэффициентам усвоения a и понимания П: dZn/dt=a*П*Е*F(t). Усилия F, прилагаемые учеником, характеризуют интенсивность его мыслительной деятельности и пропорциональны мотивации M; они зависят от разности между уровнем требований Tr учителя и знаниями ученика Zn.

1. Зависимость усилий ученика от уровня требований учителя

Движущей силой учебной деятельности ученика является противоречие между требуемым и имеющимся у него уровнями знаний. Когда разность Tr – Zn невелика, мотивация ученика M и затрачиваемые усилия F примерно пропорциональны Tr – Zn; ученик понимает, что требования учителя разумны и соответствуют его возможностям. Если уровень требований Tr учителя существенно превосходит количество знаний ученика Zn, то ученик осознает, что не сможет в полной мере справиться с предъявляемыми заданиями. При этом мотивация M и прилагаемые усилия F уменьшаются, стремясь к 0. Существует оптимальное значение разности Tr – Zn, при котором F достигает максимума. Задача учителя состоит в нахождении оптимального уровня требований Tr, при котором ученик будет прилагать максимальные усилия F.

Зависимость усилий F ученика от разности D = Tr – Zn можно выразить функцией F(D)=4(1–exp(–r*D))*exp(–r*D), где r =1/180. Ее график представлен на рис. 1. Видно, что по мере увеличения разности Tr – Zn величина F (мотивация M) сначала увеличивается, при Tr –Zn = 125 достигает максимума, а потом уменьшается до 0, так как снижается уверенность в собственных силах.

Процесс усвоения и запоминания сообщаемой информации состоит в установлении ассоциативных связей между новыми и имеющимися у человека знаниями. При этом приобретенные знания становятся более прочными и забываются значительно медленнее, превращаясь в умения и навыки [5]. Важным условием обучения является понимание учеником изучаемого материала. Как установили психологи, человек понимает сообщаемую ему информацию, если он в состоянии соотнести ее с собственной категориальной системой понятий [5, с. 97-100]. В его сознании происходит перекодирование поступающей речевой или текстовой информации, ее “укладывание” в собственную понятийную систему с последующим запоминанием. Если ученик понял материал, то он может изложить его собственными словами.

 2. Математическая и компьютерная модели обучения

Рассмотрим трехкомпонентную модель обучения “знания–умения– навыки” [2, 3]:

где  Tr – уровень требований, предъявляемый учителем, Z, U и N – количества непрочных знаний, умений и навыков (то есть прочных знаний) ученика. Они отличаются прочностью усвоения и имеют коэффициенты забывания gZ, gU, gN, причем gZ > gU > gN. Коэффициенты усвоения aZ, aU, aN характеризуют быстроту усвоения знаний учеником и перехода непрочных знаний в прочные (то есть скорость формирования умений и навыков). Пока происходит обучение k = 1, а когда оно прекращается k = 0. Коэффициент забывания – величина обратная времени, в течение которого количество данного вида знаний уменьшается в e = 2,72… раза. Результат обучения характеризуется суммарным уровнем приобретенных знаний Zn = Z + U + N и коэффициентом прочности Pr = (U/2+N)/Zn. При изучении одной темы у учащегося растет количество непрочных знаний Z, одновременно с этим происходит увеличение количества умений U и навыков N (то есть прочных знаний), повышается прочность Pr. Для имитационного моделирования обучения используется программа 1.

3. Результаты моделирования

 Промоделируем следующую ситуацию. Пусть в промежутке от 0 до 300 УЕВ (усл. ед. времени) ученик должен понять и запомнить последовательность взаимосвязанных рассуждений (например, вывод формулы, решение сложной задачи). В момент t’=300 УЕВ, соответствующий окончанию обучения, осуществляется контроль его знаний Zn. Во время обучения  скорость поступления информации от учителя V = dTr/dt остается постоянной, причем в каждый момент учитель требует знания всего предыдущего материала. При этом уровень требований учителя растет по закону: Tr = V*t. Определим количество усвоенных учеником знаний Zn(t’) и коэффициент эффективности обучения K=Zn(t’)/(V*T) при различных V.

 Результаты моделирования обучения при V=10 и 13 (скорость передачи информации V измеряется в 1/УЕВ) представлены на рис. 2. Видно, что при малых скоростях поступления информации (рис. 2.1) ученик успевает следить за рассуждениями учителя и усваивает практически все элементы учебного материала. При этом К сразу после обучения выше 0,95. После обучения происходит забывание, Zn уменьшается. В случае, когда скорость поступления учебной информации превышает некоторое пороговое значение (рис. 2.2), ученик не успевает понять ход рассуждений учителя и “отрывается” от него. Это приводит к снижению мотивации и уменьшению усилий, прилагаемых учеником, который чувствует, что все равно не сможет понять данную тему. Поэтому количество усвоенных знаний Zn и коэффициент эффективности обучения К в конце обучения оказываются существенно ниже.

Проведем серию вычислительных экспериментов, изменяя V от 1 до 24 при длительности обучения 200 УЕВ. Построим графики зависимостей знаний ученика Zn и эффективности обучения K от скорости передачи информации V (рис. 3). Из них видно, следующее: 1) при V < 11 количество усвоенных знаний Zn увеличивается прямо пропорционально V, эффективность обучения K высокая (около 0,97) и остается постоянной; 2) при V >  12 количество усвоенных знаний Zn и эффективность обучения K резко падают; 3) существует оптимальная скорость подачи информации (около 11,5), при которой количество знаний Zn, усвоенных учеником, достигает максимума. Если изучаемый материал состоит из логически несвязанных вопросов, которые могут быть изучены независимо друг от друга, то рассмотренные выше рассуждения следует провести для каждого вопроса отдельно.

При обучении между учителем (или учебником) и учеником возникает канал связи имеющий определенную пропускную способность. Скорость передачи информации V зависит от уровня требований Tr, то есть от числа N новых ЭУМ, поступающих в единицу времени, и их сложности S_i (i=1, 2, …, N). Чем сложнее утверждение учителя или записанная им формула, тем больше мыслительных действий должен совершить ученик, чтобы ее понять. Если учитель быстро излагает сложный материал, перескакивая через какие-то элементарные рассуждения, представляющие трудность для ученика, то ученик не сможет или не успеет связать сообщаемую ему новую информацию с собственной системой понятий и не поймет до конца всех проводимых рассуждений. Полученные результаты хорошо согласуются со второй теоремой Шеннона о передаче информации по каналу связи с шумом: Если скорость передачи не превышает пропускной способности канала связи с шумом, то всегда найдется способ кодирования, при котором сообщение будет передаваться с требуемой достоверностью (то есть ученик поймет сообщаемую информацию). Можно сформулировать и обратное утверждение: если производительность источника превышает пропускную способность канала связи с шумом, то не существует никакого метода кодирования позволяющего безошибочно передать сообщение. В этом случае ученик не поймет учителя и не сможет усвоить проводимые им рассуждения.

Заключение

В настоящей статье предложена трехкомпонентная модель обучения “знания–умения–навыки”, учитывающая сложную связь между усилиями ученика и разностью между требованиями учителя и уровнем знаний ученика. Установлено, что данная модель позволяет объяснить скачкообразный характер зависимости степени усвоения темы от скорости изложения материала. Это связано с тем, что при слишком большой скорости поступления новой информации ученик не успевает следить за ходом мысли и “отрывается” от учителя. В результате последующая информация усваивается существенно хуже, ученик не понимает изучаемую тему. График зависимости коэффициента усвоения от скорости подачи информации имеет ярко выраженный спад, соответствующий границе между двумя состояниями, когда ученик понял и усвоил изучаемый материал или не смог этого сделать.

Как известно, процессы обучения и воспитания могут быть сведены к управлению развитием различных качеств личности учащихся с помощью целенаправленных и согласованных воздействий со стороны учителя и родителей. Проблемы управления дидактическими системами и методы математического моделирования процесса обучения проанализированы в многочисленных работах (например, в [1–5; 9]). Так, в книге Л. П. Леонтьева и О. Г. Гохмана [5] рассматриваются следующие аспекты оптимального управления учебным процессом в вузе: разработка оптимального учебного плана, измерение учебной информации, модель связи объема изложенного и усвоенного материала, квантование учебного материала, принцип обратной связи и др. В книге Д.А. Новикова [9] анализируются математические, кибернетические и теоретико–информационные модели итеративного научения.

Настоящая статья посвящена созданию компьютерной модели кибернетической системы “учитель–ученик” и ее использованию для изучения и обоснования важных закономерностей функционирования дидактических систем. Можно предположить, что учет структуры системы “учитель–ученик”, основных информационных потоков и цепей управления позволит более убедительно объяснить некоторые особенности процесса обучения.

1. Построение компьютерной модели дидактической системы

С точки зрения педагогической кибернетики [8] дидактическая система, состоит из источника информации (учителя), приемника информации (ученика), которые соединены прямым каналом связи от учителя к ученику (рис. 1.1). Так же существует обратный канал связи, по которому с некоторой задержкой поступает информация от ученика к учителю; исходя из нее, учитель оценивает состояние ученика, его уровень знаний. Допустим, при изучении новой темы учитель требует от ученика усвоения всей сообщаемой им информации. Тема состоит из N элементов учебного материала (ЭУМ), причем сложность i–того ЭУМ S_i пропорциональна затратам времени и усилий, требующихся для усвоения данного ЭУМ (у самого простого ЭУМ S = 1, а у более сложных – S больше 1). Если все N ЭУМ имеют сложность 1, то уровень требований учителя L (или количество информации, которое должен усвоить ученик) равен N. В общем случае L=S_1+S_2_…+S_N. Скорость передачи информации v равна отношению уровня требований учителя L (или количества сообщенных им знаний) ко времени. Если время измерять в условных единицах (УЕВ), то скорость передачи информации, быстрота изменения количества знаний, коэффициенты усвоения и забывания измеряются в 1/УЕВ.

Предлагаемая математическая модель ученика сводится к следующей системе уравнений:

Эта модель обоснована в статьях [6, 7], через alfa и gamma обозначены коэффициенты усвоения и запоминания соответственно. При этом учитывается следующее: 1. Быстрота увеличения знаний dZn/dt пропорциональна усилиям F, затрачиваемым учеником в единицу времени, которые зависят от разности D между уровнем требований учителя L и знаниями ученика Z. 2. При небольшой разности D = L – Zn  затрачиваемые учеником усилия F возрастают и достигает максимума. При большом отставании D ученик осознает, что не может усвоить требуемый материал, и F уменьшается, стремясь к некоторому пределу b = 0,1 – 0,3 (рис. 1.2). 3. Канал связи между учителем и учеником имеет определенную пропускную способность. При увеличении скорости v поступления информации коэффициент передачи канала связи K сначала равен 1, а затем плавно уменьшается до 0, так как ученик не успевает воспринять, понять и усвоить рассуждения учителя. 4. Уровень обученности ученика в заданный момент времени определяется количеством непрочных знаний Z_1, количеством умений Z_2 и навыков Z_3 (прочных знаний). Непрочные знания забываются быстрее прочных знаний. 5. В процессе обучения у ученика увеличивается количество непрочных знаний Z_1, причем часть непрочных знаний превращаются в более прочные (умения Z_2 и навыки Z_3). 6. После окончания обучения ученик начинает забывать усвоенную информацию; прочные знания (навыки) постепенно превращаются в менее прочные, а количество непрочных знаний Z_1 уменьшается по экспоненциальному закону.

На основе представленной выше системы уравнений в среде Free Pascal создана программа 1, которая моделирует замкнутую дидактическую систему. Она имитирует процесс обучения и позволяет рассчитать количество прочных и непрочных знаний ученика при заданной зависимости уровня требований учителя от времени L(t). Программа содержит цикл по времени, в котором методом конечных разностей определяются Z_1, Z_2 и Z_3 в последовательные моменты времени и строятся соответствующие графики. Способы решения подобных задач рассмотрены в [6–8].

 2. Результаты моделирования замкнутой дидактической системы

С помощью компьютерной программы 1 промоделируем замкнутую дидактическую систему, учитывая не только передачу учебной информации по прямому каналу связи, но и поток информации по обратному каналу связи, которая позволяет учителю непрерывно отслеживать состояние ученика. Предполагается, что учитель может: 1) сообщать новую информацию со скоростью v = const, при этом L(t) = L_0+v(t – t_0); 2) организовывать повторение изученного материала, при этом L = const, v = 0.

Допустим, что учитель излагает новый материал, уровень предъявляемых требований L растет пропорционально t. Когда учитель обнаруживает, что отставание D ученика от предъявляемых требований превышает пороговое значение 150 ЭУМ, он прерывает изложение теории и организует повторение изученного материала в течение 20 УЕВ. Во время повторения уровень требований учителя L остается постоянным, ученик выполняет практические задания, стараясь запомнить изученное ранее. После этого учитель снова приступает к изложению нового материала. Программа 1 как раз моделирует эту ситуацию. Результаты моделирования представлены на рис. 2.1 (v = 12), вертикальные линии соответствуют моментам времени, когда D = 150 ЭУМ, и учитель переходит к повторению. Система самоадаптирующаяся: при увеличении скорости изложения v нового материала ученик чаще задает вопросы, обнаруживая свое непонимание, учитель вынужден чаще останавливать изложение нового материала и заниматься повторением. Средняя скорость передачи знаний не превышает некоторого предельного значения, зависящего от параметров ученика. При малых скоростях сообщения информации (меньше v_к = 8) ученик успевает усвоить материал, и учитель не прерывается на повторение.

На рис. 2.2 представлены графики зависимостей общего уровня требований учителя L и суммарных знаний ученика Z в конце занятия от скорости изложения нового материала. Видно, что пока скорость v сообщения информации ниже критического значения v_к, ученик самостоятельно усваивает учебный материал, L и Z возрастают пропорционально скорости v. Когда скорость изложения v превышает критическое значение v_к, учитель вынужден периодически прерывать изучение теории и заниматься повторением; при этом L и Z уменьшаются. Получается, что независимо от скорости передачи информации учителем увеличения знаний ученика в течение фиксированного времени обучения T не превышает некоторого предельного значения (около 2700 ЭУМ), определяемого пропускной способностью прямого канала связи “учитель–ученик” (рис. 1.1). Это соответствует второй теореме Шеннона о передаче информации по каналу связи с шумом, из которой следует, что если производительность источника превышает пропускную способность канала связи с шумом, то не существует никакого метода кодирования позволяющего безошибочно передать сообщение. Под кодированием в данном случае понимается “укладывание” новой информации в понятийную систему ученика с последующим запоминанием [10, с. 97–100]. Роль шума играют различные случайные процессы, препятствующие пониманию и усвоению.

Изучим зависимость коэффициента обученности K_L=Z/L, количества усвоенной учеником информации Z и числа прерываний учителя N_п от коэффициента усвоения ученика. Для этого зададим конечную скорость v сообщения информации учителем, и проведем серию вычислительных экспериментов при различных коэффициентах усвоения. Результаты позволяют утверждать, что с ростом коэффициента усвоения число прерываний учителя снижается до 0, количество усвоенных учеником знаний Z повышается до vT, коэффициент обученности K_L стремится к 1.

Компьютерная модель ученика также позволяет проанализировать зависимости суммарного времени изучения теории t_т, выполнения практических заданий t_п, коэффициента обученности K_L и числа прерываний учителя N_п от скорости v изложения теоретического материала. В результате проведения серии вычислительных экспериментов получены графики, изображенные на рис. 3. Видно, что при увеличении скорости v изложения материала: 1) суммарное время изучения теории t_т сначала равно длительности обучения T, а затем плавно уменьшается; 2) суммарное время повторения t_п сначала равно нулю, а затем стремится к T; 3) число прерываний учителя N_п сначала равно нулю, затем быстро возрастает, достигает максимума при v = 12 – 14, а затем медленно убывает; 4) коэффициент обученности ученика K_L уменьшается от 1 до 0,8. Величины K, N_п и L с ростом v изменяются ступенчато, потому что возможно только целое число прерываний.

По графикам, представленным на рис. 2.2 и 3, можно определить критическое значение скорости v_к сообщения теоретического материала, при превышении которого ученик уже не может самостоятельно понять и усвоить учителя, который вынужден прерываться и заниматься повторением, разъяснением и выполнением практических заданий. При используемых параметрах модели оно составляет примерно 7. Видимо, оптимальная скорость изложения нового материала лежит в интервале 7 – 9. Когда v превышает 14, ученик не успевает понять теоретический материал, так как коэффициент передачи канала связи мал, а скорость сообщения информации с учетом ее сложности велика. Поэтому учитель вынужден слишком много времени тратить на повторение и закрепление, во время которого коэффициент передачи равен 1 и количество знаний ученика повышаются до уровня требований.

Заключение

В статье рассмотрены математическая и компьютерная модели процесса обучения, и методом имитационного моделирования проанализирована самоадаптирующаяся замкнутая система управления деятельностью ученика. При этом установлено, как зависят количество усвоенных учеником знаний, суммарное время изучения теории и выполнения практических заданий, а также число прерываний учителя от скорости изложения нового материала. Полученные результаты позволяют обосновать правильный выбор скорости изложения нового материала, при котором дидактическая система работает максимально эффективно: учитель успевает рассмотреть большое количество вопросов, а ученик усваивает практически весь изучаемый материал.

При имитационном моделировании процесса обучения часто считают, что все элементы учебного материала усваиваются одинаково прочно [2 – 6]. Но это не так: психологи установили, что те знания, которые включены в учебную деятельность ученика, запоминаются значительно прочнее, чем знания, которые школьник не использует. Чтобы компьютерная модель более точно соответствовала реальному процессу обучения, нужно учесть, что: 1) прочность усвоения различных элементов учебного материала неодинакова, поэтому их следует разделить на несколько категорий; 2) прочные знания забываются существенно медленнее непрочных; 3) непрочные знания при их использовании учащимся постепенно трансформируются в прочные знания, превращаются в навыки [8, с. 69 – 72]. Ученика можно охарактеризовать коэффициентами обучения a_i, коэффициентами перехода непрочных знаний в прочные b_i и коэффициентами забывания g_zi и g_ni (i = 1, 2, …, 11). Предлагаемая двухкомпонентная модель обучения выражается системой уравнений [7 – 9]:

Здесь U_i –– уровень требований, предъявляемый учителем в i–том классе, который равен сообщаемым знаниям Z_0i, Zn_i –– суммарные знания ученика за i–тый класс, Z_i –– количество непрочных знаний за i–тый класс, имеющих высокий коэффициент забывания g_zi, а N_i –– количество у ученика прочных знаний за i–тый класс, которые имеют низкий коэффициент забывания g_ni. Состояние ученика в любой момент времени t может быть задано матрицами Z_i = (Z_1, Z_2, …, Z_11) и N_i = (N_1, N_2, …, N_11), которые характеризуют количества усвоенных прочных и непрочных знаний за 1, 2, …, 11 классы. При обучении в i–том классе увеличиваются количества знаний Z_i и навыков N_i (i = 1, 2, … 11), а также количества знаний за предыдущие классы, к которые используются учеником при изучении текущей темы. Коэффициент усвоения учеником учебного материала за i–ый класс и коэффициент прочности знаний ученика (то есть доля прочных знаний от общего их количества) в данный момент времени t:

Рассматриваемая модель обучения должна учитывать: 1) основные закономерности обучения и забывания [1]; 2) превращение непрочных знаний в прочные знания (или навыки), которые имеют меньший коэффициент забывания; 3) увеличение количества изучаемой информации и ее сложности (степени абстрактности) при переходе ученика в старшие классы; 4) повышение коэффициента усвоения школьника при переходе в следующий класс; 5) использование учеником j–того класса учебного материала, изученного в предыдущих 1, 2, …, (j–1)–ом классах; 6) применение знаний из учебника j–того класса в повседневной жизни во время каникул и после окончания школы.

Для моделирования изменения знаний во время обучения в школе и после ее окончания следует задать параметры ученика, его начальное состояние при t = 0 и распределение сообщаемой учебной информации [7–9]. Ученик характеризуется:

1. Коэффициентами усвоения a_i, которые определяют быстроту перехода знаний учителя Z_0i = U_i за i–тый класс в непрочные знания ученика Z_i. Значения a_i по мере обучения монотонно возрастают, так как чем больше информации ученик усвоил, тем легче он запоминает новую информацию. Коэффициенты a_i можно задать так: A_i = (1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.9, 2.2, 2.5, 2.8, 3.1, 3.4, 3.7), a_i =A_i / 12.

2. Коэффициентами формирования навыков b_i = a_i /80 (i = 1, 2, … 11), характеризующими скорость превращения непрочных знаний в прочные; при этом Z_i уменьшается, а N_i растет на ту же величину.

3. Коэффициентами забывания непрочных g_zi и прочных g_ni знаний, изученных в i–том классе. Известно, что знания, полученные в 1 – 4 классах, используются человеком в повседневной жизни и поэтому запоминаются хорошо. В старших классах увеличивается степень абстрактности учебной информации, то есть приобретаемые знания сильнее оторваны от повседневной жизни и имеют более высокий коэффициент забывания. Эти коэффициенты можно задать так: g_i = (10, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18), g_zi = g_i / 200, g_ni = g_zi/60. Так как забывание происходит по экспоненциальному закону, то время забывания половины имеющихся знаний равно T = ln2 / g. Например, для шестого класса g_z6 = 0,065 (1/месяц) и g_n6 = 0,00108 (1/месяц). Это означает, что для непрочных знаний, изученных в шестом классе T_z  = 10,7 месяца, а для прочных T_n = 53 года.

Внешнее воздействие, оказываемое на ученика задается:

1. Распределением учебной информации в течение всего времени обучения в школе; оно задается массивом U_i = (10, 12, 14, 17, 20, 24, 29, 35, 42, 50, 59), где U_i –– уровень требований учителя в –том классе, который равен количеству сообщенных им знаний.

2. Коэффициентами обращения ученика j–того класса к знаниям, полученным в i–том классе, задаваемыми двумерной треугольной матрицей:

Из e[3, 11] = 0,7 следует, что, обучаясь в одиннадцатом классе, ученик использует 70 процентов знаний, полученных в третьем классе.

3. Коэффициентом использования информации, изученной в i–том классе, во время каникул и после обучения, который можно задать так: c_i = 0,3 при i < 5 и c_i =0,3/(i – 4) при i > 4. В обозначенные промежутки времени человек читает книги, выполняет математические действия, смотрит фильмы, разговаривает на иностранном языке, использует различные устройства и программные продукты. При этом в большей степени увеличиваются и закрепляются знания, полученные в 1 – 4 классах, и в меньшей степени –– знания из 9 – 11 классов, уровень абстрактности которых выше.

Значения U_i, e[i, j] и c_i должны отражать особенности школьной программы. Параметры a_i, b_i, g_zi и g_ni характеризуют гипотетического ученика, который успешно учится в школе. Используется программа 1; в ней время  измеряется в месяцах. Считается, что из 12 месяцев в году 3 месяца ученик отдыхает, а 9 – учится. За начало отсчета t = 0 принят первый день обучения в первом классе, начальный уровень знаний ученика: Zn(0)=0.

 На рис. 1 и 2 представлены результаты имитационного моделирования изменения количества знаний гипотетического школьника в течение 11 лет посещения школы и 10 лет после окончания обучения. Понятно, что на практике реализуются самые разнообразные ситуации, отличающиеся как учебной программой, так и параметрами конкретных школьников.

На рис. 1.1 приведены графики зависимостей количества знаний ученика за 1 – 4, 1 – 8 и 1 – 11 классы от времени. Из рис. 1.2 видно, что в процессе обучения (1 – 11 годы) суммарное количество знаний Zn(t) в среднем возрастает, а после обучения –– снижается в первую очередь из–за забывания непрочно усвоенных знаний. Провалы в графике Zn(t) соответствуют летним каникулам, в течение которых школьник забывает часть непрочных знаний. Количество прочно усвоенных знаний (или навыков) N(t) в течение обучения повышается, а после обучения практически не изменяется. Графики Zn{1–4}(t) и N{1–4}(t) показывают динамику изменения количества суммарных знаний и навыков (прочных знаний), соответствующих 1 – 4 классам в течение всего рассматриваемого промежутка t от 0 до 20 лет. Речь идет о навыках чтения, письма, выполнения арифметических операций, элементарных знаний об окружающем мире, которые человек усваивает в начальной школе и затем использует всю свою жизнь. Видно, что их количество монотонно возрастает, стремясь к предельному значению U{1–4} = U_1 + U_2 + U_3 + U_4, равному информации, которое должен в идеале усвоить ученик в 1 – 4 классах.

На рис. 2.1 показаны графики изменения количества знаний Zn{5–8}(t) и N{5–8}(t), изучаемых в 5 – 8 классах. Учебный материал имеет более высокий уровень абстрактности и в меньшей степени используется в повседневной жизни, поэтому суммарное количество знаний Zn{5–8} к концу школы (t = 11 лет) примерно равно 0,8*U{5–8}, количество прочных знаний N{5–8} примерно равно 0,5*U{5–8}, от общего уровня требований учителя U{5–8} =U_5+U_6+U_7+U_8. Так как приобретенные в 5 – 8 классах знания также частично используются в повседневной жизни, то после окончания обучения их суммарное количество сначала снижается, а затем остается постоянным на уровне 0,5*U{5–8}.

На рис. 2.2 представлены графики Zn{9–11}(t) и N{9–11}(t), показывающие изменение суммарного количества знаний и количества прочных знаний, изучаемых в 9 – 11 классах. Из них следует, что к концу обучения (t = 11 лет) суммарное количество знаний Zn{9–11} достигает своего максимума 0,7*U{9–11},  в то время как N{9–11} примерно равно 0,25*U{9–11}. При этом U{9–11} – суммарное количество учебной информации, содержащееся в учебниках 9 – 11 классов, которое в идеале должен усвоить учащийся. При подборе коэффициентов считалось, что гипотетический ученик после успешного обучения в школе помнит более 0,6*U{9–11}, а за летние каникулы после 10 класса забывает около трети усвоенного в 10 классе материала (рис. 2.2). Улучшение модели требует уточнения входящих в нее коэффициентов.

 Предлагаемая имитационная модель обучения в школе учитывает, что: 1) изменение количества знаний человека происходит в соответствии с известными законами научения и забывания; 2) во время обучения на фоне увеличения общего количества знаний ученика, происходит переход непрочных знаний в прочные знания, которые забываются медленнее; 3) с ростом номера класса количество изучаемой информации и ее сложность (степень абстрактности) увеличиваются, коэффициент забывания растет; 4) по мере обучения в школе происходит повышение коэффициента усвоения ученика; 5) во время обучения в j–том классе ученик использует материал, изученный в 1, 2, …, (j–1)–том классах; 6) во время каникул и после окончания школы человек использует изученный материал в повседневной жизни, часть непрочных знаний становится прочными.