Введение

С 1964 г. к Марсу было направлено около 30 космических аппаратов (КА) и 23 из них достигли Красной планеты (см. табл. 1). Но публикации, детально описывающие траектории этих полетов, отсутствуют. Единственно, что нам известно – это даты старта космических кораблей с Земли и даты пресечения ими орбиты Марса или перехода на марсианские орбиты. Тем более интересной представляется реконструкция перелётных орбит для уже состоявшихся запусков.

В общем случае, небесное тело в центральном поле силы тяготения движется по эллиптической орбите (первый закон И. Кеплера [1]). Если мы придадим КА, находящемуся на границе гравитационной сферы Земли, определённое ускорение, то он перейдёт на гелиоцентрическую эллиптическую орбиту. В работе [2] был описан алгоритм, позволяющий найти параметры эллипса, если заданы два его радиус-вектора, выходящие из одного фокуса (см. рис. 1). Т.о. задав одну точку на орбите Земли (точка В), а вторую – на орбите Марса (точка С), мы можем найти множество эллипсов, проходящих через эти две точки с определёнными величинами длины большой оси и эксцентриситета. 

Рисунок 1. Перелётная орбита между двумя эллиптическими орбитами.

По круговой орбите небесное тело движется со скоростью, определяемой уравнением:

, где: (1)

м – гравитационный параметр центрального тела,
r – длина радиус-вектора движущегося тела относительно центрального.
Для эллиптической орбиты это уравнение справедливо в двух точках, когда угол между большой осью эллипса и радиус-вектором равен 90°. При этом длина радиус-вектора равна фокальному параметру эллипса р:

, где: (2)

a – длина большой полуоси, 
b – длина малой полуоси.
Вычислить круговую скорость тела в любой точки орбиты мы можем воспользовавшись законом сохранения момента количества движения (углового момента) [3, с. 97]:

, где m – масса тела. (3)

Длина радиус-вектора точки на эллиптической кривой относительно фокуса эллипса в зависимости от величины угла (обозначим его Θ), отсчитываемого от перицентра эллипса, может быть вычислена по уравнению [4, с. 50]:

, где е – эксцентриситет эллипса. (4)

Далее, для выбранных параметров эллипса мы можем найти длину дуги, соединяющей заданные точки 
Теперь, зная скорость тела в любой точке, мы можем найти время движения тела по дуге ВС, вычислив интеграл [2]:

. (5)

В представленных ниже результатах расчётов интегрирование было выполнено численным методом с шагом 0,0001 от величины угла BAC.
Движение небесного тела по эллиптической орбите характеризуется не только круговой скоростью, которая связана с угловой скоростью ω соотношением:

, (6)

но и радиальной v_R, описывающей движение тела вдоль оси радиус-вектора.
Эту величину мы также должны учитывать при расчёте импульсов скоростей разгона и торможения. Радиальная скорость v_R может быть найдена на основании закона сохранения полной механической энергии, который мы можем представить в следующем виде [5]:

. (7)

Отсюда:

. (8)

Величину полной энергии можно вычислить в точках апсид эллипса, в которых радиальная скорость равна нулю.
Суммарная величина импульса скорости разгона («торможения») вычислена из суммы квадратов импульсов для радиальной и круговой скоростей.
Орбита Марса наклонена к плоскости орбиты Земли (плоскости эклиптики) на 1,85°. Следовательно, или точка прилёта должна совпадать с узлом орбиты Марса или мы должны изменить плоскость перелётной орбиты, придав КА дополнительное движение, перпендикулярное плоскости эллиптической орбиты. Величина ускорения может быть найдена по уравнению [2]:

, где: (9)

Δφ – изменение угла наклона плоскости орбиты,
Δt – время, за которое произошло изменение угла наклона плоскости орбиты.
Если мы примем Δφ равным широте Марса в точке прилёта, а Δt равным времени перелёта, то приблизительную величину соответствующего импульса скорости можно будет найти по формуле:

, где: (10)

– средняя круговая скорость.
Эфемериды Земли и Марса были найдены по программе Planeph 4.2 [6].

Результаты и их обсуждение

Для всех 23 экспедиций были найдены:
- эфемериды (по программе Planeph 4.2) Земли на дату старта и Марса на дату прилёта (долготы, широты, радиусы орбит, угловая и радиальная скорости);
- параметры перелётного эллипса, дающего совпадение по времени перелёта с литературными данными (длина большой полуоси, эксцентриситет, углы точек В и С относительно перицентра эллипса);
- параметры движения по эллиптической орбите (длина дуги, угловой момент, полная механическая энергия, время полёта, круговая и радиальная скорости в точках отлёта и прилёта);
- импульсы скоростей разгона и «торможения»;
- расстояние между Марсом и плоскостью эклиптики в точке прилёта и величина импульса скорости, необходимая для изменения плоскости орбиты.
При этом нужно учитывать, что собственно эллиптическая перелётная орбита начинается в момент выхода КА из гравитационной сферы Земли и заканчивается в момент входа КА в гравитационную сферу Марса. Момент перехода с геоцентрической на гелиоцентрическую орбиту приводится только для Mangalyaan. Для остальных экспедицией эти данные отсутствуют, как и даты вхождения КА в гравитационную сферу Марса. Для Mangalyaan переход на гелиоцентрическую орбиту по спиральной орбите продолжался 25 суток – с 5 по 30 ноября 2013 г. Поэтому нельзя утверждать, что в результате проведённого исследования удалось найти истинные траектории перелётных орбит приведённых выше экспедиций к Марсу. Эта статья скорее демонстрирует возможности разработанной методологии проектирования и анализа эллиптических орбит.
Для старта КА к Марсу были использованы почти все зоны земной орбиты. Наибольшей популярностью обладают сектора в диапазонах от 45 до 70° (6 запусков), 238259° (5 запусков) и 285319° (5 запусков) Отсчёт долгот идет от точки осеннего равноденствия Земли (23 сентября).
На эллипсе перелётной орбиты положение точек запуска находится вблизи его перицентра в диапазоне от -45 (Mars Odyssey) до +29° (Mariner-7), 10 запусков – в диапазоне от -6 до +6°. Точка запуска Mars Pathfinder приходится почти точно на перицентр (0,1°).
Угол перелётной орбиты варьировался в широком диапазоне – от 101 (Mariner-7) до 236° (Mars Odyssey). Но длина большой полуоси перелётного эллипса лежит в более узких пределах – от 174 (Mars Odyssey) до 202 млн. км (Mars Reconnaissance Orbiter). При этом длина орбиты (длина дуги на перелётном эллипсе) зависит не только от длины большой полуоси эллипса, но и от положения дуги на эллипсе. Наименьшая длина дуги перелётной орбиты, как и следовало ожидать, у Mariner-7 – 310 млн. км, наибольшая – у MAVEN – 705 млн. км при среднем значении 524 млн. км. Для большинства запусков она находится в диапазоне от 300 до 500 млн. км. Экспедиция Mariner-7 также характеризуется высокой средней орбитальной скоростью – 27,4 км/с. В целом, разброс скоростей невелик – от 24,4 (Viking-2) до 28,4 (Mariner-6) км/c при среднем значении 26,6 км/с. Время перелёта находится в диапазоне от 131 (Mariner-7) до 333 (Viking-2) сут. при среднем значении 230 сут. 
Следующий важный момент – это энергетические затраты, необходимые для осуществления экспедиции, характеризующиеся импульсом скоростей. Максимальный суммарный импульс был у Mariner-7 – 12,6 км/с, минимальный – у Spirit – 3,6 км/с. Для 16 экспедиций он находится в диапазоне 68 км/с. Кроме Spirit меньший импульс скоростей требовался для Mars Express (5,6 км/с), для остальных 5 он превышал 8,0 км/с. 
Импульс скорости, необходимый для изменения наклона плоскости орбиты, не превышает 0,8 км/с. В некоторых случаях, когда точка прилёта близка к узлу орбиты Марса (Mariner-4, Mars Pathfinder, Mars Express, Spirit, Mars Science Laboratory), он менее 0,1 км/с, так что для выполнения этого манёвра можно использовать двигатели малой тяги.
Импульс скорости разгона при отлёте из гравитационной сферы Земли складывается из двух составляющих, связанных с круговой и радиальной скоростями. Во всех случаях, для перехода на траекторию перелётного эллипса требуется увеличение круговой скорости. Минимальный импульс для круговой скорости требовался Spirit (1,1 км/с), максимальный – Mars Reconnaissance Orbiter (3,7 км/с). 
Для радиальной скорости диапазон несколько шире: от 0,05 до 3,8 км/с. Эллиптическое движение включает 4 фазы: 
1) на участке от 0 до 90° считая от перигелия идёт увеличение радиальной скорости, направленной от Солнца;
2) на участке от 90 до 180° радиальная скорость уменьшается до 0;
3) на участке от 180 до 270° радиальная скорость вновь увеличивается, но уже в направлении к Солнцу;
4) на участке от 270 до 360° радиальная скорость уменьшается до 0.
Минимальное значение импульса мы имеем в том случае, когда фазы движения небесного тела на орбите Земли и на орбите перелётного эллипса совпадают. Такие результаты были получены для Марс-2 (Δv_R = 0.05 км/с) и Spirit (0.08 км/c). В целом, для 17 запусков из 23 импульс радиальной скорости не превышает 1,5 км/с. Наибольшее значение (3,8 км/с) получено для Mars Odyssey. КА аппарат стартовал от Земли, когда она находилась вблизи перигелия, а на перелётном эллипсе начальная точка орбиты отстояла от перицентра на 45°.
При подлёте к Марсу во всех случая круговая скорость КА оказывается меньше, чем у Марса, в среднем на 2,7 км/с. Поэтому термин «импульс скорости торможения» носит условный характер. Т.о., чтобы перейти на марсоцентрическую орбиту КА должен увеличить свою скорость. Наибольшее отставание было Mariner-7 – 4,3 км/с, наименьшее – у Mars Reconnaissance Orbiter – 1,9 км/с.
Для радиальной скорости расхождения оказываются значительно больше, чем при отлёте от Земли – до 6,7 км/с (Mariner-6, Mariner-7). Но в ряде случаев точка прилёта была выбрана удачно (Марс-2, Марс-3, Марс-4, Марс-7, Mars Global Surveyor, Mars Express, Spirit, Opportunity, MAVEN, Manglyaan), так что импульс скорости торможения не превышал 1 км/с.
Из 23 запусков, приведённых в табл. 1, в 5 случаях КА пролетел мимо Марса. Это Mariner-4, Mariner-6, Mariner-7, Марс-4 и Марс-7.
Причина неудач для Mariner-6 и Mariner-7 очевидна: это большая радиальная скорость на перелётной орбите, к тому же имевшая направление, противоположное радиальному движению Марса. Параметры движения Марс-4 и Марс-7 при сближении с Марсом не отличались принципиально от параметров Марс-5, который стал спутником Марса. Но переход с гелиоцентрической орбиты на планетоцентрическую имеет сложную природу и требует специального рассмотрения.
Тем не менее, можно утверждать, что меньшие энергетические затраты требуются при использовании перелётного эллипса с меньшим эксцентриситетом. В работе [2] был сделан поспешный вывод о том, что эксцентриситет перелётного эллипса увеличивается с увеличением длины его большой полуоси. Анализ большего массива данных показал, что типичная зависимость e от a включает минимум. Минимальная величина суммарного импульса скоростей разгона и торможения не обязательно приходится на перелётный эллипс с минимальным эксцентриситетом, но находится вблизи него. 
На рис. 2 представлены результаты расчётов, выполненных для различных перелётных эллипсов, проходящих через точки запуска и прилёта КА “Mariner-6”. Минимальное значение эксцентриситета (0,200) достигается при длине большой полуоси перелётного эллипса 1,801,82·10¹¹ м, а минимальный импульс скоростей (8,2 км/с) при длине большой полуоси 1,791,80·10¹¹ м. Для этих орбит время перелёта находится в интервале от 179 до 172 сут. по сравнению со 157 сут. реального перелёта. Этому времени соответствует эллипс с длиной большой полуоси 1,93·10¹¹ м и эксцентриситетом, равным 0,231; суммарный импульс скоростей 10,3 км/с. Нужно подчеркнуть, что только этот эллипс позволяет достичь орбиты Марса в нужный момент, когда в точке прибытия находится сама планета.

Рисунок 2. Параметры перелётных эллипсов для Mariner-6 в зависимости от длины большой полуоси (1 – время перелёта, сут.·100; 2 – угол между перицентром и началом перелётной дуги, рад.; 3 – суммарный импульс скоростей, км/с·10, 4 – эксцентриситет).

Заключение

В работе найдены перелётные эллипсы и параметры орбитального движения, дающие совпадение по времени перелёта с данными, приводимыми в литературе для 23 состоявшихся экспедиций к Марсу.
Проведённое исследование демонстрирует возможности метода проектирования и оптимизации перелётных эллиптических орбит.

Статья подготовлена по материалам доклада, представленного на XLII Академических чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С.П. Королёва и других выдающихся отечественных ученых — пионеров освоения космического пространства. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 23–26 января 2018 г.

Имеющаяся в нашем распоряжении информация об объектах микромира ограничена. Это затрудняет создание единой непротиворечивой теории и вынуждает использовать различные модели для объяснения различных явлений и свойств объектов. Академик Л.Д. Фадеев считал, что: «Основные законы квантовой механики не удаётся сформулировать как логическое следствие результатов некоторой совокупности фундаментальных физических экспериментов. Иными словами, до сих пор неизвестна формулировка квантовой механики, основанная на системе проверенных на опыте аксиом. Более того, некоторые из основных положений квантовой механики не допускают опытной проверки. Наша уверенность в справедливости квантовой механики основана на том, что все физические результаты теории согласуются с экспериментом. Таким образом, на опыте проверяются только следствия из основных положений квантовой механики, а не её основные законы» [1].

Рассмотрим простейшую ситуацию: основное состояние атома гелия (1s²) и его первое возбуждённое состояние (1s2s, 2 ³S₁). Разница энергий этих состояний составляет 159856 см^-1 (0,7284 Ha (E_h)) [2]. Энергия ионизации атома гелия равна 2372,3 кДж/моль (0,9036 Ha), энергия ионизации иона He⁺ – 5250,4 кДж/моль (1,9998 Ha) [3]. Энергия ионизации гелия в состоянии 1s2s оценивается величиной 0,1752 Ha [4]. Отсюда следует, что энергия 1s-электрона в этом состоянии равна -1,9998 Ha. Если исходить из того, что каждый из электронов в 1s² состоянии имеет равную энергию – по -1,4517 Ha, то получается, что процесс перехода атома гелия из возбуждённого состояния 1s2s в основное (1s²) доложен сопровождаться не только излучением с длиной волны 62,56 нм, но и поглощением излучения с длиной волны 83,04 нм, что необходимо для увеличения энергии 1s-электрона. Аналогично, процесс возбуждения атома гелия должен сопровождаться интенсивным излучением с длиной волны 83,04 нм, вызванным уменьшением энергии остающегося 1s-электрона. В противном случае, должен существовать некий безъизлучательный процесс перераспределения энергии между электронами.
Но есть и третий вариант, который состоит в том, что электроны в основном состоянии атома гелия имеют различную энергию: -0,9036 и -1,9998 Ha соответственно. Целью данной работы является проверка предложенной в [5] модели атома гелия, имеющего орбиты с различной энергией, путём расчета его спектра. Разработанная модель основана на постулатах Н. Бора и использовании модифицированного уравнения электростатического взаимодействия.

Модель атома гелия

Предложенная в 1913 г. Н. Бором планетарная модель атома включает три постулата [6]:
Электроны движутся вокруг ядра по круговым орбитам, так что сила электростатического притяжения F_E равна центробежной силе:

, (1)

где m, u и r – соответственно масса электрона, его орбитальная скорость и радиус орбиты.

Электрон в атоме может занимать ряд стационарных орбит (В действительности стационарной является только орбита с n = 1. Другие орбиты следует называть квазистационарными, поскольку время пребывания электрона на них очень мало), отличающихся величиной углового момента (angular moment). Причём величина углового момента электрона пропорциональна постоянной Планка h:

, где n – целое, равное номеру орбиты. (2)

Частота излучения ν_ba, при переходе электрона с орбиты номер b на орбиту номер a определяется разницей в энергиях данных орбит:

. (3)

Этот подход позволяет с высокой точностью рассчитать спектр атома водорода и одноэлектронных ионов. Но в случае атома гелия Бор столкнулся с двумя проблемами.
Первая проблема состояла в том, как разместить два электрона относительно ядра. Бор, исходя из того, что оба электрона имеют одинаковое значение углового момента, поместил их на одной орбите, проигнорировав отталкивание между электронами.
Вторая проблема состояла в расчёте силы электростатического притяжения к ядру. Бор предложил собственное уравнение для взаимодействия между ядром с зарядом N и n электронами, находящимися на одной орбите:

, где е – заряд электрона. (4)

Вычисленная при этом энергия ионизации атома гелия оказалась равной 0,994 Ha, что всего на 10% больше экспериментальной величины [7].
Между тем известно, что круговая орбита обладает некоторыми гироскопическими свойствами, и мы вправе предположить, что отталкивание между электронами может привести к смещению плоскостей их орбит относительно ядра. На этой основе и с использованием модифицированного уравнения электростатического взаимодействия была разработана модель атома гелия и изоэлектронных ионов, в которой электроны движутся по равновеликим орбитам [8]. Ошибка в вычислении суммарной энергии электронов составила от -1% отн. для гидрид-иона до +1.5% отн. для иона О⁺⁶. Но, как было указано во введении, мы вынуждены отказаться от идеи равновеликих орбит и искать решение для системы с электронами, имеющими различную энергию.
Схема, описывающая данную систему, представлена на рис. 1. Модификация уравнения электростатического притяжения состоит в том, что к уравнению Кулона, описывающему взаимодействие электрона с ядром, добавляется поправка, учитывающая взаимодействие между электронами:

, (5)

. (6)

В модели принято равномерное распределение заряда по окружности орбиты в соответствии с концепцией А. Комптона о кольцевом электроне [9], так что элемент заряда:

, где dα – элемент дуги окружности. (7)

Взаимодействие между элементами заряда на орбитах рассчитывается с использованием интеграла:

. (8)

При этом cosβ(α) и r(α)₂₃ рассматриваются как функции от α. Int₁(2,3) отличается от Int₂(2,3) алгоритмом вычисления угла β. В первом случае это угол между r₂₁ и r₂₃, а во втором – между r₃₁ и r₃₂.

Силы электростатического притяжения электронов к ядру F₂₁ и F₃₁ имеют две проекции: на плоскость орбиты и на ось, на которой находятся центры орбит и ядро.
Проекция силы притяжения на плоскость орбиты уравновешивается центробежной силой:

, где ε₁ – угол между r₂₁ и r₂₄. (9)

Выразив величину скорости движения из уравнения (2) и приняв во внимание, что радиус орбиты электрона в атоме водорода равен:

, (10)

получим следующий эквивалент уравнения (1) [8]:

. (11)

В расчётах при подборе величины радиуса орбиты электрона r₂₄ (соответственно r₃₅), удовлетворяющего условию квантования (11), используется функция φ₁ (φ₂):

. (12)

Проекции сил электростатического притяжения на ось, соединяющую центры орбит электронов, направлены в сторону ядра. Было найдено, что равновесие в системе можно описать следующим образом:

. (13)

Полная энергия электрона складывается из потенциальной и кинетической энергии. Потенциальная энергия по определению есть величина отрицательная и равна произведению силы на расстояние. Кинетическая энергия электрона в модели Бора равна по модулю половине от его потенциальной энергии. Таким образом, энергии электронов равны:

, . (14)

Реализация модели сводится к тому, что бы найти значения r₂₄, r₁₄, r₃₅ и r₁₅ удовлетворяющие следующим условиям:
выполнение условия горизонтального равновесия по уравнению (13),
выполнение условия вертикального равновесия по уравнению (11) для каждого из электронов,
соответствие энергии каждого из электронов экспериментальной величине.
В возбуждённом состоянии структура атома может быть как аналогичной описанной выше, т.е. с орбитами электронов, сдвинутыми относительно ядра, так и с орбитами, лежащими в одной плоскости, включающей ядро (см. рис. 2). В последнем случае вид поправки к уравнению электростатического притяжения меняется:

, (15)

. (16)

Наконец, возможен промежуточный вариант, когда плоскость одной орбиты (меньшего радиуса) проходит через ядро, а плоскость второй (большего радиуса) – сдвинута. В этом случае сила электростатического притяжения нижнего электрона (F₂₁) вычисляется по уравнению (15), а верхнего электрона (F₃₁) – по уравнению (6). Горизонтальное равновесие определяется по уравнению (13).
Для описания электронных состояний в статье используются следующие обозначения. Орбиты, лежащие в плоскости ядра, обозначаются как s, орбиты, сдвинутые относительно ядра – как p. Если две p-орбиты имеют одинаковый номер, то им присваивается дополнительный индекс. Таким образом, основное состояние атома гелия обозначено как 1p₁1p₂.
Магнитные взаимодействия в модели не учитываются.

Результаты расчётов и обсуждение

В расчётах были использованы атомные единицы [10]: m = 9,1094·10^-28 г, e = 4,8018·10^-10 , с = 2,9979•10¹⁰ см/с, h = 6,6261 ·10^-27 эрг·с, радиуса – равного радиусу орбиты электрона в атоме водорода (a₀ = 5,2918·10^-9 см), силы – равной силе электростатического притяжения, действующий на электрон в атоме водорода (F₀ = 8,2339·10^-3 дин), энергии – равной потенциальной энергии электрона в атоме водорода (1 Ha = 4,3597·10^-11 эрг). Расчёты выполнены с шагом интегрирования π/1800. Точность вычисления энергии электронов – 0,0001 Ha.
Структура, найденная для основного состояния атома гелия и соответствующая по энергетическим параметрам литературным данным (см. табл. 1, строка 1), не соответствует условию горизонтального равновесия. Результирующая сила притяжения между электронами составляет около 0,01 F₀. Стабилизация структуры ведёт к уменьшению расстояния между электронами с уменьшением энергии системы. Действительно, величина энергии ионизации иона He⁺, равная 1,9998 Ha [3], превышает величину боровской энергии электрона (-2,0000 Ha). В атоме гелия энергия нижнего электрона должна быть ещё меньше за счёт воздействия верхнего электрона. Величина энергии нижнего электрона, найденная для относительно стабильной структуры (ΔF_Hor = 0,0003 F₀), дающей совпадение с энергией ионизации атома гелия, составила 2,0006 Ha.

r24	r14	r35	r15	φ1	φ2	ΔFHor	E1	E2
1p11p2
0,5000	0,0285	0,7438	0,2118	-6·10-5	2·10-4	1·10-2	-1,9998	-0,9036
0,4999	0,0279	0,7439	0,2112	2·10-5	-4·10-5	3·10-4	-2,0006	-0,9036
0,4999	0,0279	0,7439	0,2114	2·10-5	2·10-4	-9·10-6	-2,0006	-0,9033
0,5000	0,0271	0,7467	0,2139	-7·10-5	7·10-4	7·10-4	-2,0005	-0,8974
0,4999	0,0259	0,7503	0,2184	-3·10-6	-5·10-5	4·10-4	-2,0008	-0,8881
1p2p
0,5000	0,0001	2,0003	0,0005	-4·10-7	-3·10-5	2·10-3	-2,0000	-0,4999
1p3p
0,5000	0,0001	4,0005	0,0010	4·10-8	3·10-5	2·10-3	-2,0000	-0,2222
0,5000	0,0001	4,5164	0,0313	4·10-8	-8·10-5	2·10-3	-2,0000	-0,2206
1p4p
0,5000	0,0001	8,0143	0,0280	6·10-8	-9·10-5	2·10-3	-2,0000	-0,1246
0,5000	0,0001	8,0989	0,1840	6·10-8	-9·10-5	2·10-3	-2,0000	-0,1220
1p7p
0,5000	0,0001	24,5000	0,0001	6·10-8	1·10-4	2·10-3	-2,0000	-0,0408
0,5000	0,0001	24,6025	0,2000	6·10-8	-2·10-5	2·10-3	-2,0000	-0,0405
1p17p
0,5000	0,0001	144,600	0,2000	6·10-8	-4·10-6	2·10-3	-2,0000	-0,0069
2p12p2
1,8625	0,1020	2,2865	0,0800	-3·10-4	-9·10-4	7·10-4	-0,5766	-0,3826
1,8787	0,0921	2,3159	0,0898	9·10-5	-2·10-5	-1·10-4	-0,5666	-0,3729
1,8821	0,0882	2,3201	0,0902	-2·10-5	-1·10-4	-9·10-4	-0,5646	-0,3716
2p3p
2,0000	0,0010	4,5034	0,0048	-6·10-5	5·10-4	3·10-4	-0,5000	-0,2219
2,0000	0,0010	4,5364	0,0462	-6·10-5	-3·10-4	1·10-3	-0,5000	-0,2187
2,0000	0,0010	4,5892	0,1120	5·10-5	5·10-5	2·10-3	-0,5000	-0,2137
2p10p
2,0000	0,0030	50,0020	0,0040	1·10-5	1·10-5	8·10-4	-0,5000	-0,0200
2,0000	0,0030	50,1015	0,2000	-1·10-5	1·10-5	8·10-4	-0,5000	-0,0199
3p13p2
4,4725	0,0116	5,3730	0,1720	-2·10-4	-1·10-5	-1·10-4	-0,2250	-0,1559

В табл. 2 приведены результаты расчётов для возбуждённых состояний типа 1sNs. Переходы из данных возбуждённых состояний в основное состояние приведены в табл. 3.

λ, нм [11]	ΔE, Ha	Переход	λ, нм	ΔE, Ha	Переход
50,55	0,9021	1s15s→1p11p2	50,86	0,8965	1s8s→1p11p2
50,57	0,9017	1s14s→1p11p2	51,00	0,8941	1s7s→1p11p2
50,59	0,9013	1s13s→1p11p2	51,21	0,8904	1s6s→1p11p2
50,62	0,9008	1s12s→1p11p2	51,56	0,8844	1s5s→1p11p2
50,66	0,9001	1s11s→1p11p2	52,22	0,8732	1s4s→1p11p2
50,71	0,8993	1s10s→1p11p2	53,70	0,8491	1s3s→1p11p2 (2)
50,77	0,8981	1s9s→1p11p2	58,43	0,7804	1s2s→1p11p2 (3)
			59,14	0,7710	1s2s→1p11p2 (4)

Для переходов от 1s15s→1p₁1p₂ до 1s4s→1p₁1p₂ включительно получено точное (в рамках принятой в работе погрешности) совпадение расчётных и экспериментальных значений длин волн. Но для переходов 1s3s→1p₁1p₂ и 1s2s→1p₁1p₂ обнаружилось определённое расхождение. Оно может быть объяснено следующим образом.
Особенностью состояний типа MpNp является их множественность, связанная с различными соотношениями радиусов орбит и их положений относительно ядра. Среди них есть более и менее устойчивые, более и менее соответствующие условиям квантования радиуса орбиты. Тем не менее, отклонения от равновесия в тысячных долях навряд ли можно считать условием, препятствующим возникновению таких состояний. Их образование может быть связано с динамикой процессов электронных переходов, т.к. одновременно с изменением радиусов орбит электронов происходит и смещение плоскостей орбит.
В табл. 1 приведены вариаций состояния 1p₁1p₂. Основное состояние (строка 2) возникает при переходах с орбит 15s÷4s. При переходе электрона с орбиты 3s возникает состояние с энергией на 0,0003 Ha выше. Переход электрона с орбиты 2s может приводить к возникновению двух вариаций состояния 1p₁1p₂ с энергиями верхнего электрона -0,8974 и -0,8981 Нa соответственно. Дальнейшая стабилизация этих вариаций связана с тепловым излучением.
Время электронного перехода определяется частотой излучения – . За этот промежуток времени плоскости орбит могут не успеть сдвинуться в равновесное состояние. По завершении процесса изменения радиуса орбиты электрона перемещения плоскостей орбит оказываются невозможными из-за того, что это приведёт к нарушению условия квантования радиуса (см. уравнение (11)). Так что на первой стадии возбуждения следует ожидать образования неравновесных вариаций состояний типа NpMp (преимущественно 1pMp). В табл. 1 приведены параметры некоторых из возможных структур этого типа.
Дезактивация состояний 1pMp может сопровождаться как образованием аналогичных структур, так и структур типа 1sMp. Вторичное возбуждение состояний 1sMp ведёт к образованию состояний 1sMs.
В спектре излучения гелия отсутствуют линии, соответствующие переходам 1sNs→1s2s, Это связано с тем, что при уменьшении радиуса орбиты внешнего электрона отталкивание между электронами ведёт к образованию состояний 1sMp и 1pMp, которые могут иметь близкие значения энергий электронов.
Возможность реализации различных видов переходов и наличие вариаций для одинаковых квантовых состояний обуславливает богатство спектра излучения атома гелия. В табл. 4 приведены переходы из состояний 1pNp. Как видно из таблицы они включают серии для нижних уровней 1s6p, 1s4p, 1p6p, 1p5p, 1p4p. Поскольку каждому из состояний соответствует множество вариаций, то переход из одного состояния в другое, гипотетически, может быть связан с несколькими линиями в спектре излучения. Например, переход 1p6p→1p5p может приводить к излучению в диапазоне от 1855 до 1954 nm. Это ведёт к тому, что по результатам расчёта энергии перехода сложно сделать отнесение конкретной линии к конкретному переходу. Например, линия при 1908,9 нм (0,0239 Ha) может быть вызвана переходами 1p6p→1s5p, 1p6p→1p5p, 1s6p→1p5p, 1s6p→1s5p, 1s8p→1p6p, 2p8p→2p6p, 2p6p→2p5p,. Использованная точность расчётов не позволяет осуществить выбор по длине волны излучения, но его, вероятно, можно будет сделать в дальнейшем на основе анализа геометрии состояний и динамики их образования.

Анализ спектра даёт основания полагать, что при возбуждении атома гелия также образуются состояния типа 2pNp. Переходов, соответствующих дезактивации состояний типа 2sNs, 3sNs, 3pNp, выявлено не было.

Каталог NIST относит линию 32,03 нм (1,4226 Нa) к переходу 2p²→1s2p. В рамках данной модели мы имеем схожее отнесение перехода: 2p₁2p₂→1p2p. Состояние 2p₁2p₂ имеет множество вариаций с различными радиусами орбит электронов и их положением относительно ядра. В наибольшей степени рассматриваемому процессу подходит вариация (см. табл. 1), в которой электрон на нижней орбите 2p₁ имеет энергию -0,5766 Ha, а на верхней орбите 2p₂ – -0,3826 Ha. В состоянии 1p2p электрон на нижней орбите 1p имеет энергию -2,0000 Ha а на верхней орбите 2p – -0,4999 Ha. Следовательно, связанный переход должен сопровождаться двумя линиями излучения: при 32,01 нм (1,4234 Ha) и 388,70 нм (0.1172 Ha). Данный двулучевой переход иллюстрирует рис. 3. Мы получили расхождение с табличным значением для линии в ультрафиолетовой области в 0,02 нм (0,06% отн.) и в 0,16 нм (0,04% отн.) для линии в видимой области, которая относится к устойчивым [12]. 

Аналогичные переходы, сопровождающиеся излучением двух фотонов, возможны ещё в нескольких случаях.
Линии при 294,5 нм (0,1547 Ha) и при 301,4 нм (0,1512 Ha) могут быть связаны с уменьшением энергии верхнего электрона (3p→2p₂) при переходе 2p3p→2p₁2p₂ для различных вариаций состояния 2p3p. При этом также уменьшается энергия нижнего электрона с -0,5000 до -0,5646 Ha. Линии соответствующие этому переходу присутствует в спектре (706,5 и 706,6 нм).
При возбуждении нижнего электрона из состояния 2p₁2p₂ с образованием состояний 2pNp энергия верхнего электрона уменьшается до -0,5000 Нa. С этими процессами может быть связано образование линий 358,7 нм (0,1270 Ha), 361,3 нм (0,1261 Ha), 363,4 нм (0,1254 Ha), 370,5 нм (0,1230 Ha). Иного отнесения для перечисленных выше линий выявить не удалось.

Не удалось выявить и линий, соответствующих переходам 1p3p→1p2p, 1p3p→1p₁1p₂, 1p2p→1p₁1p₂. Дезактивация данных состояний может происходить через образование состояний 1sNs. Вероятно, наличие относительно устойчивых возбуждённых состояний обуславливает высокую светимость гелия, поскольку вторичное возбуждение требует меньших затрат энергии.

Заключение

Проведённое исследование показало, что модификация уравнения электростатического взаимодействия позволяет распространить теорию строения атома Н. Бора на двухэлектронные системы. Апробированная модель атома гелия, включающая лишь фундаментальные постоянные, позволяет без использования вариационных коэффициентов с высокой точностью рассчитать энергию электронов в основном и возбуждённых состояниях атома.

На основе проведённых расчётов удалось провести отнесение всех устойчивых линий в спектре атома гелия к переходам электронов между различными энергетическими уровнями исходы из положения о том, что образование излучения с конкретной частотой определяется изменением энергии конкретного электрона, а не всей системы в целом. Этот результат является важным для изучения механизмов генерации фотонов при электронных переходах и взаимодействия фотонов с электронами.

В тоже время, была выявлена множественность решения задач отнесения электронных переходов к линиям в спектре, что связано с вариативностью геометрической структуры определённых квантовых состояний и, как следствие, их энергетических характеристик. Дальнейшие исследования должны быть направлены на исследование динамики процессов возбуждения и дезактивации различных квантовых состояний атома и установлении правил отбора электронных переходов.

Явление гравитации, т.е. тяготения, изучается с древнейших времён, но его причины до сих пор непонятны. Этому явлению посвящены тысячи работ различного уровня, содержащие самые разнообразные подходы. Мы рассмотрим подход к описанию явления гравитации через «искривление пространства».

Появление этого подхода связывают с теорией относительности Альберта Эйнштейна, но его зачатки можно обнаружить в работах Николая Коперника и Галилео Галилея. Аристотель для описания тяготения использовал понятие естественного движения, т.е. движения, не требующего воздействия какой-то дополнительной силы, которое направлено к центру Земли. Коперник предложил отнести к естественному и движение тел вместе с Землёю [1, c. 86].
Что бы подтвердить это утверждение Коперника Галилей рассматривает ряд наблюдений. Так дальность полёта ядра при стрельбе из пушки не зависит от направления, в котором был произведён выстрел – на запад или на восток. Этот результат можно трактовать, как подтверждение неподвижности Земли. Но камень, брошенный с мачты на палубу корабля, упадёт точно под ней в не зависимости от того, стоит корабль у причала или движется. Это указывает на то, что камню присуще движение корабля и, упав с мачты, он сохраняет это движение. Он одновременно и движется вниз, перпендикулярно палубе, и со скоростью движения корабля. Т.о. движение камня является смешанным или составным. При этом Галилей уточняет, что если тело движется по кругу, т.е. на одинаковом расстоянии от центра Земли, то его движение не встречает никакого сопротивления, а, стало быть, является естественным [2, c. 247].
Далее мы попытаемся сформулировать гипотезу, согласующуюся с данным явлением.

Гравитационный эфир

В макромире выделяют три вида взаимодействий: гравитационные, электростатические и магнитные. Наряду с ними можно встретить упоминание об электромагнитных взаимодействиях, что является обобщением, не всегда верно понимаемым. Дело в том, что движение электрических зарядов порождает магнитное поле, а электромагнитное излучение (ЭМИ) вызывает движение зарядов. Но взаимодействие между собой различных магнитных полей и взаимодействие зарядов с ЭМИ принципиально отличается от электростатического взаимодействия между зарядами и мы не должны их смешивать.
Для объяснения этих взаимодействий с древнейших времён используется представления об эфире – среде, заполняющей всё пространство. Наибольшее развитие эти представление получили в волновой теории света и ЭМИ, которая доминировала на протяжении XIX в. [3]. Но в начале XX в. под влиянием работ Альберта Эйнштейна произошёл возврат к эмиссионной теории ЭМИ и отказу от эфира как носителя магнитного поля и ЭМИ. В то же время Эйнштейн не исключал использования концепции эфира: «Эфир общей теории относительности есть среда, сама по себе лишенная всех механических и кинематических свойств, но в тоже время определяющая механические (и электромагнитные) процессы» [4].
Таким образом, с Эйнштейном мы можем связать возврат к использованию представлений об эфире в теории тяготения, впервые предложенные ещё Демокритом (XVI-XV в до н.э.). Демокрит рассматривал тяготение, как результат вихревого движения эфира, в качестве элементов которого выступали мельчайшие неделимые частицы, названные атомами [5]. Эйнштейн не детализирует структуру эфира, названного им гравитационным, но пытается использовать в описании гравитационных взаимодействий математический аппарат, разработанный для неплоских поверхностей (неевклидова геометрия).
Конечно, тема неевклидовой геометрии – это тема для математиков. Но нельзя не обратить внимание на условность используемых при этом подходов. Когда мы говорим о евклидовой геометрии, мы говорим о геометрии на плоскости. При этом плоскость определяется как геометрическое место точек, для которого выполняется условие, что через две точки можно провести только одну прямую. Поверхность, не отвечающую данному условию, мы рассматриваем уже не в двумерном пространстве, а в трехмерном. В случае неевклидовой геометрии неплоские поверхности рассматриваются в двумерном пространстве. Возникает вопрос: насколько продуктивен подобный подход в теории гравитации?

Влияние гравитационного поля на распространение света

При создании некой теории возможно три подхода:

От обобщения экспериментальных данных через гипотезу.
На основании теоретических предпосылок более высокого уровня.
Путём априорного постулирования неких аксиом.Создание теории гравитации шло по первому пути и, по сути, завершилось законом всемирного тяготения Ньютона. Это уравнение строго выполняется для взаимодействия двух тел в том случае, если влиянием третьих тел можно пренебречь.
Попытки разрешить проблему трёх тел к началу научной деятельности Эйнштейна оставались безуспешными. Но Эйнштейн не обратил на неё внимания. Вместо этого он попытался объединить гравитационные, электрические и магнитные взаимодействия не имея для того ни экспериментальных, ни теоретических предпосылок.

В статье «О влиянии силы тяжести на распространение света» [6], опубликованной в 1911 г. [7] Эйнштейн выдвинул гипотезу и, как он полагал, доказал, что гравитационное поле влияет на скорость распространения света и его частоту:
, (1)
, где: (2)
g – ускорение движущейся системы отсчёта K’, численно равное напряжённости гравитационного поля g, в котором находится неподвижная система отсчёта K₀;
f₂ – частота излучения в точке, связанной с равномерно-ускоренной системой отсчёта K’;
f₁ – частота того же излучения в точке, связанной с неподвижной системой отсчёта K₀;
h – расстояние между точками P₂ и P₁ по оси z в направлении убывания напряжённости гравитационного поля;
V = gh – гравитационный потенциал;
с₀ – скорость света в начале координат неподвижной системы отсчёта K₀;
с – скорость света в точке с гравитационным потенциалом V.
Если фронт световой волны движется перпендикулярно градиенту гравитационного потенциала, то, согласно уравнению (2) скорость его распространения будет различной в разных точках, что должно иметь следствием поворот фронта и искривление светового луча (см. рис. 1).
Проверке уравнения (1) были посвящены эксперименты Паунда [8], основанные на эффекте Мёссбауэра [9]. Что бы данный эффект мог быть зафиксирован (на ядрах Fe⁵⁷) разница в высотах между двумя точками для измерений должна была быть 3 км. Используя, частично, классический эффект Доплера (обусловленный относительным движением источника и приемника излучения) Паунду удалось сократить расчетную разницу высот до 21 м. Но в этом случае наблюдаемый эффект оказался сравним по величине с температурным эффектом за счет той же разницы высот в помещении.

Считается, что уравнение (2) доказано экспериментально методом радиолокационной астрономии серий наблюдений, проведённых под теоретическим руководством Ирвина Шапиро [10]. Суть метода состоит в измерении времени прихода сигнала, отражённого от поверхности планеты (Венеры или Меркурия) и его сопоставлении с расчётной величиной. Полученное отклонение – время запаздывания – сопоставляется с величиной запаздывания, вызванной уменьшением скорости света при прохождении луча электромагнитного излучения вблизи поверхности Солнца. Измерения проводились на протяжении 1967 г. так, чтобы измерить время запаздывания для различных положений Меркурия (см. рис. 2).

При этом были получены результаты, представленные на рис. 3. Мы видим, что по мере удаления Меркурия от соединения с Землей превышение запаздывания сигнала уменьшается. Но, учитывая высокую погрешность измерений этой величины (точки 3-7 на правом графике статистически неразличимы), мы не можем считать, что полученные результаты полностью согласуются с уравнением (2). На распространение ЭМИ вблизи поверхности Солнца влияет магнитное поле Солнца и солнечный ветер, состоящий из протонов, электронов и α-частиц. Радиус Солнца составляет 696 тыс. км, а солнечная корона распространяется на расстояние более 1 млн. км от его поверхности [11]. Поэтому эксперименты И. Шаптро нельзя признать доказательством влияния гравитации на распространение ЭМИ.

Ещё одной темой, связанной с представлениями об искривлении пространства, является проблема вычисления смещения положения перигелия Меркурия во времени.
Впервые эту проблему обозначил французский астроном Урбен Лаверье в докладах Французской академии наук [12]. Лаверье пишет, что им выявлено расхождение между вычисленным и наблюдаемым сдвигом долготы перигелия Меркурия за сто лет, составляющее 38” и что это расхождение трудно объяснить чем либо иным, кроме как нахождением внутри орбиты Меркурия некого небесного тела, обращающегося вокруг Солнца (ранее У. Лаврерье на основании анализа обращения вокруг Солнца Урана предсказал существование Нептуна [13]). Разработанная У. Лаверье теория движения Меркурия была опубликована Парижским бюро долгот в 1845 г. [14]. В 1859 г. он опубликовал обновлённую версию своей теории [15], в которой приводится расчётная величина векового смещения перигелия, равная 527”, отличающаяся от величины, найденной по результатам астрономических наблюдений – 565”. В дальнейшем наблюдаемая величина была уточнена Саймоном Нькомом и составила 570” [16].
Но поиски новой планеты результатов не дали [16].
Это обстоятельство стало новым поводом для попыток модификации уравнения всемирного тяготения Ньютона, которые так же оказались безуспешными [16]. Свой вклад в разрешение данной проблемы внёс А. Эйнштейн, рассмотревший движение Меркурия в рамках общей теории относительности: «В настоящей работе я нахожу важное подтверждение этой наиболее радикальной теории относительности; именно, оказывается, что она качественно и количественно объясняет открытое Леверье вековое вращение орбиты Меркурия, составляющее около 45″ в столетие» [17]. Математические преобразования, смысл которых человеку, не владеющему тензорным исчислением, не вполне понятен, приводят к уравнению:
, где: (4)
– смещение перигелия,
T – период обращения планеты,
а – длина большой полуоси орбиты,
е – эксцентриситет орбиты,
с – скорость света.
В заключении Эйнштейн пишет «Вычисление даёт для планеты Меркурий поворот перигелия на 43” в столетие, тогда как астрономы указывают 45±5” в качестве необъяснимой разницы между наблюдениями и теорией Ньютона». В 1920 г. А. Эйнштейн выпустил отдельную брошюру, посвящённую специальной и общей теории относительности [18], в которой приводится несколько отличная от первоначальной формула:
, (5)
где  – это отклонение угла смещения перигелия от величины, найденной по теории Ньютона.
Не понятно, как используя любую и двух формул можно получить значение  = 43”, тем более что размерность результата есть угол в третьей степени.
В 2019 г. вышла работа Н.И. Амелькина [19], в которой утверждается, что им рассчитано влияние планет солнечной системы на прецессию орбиты Меркурия в рамках ограниченной задачи трёх тел: Солнце-планета-Меркурий. Показано, что среднее смещение перигелия орбиты Меркурия, вычисленное в рамках плоской ограниченной круговой задачи, составляет 556,5 угловой секунды за сто­летие и совпадает с наблюдаемым (570″) с относительной точностью 2,5%. Показано также, что в на­блюдаемом смещении перигелия Меркурия помимо среднего имеются колебательные составляющие с суммарной амплитудой до 20″ и периодами от нескольких лет до нескольких десятков лет.
Поэтому мы не можем рассматривать работы Эйнштейна, касающиеся движения Меркурия, как доказательства влияние гравитации на распространение ЭМИ. Мы не можем априори и отвергнуть саму гипотезу, но должны признать, что доказательств такого влияния к настоящему времени не обнаружено.

Интервал между событиями

В работах по теории относительности часто встречается выражение:

, где: (9)
ds - так называемый «интервал» в четырёхмерном пространстве-веремени,
x, y, z – декартовы координаты точки.
Появление этого выражения связано с попыткой немецкого математика Германа Минковского вывести известное преобразование Г.А. Лоренца:

, (10)
где l’ и l – длина объекта, движущегося со скоростью v в неподвижной и связанной с объектом системах отсчёта соответственно.
В 1908 г. им был сделан доклад [20, 21], в котором он сформулировал понятия мировой точки и мировой линии: «Никто ещё не наблюдал какого-либо места иначе, чем в некоторый момент времени, и какое-нибудь время иначе, чем в некотором месте. … Я буду называть пространственную точку, рассматриваемую в какой-нибудь момент времени, т.е. систему значений x, y, z, t – мировой точкой». Путь из одной мировой точки в другую Минковский назвал «мировой линией». Говоря иначе: пространство выражает порядок сосуществования отдельных объектов, время – порядок смены явлений [22].
Далее Минковский рассматривает геометрическую фигуру, описываемую уравнением:

. (11)

Поверхность, удовлетворяющая уравнению (11), можно представить в четырёхмерном пространстве. Для двумерного пространства кривая, удовлетворяющая уравнению:

, (12)представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей – в положительной и отрицательной областях t.
На рис. 5 представлена верхняя ветвь гиперболы с её асимптотами.

Дальнейшие действия и рассуждения Минковского выглядят следующим образом. Проведём из начала координат О радиус-вектор ОА’ произвольной точки этой гиперболы, а затем касательную к ней до пересечения с асимптотой в точке B’. Затем дополним треугольник OA’B’ до параллелограмма OA’B’C’. Если теперь мы примем OC’ и OA’ за оси отсчёта координат x’ и t’ с масштабами OC’ = 1 и OA’ = 1/c, то указанная ветвь гиперболы будет опять иметь своим выражением  при t’>0 и переход от x, y, z, t к x’, y’, z’, t’ явится одним из искомых преобразований.
Но, как видно из рисунка OC’ ≠ 1, единице равно ОС; OA’ ≠ 1/c, 1/c равно ОА.
«Пусть теперь с беспредельно возрастает, следовательно, а 1/с стремиться к нулю; из нашего рисунка ясно видно, что ветвь гиперболы будет всё более и более приближаться к оси х, угол, образуемый асимптотами, будет увеличиваться и что указанное специальное преобразование в пределе превратится в такое, при котором ось t’ может иметь любое направление вверх, а ось x’ всё более и более приближается к оси x» – далее пишет Минковский. Но из рисунка хорошо видно, что с уменьшением 1/c ось t’ приближается к оси x’. Так что в пределе все три оси должны слиться в одну.
Далее Минковский предлагает принять, что с – это скорость света в пустоте, равная отношению электромагнитной и электростатической единиц электричества.
«Если мы каким-нибудь образом индивидуализируем пространство и время, то покоящейся субстанциональной точке соответствует в качестве мировой линии прямая, параллельная оси t; равномерно движущейся субстанциальной точке – прямая, наклонённая относительно t; неравномерно движущейся точке – каким-то образом искривленная мировая линия. Если для мировой линии некой точки мы найдём, что она параллельна какому-либо радиус-вектору OA’ вышеупомянутой полости гиперболоида, то мы можем ввести OA’ в качестве новой оси времени. Тогда субстанция в этой мировой точке в новой системе координат будет казаться нам покоящейся» – рассуждает Минковский и вводит аксиому:
«Субстанция, находящаяся в любой мировой точке всегда при надлежащем определении пространства и времени может быть рассматриваема как находящаяся в покое. В каждой мировой точке
 (13)
и всякая скорость v меньше c».
В том, что равномерно движущаяся точка может рассматриваться как покоящаяся в системе отсчёта, связанной с ней, нет ничего оригинального. Оригинальным является уравнение (13), которое, по сути, является следствием уравнения (11), произвольно использованного Минковским для своих математических упражнений.

Фронт сферической световой волны от точечного источника описывается уравнением:
, (14)
причём .
Это уравнение справедливо для пространства, изотропного по отношению к ЭМИ. Если изотропность нарушается, то справедливым становится выражение (13). В работах по теории относительности не рассматриваются реальные вещественные среды. Тогда причиной нарушения изотропности может стать искривление пространства, которое выражается в том, что ЭМИ распространяется в различных направлениях по различным траекториям, отличным от прямолинейных.

Выше мы вынуждены были признать, что доказательства искривления светового луча в гравитационном поле отсутствуют. Но хорошо известно, что небесные тела в гравитационном поле движутся не по прямым линиям, а по эллиптическим орбитам. Тогда неравенство (13) приобретает иной смысл (см. рис. 6). Путь, который проходит луч света из точки А в точку В равен cΔt и для него справедливо уравнение (14). Но длина дуги АВ, по которой движется небесное тело из точки А в точку В, не равна cΔt. Это обстоятельство имеет отношение к теории относительности, поскольку влияет на точность расчётов, выполняемых по данным астрономических наблюдений.
Небесное тело движется не по прямой, а по эллиптической кривой. Небесная механика объясняет это тем, что на тело действуют две переменные силы: сила тяготения и центробежная сила, вследствие чего радиус орбиты тела всё время меняется. Кроме того, телу присуща инерция, не позволяющая ему остановиться, которая находит выражение в моменте количества движения (угловом моменте).

Рисунок 6. Движение небесного тела и луча света.

Обобщённое уравнение гравитационного взаимодействия и гравитационный эфир

Если же мы поставим перед собой цель разобраться в свойствах гипотетического гравитационного эфира, то мы можем предположить, что небесное тело движется по некой поверхности, характеризующейся свойствами этого эфира.
В пользу такого представления говорят результаты моделирования движения Луны [23] и внешних спутников Юпитера [24, 25]. В апробированных моделях, включавших решение задачи трёх тел, было постулировано постоянство модуля момента количества движения (углового момента) спутника. Результаты моделирования подтвердили эту гипотезу. Получается, что Солнце не оказывает непосредственного влияния на спутники, но влияет на состояние гравитационного поля в окрестностях планеты.
О свойствах гравитационного эфира мы можем только гадать, но мы располагаем характеристиками гравитационного поля (в нынешнем его понимании), такими как напряжённость поля и её градиент.
В работе [26] предлагалось рассмотреть два подхода. Во-первых, рассмотреть искривление трехмерного пространства в четырёхмерном пространстве, а квазисферические поверхности, по которым движутся небесные тела, выделять как сечения искривлённого пространства декартовым трёхмерным пространством. Во-вторых, можно использовать формально четырёхмерное пространство, в котором четвёртой координатой выступает градиент напряжённости гравитационного поля.

Ещё в 2003 г. автором было предложено решение гравитационной задачи трёх тел на примере системы Солнце-Земля-Луна [27], а спустя 17 лет предпринята попытка его теоретического обоснования [23].
В современной теории гравитации используется понятие гравитационного потенциала [28, с. 5]:

, (15)

который связан с величиной работы A, необходимой для того, что бы удалить тело с массой m, находящееся на расстоянии r от тела с массой M, на бесконечно большое расстояние.
С использованием гравитационного потенциала может быть введена величина напряженности гравитационного поля (численно равной ускорению силы тяготения) [28, c.17]:

g = -gradV. (16)

Если гравитационный потенциал – скаляр, то напряжённость гравитационного поля уже вектор, направленный в сторону тела с массой M. Рассмотрим теперь систему, в которой тело m₁ находится в поле n–1 тел с массами m_i. Из уравнения (15) следует, что суммарный гравитационный потенциал в точке нахождения тела m₁ будет:

, (17)

а напряжённость гравитационного поля:

. (18)

Но как будет меняться направление вектора  в пространстве? Для этого мы должны найти его дивергенцию:

div=. (19)

На рис. 7 представлены зависимость log₁₀|div| для системы Солнце-Земля от расстояния пробной точки до Солнца. Оно связано с расстоянием от пробной точки до Земли соотношением (в м): . Экстремум данной функции приходится на величину r_1S = 1,4747·10¹¹ м (r_1E = 2,129·10⁹ м). При меньших значениях r_1S стоком вектора g является Солнце, при больших – Земля.

Для того, что бы вернуться от divg к g мы должны провести интегрирование. Но интегрирование необходимо выполнить не по всему пространству, а в области той точки, для которой сток вектора g максимален. Мы присвоили данной точке индекс 2 (см. рис. 8).

В результате мы получим следующее выражение для силы тяготения, действующей на тело 1:

. (20)
Уравнение (20) представляет собой произведение универсальной гравитационной постоянной, массы рассматриваемого тела, расстояния от данного тела до центра гравитации и суммы членов .
Масса рассматриваемого тела обязательный член при описании силы, действующей на тело.
Универсальная гравитационная постоянная – это характеристика гравитационного поля – гравитационного эфира и, в то же время, нормировочный коэффициент, учитывающий используемые нами иные параметры. Размерность G [м³·кг^-1·с^-2]. Можно сказать, что она обратно пропорциональна плотности вещества и времени.
Члены , имеющие размерность плотности, характеризуют воздействие массы на окружающее простра6нство. Для учёта расположения тел относительно направления действия силы тяготения необходимо ввести ещё одни сомножитель - .
Наконец член . Его физический смысл может быть связан с воздействием массы на гравитационный эфир. Представления о «растяжении пространства» под действием массивных тел достаточно распространено в научной и научно-популярной литературе (см. рис. 9). В этом случае может возникать сила, аналогичная той, что возникает при растяжении и которая согласно закону Гука пропорциональная величине удлинения [29].

Рис. 9 даёт нам качественное представление о «растяжении» или «искривлении пространства». На рис. 10 представлены результаты расчётов величины  от расстояния вдоль радиус-вектора Земли относительно Солнца (индекс P – относится к пробной точке, индекс E – к Земле, индекс S – к Солнцу).

Рисунок 10. Зависимость «искривления пространства» от расстояния вдоль радиус-вектора Солнце – Земля [31].

Данная зависимость имеет три экстремума. Минимум, не показанный на графике, отвечает центру Земли. Формально, его значение стремится к –∞, но, с другой стороны, можем ли мы рассматривать Землю как точку? Поэтому правильнее будет говорить о том, что величина  при r_EP, меньших радиуса Земли, не определена. Два максимума указывают границы сферы тяготения Земли, которые значительно превышают радиус орбиты Луны.

Заключение

Проведённый анализ показал, что на современном этапе наука не располагает ни экспериментальными данными, ни теоретическими подходами для того, чтобы связать между собой гравитационное поле и ЭМИ.

Понятие «искривление пространства» может быть использовано при разработке теории гравитации, поскольку круговое и эллиптическое движения являются естественными видами движения массивных тел в гравитационном поле.

В качестве параметра «искривления пространства» может быть использовано отношение массы гравитирующего тела к кубу расстояния между ним и пробной точкой.

Одной из проблем, связанных с исследованиями в дальнем космосе, является передача на Землю получаемой информации. Мощности передатчиков космических аппаратов (КА) ограничены, а в процессе движения электромагнитного излучения происходит его рассеивание, так что Земли достигает лишь незначительная часть исходного потока. Это требует использования сложных устройств для приема сигнала и специальных методов обработки принятого сигнала для отделения шумов [1]. Более эффективным может быть накопление собираемой информации и передача её на Землю при последующем сближении КА с Землей.

Метод решения задачи

Реализация данного похода требует запуска КА по особым орбитам, обеспечивающим возврат КА в ту же точку пространства одновременно с Землей. Методология и алгоритм расчёта различных эллиптических орбит достаточно подробно описаны в статье [2] и апробированы на примере реконструкции перелётных орбит Земля-Марс [3, 4].

Свойством, необходимым для решения поставленной задачи, обладают так называемые гомановские перелётные орбиты, связывающие две круговые орбиты (см. рис. 1).

Рисунок 1. Гоманновская орбита для перелёта с одной круговой орбиты на другую компланарную круговую орбиту [5, с. 150].

Основной особенностью этих орбиты является то, что отправной точкой является перицентр эллипса, в котором радиальная скорость тела равна нулю. Тоже состояние мы будем иметь и в случае эллиптической орбиты небесного тела, если для старта выберем её перицентр или апоцентр. Другим требованием будет нахождение КА на границе сферы тяготения Земли. Это исключает искажение траектории полёта, что неизбежно возникает при запуске КА с низкой опорной орбиты по параболической кривой.

Границы этой сферы могут быть найдены исходя из соотношения [6]:

    , где:                                    (1)

m – масса,

r – расстояние,

индекс S относится к Солнцу, E – к Земле, SV – к космическому аппарату.    

Результаты и обсуждение

Расчеты по уравнению (1) дают следующие значения r_E,SV, млн. км:

    - для перигелия Земли: 2,092 в соединении с Солнцем, 2,154 – в оппозиции к Солнцу;

    - для афелия Земли: 2,168 в соединении с Солнцем, 2.231 – в оппозиции к Солнцу.

Если нашей целью является полёт к поясу астероидов (назовём данную орбиту внешней), то отправная точка КА будет перицентром его орбиты. Длину радиуса апоцентра орбиты мы будем подбирать исходя из условия кратности периода обращения КА периоду обращения Земли. Для коэффициента кратности 2 – период обращения 730,512 сут. – длина большой полуоси орбиты оказывается равной 237,472 млн. км, эксцентриситет орбиты равен 0,37149 при старте от перигелия Земли и 0,35011 при старте от афелия; начальная скорость КА 34921 м/с при старте от перигелия и 34073 м/с при старте от афелия. Собственная скорость КА относительно Солнца на момент старта будет складываться из скорости Земли относительно Солнца и скорости КА относительно Земли. Для перехода на перелётную орбиту КА должен получить определённое приращение скорости. Эта величина:

                             (2)

где: a – ускорение, а Δt – промежуток времени, в течении которого оно действует, называется импульсом скорости. Импульс скорости, который должен получить КА для перехода на внешнюю орбиту, будет равен 4204 и 4360 м/с соответственно (см. рис. 2).

Рисунок 2. Переход космического аппарата на гомановские орбиты – внешнюю и внутреннюю.

Радиус апоцентра внешней орбиты равен 326 млн. км для старта от перигелия и 321 млн. км для старта от афелия Земли, так что КА сможет проникнуть во внутреннюю часть главного пояса астероидов, начинающегося на расстоянии около 300 млн. км от Солнца [7]. При этом он пересечет орбиту Марса и сблизится с орбитами двух из четырех наибольших по размерам астероидов – Вестой и Палладой (см. рис. 3).

Конечно, сближение с небесными телами возможно лишь в определённые моменты времени и в этом проявляется главный недостаток рассматриваемых орбит, поскольку даты запуска по ним строго фиксированы и их только две в году.

Рисунок 3. Полет к поясу астероидов: взаимное расположение гомановских орбит и проекций орбит небесных тел на плоскость эклиптики

Что бы определить даты сближений были проведены расчёты движения КА по кеплеровской модели орбитального движения (см, например, [8]). Эфемериды Земли и Марса были вычислены по программе Planeph 4.2 [9]. Эфемериды Весты и Паллады были также вычислены по кеплеровской модели на основе орбитальных элементов, размещённых на сайте Лаборатории реактивного движения NASA [10, 11].

На рис. 4 приведены результаты расчётов и анализа эфемерид при полёте по внешней орбите от перигелия Земли. Как мы видим ближайшей датой сближения с Марсом является 23.05.2029, но минимальное расстояние будет 17 млн. км. Сближение до 5.5 млн. км возможно лишь в 2067 г. Сближение с Вестой до 4,4 млн. км возможно в 2043 г.

Рисунок 4. Возможное сближение космического аппарата с Марсом и Вестой (отлет от перигелия Земли; период обращения по гомановской орбите 2 земных года).

На рис. 5 представлены результаты запусков от афелия Земли. Проблема сближения с Палладой связана с тем, что её орбита имеет очень большое наклонение к эклиптике – 35º (что может свидетельствовать о её внешнем происхождении). Запуская КА в плоскости эклиптики мы можем сблизиться с этим астероидам только в узлах орбиты, которые имеют значительное удаление от Солнца. 19.08.2041 орбиты Паллады и КА будут иметь почти одинаковые радиусы, но расстояние между ними будет 163 млн. км.

Рисунок 5. Возможное сближение космического аппарата с Марсом, Вестой и Палладой (отлет от афелия Земли; период обращения по гомановской орбите 2 земных года).

Для того, что бы уменьшить расстояние мы должны отклонить орбиту КА от эклиптики, придав ему дополнительное ускорение, перпендикулярное плоскости орбиты [5, с. 150]. При этом величина изменения вектора скорости может быть вычислена по уравнению (см. рис. 6):

,                                    (3)

где φ – угол, на который нужно повернуть плоскость орбиты.    

В ходе движения КА от перицентра к апоцентру его скорость будет уменьшаться, а угол φ между вектором скорости КА и радиус-вектором КА-Паллада – увеличиваться. Учитывая нелинейный характер всех рассматриваемых функций, выбор условий изменения наклонения орбиты КА является отдельной сложной задачей.

Рисунок 6. Изменение направления движения КА.

Хотя сближение с упомянутыми небесными телами оказывается достаточно редким событием, полёт к главному поясу астероидов может быть весьма продуктивным, учитывая, что он насчитывает более 2 млн. объектов [7] (см. рис. 7). К тому же в процессе полёта может быть собрано много полезной информации о свойствах межпланетного пространства.

Рисунок 7. Главный пояс астероидов [12].

Для того, что бы осуществить полёт по внутренней орбите, её отправная точка должна стать апоцентром. Орбита с периодом обращения ½ земных года будет иметь длину большой полуоси около 94,24 млн. км и значительно больший эксцентриситет, чем у внешней орбиты. При отлёте от перигелия Земли (см. рис. 2) эксцентриситет составит 0,53870, а начальная скорость 20547 м/с, что на 9303 м/с меньше скорости КА при достижении им границы сферы тяготения Земли. При отлёте от афелия эксцентриситет составит 0,59095, требуемый импульс скорости -9834 м/с. В обоих случаях орбита КА пересекает орбиты Венеры и Меркурия (см. рис. 8).

То, что данные планеты находятся намного ближе к Земле, чем Веста и Паллада не делает встречу с ними намного более вероятной. Сближение с Меркурием до 4 млн. км возможно 22.09.2022, но следующей возможности нужно будет ждать очень долго (см. рис. 9 и 10). Однако полёт по внутренний орбите предоставляет возможность взглянуть на Меркурий с ракурса, недоступного при земных наблюдениях, а именно, со стороны Солнца. Это очень важно для уточнения скорости вращения Меркурия вокруг собственной оси. Сближение с Венерой     менее чем на 11 млн. км в ближайшие три десятилетия не ожидается.

Движение КА по внутренней орбите ведёт к сближению с Солнцем до 39 млн. км. Это делает подобную орбиту очень привлекательной для изучения солнечного ветра и солнечной короны, но делает полёт трудно осуществимым с технических позиций. Ведь солнечная сторона того же Меркурия нагревается до 700 ºС [13]. Следовательно, необходимо использование каких-то приёмов для охлаждения КА.

Рисунок 8. Полет к Солнцу: взаимное расположение гомановских орбит и проекций орбит небесных тел на плоскость эклиптики.

Рисунок 9. Возможное сближение космического аппарата с Венерой и Меркурием (отлет из перигелия Земли; период обращения по гомановской орбите 1/2 земных года).

Рисунок 10. Возможное сближение космического аппарата с Венерой и Меркурием (отлет из афелия Земли; период обращения по гомановской орбите 1/2 земных года).

В заключении отметим, что для того, чтобы осуществить выход КА в межпланетное пространство, нужно вывести его на границу гравитационной сферы Земли, что является отдельной сложной задачей.

Статья написана по материалам доклада, подготовленного для Global Space Exploration Conference (GLEX-2021, Санкт-Петербург, 14-18 июня 2021 г.) [14].