Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » Марков Борис Георгиевич

Прямая в модели двумерной нечеткой проективной геометрии

Марков Борис Георгиевич — Tue, 18 Nov 2014 14:02:40 +0000

Существует множество задач, исходные данные, для решения которых являются нечеткими. Для решения этих задач часто применяют нечеткие множества [2]. Предлагаемая модификация проективной геометрии учитывает представление информации, с одной стороны, как случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения ошибок, с другой стороны, как нечетких множеств [4, 7].
В данной статье прямую рассмотрим в двумерной модели нечеткой проективной геометрии.
Существует только одна нечеткая двухмерная прямая принадлежная паре нечетких двухмерных точек [6].
Пусть даны две принадлежные прямой нечеткие двумерные точки [5]  и  (рис.1). Выберем начало новой системы координат  в точке , ось  проведем через ,. Спроецируем нечеткие двумерные точки на прямые, проходящие через математические ожидания точек  и . и перпендикулярные прямой , их соединяющей. Получим две нечеткие одномерные точки  и [8].
Нечеткая двумерная прямая  принадлежна паре нечетких двухмерных точек  и  есть область возможных положений прямых случайным образом пересекающих нечеткие одномерные точки  и . Любое сечение прямой  перпендикулярное , является одномерной точкой . Определим характер распределения этих точек и закономерности, связывающие их параметры с базовыми точками  и .
Пересечем  и  произвольной прямой  (рис. 2). На расстоянии  от начала координат выберем точку . Величины  и  подчинены нормальному закону распределения. Величину
характеризующую распределение точки  можно подсчитать следующим образом
, , ,
, , (1)
.

Рис.1 Две непринадлежные двухмерные нечеткие точки , и их проекции , .

Рис. 2 Определение параметров распределения произвольной одномерной точки (сечения прямой).
Величина  представляет собой линейную функцию величин  и , подчиненных нормальному закону, следовательно, она сама подчинена нормальному закону распределения [1]. Найдем параметры величины  математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.
, (2)
(3)
где  - коэффициент корреляции величин  и , в нашем случае он равен 0, так как величины независимые, некоррелированы.
(4)
Подставим = и выясним зависимость изменения среднего квадратичного отклонения от x.
(5)
где , , ,
Геометрическим местом точек изображающих  является гипербола, на мнимой оси которой лежат математические ожидания . Асимптоты этой гиперболы (рис. 3) являются изображением средних квадратичных отклонений нечеткой несобственной точки  прямой , нечеткая одномерная точка с минимальным  вписывается в центр кривой (точка m) и имеет параметры
,
где ,
Определим закон распределения прямой. Выберем оси координат (рис. 4), начало в центре, а ось  на мнимой оси гиперболы. Представим случайную прямую уравнением
, (6)
где ,  - отрезок ОВ
Крайнее положение прямой проходящей через точку В – касательная к гиперболе в точке .
Уравнение касательной
, (7)

Рис. 3. Центр и бесконечно удаленная точка нечеткой прямой.

Рис. 4 Определение закона распределения параметров прямой.

Рис. 5 Эллипс рассеивания параметров нечеткой прямой.

Преобразуем уравнение (7) к виду (6)
, (8)
где , , (9)
Величины  и  связаны уравнением
, (10)
из уравнения (10) найдем  из (8) найдем  и подставим их в уравнение (8) полученное уравнение преобразуем к каноническому виду
, (11)
, (12)
Уравнение (12) – уравнение эллипса. Параметр  подчинен нормальному закону (отклонение от математического ожидания центральной точки прямой),  среднее квадратичное отклонение той же точки,  можно интерпретировать как отклонение от математического ожидания в несобственной точке прямой, а  ее среднее квадратичное отклонение. Нечеткая двумерная прямая представлена в виде двойственного ей объекта нечеткой двумерной точки (рис. 5) в системе координат . Каждая случайная прямая изображается точкой на плоскости. Нечеткая двумерная прямая это система двух нормально распределенных случайных величин
. (13)
Таким образом, нечеткая прямая задана двумя стандартными точками, центральной и несобственной.
Стандартное задание нечеткой двумерной прямой будет определяться пятью параметрами
где m (m_x, m_y) – центр прямой, математическое ожидание центральной точки прямой,
- среднее квадратичное отклонение центральной точки,
- среднее квадратичное отклонение несобственной точки прямой,
- угол наклона прямой, направление на несобственную точку прямой.
Одновременно все эти параметры являются параметрами гиперболы изображающей на плоскости нечеткую прямую (рис. 6). Ветви гиперболы ограничивают область, где прямая может появляться с заданной вероятностью.

Рис. 6 Собственная двухмерная нечеткая прямая.

Рис. 7 Частные случаи собственной нечеткой прямой.

Несобственная ось гиперболы прямая Р - математическим ожиданием нечеткой двумерной прямой. Прямые касательные к гиперболе являются изображениями сигма прямых аналогов точек принадлежащих сигма эллипсу нечеткой двумерной точки. На рис. 7 изображены частые случаи нечеткой двухмерной прямой: а) = 0, б) = 0, в) == 0
Нечеткие прямые на плоскости могут быть собственными и несобственными. Каждая проективная плоскость содержит одну нечеткую несобственную прямую . Она проходит через две несобственные точки. Ее математическое ожидание – несобственная прямая проективной плоскости. Гипербола, изображающая несобственную прямую выродилась в окружность с радиусом  - достаточно большое наперед заданное число.
Нечеткой прямой с параметрами  на плоскости, будем называть подмножество  такое, что
  (14)
Подмножество  также называется нечетким подмножеством, соответствующим нечеткой точке с параметрами
Легко установить, что функция принадлежности изменяется в интервале [0,1] и ставит в соответствие каждому элементу  число  из интервала [0,1]. Точками перехода, то есть значениями  для которых , являются точки гиперболы с параметрами
,
высота нечеткого множества

На основе нечеткой проективной геометрии был разработан ряд алгоритмов предназначенных для геометрического моделирования утраченных памятников архитектуры [3]. Разработаны одномерный и двухмерный варианты алгоритмов. Каждый алгоритм состоит из отдельных задач. Для их решения написан на языке AutoLisp в среде AutoCAD комплекс программ, реализующий операции нечеткой проективной геометрии. В следующей статье будут рассмотрены случаи пересечения и параллельности нечетких прямых.
Работа выполнена в рамках Программы стратегического развития ПетрГУ на 2012-2016 гг.

Точка в модели двумерного нечеткого проективного пространства

Марков Борис Георгиевич — Thu, 25 Jun 2015 20:44:52 +0000

При решении многих практически важных задач часто приходится иметь дело с исходными данными, точные значение которых определить сложно или практически невозможно. В таких случаях иногда применяют методы нечеткого математического моделирования [2]. В задачах геометрического моделирования также используют нечеткие множества [3], [5], [10]. Предлагаемая в данной статье модификация проективной геометрии учитывает представление информации, с одной стороны как случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения ошибок, с другой стороны как нечетких множеств.
При геометрическом моделировании часто исходная информация, имеет вид случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения ошибок [6]. Фиксация и обработка такой информации, рассматривается в теории вероятностей и теории нечетких множеств. Классическая проективная геометрия не учитывает ошибки, отклонения от перпендикулярности, параллельности или прямолинейности. Она использует идеальные точки и прямые. Для учета особенностей исходной информации была проведена модификация проективной геометрии, учитывающая свойства нечеткой геометрической информации.
Особенностью проективного пространства является [9] то, что для него справедливы следующие утверждения:
а) каждая прямая проективного пространства содержит одну бесконечно удаленную точку.
б) каждая плоскость содержит одну бесконечно удаленную прямую.
в) проективное пространство в целом содержит одну бесконечно удаленную плоскость.
Для краткости бесконечно удаленные элементы будем, дальше, называть несобственными.
Основные объекты и основные отношения нечеткой проективной геометрии выражаются терминами “нечеткая точка”, “нечеткая прямая”, “нечеткая плоскость”, “принадлежность”. Точка представляется эллиптической областью, центр которой является ее номинальным положением, а границей – заданная ошибка [7]. Прямая – это область, ограниченная ветвями гиперболы, где она может, находится с заданной вероятностью. Номинальное положение прямой – мнимая ось гиперболы. Мнимая ось гиперболы проходит через центры эллиптических областей представляющих точки. Любой геометрический элемент представлен нечеткой областью. Пересечение нечетких элементов есть нечеткий элемент. Например, точкой пересечения пары прямых является точка-область, где эта точка пересечения может, появиться с заданной вероятностью. Результаты построения точки схода (точки – области) обрабатываются методами математической статистики.
Основными объектами двухмерной нечеткой проективной геометрии являются: нечеткая точка, нечеткая прямая, основное отношение – принадлежность. Проективная прямая содержит одну несобственную нечеткую точку. Проективная плоскость содержит одну несобственную нечеткую прямую. Две нечеткие прямые на плоскости пересекаются в одной нечеткой точке.
Пусть  - двухмерная нечеткая собственная точка,
- двухмерная нечеткая несобственная точка
Двухмерная нечеткая точка называется собственной, если находится на конечном расстоянии от начала координат и несобственной, если находится в бесконечности. Собственная точка  задается пятью параметрами:  – математическое ожидание, , главные средние квадратичные отклонения,  - угол наклона эллипса рассеивания к оси 0X. Несобственная двухмерная нечеткая точка  задается двумя параметрами:  - угол наклона прямой на которой лежит данная несобственная точка,  - среднее квадратичное отклонение тангенса угла направления прямой.
Нечеткая несобственная точка на плоскости является двухмерной величиной и поэтому подчиняется всем закономерностям одномерной нечеткой геометрии. На чертеже она изображается тремя отрезками прямой линии, проходящими через одну точку.
Для собственной двухмерной нечеткая точки  принято, что закон распределения координат точки есть нормальный закон распределения, который характеризуется плотностью вероятности вида:

(1)

где m (m_x, m_y) – математическое ожидание или центр рассеивания,

- средние квадратичные отклонения,

r – коэффициент корреляции величин X и Y.

Данная гипотеза является общепринятой [1] в экспериментальных исследованиях.
Собственная двухмерная нечеткая точка изображается на чертеже в виде эллипса рассеивания (рис.1), который задается пятью параметрами: центр эллипса - m_x, m_y, угол наклона большой оси эллипса к оси абсцисс (0X) - , большой и малой полуоси эллипса –. Этот эллипс представляет собой область, где данная точка может находиться с заданной вероятностью.
Частными случаями двумерной собственной нечеткой точки являются: собственная одномерная нечеткая точка [7] (=0 , или =0), идеальная собственная двумерная точка (=0 , и =0)
Совместим оси координат с главными осями эллипса рассеивания, тогда нормальный закон распределения будет характеризоваться плотностью вероятности вида:
(2)

где m (m_x, m_y)–математическое ожидание или центр рассеивания,
- средние квадратичные отклонения,
–угол наклона большой оси эллипса к оси 0X
Величину угла наклона, можно вычислить из выражения:
. (3)
Поверхность распределения изображающая эту функцию имеет вид холма [1], если ее рассечь плоскостями параллельными плоскости X0Y, получаются эллипсы. Уравнение проекций этих эллипсов на плоскость X0Y имеет вид
. (4)
При  мы получим эллипс с осями  (сигма эллипс рассеивания) изображение точки .
На любую прямую - плоскости двухмерная нечеткая точка проецируется в одномерную нечеткую точку (рис. 1) со средним квадратичным отклонением
, (5)
где  - среднее квадратичное отклонение одномерной точки прямой ,
- главные средние квадратичные отклонения двумерной точки плоскости,
- угол между большой осью эллипса и прямой .
На основные оси координат двумерная нечеткая точка проецируется в одномерные нечеткие точки с математическими ожиданиями  и средними квадратичными отклонениями равными
, (6)
, (7)
где  - угол наклона большой оси эллипса оси 0X.
Две одномерные нечеткие точки, не принадлежащие одной прямой, имеющие общее математические ожидание (рис. 2), образуют одну двумерную нечеткую точку. Одномерные точки являться соответствующими проекциями двумерной точки.
Параметры двумерной нечеткой точки можно найти средствами аналитической геометрии. Две прямые  (рис. 3) наклонены к оси 0X под углами . Прямые пересекаются в точке m (X,Y). На прямых имеются две одномерные нечеткие точки , математические ожидания точек совпадают с точкой m, средние квадратичные отклонения точек . Одномерные точки образуют двумерную нечеткую точку .
Главные средние квадратичные отклонения равны .
, (8)
где А₁, В₂ - сопряженные радиусы эллипса.
, , (9)
где  - угол между прямыми
. (10)
Угол наклона большой оси эллипса к большему сопряженному радиусу равен
, где  равно
. (11)
Угол наклона большой оси эллипса к оси 0X равна,
если  , то,
иначе .
Чтобы применить общий подход теории нечетких множеств рассмотрим в качестве универсального множества
. (12)
В качестве функции принадлежности, учитывая нормальный закон распределения рассматриваемых в работе величин, целесообразно выбрать функцию
,
, (13)
для системы координат совмещенной с главными осями эллипса
, . (14)
Нечеткой точкой с параметрами на плоскости называется подмножество  такое, что
, , (15)
Подмножество  также называется нечетким подмножеством соответствующим нечеткой точке с параметрами
Легко установить, что функция принадлежности изменяется в интервале [0,1] и ставит в соответствие каждому элементу  число  из интервала [0,1]. Точки перехода расположены на эллипсе с осями  и , максимальное значение функция принадлежности достигает при  и  то есть

Рассмотрим принадлежность двух нечетких точек. Две точки, две прямые, точка и прямая в двухмерном пространстве в проективной геометрии находятся в некотором связи, которую принято выражать терминами инцидентность или принадлежность [9]. Инцидентность в классической проективной геометрии имеет два значения, 0 (нет) и 1 (да). Например, если расстояние между точками равно нулю, то инцидентность двух точек равна 1(да), во всех остальных случаях инцидентность равна 0(нет).
Взаимосвязь нечетких элементов в двухмерном пространстве, будем обозначать термином, принадлежность или совпадение в нечетком смысле. Однако в отличие от классического случая степень принадлежности может принимать любые значения в интервале [0;1].
Назовем мерой принадлежности двух собственных нечетких точек на плоскости величину.
, (16)
где  функция принадлежности нечеткому множеству
функция принадлежности нечеткому множеству
Две нечеткие точки на плоскости назовем
принадлежными, если  и
непринадлежными, если
Даны две нечеткие двумерные собственные точки  и  (рис. 4). С точкой  связана система координат , с точкой связана система .
С помощью формул преобразования координат подсчитаем координаты математического ожидания m₁ в системе координат  (рис. 5)

. (17)

Определим координаты математического ожидания m₂ в системе координат (рис. 6)

. (18)

Подсчитаем меру принадлежности по формуле (14) с учетом (17) и (18)

, (19)

. (20)

Учитывая, что где - расстояние между математическими ожиданиями нечетких точек. Подставим (19),(20) в (16) с учетом и получим формулу для подсчета принадлежности двух точек

. (21)

Для определения принадлежности двух нечетких несобственных точек , учитывая их одномерность, равно

, (22)

где - тангенс угла между математическими ожиданиями несобственных точек .

Аналогично можно рассмотреть и нечеткую прямую и ее пересечение. Нечеткая прямая и определение распределения ее параметров будут рассмотрены в следующей статье.
Сформулированные предложения по теории нечеткой проективной геометрии, дали возможность разработать ряд алгоритмов для решения задач геометрического моделирования утраченных памятников архитектуры по их перспективным изображениям. Был создан комплекс программ, реализующих операции построений в нечеткой проективной геометрии и статистическую обработку результатов построения. Разработан комплекс программ, предназначенный для решения практических задач геометрического моделирования утраченных памятников архитектуры.
Применение нечеткой проективной геометрии и статистической обработки результатов опытов при учете неравноточности измерений, позволило увеличить достоверность результатов восстановления [4].
*Работа выполняется при финансовой поддержке Программы стратегического развития ПетрГУ в рамках реализации комплекса мероприятий по развитию научно-исследовательской деятельности.

СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ:

Рис. 1 Собственная двухмерная нечеткая точка.

Рис. 2 Две одномерные нечеткие точки с общим математическим ожиданием.

Рис. 3 Определение параметров двухмерной нечеткой точки по ее проекциям.

Рис. 4 Определение меры принадлежности пары двухмерных нечетких точек.

Рис. 5 Координаты математического ожидания m₁и m₂в системах координат и .

Рис. 1 Собственная двухмерная нечеткая точка.

Рис. 2 Две одномерные нечеткие точки с общим математическим ожиданием.

Рис. 3 Определение параметров двухмерной нечеткой точки по ее проекциям.

Рис. 4 Определение меры принадлежности пары двухмерных нечетких точек.

Рис. 5 Координаты математического ожидания m₁и m₂в системах координат и .