. (1)

Изменение контролируемого параметра системы описывается решением  задачи Коши при начальных условиях , которое определяется корнями характеристического уравнения

 .

Уравнение (1) эквивалентно

.

Справедливо

;

n _o - корни действительные ( - корни кратные);

 .
.

Увеличение  ведёт к уменьшению абсциссы  точки перегиба процесса . При  процесс  определяется значением . Таким образом, значение  должно находиться в некотором интервале: большие значения  могут привести к чрезмерно быстрому увеличению контролируемого параметра в начале процесса; малые значения  - к чрезмерно длительному времени его выхода на эксплуатационное значение. Отметим, что увеличение  (уменьшение ) соответствует увеличению _o . Отсюда следует, что увеличение  ведёт к постепенному переходу гетерогенной системы в гомогенную (), возможно и с потерей необходимых свойств. Так что, как и следовало ожидать, гомогенная система является предельной для гетерогенной при  →0.
Качество композиционного материала определяется и значением  (или ), которое также должно лежать в определённом диапазоне.
Приходим к возможности использования для оценки качества композиционного материала функционала

 ,

где  - весовые константы.
Без ограничения общности рассуждений можно принять  (это равносильно масштабированию ).
Подставляя и , получим:
.
Границы областей  равных оценок качества композиционного материала определятся как линии уровня функции , а области – двойными неравенствами

,

где N - балльность шкалы, k - класс (оценка качества) композиционного материала в баллах в выбранной шкале.
Границы областей равных оценок определятся функциями

,

где

,
, .

Заметим, везде предполагается 1. Случай комплексно-сопряжённых корней не рассматривается. В этом случае выход изучаемой характеристики материала на эксплуатационное значение носит колебательный характер.
Методика уточнения весовых констант  изложена в [1, с.220].
Идентификация областей равных оценок легко осуществляется по числовым значениям , определенных на основе сравнения расчётных границ областей с экспериментальными.
Если требуется улучшить класс системы (качество материала), имеющей параметры  (им соответствует ), то можно воспользоваться вектором-градиентом ; класс системы улучшается при движении в антиградиентном направлении.
Предложенная методика использовалась при синтезе материала на основе Вольского ПЦ 400 Д-20 с суперпластификатором С-3 (товарного, лёгкой и тяжёлой фракций), исходя из обеспечения требуемой кинетики набора прочности.
Параметрическая идентификация рассматриваемого процесса сводится к определению одной из совокупностей , , , . Значения  определяются по экспериментальным зависимостям . 
В результате уточнения значений параметров из условий обеспечения адекватности модели и процесса  были получены значения: x_m = 85; t_n = 2,8; ₂ = 0,07; ₁ = 0,77; = 1,81; _o = 0,232; n = 0,42; балльная оценка (с точки зрения кинетики набора прочности) 
Улучшение класса системы производилось с использованием направления ; является направляющим вектором нормали к линии уровня, проходящей через точку M_o (1,81; 0,232):

или

.

Как следует из расположения линий уровня, для улучшения класса системы следует уменьшить . Тогда, задав шаг , найдём соответствующее изменение _o из условия, чтобы точка лежала на нормали со стороны вектора .
Таким образом, для улучшения класса системы требуется на указанные величины уменьшить и увеличить _o .
Как показали эксперименты по определению влияния молекулярных фракций суперпластификатора С-3 на кинетику набора прочности цемента, можно считать .
Из

 ,

следует , что в окрестности , то есть для уменьшения  следует увеличить ₁ .
В частности, при  получим точку , лежащую на линии уровня  (качество материала в точке  лучше, чем в ). В этой точке (соответствует использованию лёгкой фракции).
Предложенная методика синтеза, исходя их оптимальных параметров кинетических процессов и по областям равных оценок функционала качества, эффективно использовалась при решении и ряда других задач [2…6].

,

а площадь двух других – . При этом площадь основания крыши равна ху.
Искомая стоимость стен и крыши

или

.

Необходимые условия экстремума будут иметь вид:

Откуда

Из равенства правых частей будем иметь

.

С учетом  получим

.

Так что основанием дома должен быть квадрат со стороной, равной .
Из предыдущего определится отношение между стороной основания и высотой дома:

,

т.е. отношение сторон квадрата к высоте дома должно быть равно . Без каких-либо исследований ясно, что при полученных размерах дома достигается минимум стоимости.

2. Требуется сделать открытый цилиндрический резервуар объемом V. Стоимость материала, из которого делается дно резервуара, в m раз больше стоимости материала, идущего на его боковые стенки. При каких размерах резервуара стоимость его будет минимальной?
Развернутая поверхность открытого сверху цилиндра состоит из нижнего основания  и боковой поверхности . Стоимость резервуара опре­делится поверхностью используемого материала

.

Задача свелась к определению минимума функции у при условии .
С учетом  будем иметь:

.

Дифференцируя по R и приравняв производную нулю, найдем единственный корень полученного уравнения:

Откуда

Таким образом, искомая стоимость будет минимальной, если высота цилиндра будет в m раз превышать радиус его основания:

.

В том, что найденное  доставляет минимум функции у, легко убедиться, определив знак второй производной в критической точке:

В частном случае, с другой стороны, при m=1 минимальная стоимость достигается при минимальном расходе материала. Для того, чтобы изготовить открытый цилиндр заданного объема V с затратой минимального количества материала, надо высоту цилиндра взять равной его радиусу. Необходимый для этого расход материала (не учитывая запаса на изготовление швов) определяется по формулам:

 при m=1.

3. Какие размеры надо придать цилиндрической емкости с крышкой данного объема V, чтобы поверхность была наименьшей?
Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра (величины r и h – переменные; если придать r какое-либо значение, то h определится из условия, что емкость цилиндра равна V; , ).
Поверхность емкости S состоит из двух оснований, площадь которых равна , и боковой поверхности, площадь которой равна , т.е.

.

Найдем минимум функции S(r) (V задано!):

Так что , если .
Откуда .
Имеем .
Из  следует  т.е. S(r) имеет минимум.
Следовательно, поверхность емкости минимальна при

 и .

4.Для хранения техники необходимо построить поме­щение прямоугольной формы с площадью 200 м², высота стены 3 м, крыша равноскатная на обе стороны под углом 30 к горизонту, без потолка. Определить размеры помещения, при которых расход материалов будет минимальным.
Примем за критерий эффективности общую площадь поверх­ности помещения.

С учетом

получим

Из  получим

Решив полученное уравнение, находим

Из  следует, что указанным а и b соответствует минимальный расход материалов.
Приведенные примеры можно рассматривать в качестве иллюстрации методической основы для подбора и других прикладных задач, способствующих формированию общепрофессиональных компетенций в рамках прикладного бакалавриата, в том числе с учетом междисциплинарных связей и непрерывности фундаментальной подготовки.

;

(1)

где

, ;

- матрицы размерности   соответственно;

.

Преобразуем систему (1) и приведем к виду

,

(2)

где
;

.
Матрица  и столбец  будут иметь блочную структуру

,

где  - единичная матрица.
С учетом высоких требований к вибрации конструктивных элементов от работы электропривода при синтезе целевая функция принимается в виде

,

где  и  - максимальные амплитуды и соответствующие им частоты в разложении в ряд Фурье ошибки системы:

;

 - коэффициенты Фурье.
Синтез производился по приводимому ниже алгоритму.1. По результатам эскизно-технического проекта выбираются структурная схема САУ и конструктивная схема (конструктивные подсистемы и параметры упругодемпфирующих связей между ними).
2. Составляются уравнения движения (математическая модель).
3. По предварительным конструктивным и динамическим проработкам
определяется область изменения параметров c .
4. По результатам линейного синтеза определяется исходная точка в пространстве параметров.
5. Методом Бокса-Уилсона определяются

, 

и точка , в которой , 
где .6. Если требуемая точность САУ не достигается, производится уточнение структурной схемы САУ при прежней конструктивной схеме и далее выполняются п.п. 2-5.
7. Если требуемая точность и тогда не достигается, то производится коррекция конструктивной схемы с использованием вибрационной карты конструкции, и выполняются п.п.2-6.Итерационная процедура продолжается до достижения требуемой точности.
Значения  определяются в результате интегрирования уравнений движения с параллельным разложением в ряд Фурье ошибки САУ в интервале ; промежуток времени , как и весь диапазон рассматриваемых частот, определяется из конструктивных соображений (для изучаемых систем  с, ).
Сначала в пространстве параметров решалась задача

,

(3)

где - реальные части корней  характеристического уравнения. 
Точка в пространстве параметров, полученная в результате решения задачи (3), принималась в качестве исходной. Далее методом Бокса-Уилсона [1] производилась оптимизация параметров линейной системы по критерию

,

где  - отобранные резонансные частоты колебаний системы и соответствующие им амплитуды. Отбор требует большой осторожности при близких парциальных частотах (сложность сопоставления конструктивных подсистем с имеющимися на виброкарте частотами) и в связи с наличием нелинейностей в работе конструктивных элементов [2…6].
Точка, оптимальная в смысле минимума , принималась за исходную точку при нелинейном синтезе. 
Эффективность предложенного подхода неоднократно подтвердилась при синтезе ряда систем управления объектами на подвижном основании.

;

точка  принадлежит плоскости ; ось  пер­пен­ди­ку­л­яр­на плоскости  (рис. 1). Уравнению  а некоторой окрестности точки  локального минимума  со­от­вет­ствует поверхность (имеет форму чаши) в трехмерном пространстве. 

Если функция  мономодальна в  (имеет единственную точку локального ми­ни­мума ) , то ее линии уровня  располагаются так, как это показано на рис. 2.

При множестве изолированных точек минимума функции будут мультимодальными.
В со­от­вет­ст­вии с предыдущим поиск точек  локального минимума функции  сводится к определению последовательности то­чек , сходящейся к точке ; справедливо:

.

Во всех методах спуска сначала выбирается начальная точка по­следовательности ; следующие приближения  опре­де­ля­ются соотношениями
, (1)

где  – вектор направления спуска; скалярная величина  является решением задачи одномерной минимизации

 (2)

Поиск минимума функции нескольких пе­ременных сводится к решению ряда задач одномерной ми­ни­мизации (2) по переменной  на отрезках -мерного про­ст­ран­ст­ва, проходяших через точки  в направлении векторов . Методы спуска различаются лишь выбором вектора спуска и сп­о­с­о­бом решения задачи одномерной минимизации. Для поиска минимума функции одной пе­ре­меной можно огра­ни­чить­ся методом сканирования: выбрав произвольно начальную точку  и на­чаль­ный шаг по переменной t, можно по­лу­чить различные точки минимума мультимодальной функции. Если функция  мономодальна, то независимо от выбора на­чаль­ной точки траектория поиска приведет к единственной точке локального минимума этой функции.
Существует и другой метод поиска - покоординатный спуск Гаусса-Зейделя. Здесь  в области определения функ­ции  произ­воль­но выбирается начальная точка. Приближения определяются соотношениями (1), где  – единичный вектор, совпадающий с каким-либо ко­ор­динатным направлением. Например, если  параллелен , то = 1, 0, 0, …0, если он параллелен , то = 0, 1, 0, …0 и т.д. Величина  является решением задачи одномерной мини­ми­зации (2) и может определяться методом сканирования.
В частности, для функции двух переменных, исходя из на­чаль­ной точки , можно определить точку  минимума функ­ции одной переменной ; , а затем -точку минимума  функции  по второй координате. При­нимая исходной точкой  (при фиксированной ее второй ко­ор­динате), определится точка минимума  функции  одной переменной ; . Точка определится в результате минимизации целевой функции  по координате (фиксируется координата  точки ) и т.д. (рис.3).

 

Вычислительная процедура прекращается при 
, (3)
ε - за­дан­ная точность.
В методе наискорейшего спуска, исходя из начальной точки , строится последовательность приближений , где  – единичный вектор, сонаправленный с направлением вектора-градиента функции  в точке :

=.

Точку  определяют из решения задачи одномерной мини­ми­за­ции функции  по переменной t в направлении век­то­ра :
. (6)
Задача (4) численно легко решается методом сканирования. Вычис­лительная процедура осуществляется до выполнения неравенства (3).
В двумерном случае отрезок ломаной, соединяющий точки  и  (k= 0, 1, …), параллелен вектору-градиенту функции  в точ­ке , перпендикулярному линии уровня функции , проходящей через точку  (рис.4).

 

Приведенные методы эффективно использовались при определении рецептурно-технологических параметров строительных материалов различного назначения [1…7].

определялся вектор , доставляющий максимальное значение критерию : =(для каждой -й задачи); совокупность  в пространстве критериев определяет точку «абсолютного максимума» . Точка  является недостижимой в пространстве критериев; не существует выбора , для достижения этой точки.
В качестве обобщенного критерия качества использовалась скалярная функция векторного аргумента

,

 – положительно определённая матрица; при 

(евклидово расстояние от точки  до точки  в пространстве критериев). Однако избежать указанного выше недостатка здесь также не удалось.
Методами математического планирования эксперимента [6] были определены интерполяционные модели сверхтяжелого радиационно-защитного материала пористости

,

прочности на сжатие

и плотности (в последующем оказалось возможным исключить из рассмотрения), которые использовались при его разработке. Минимальное значение пористости достигается в точке , для которой %; максимум прочности – в точке , для которой  МПа. При разработке учитывались ограничения: ,  МПа (область D_a, рис.1).

Рис.1.

Решение задачи ,  при  сводится к определению в области ;  наименьшего значения

(задача нелинейного программирования  при ограничениях ; ).
В результате ее решения получили:

;
%;  МПа.

Как видим, точка минимума не входит в зону поиска (). Учет указанных выше ограничений принципиально может быть выполнен явно (отбрасывание точек, не принадлежащих областиD_a) введением штрафной функции или же изменением метрики в пространстве критериев качества.
Введение штрафной функции смещает точку (условного) минимума к положению  (для этой точки ,  МПа, ). Изменение метрики сводится к замене единичной матрицы на диагональную (принимается ).
Задача сводится к минимизации

;

 
Предложенная методика, по существу, без изменений использовалась для оценки качества обучающих комплексов для подготовки операторов различных мобильных систем [7…9].

и ресурс для их достижения ограничен. Основная проблема многокритериальности – проблема неопределённости целей. Возможны три вида неопределённостей: неопределённость целей, неопределённость знаний об окружающей обстановке и неопределённость действий. Выбранный способ достижения цели определяет стратегию.
Одновременная оптимизация всех критериев принципиально невозможна; возможен лишь компромисс с сочетанием некоторых качеств. Иллюстрация для случая двух противоречивых критериев приводится на рис.1. Здесь ;  - единственный управляемый фактор (рис.1). Решением оптимизационной задачи  при ограничении  будет ; а при ограничении  будем иметь , . Решения же при ограничениях ;  , как видим, нет, так как интервалы  и  не перекрываются. 

Всегда предполагается, что критерии качества позволяют количественно оценить выделенное свойство системы. Предпочтение отдается методу, требующему простых измерений (в том числе, косвенных) с возможностью простой интерпретации результатов и их формализации. 
При формулировке оптимизационной задачи, как правило, возникает проблема выбора класса моделей, связанная с физической интерпретацией для управления параметрами модели в необходимом направлении. 
Достижение адекватности модели реальному объекту с заданной точностью – необходимое условие для получения полезных результатов. Однако остается открытым вопрос об установлении требуемой точности («Принцип (закон) 100% эффективности математики»; А.Г.Бутковский).
Естественно, с ростом уровня описания возрастает и сложность модели. 
Количественные показатели критериев качества в рамках выбранного класса модели (параметры ) определяются по экспериментальным данным и только приближенно. Однако при формализованной постановке оптимизационной задачи считается, что известны точные виды функций . Возникает вопрос: как будут отличаться решения этих указанных двух оптимизационных задач при точном, а также неточном задании ? Так, если некоторый критерий качества  носит ярко выраженный экстремальный характер, то при незначительных изменениях факторов  происходит значительное изменение . Так что, ошибка в формализации  может привести к получению значительной ошибки определения оптимального решения.
Построение математической модели объекта неизбежно приводит к использованию системного анализа [8] (гибкая модульная структура, оптимизация взаимосвязей, унификация модулей, оригинальные сепаратные модули). Эффективность моделирования определяется точностью разработанной иерархической структуры всей системы и степенью изученности взаимодействий между ее элементами. Нельзя путать элемент собственно системы с элементом некоторого уровня иерархической структуры критериев качества (ее детализация проще детализации самой системы). Главная концепция системного подхода состоит в познании системы одновременно во всем комплексе проблем и на всех уровнях организации (в том числе, с учетом влияния внешней среды). 
При проектировании систем, во всяком случае, на начальной стадии вынуждены исходить из непротиворечивости целей и подчинения целей подсистем низшего уровня целям подсистем более высокого уровня (организмический принцип). Создание полной модели для сложной системы практически бесполезно, ибо она будет столь же сложной, как и сама система.
Принципиальные решения по созданию, построению и использованию математической модели, как правило, определяются еще на этапе когнитивного моделирования [9,10]. Включаются:
- состав, структура и целевая функция;
- состояние системы при внешних и внутренних воздействиях;
- показатели эффективности функционирования системы (функции выхода);
- селекция основных факторов и показателей для характеристики процесса функционирования;
- формализация взаимосвязей между входом, состоянием и выходом.
Использованный при синтезе сложных систем различной природы алгоритм приводится на рис.2.

Рис.2. Схема моделирования

При строго упорядоченных по важности критериях , ,…,  синтез материала сводится к так называемой лексикографической задаче оптимизации. Ранжировка выбранных критериев по их важности позволяет выделить не только некоторые стратегии в качестве оптимальных, но и упорядочить все стратегии по степени их предпочтительности. В частности, оптимизация структуры и свойств материалов как сложных систем, состоящих из взаимосвязанных подсистем, относящихся к разным иерархическим уровням, легко представляется в лексикографической форме. В общем случае противоречивость критериев приводит к необходимости использования метода последовательных уступок. Он использовался при синтезе сверхтяжелых радиационно-защитных материалов.Вид функций  и, характеризующих соответственно пористость и прочность на сжатие, их линии равного уровня приводятся на рис. 3, 4.

Рис. 3. Пористость , %	Рис.4. Прочность на сжатие , МПа

Из технологических соображений принималось: ,  МПа; минимальное значение пористости достигается в точке , для которой %. Это привело к необходимости использования метода последовательных уступок; максимум прочности достигается в точке ;  МПа.

.

(1)

Что касается прочности композиционных материалов от степени наполнения ,то чем больше дисперсность наполнителя (не зависит от химической активности), тем при меньшей степени наполнения достигается максимальная прочность материала. Если в композите отсутствуют структурные преобразования,то влияние границы раздела фаз «дисперсная фаза – вяжущее вещество» минимально. Зависимость свойств композита от содержания дисперсной фазы подчиняется правилу смесей (закон аддитивности). Вовлекаемый воздух является дополнительной дисперсной фазой. В ряде случаев прочность увеличивается при значениях, не превосходящих , или происходят качественные структурные преобразования: образование разветвлённого граничного слоя вяжущего, имеющего повышенные показатели свойств.
Прочность зависит от структуры и фазового состава (наполнитель (дисперсная фаза твёрдых частиц), вяжущее (матрица), воздушные поры (дисперсная фаза воздушных включений)):

; = , + = .

В общем случае восходящая ветвь зависимости  от характеристик и содержания наполнителя имеет вид:

= ; (2′)
;  ;

При степенях наполнения, превосходящих , наблюдается постепенное уменьшение прочности композита. Прочность на нисходящей ветви  определяется в виде:

,

(2”)

.
В серных материалах пористость  определяется уменьшением объёма (на 14,1%) серы при переходе из жидкого состояния в твёрдое. В процессе изготовления композитов сера частично взаимодействует с наполнителем с образованием сульфидов и газообразного диоксида серы, что также способствует возникновению пор.
Для пористости на границе раздела фаз справедливо

с введением наполнителя уменьшается. 
При  пористость серного материала возрастает (дефицит вяжущего приводит к образованию в серном материале агрегатов из не смоченных частиц наполнителя), а именно:

.

(3)

Для радиационно-защитных композитов важно получение модели радиационного разогрева при ионизирующем излучении. Достаточно подробно этот вопрос рассматривается в [7,8]. В частности модель имеет вид :

; ,

(4)

если температурное поле – равномерное; толщина h конструкции – постоянна (стационарный режим – при ).

- распределение вероятностей дискретных значений фазовых координат,
- условные вероятности дискретных значений управляющих воздействий,
- числовые характеристики фазовых координат и управляющих воздействий, как случайных функций,
- меры зависимостей между управляющими воздействиями и значениями выходных координат,
- характеристики каналов управления, как дискретных информационных каналов, в том числе, характеристики дублирований и взаимодействия в передаче стимулов (выходных координат) при выборе соответствующих реакций ,
- корреляционные функции и спектральные характеристики фазовых координат и управляющих воздействий.
В качестве программного движения рассматривалось скользящее среднее

;

 - отклонение органа управления в рассматриваемом канале. Стабилизация программного движения определяется сигналом

.

(1)

Соотношение (1) рассматривается как уравнение замыкания для целостной эргатической системы.
Структурная схема целостной системы для рассматриваемых систем представляется в виде, приведенным на рис.1.

С учетом (1) она легко приводится к виду, изображенному на рис.2.

Рис.2

При изучении отдельных каналов программного движения и его стабилизации структурная схема целостной системы представлялась в виде, приведенном на рис.3.

Рис.3

Передаточная функция  определяется уравнениями движения объекта. Обычно достигается хорошее качество его моделирования (в ряде случаев использовались пробные воздействия). Что касается стабилизации, то здесь возникают значительные трудности.
Справедливо

;

 определяется как передаточной функцией объекта , так и передаточной функцией человека-оператора, параметры которой входят в  (в силу организмического принципа зависит от ).
Для конкретных реализаций управлений разрабатывались программно-алгоритмические модули, которые использовались для объективной оценки деятельности оператора. Определялись:
- числовые характеристики управляющих воздействий как непрерывного, дискретного, импульсного процесса;
- коэффициенты когерентности, полученные по спектральным характеристикам;
- информационная значимость сигналов при формировании управляющих воздействий.
При рассмотрении управляющих воздействий как непрерывных сигналов в качестве характеристик стиля управления по каждому из каналов использовались параметры внутренней структуры случайной функции

; 

Выбор значения  осуществлялся с учетом значения доминирующей в  частоты ;  (принималось ).
Когда воздействия рассматривались как импульсные процессы, в качестве основных характеристик управляющих воздействий рассматривались амплитуды, длительности и вероятности их распределения (распределение случайных амплитуд  импульсов не является нормальным, хотя дискретные значения  распределены нормально). 
При представлении управляющих воздействий как совокупность выбросов в качестве параметров управления использовались числа  и длительности  положительных и отрицательных выбросов, а также их средние значения  на интервале .
Квазилинейная модель эргатической системы идентифицировалась регрессионными методами. 
Зависимости компонент обобщенного вектора управления от технических характеристик объекта определялись, ограничиваясь уровнем линейной регрессии.
Полученные данные позволили установить соответствие обобщенного вектора управления и технических характеристик объекта, а также объективизировать оценку оператором объекта управления (по классам в выбранной шкале; использовалась десяти балльная шкала Купера-Харпера)
Для оценки деятельности оператора по управлению объектом использовались специально разработанные для каждого канала управления в отдельности функционалы. 
Интегральные характеристики управления определяются на основе аддитивного глобального критерия, построенного на основе поканальных критериев с учетом межканальной корреляции [5…8].

- определение множества частных критериев,
- отбор из множества критериев наиболее важных для включения в обобщенный функционал,
- определение вида объединения частных критериев в обобщенном функционале.
После формирования вида функционала качества уже можно приступить к постановке задачи оптимизации с использованием формализованной модели системы. 
Такой подход фактически универсален; может использоваться при синтезе практически систем любой природы (композиционные материалы, объекты управления в пространстве и др.).
На второй итерации на основе анализа функционирования реальной системы могут вноситься коррективы в формирование как частных критериев, так и обобщенного критерия. Определяется новая модель системы, а по ней параметры оптимальной системы. Как видим, формирование оптимизирующего функционала происходит вместе с процессом синтеза оптимальной системы. 
Перед каждой итерацией необходим статистический анализ значимости частных критериев в обобщенном функционале: отбрасываются мало значимые частные в соответствии с выбранным уровнем значимости, добавляются новые частные критерии при необходимости изменяется форма объединения частных критериев.
В связи с действием в эргатических системах организмического принципа («оператор достраивает свои параметры организмически оптимально; объект определяет поведение оператора») задача становится более сложной, что определяется вероятностным характером управления (основная причина неадекватности чисто аналитическая процедура исследований). Это приводит к применению теоретико-экспериментальных методов: оптимизация качества процесса управления осуществляется на модели экспериментально с применением традиционных методов поиска. Возможно, из наиболее простых методов является аппроксимация функции отклика некоторой функцией. Наиболее просто задача решается при аппроксимации не обобщенного функционала, а частных критериев (видом приближающих функций для каждого из критериев  определится значение обобщенного функционала  в каждой точке критериального пространства). По статистическому анализу обобщенного функционала можно будет получить количественную оценку влияния каждого из частных показателей и определить их значимость. Зависимость критерия от параметров оптимизации (функция отклика [4]) будет иметь вид

,

- параметр оптимизации,  - коэффициенты регрессии; - количество параметров оптимизации,  определяют отклонение между действительным значением критерия  и его значением в соответствии с предсказанием по уравнению регрессии.
Для определения коэффициентов регрессии  можно воспользоваться методом наименьших квадратов. Система нормальных уравнений будет иметь вид

Здесь

,
,
,

- экспериментальные значения частных критериев в u-ом опыте, - число опытов, - значения параметров оптимизации в u-ом опыте.
По значениям коэффициентов  получим оценку

,.

Отметим, для u-го опыта

;

коэффициенты  удовлетворяют условию

.

(1)

Определение точных значений  связано с необходимостью проведения бесконечно большого количества экспериментов (); практически оно конечно. Поэтому можно говорить только об оценках  коэффициентов , что отражается записью выражения (1) в виде:

.

(2)

По классическому методу наименьших квадратов оценки  коэффициентов регрессий определятся из равенства нулю частных производных . При очень большом числе экспериментов каждое из слагаемых  оказывает незначительное влияние на общую сумму. С уменьшением N роль каждого слагаемого возрастает; при ограниченном числе опытов N становится весьма заметной.
Рассматриваемый метод прошел апробацию при синтезе композиционных материалов специального назначения [5,6], исходя из свойств рассматриваемых как частные критерии (прочность на сжатие, усадка, тепловыделение, плотность, радиационная стойкость и т.д.). Метод успешно использовался при определении имитационных характеристик тренажных и обучающих комплексов по параметрам управляющих воздействий оператора в реальных условиях и на модели [7].

 или ,

 - амплитуда,  (-постоянная времени).
При определении частоты квантования предполагается, что спектр частот рассматриваемого сигнала ограничен частотой  (выбирается из условия, что энергия суммы отброшенных гармоник не превышает энергии ошибки). В предположении, что ошибка восстановления сигнала по его квантованным значениям не должна превышать  (- шаг квантования по уровню,  - коэффициент). Тогда полная энергия  сигнала  определится в виде суммы двух слагаемых

,

(1)

 и  - соответственно энергия сигнала, ограниченного частотой , и энергия отброшенных гармоник (равна энергии ошибки воспроизведения).
Спектральная плотность для указанных видов экспонент:

; 

или

.

Для сигнала, содержащего все гармоники от 0 до , справедливо:

,

где  - сопряженная с .
Откуда следует

.

Аналогично энергия сигнала , ограниченного частотой , будет иметь вид:

.

По условиям измерения любое значение сигнала в пределах от 0 до  (n – максимальное число шагов шкалы уровней) равновероятно. Так что среднее значение  определится в виде:

.

Тогда среднее значение энергии ошибки воспроизведения (предполагается, что любое значение энергии ошибки в пределах заданной величины  равновероятно) имеет вид:

.

В силу предыдущего:

,

- относительная ошибка.
Подставляя значения ,, в (1), получим:

,
,
.

Из последнего выражения следует

или

.

С учетом  и , имеем:

.

Искомая частота квантования в соответствии с теоремой В.А.Котельникова определится в виде:

(частота квантования экспоненциального сигнала зависит от заданной ошибки воспроизведения). В предположении восстанавливаемости сигнала внутри интервалов квантования  ошибка квантования порождается только за счет ограничения спектра частот этого сигнала (при соблюдении условий теоремы).
Отметим, квантование по времени фактически сводится к аппроксимации функции  в заданном классе . В частности, можно построить полином  степени , принимающий в точках те же значения, что и функция :

.

Задача сводится к определению коэффициентов  () полинома

Из уравнений

,
,
……………………………….
.

Предложенные методики широко использовались в задачах определения параметров управляющих воздействий (непрерывные функции, поток импульсов, выбросы и т.д.), связанных с оценкой имитационных характеристик тренажных и обучающих комплексов для подготовки операторов различных управляемых в пространстве объектов [1…5].

(1)

Справедливы соотношения:

Откуда

Далее:

Так что:

Далее:

Откуда:

Или:

Учитывая  окончательно получим:

Далее:

Так что:

Имеем:

Окончательно:

Далее:

Откуда:

Далее:

Имеем:

 

Далее

С учетом

окончательно получим

  

Имеет место

.

Откуда
  
 (принято ),
Отметим, что в результате последующих уточнений структурной схемы системы управления третье уравнение можно представить в виде

,

что существенно облегчает исследование вопросов динамики.
Известно,

(2)

Здесь качество объекта оценивается функционалом

,

,  - след матрицы   - detA.
После достаточно громоздких преобразований систему (1) можно значительно упростить и основную матрицу привести к виду

.

(3)

Откуда следует, что качество объекта в модели (1) в соответствии с (3) легко сводится к оценке объекта в модели (2): точка , лежащая на границе -го класса [2] для системы (2) , на плоскости сместится в точку , где ,.
Приведенный алгоритм неоднократно использовался при настройке параметров модели динамики полета транспортного самолета [3…6].

;
.

Откуда:

.

- число измерений .
Из условий минимума

,
,

получим уравнения для определения неизвестных коэффициентов:

,	(1)
,	(2)

, , .

Откуда:

, ;	(3)
,	(4)

С учетом (3) и (1):

,

.

Имеем:

или

.

Откуда следует рекуррентная формула для определения при r-ом измерении через оценку при (r-1)-ом измерении

.

Аналогично – для оценки :

.

Приведенный алгоритм эффективно использовался при разработке тренажных и обучающих комплексов для различных отраслей промышленности [5…8].

;

(1)

где  и  - заданные матрицы,  - векторы соответственно программного движения, отклонения органов управления, отклонения рулей, выходных координат; , - постоянные запаздывания (причины запаздывания могут быть различными; лишь предполагается независимость вида последних двух уравнений при использовании для управления различных (по виду и количеству) источников информации). Естественно предположить, что динамика имитатора описывается системой такого же вида, как и (1).

Рис.1. Структурная схема системы

Для оценки стиля управления воспользуемся обобщенным вектором , компонентами которого являются неслучайные числовые характеристики случайной функции  и элементы матриц . В качестве числовых характеристик используются резонансные частоты  спектральной плотности , вероятности попадания частоты  в некоторые окрестности точек ; дисперсии, приходящиеся в эти окрестности; средние амплитуды и длительности импульсов в управляющих воздействиях (легко определяются по данным нормальной эксплуатации [4…7]). Определение элементов  требует наряду с решением задачи идентификации, проведения оценки чувствительности динамических характеристик системы (1) к ошибкам идентификации. Примем ,  и воспользуемся регрессионным методом идентификации (по синхронным измерениям , ,  в процессе нормальной эксплуатации). 
Приведем (1) к виду

,

(2)

где ,  - n-мерный вектор состояния и m-мерный вектор управления (вход) соответственно; , - матрицы коэффициентов; (). Введем

 ;
 ,

получим

 ,
;
 .

Из (2) будем иметь

;

(3)

 ;
 .

Откуда следует

;

(4)

, .
В силу стационарности матрицы Ф выражение (4) справедливо при всех k. Уравнение (4)эквивалентно системе:

(x₁^k+1, … , x_n^k+1 определяются изолированно).
Регрессионная идентификация параметров управления

x_i^k+1 = a_i1 x₁^k + … + a_{i n} x_n^k + b_i1 u₁^k + … + b_{i m} u_m^k ()

требует знания r n + m + 1 совокупностей синхронных измерений x_i^k+1 и x₁^k , … , x_n^k , u₁^k , … , u_m^k :

…

Справедливо

;
 ;
 ;
,
.

Откуда для оценки параметров  получим соотношение

 .

Откуда

 ,
 .

Указанная схема легко может использоваться для идентификации и систем вида (1). В дискретной форме (1) представится в виде

;

()

- входы, - выход. Если по данным нормальной эксплуатации по указанной выше схеме определить , то легко определятся и . 
С использованием этой методики осуществлялась параметрическая идентификация эргатической системы с уравнениями движений

, , , , ,

(6)

(-синхронные измерения). Обобщенный вектор управления принимался в виде

;

(7)

 определялись в соответствии с [3];  - средние амплитуды и длительности импульсов управляющих воздействий.
Справедливо

Ξ,
Ξ=,
Ξ=,
, 

(используются центрированные значения для  систем).
Все тринадцать компонент вектора  линейно зависят от четырех технических параметров , в рассматриваемых интервалах их изменения.

; .

Так что характеристиками управляющих воздействий можно считать амплитуды, длительности и вероятности их распределения.
Вид и структура управляющих воздействий зависят от собственных частот колебаний  и безразмерных коэффициентов демпфирования . Известно, предпочтительными с инженерно-психологической точки зрения считаются значения , с^-1; .
Адаптация оператора к значениям  и  оценивается величинами

, ,

где  и  - соответственно дисперсия, приходящаяся на участок , и вероятность попадания частоты  в управляющих воздействиях оператора на этот участок; значения  определяются по виду . Чем меньше  и чем лучше оператор приспособился к значению , тем больше значение ). 
Результаты исследований использовались при настройке параметров авиационных тренажеров транспортных самолетов [3…6].

 - входное возмущение (или программа),  - сигнал ошибки системы (исполнительный сигнал),  - сигнал обратной связи,  - помеха,  - импульсная переходная функция системы,  - импульсная переходная функция объекта,  - импульсная переходная функция обратной связи,  - импульсная переходная функция части объекта, где действием помехи можно пренебречь.
В соответствии с указанной структурой легко определяются характеристики эргатической системы. Справедливо:

,
,
,
,
,
.

При  (единичная отрицательная обратная связь):

=

(знания  для определения  не требуется).
К сожалению, формализованное описание системы не всегда возможно и, как правило, возникает необходимость использования итеративных методов [4…9]. Однако и в этих случаях одной из основных задач является предварительное структурирование эргатической системы.

Рис.1	Рис.2

При анализе переходных процессов (предполагается  при ) используется приводимая ниже методика.

1. Система представляется в виде:

2. Передаточная функция

,

, .

3. При , 

.

Отметим, что частные частотные характеристики оператора по входам  и выходам  могут определяться с использованием функций частной множественной когерентности:

,

где

, ;

, ,
, .
Отметим, что указанная здесь методика может использоваться для ранжировки входных сигналов, по которым оператор формирует управляющие воздействия. Для этого необходимо:
- произвести синхронные измерения сигналов  и  в процессе нормальной эксплуатации;
- определить элементы матриц ;
- вычислить элементы матрицы  и для каждого значения  определить функции частной когерентности

;

- расположить  в порядке убывания значений функций частной когерентности (чем больше информационная значимость сигнала, тем выше его ранг).
Вычисление матрицы спектральных плотностей 

производится с использованием соотношений

, ,
,
.

Функция множественной когерентности будет иметь вид:

.

При ,  для каждого из выходов структурная схема человека-оператора будет иметь вид, приведенный на рис.3.

Рис.3

Приведенный подход к синтезу эргатических систем эффективно использовался при разработке обучающих комплексов для подготовки операторов транспортных средств [1…5].

В 1963 году по заданию Министерства обороны США была разработана методика ПАТТЕРН  (PATTERN – Planning Assistance Through Technical Relevance Number; переводится: помощь планированию посредством относительных показателей технической оценки), первоначально предназначавшаяся для решения задач планирования научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок в условиях неопределенности (то есть в сложных противоречивых системах). Предусматривались: выделение функциональных подсистем; принятие решений с помощью компьютерных программ; четкая формулировка политических целей по уровням (количество целей не ограничивалось, но предполагалась их детализация с указанием взаимосвязей). В методике использовался принцип деления сложной проблемы на более мелкие, пока каждая подпроблема не будет  разносторонне (по различным критериям) и надежно количественно оценена экспертами. В основном, она применялась для прогноза,  насколько сформулированные цели могут быть достигнуты.

Основные элементы в структуре ПАТТЕРН:

- выбор объекта прогноза;

- выявление текущих внутренних и внешних закономерностей;

- подготовка сценария (например, развития);

- формулирование генеральной цели прогноза и задач по ее достижению;

- анализ иерархии закономерностей с указанием относительной важности (например, весовых констант, сумма которых равна единице) каждого уровня;

- анкетирование;

- математическая обработка данных анкетного опроса;

- качественная оценка структуры;

- верификация;

- разработка алгоритма распределения ресурсов;

- распределение ресурсов;

- оценка результатов распределения.

Методика ПАТТЕРН позволяет:

- сформулировать внутреннюю структуру (дерево целей), включающую принципы создания, функциональные подсистемы, научно-технические проблемы и др.,

- определить внешнюю структуру (систему локальных критериев),

- разработать варианты ресурсного обеспечения элементов системы.

При использовании методики ПАТТЕРН  определяются: перечень конечных целей, суммарные веса целей (показатели научно-технической значимости; сумма коэффициентов относительной важности для каждого уровня иерархии принимается равной единице). На заключительном этапе производится рациональное распределение ресурсов в соответствии с уровнем этих коэффициентов. В методике ПАТТЕРН  впервые использовался системный подход к определению сложнейших планов научно-исследовательских работ в масштабе целой страны. При системном подходе  можно уменьшить или исключить неопределенность, свойственную решаемой проблеме, и реконструировать ее в моделях, отвечающих целям исследования; выявлять объекты, свойства и связи исследуемой системы с учетом взаимного влияния внешней среды. В методике используются важнейшие принципы системного анализа:

- процесс принятия решения начинается с определения и четкой формулировки конечных целей, а также критериев, по которым оценивается их достижение;

- устанавливаются все взаимосвязи каждого частного решения и анализируются возможные альтернативные пути достижения цели;

- непротиворечивость целей отдельных подсистем, которые не должны вступать в конфликт с целями всей системы (см. также «организмический принцип» []);

- выявление ресурсов и их увязка с целями системы.

Центральной процедурой при этом является построение модели (моделей), отражающей все те факторы и взаимосвязи реальной ситуации, которые могут проявиться в процессе осуществления решения. Все указанное направлено на повышение степени обоснованности принимаемого решения, расширение числа вариантов, среди которых производится выбор, с указанием оптимальных.

Главное достоинство методики ПАТТЕРН состоит в определении классов критериев оценки относительной важности, взаимной полезности, состояний и сроков разработки. Именно поэтому, одна из первых задач, решенных с помощью методики ПАТТЕРН, касалась научно-исследовательских разработок. Наука является настолько сложным организмом и так тесно связана с практической деятельностью людей, что основной критерий ее значимости, связанный с внутренней логикой развития науки, является лишь частью многомерного критерия. Необходим разумный баланс между внутренней логикой науки и практической значимостью. Нарушение этого баланса может привести к безразличию общества к науке или потери перспективы в фундаментальных исследованиях.  Разработка методики сведения многомерного критерия к единой количественной мере значимости отдельных научных направлений – важнейшая задача в планировании науки и оценке ее достижений. Должны быть установлены не только системы коэффициентов относительной значимости, но и определена ее динамика: система целей и значимостей может меняться с развитием науки, техники и воздействием внешних обстоятельств (экология, энергетический кризис и др.), и  нуждается в постоянном пересмотре. Классы критериев в различных модификациях (ПАТТЕРН-МО, НАСА-ПАТТЕРН, ПРОФИЛЕ, ППБ и.т.д.) используются в ряде других методик и до сих пор являются основой при определении системы оценок, составляющих структуру целей.

В соответствии с методикой ПАТТЕРН сложные иерархические структуры можно рассматривать как набор определенным образом типологизированных элементов и связей между ними. Эффективным является многоуровневое представление структур. Переход с одного уровня представления на другой осуществляется путем выделения определенных подструктур, которые, в свою очередь, можно  рассматривать в качестве макроскопических элементов, связанных между собой более простым и понятным образом. Элементы более низкого уровня могут рассматриваться как микроскопические. При таком подходе к проектированию система конфигурируется с использованием, так называемых, паттернов (англ. pattern — образец, пример, принцип; не путать с методикой ПАТТЕРН). Паттерн можно рассматривать как некое удачное типовое решение проблемы или как систематически повторяющийся фрагмент или последовательность элементов системы. Использование паттернов  является одним из эффективных способов решения характерных задач проектирования. В общем случае паттерн-проектирование представляет собой формализованное описание часто встречающейся задачи проектирования. Важнейшим на начальном этапе при работе с паттернами является адекватное моделирование рассматриваемой предметной области. Низшим уровнем представления системы является описание ее в терминах классов (со своими атрибутами и операциями) и соответствующих им обьектов, выступающих в качестве микроскопических элементов, и отношений между ними, играющих роль связей. Примером макроскопического элемента следующего уровня является системная архитектура, представляющая собой базовую подструктуру рассматриваемой системы. Самым высоким уровнем является интеграция отдельных систем, которые рассматриваются в качестве макроскопических элементов. Описание системы в терминах классов является  низшим уровнем ее представления. При моделировании системы на уровне классов проводится дополнительная типологизация: описывается структура системы в терминах микроскопических элементов и указывается, насколько система соответствует требуемому значению функционала.

Использование паттернов проектирования разработчику дает ряд неоспоримых преимуществ. Так, модель системы, построенная в терминах паттернов проектирования, фактически является структурированным выделением значимых при решении поставленной задачи элементов и связей (является более простой и наглядной, чем стандартная). Правильно сформулированный паттерн проектирования дает возможность пользоваться однажды удачно найденным решением многократно.

Эффективным оказалось использование методики ПАТТЕРН при синтезе материалов специального назначения. На практике создание новых композиционных  материалов обычно осуществляется, если способы модификации традиционных материалов исчерпаны. Конечно, это целесообразно и при изменении интенсивности эксплуатации и расширении области применения материала. Обычно для каждого эксплуата­ционного воздействия известны количественное значение и границы изменения соответствующего свойства, совокупностью которых и определяется качество материала (перечень и количественные значения свойств устанавливаются заказчиком). Анализ области применения и рецептурные расчеты (например, по методу абсолютных объемов) значений экстенсивных свойств (средней плотности, теплоемкости, теплопроводности и др.) являются основанием для выдвижения гипотезы о виде дисперсной фазы.

Качеством материала управляют рецептурно-технологическими факто­рами, выбор которых зависит от знаний о материале и технологии, фактических возможностей управления производством (уровня техники).

Такой подход пригоден для решения многих практических инженерных задач и установления основных свойств новых композиционных материалов на различных этапах развития технологии.

Представление композиционных материалов полиструк­турными позволяет поэтапно оптимизировать их структуру и свойства Это значительно расширяет возможности исследователя. Как уже отмечалось, каж­дый структурный уровень может рассматриваться как новый материал с заданными показателями качества, получение которого является самостоя­тельной задачей по выбору рецептурно-технологических параметров

Для композитов, получаемых на вяжущих веществах, не содержащих дисперсные фазы (синтетические смолы, термопласты, термореактивы и др.) выделяют уровень микроструктуры. Затвердевшие материалы на основе минеральных вяжущих веществ яв­ляются композиционными, состоящими из не прореагировавших зерен вяжущего (для портландцементов такие частицы получили название «клин­керный фонд») и продуктов твердения. Указанные  вяжущие тополо­ги­чески подобны мезо- и макроструктуре, которые содержат дисперсные фазы.

Последовательное совмещение уровней (от микро- до макрострук­туры) требует установления показателей качества и выделения критериев (свойств) для оптимизации рецептуры каждого уровня.

Так реализуется принцип совмещения структур,  в соответствии  с которым оптимальный по выбранному показателю качества материал (или структурный уровень), получается из предыдущих структурных уровней   (не обязательно являющихся оптимальными). Отметим, формализованная оптимизационная задача выбора  рецептурно-технологических параметров математически является задачей нелинейного программирования.

Практическая реализация некоторых из приведенных выше подходов к многокритериальной оптимизации сложных систем подробно освещаются в [3…8].

Иерархическое строение имеет место также для отношений и связей в системе. Для любой системы и они могут быть разложены на более элементарные. На их основе формируется система более низкого уровня. В результате система выступает как сложное, иерархическое образование (структурированные системы), в котором выделяются различные уровни, разные типы взаимосвязей между различными уровнями. Как элемент иерархии, в частности, можно рассматривать ковалентные, Ван-дер-Ваальсовские, ионные, металлические связи. Существуют, правда, сетчатые системы (неиерархические, неструктурированные), в которых каждый элемент или подсистема связаны с другими элементами системы сложными обратными связями, сильно влияющими друг на друга.

Рассмотрим, как можно такой подход использовать при разработке композиционных материалов, если их рассматривать как сложные системы (рис.1.2), для которых совокупность элементов является целостной (система – единое целое, состоящее из взаимодействующих или взаимосвязанных элементов, часто разнокачественных, но совместимых). Под целостностью понимается внутреннее единство и принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств, составляющих ее элементов.

* Свойства системы как целого определяются свойствами его отдельных элементов и свойствами структуры.

** Определяется наличием существенных связей (отношений) между элементами системы.

*** Возникает при наличии закономерных устойчивых связей и/или отношений.

Рис.1. Характерные признаки системы

Не всякие отношения придают множеству элементов целостность; выделяются специальные отношения – системообразующие или интегративные. Они присущи системе в целом, но не присущи ее элементам в отдельности. Интегративное свойство системы обуславливает тот факт, что свойство системы, несмотря на зависимость от свойств элементов, не определяется ими полностью. Из этого следует, что простая совокупность элементов и связей между ними еще не система, и поэтому, расчленяя систему на отдельные части (элементы) и изучая каждую из них в отдельности, нельзя познать все свойства нормально (хорошо) организованной системы в целом. Интегративное свойство (качество) – это то, новое, которое формируется при согласованном взаимодействии объединенных в структуру элементов и которым элементы до этого не обладали. В частности, интегративным свойством является смачиваемость дисперсных фаз вяжущим веществом и управление этим процессом.

Рис.2. Строительный материал как система

Только в составе системы отдельно взятые элементы вместе со всей совокупностью элементов приобретают интегративное системное качество, которым они не обладали вне системы. Система сохраняется, если интегративные параметры находятся в некоторых допустимых пределах (гомеостазис системы).

Системообразующие связи и отношения являются главными среди любых связей и отношений. Именно они выражают целостные интегративные свойства системы (являются внутренними для данной системы), определяют ее специфику. Так, отсутствие адгезионных взаимодействий превращает строительный материал в смесь компонентов.

Обмен информацией, энергией и веществом между элементами системы и между системой и окружающей средой осуществляется при помощи связи, представляющей физический канал. Так, зерновой материал связан силами аутогезии (взаимодействие при точечных контактах между зернами).

Свойства композиционного материала в значительной степени определяются пространственным расположением контактов и энергией взаимодействия между компонентами (адгезия) и самих компонентов (когезия). Свойства элементов, связанные с процессами сохранения и развития целостности (существование системы) можно рассматривать как организацию системы. Она возникает при наличии закономерных устойчивых связей или/и отношений; связана с упорядоченностью и согласованностью функционирования автономных частей системы и проявляется, прежде всего, в снижении их энтропии по сравнению с энтропией системоформирующих факторов; проявляется в структурных особенностях системы, сложности, способности сохранения системы и ее развития. Чем выше степень организованности, тем выше негэнтропия системы и ниже ее энтропия. Структура системы определяется при формировании межэлементных связей. Различные комбинации элементов и их связей определяют различные структуры.

При формировании межэлементных связей некоторые свойства подавляются, а другие усиливаются и приобретают более отчетливое выражение. Однако степень подавления системообразующих (системозначимых) свойств элементов, как правило, бывает частичной, не полной, поэтому при формировании системы возникают не только полезные функции, положительно влияющие на функционирование системы и обеспечивающие сохранение системой её качественной особенности, но и функции, негативно влияющие на ее функционирование. Как видим, основной системной характеристикой является также совместимость на элементном уровне. Известно, что внешнее воздействие разрушает систему, если его сила (мощность) становится больше силы (мощности) внутренних связей системы. Из-за дезорганизующих внешних воздействий происходит возрастание энтропии системы. Снижение энтропии системы до нулевого значения означает полную «заорганизованность» системы и приводит к негативному результату (вырождению системы), так же как и ее чрезмерное возрастание (сравни: тоталитаризм и анархия). Так, особо качественный бетон – заорганизованная система, а стекло – система с недостаточной организацией.

Системный подход и системное мышление базируются на целостном видении объектов, явлений и процессов. При системном подходе к синтезу композиционных материалов даже с преобладанием фактора интуиции могут использоваться методы как дедуктивного (сначала определяются системные проблемы, а затем находятся решения этих проблем), так и индуктивного (сначала находится новая идея – «прорывное» решение, а затем это решение применяется для решения возникшей проблемы) мышления.

В связи с этим применение системного подхода к исследованию строительных материалов, как сложных систем, можно считать своевременным и актуальным; подход использовался при разработке материалов специального назначения [4…8].

,

то каждой типовой треугольной корреляционной функции  соответствует спектральная плотность

или

, .

Откуда из  следует

.

Точность определения спектральной плотности тем выше, чем меньше расхождение между корреляционными функциями: действительной и результирующей аппроксимированной. При этом несоответствие в значениях функции для малых  будет преимущественно вызывать отклонение в значениях спектральной плотности для больших . 
Пример аппроксимации корреляционной функции типовыми треугольными корреляционными функциями приводится на рис.1.
Из изложенного выше вытекает следующий алгоритм решения уравнения идентификации в частотной области, который сводится к последовательному выполнению приводимых процедур:
- вычисление дискретных значений автокорреляционной функции

,

где интервал реализации , шаг по времени , интервал корреляции  связаны соотношениями:

; ; ;

- построение графика ;
- кусочно-линейная аппроксимация графика ;

Рис.1. Пример аппроксимации корреляционной функции типовыми треугольными корреляционными функциями: 1-аппроксимируемая корреляционная функция, 2 – аппроксимированная корреляционная функция;

- аппроксимирующие типовые треугольные корреляционные функции ().- построение графиков типовых треугольных корреляционных функций; определение  и ;
- вычисление

, ;

- вычисление дискретных значений взаимной корреляционной функции

;

- вычисление

;

- построение графика ;
- кусочно-линейная аппроксимация графика ;
- построение графиков типовых треугольных корреляционных функций; определение  и ;
- вычисление;
- вычисление ;
- построение графика ;
- кусочно-линейная аппроксимация графика ;
- построение графиков типовых треугольных корреляционных функций; определение  и ;
- вычисление

;

- вычисление вещественной частотной характеристики

4

- вычисление мнимой частотной характеристики

;

- вычисление амплитудной частотной характеристики

;

- вычисление фазовой частотной характеристики

;

- аппроксимация амплитудной частотной характеристики типовыми звеньями;
- построение фазовой характеристики.
Предложенный алгоритм использовался при построении когнитивной модели сложных колебательных систем, а также управляющих воздействий оператора эргатической системы [1…3].