Адаптивные алгоритмы обнаружения звезд и ТКО на фоне неба и шумов ПЗС датчиков в НПОЭС, построенные с применением методов медианной фильтрации в сочетании с робастными методами исключения резко выделяющихся наблюдений позволяет решать задачи обнаружения сигналов ТКО и звезд на нестационарном фоне в условиях параметрической априорной неопределенности статистических характеристик сигналов ТКО, звезд, фона неба и шумов датчиков изображений [4]. При этом неизвестными являются математические ожидания всех указанных сигналов, их ковариационные матрицы, а также размеры их изображений на поверхности ПЗС датчика.
Таким образом, задача обработки существенно усложняется по сравнению с радиолокационным случаем при котором длительность сигналов четко известна, по крайней мере, для случаев облучения точечных целей в дальней зоне.
Поскольку задача обработки столь сложной, для ее решения необходимо четко рассмотреть и описать структурную схему оптимального устройства обнаружения, описать его работу и рассмотреть качество его функционирования.
Функциональная схема многопозиционной НПОЭС представлена на рис.1. Цифрами на ней обозначены: 1 – аналого-цифровой преобразователь; 2 – схема вычитания нестационарного тренда фона и шума ПЗС датчика; 3 – схема оценивания нестационарной дисперсии фона неба и шум ПЗС датчика; 4 – схема нормировки по шумам; 5 – схема обнаружения дефектов мозаики ПЗС матрицы;
6 – медианный двумерный фильтр оценивания тренда фона неба и шума ПЗС матрицы; 7 – схема вычитания оценок средних значений соответствующих звезд; 8 – схема оценки матрицы, обратной ковариационной матрице суммы сигнала звезды, фона неба и шумов; 9 – схема формирования квадратичной формы; 10 – схема формирования достаточной статистики обнаружения звезд и оценивания их звездной величины и площади, занимаемой их изображением; 11 – схема устранения дефектов мозаики; 12 – схема выбора максимальной оценки среднего значения изображения звезды (оценки звездной величины); 13 – схема адаптивного порога изображения; 14 – медианные фильтры различной апертуры, соответствующей заданному времени накопления и различным звездным величинам; 15 – схема оценивания координат центров тяжести и амплитуды каждой из оценок сигналов звезд и ТКО; 16 – телевизионный монитор (индикаторное устройство); 17 – схема совмещения изображений одной и той же области пространства, одновременно поступающих с различных позиций многопозиционной НПОЭС; 18 – схема обнаружения траекторий ТКО; 19 – схема оценивания параметров траекторий ТКО; 20 – центральная ЭВМ, осуществляющая сбор и обработку от различных однопозиционных и многопозиционных систем.
Кратко опишем работу многопозиционной НПОЭС, изображенной на рис.1. После усиления сигнала изображений заданного участка небесной сферы – выходные сигналы с каждой ПЗС матрицы поступают на входы АЦП (схема 1). Динамический диапазон которого равен 14 бит и соответствует динамическому диапазону ПЗС матрицы. Схемы 5 и 11 работают по принципe градиентного поля.
С выхода АЦП цифровой сигнал поступает на вход двумерного медианного фильтра (схема 6), обеспечивающего оценивание тренда фона неба и шумов ПЗС матрицы. Вполне возможен вариант оценивания тренда на основе метода вычисления полиномиального тренда, представленного в [5]. Напряжение, соответствующее тренду, поступает с выхода схемы 6 на вход схема 2 – вычитания тренда фона неба и шума ПЗС датчика.
Процесс на выходе схемы 2 имеет нулевое значение математического ожидания в случае отсутствия сигналов ТКО и звезд (гипотеза Н₀).

Если справедлива гипотеза Н₁, то на этот процесс накладывается процесс (поле), созданное звездой с ненулевым математическим ожиданием. Этот процесс поступает на систему медиальных фильтров – схемы 14_i, i = 0, 1, …, N, используемых в качестве согласованных фильтров. Фильтры предназначены для приема сигналов звезд, имеющих различные звездные величины. Этот же процесс поступает на входы схемы 3 – оценивания нестационарной дисперсии фона неба и шумов. С выхода системы медиальных фильтров 14_i, i = 0, 1, …, N сигналы поступают на входы схемы 12 – выбора максимальной оценки среднего значения изображения звезды (оценки звездной величины). Эта оценка подается на входы схемы 8 – оценки матрицы, обратной ковариационной матрице суммы сигнала звезды фона неба и шумов ПЗС и схемы 9 – формирования квадратичной формы. На выходах схемы 9 формируется первое слагаемое достаточной статистики. Второе слагаемое получается на выходах схемы 4. Схема 10 осуществляется формирование достаточной статистики для решения задач обнаружения звезд, их звездной величины и площади, занимаемой их изображением и, по сути, является обыкновенным многовходовым сумматором. Выход схемы 10 подключен на вход 13 – адаптивного порога обнаружения.

Рис. 1. Функциональная схема многопозиционной НПОЭС

Выходы схемы 13 подключены на один из входов схемы 12 и вход схемы 15 – оценивания координат центров тяжести и амплитуды каждой из оценок сигналов звезд и ТКО. На другой вход 15 поступает сигнал с выхода схемы 2. В данном случае выход схемы 13 играет роль селектора сигналов звезд и ТКО.
В результате обработки на каждой позиции будет сильно сокращен объем информации, передаваемой на центральном пункте обработки информации (ЦПОИ). Эта предварительная обработка позволяет существенно снизить требования к каналу передачи данных с каждой из позиций на ЦПОИ. На ЦПОИ находятся схемы 17 – 20.
Схема 17 совмещения изображений одной и той же области пространства, полученных с датчиков, расположенных на различных позициях, позволяет подавить звездный фон и выделить сигналы ТКО. В принципе эта операция может быть осуществлена за время одного кадра. Для получения большей надежности и достоверности результатов необходимо использовать не один, а несколько кадров.
Схема 18 позволяет осуществить обнаружение траекторий ТКО, удаление ложных отметок (ложных тревог) и передачу траекторий на сопровождение и оценивание параметров орбит, звездных величин и условных и линейных скоростей. Последние операции выполняются с помощью схемы 19 оценивания параметров траекторий. Результаты обработки можно наблюдать на телевизионном мониторе – 16 на звездном фоне или без звездного фона, а также использовать совместно с информацией других однопозиционных и многопозиционных локальных систем, работающих в различных диапазонах частот электромагнитного спектра (пассивных и активных).
Наибольший интерес для практики представляют, как сам алгоритм, описанный в разделах II и III так и качественные характеристики его работы в различных режимах.
Обычно в качестве характеристик качества работы обнаружителей используются либо рабочие характеристики, либо характеристики обнаружения.
Основными показателями обнаружения являются рабочие характеристики. Каждая характеристика определяется зависимостью функций Р_D, Р_F и a² от звездной величины. Величины Р_D – вероятность правильного обнаружения, Р_F – вероятность ложной тревоги, a² – отношение сигнал/шум. По характеристикам можно определить пороговое отношение сигнал/шум, которое удовлетворяет заданным вероятностям Р_D и Р_F.
Зависимость Р_D от a² при Р_F=const называется характеристиками обнаружения. Для различных значений Р_F можно построить семейство характеристик обнаружения.
Рабочие характеристики для случая обнаружения сигналов медленно флуктуирующих целей на фоне белого гауссовского шума при полностью известных статистических характеристиках сигналов звезд, ТКО и шумов, можно определить с помощью соотношения

      (1)

где  – 2E/N₀ - отношение сигнал/шум по мощности, E – энергия сигнала, N₀/2 – спектральная плотность мощности шума.
Оценим отношение сигнал/шум на выходе ПЗС датчика

,       (2)

Проанализируем выражение (2) в условиях космоса, а также в горных условиях  и . Обычно стараются обеспечить выполнение неравенства

m² .       (3)

Легко подсчитать отношение сигнал/шум для различных звезд. Звездная величина m определяется

где E – освещенность, k – коэффициент по предложению английского астронома Погсона принято равным – 2,5. Он определяет шаг шкалы звездных величин, а постоянная C₀ – ее нульпункт. Изменением звездной величины на 5 единиц соответствует изменение освещенности в 100 раз. Фон ночного неба соответствует 22-23 звездной величины [6] в диапазоне 330-1000 нм. Измерения производились с поверхности Земли в отсутствии засветки. На рис. 2 представлена зависимость освещенности Е от m.

Рис. 2

Рис. 3

Основываясь на приведенных официальных данных, можем рассчитывать отношение сигнал/шум на входе системы обнаружения по формуле (2). График зависимости a² = f(m) приведен на рис.3.
Основываясь на результатах полученной зависимости a² = f(m) и используя формулу (1), получим график зависимости вероятности правильного обнаружения P_D от звездной величины m, изображенной на рис.4.
Как следует из графика, при P_F = 10^-6 можно обнаруживать звезды m = 16 с вероятностью P_D  0,9. При m  16 вероятность P_D резко уменьшается с ростом m.
В случае, когда осуществляется предварительная обработка, состоящая в оценивании тренда фона неба и шумов ПЗС матрицы, выражение (2) приобретает вид

,       (4)

где  – ошибка оценивания тренда фона неба и шумов ПЗС датчика. Обычно  и растет в случае, когда неравенство (3) уменьшается.
Отношение сигнал/шум в однопозиционной НПОЭС равно

.      (5)

Сравнивая (2) и (5) между собой, замечаем, что выигрыш в отношении сигнал/шум в результате обработки в однопозиционной НПОЭС составит

.      (6)

В случае истинности условия (3) выигрыш составляет . Соответствующий график зависимости вероятности правильного обнаружения P_D от звездной величины для однопозиционной НПОЭС показан на рис. 5.

Рис.5

Рис.6

На основании (4) и (5) можно оценить выигрыш в отношении сигнал/шум, которое обеспечивает предлагаемый алгоритм. Очевидно, он равен

.      (7)

В случае истинности условия (3) 1,1. можно получить график зависимости вероятности правильного обнаружения P_D от звездной величины m для предложенного алгоритма обработки. График приведен на рис.6.
Анализ графиков, изображенных на рис.4 – рис.6 показывает, что в условиях идеального наблюдения однопозиционная НПОЭС очень незначительно уступает предложенному алгоритму обработки, но оба она значительно превосходят по качеству обычные системы наблюдения.
В условиях турбулентности атмосферы картина существенно меняется. Однопозиционная НПОЭС не имеет выигрыша 1. В то же время предлагаемый алгоритм обеспечивает выигрыш  результаты расчетов приведены на графиках, изображенных на рис.7.

Таким образом, сравнительный анализ характеристик обнаружения звезд различной величины показывает, что предлагаемый в работе алгоритм обеспечивает существенные преимущества перед однопозиционной НПОЭС. В ходе оценки предполагалось, что апертура медианного фильтра, использованного для выделения математического ожидания звезд согласована с площадью, занимаемой звездой. Легко показать, что в случае рассогласования апертур, графики, изображенные на рис.4 – рис.7 будут сдвигаться влево.

от цели на фоне пассивных помех, подчиняющихся гауссовскому закону распределения вероятностей [1,2]. При этом предполагается, что “прямой” отраженный сигнал может быть детерминированным, медленно или быстро флуктуирующим, сигналом от цели с доплеровским рассеянием.
В ряде других случаев плотность распределения вероятностей (ПРВ) амплитуд сигнала и помехи отлична от рэлеевской. Подобная ситуация возникает, когда отражения от подстилающей поверхности принимаются РЛС с высоким разрешением (длительность импульса составляет менее 0,5 мкс, угол места менее 5°). При этом у ПРВ амплитуд сигнала и помехи появляются так называемые “хвосты”. Механизм возникновения хвостов в настоящее время хорошо изучен и, как показали исследования [3,4], амплитуда может иметь распределение трех типов: логарифмически нормальное, Вейбулловское
и -распределение (Накагами). Фаза принимаемого сигнала является равномерно распределенной случайной величиной (СВ). Аналогичные результаты возникают при многолучевом распространении в связи [1].
Цель работы состоит в том, чтобы сформулировать и решить задачу совместного обнаружения и оценивания прямого сигнала, принимаемого при наличии многолучевого распространения и помех в случаях, когда амплитуда имеет распределение одного из трех указанных выше типов.

Задача совместного обнаружения и оценивания “прямого” сигнала на фоне помех, принимаемых при наличии многолучевого распространения, должна ставиться и решаться как задача проверки статистических гипотез 
и . В соответствии с гипотезой  входной векторный СП содержит совокупность “прямого” сигнала и  компонент многолучевого сигнала (антиподов), принимаемых на фоне активных и пассивных помех. Вторая (альтернативная) гипотеза  состоит в том, что в принятой реализации  присутствуют все перечисленные выше компоненты кроме “прямого” сигнала. Математическая формулировка сказанного состоит в следующем:

,     (1)

.

Формально для обнаружения “прямого” сигнала независимо от применяемого критерия качества необходимо сформировать отношение правдоподобия, его логарифм или достаточную статистику и сравнить одно из этих значений
с соответствующим порогом. Выбранный критерий качества определяет только величину порога. Вид обработки определяется из отношения правдоподобия, его логарифма или достаточной статистики. Учитывая сказанное, запишем выражение для функционала отношения правдоподобия при обнаружении “прямого” сигнала на фоне помех и многолучевого сигнала:

,     (2)

где  и  - функционалы плотности распределения вероятностей (ПРВ) векторного СП при условии, что справедливы гипотезы  и .
Постановка задачи обнаружения в виде (1) весьма нереалистична поскольку “прямой” сигнал  и совокупность мешающих многолучевых сигналов , например для низколетящих целей, существовать отдельно друг от друга не могут. Поэтому (1) имеет смысл только в связи с другими задачами обнаружения. Чтобы убедиться в этом введем промежуточную гипотезу  о том, что СП содержит только компоненты помех и шумов, т.е. . Это позволяет записать (2) в виде [2]:

.     (3)

Входящее в (3) выражение  - представляет собой функционал ПРВ векторного СП  при условии, что справедлива гипотеза .
Обращаясь к (3), замечаем, что первое частное представляет собой функционал отношения правдоподобия  для проверки гипотез  и , а второе – является величиной, обратной функционалу отношения правдоподобия  для проверки гипотез  и . Учитывая сказанное, (3) запишем в виде:

.     (4)

Логарифм функционала отношения правдоподобия равен:

.     (5)

Соотношение (5) справедливо в случае, когда число лучей , а значит и антиподов априорно известно.
Задача обнаружения сигнала на фоне помех достаточно полно изучена для случая узкополосной связи и радиолокации, когда принимается “прямой” сигнал от цели на фоне пассивных помех, подчиняющихся гауссовскому закону распределения вероятностей [1,3,4]. При этом предполагается, что “прямой” сигнал может быть детерминированным или гауссовским, медленно или быстро флуктуирующим, сигналом от цели с доплеровским рассеянием.
Однако случай приема сигналов с амплитудой, отличной от рэлеевской, на фоне помех в условиях многолучевого распространения ни для одной из указанных выше задач не исследовался.
С математической точки зрения причина этого явления заключается в отсутствии аналитических выражений для ПРВ случайного процесса (СПр) с дискретным временем (или функционала ПРВ в случае непрерывного времени).
Поэтому решение указанной задачи потребовало разработки аналитических выражений для многомерных ПРВ СПр сигнала с амплитудой, распределенной по логарифмически нормальному, Вейбулловскому и (Накагами) законам распределения вероятностей. Фаза принимаемого сигнала является равномерно распределенной случайной величиной (СВ). Такие ПРВ названы модифицированными ПРВ (МПРВ) [5].
Особенностью таких ПРВ является то, что они по своей сути, являются неустойчивыми распределениями относительно операции суммирования. Это означает, что вид ПРВ зависит от числа слагаемых в сумме и изменяется с добавлением каждого нового слагаемого. Неустойчивость таких ПРВ оказывает влияние на вид ПРВ суммы выборок сигнала с амплитудой, распределенной по логарифмически нормальному, Вейбулловскому, и (Накагами) законам распределения вероятностей. Фаза принимаемого сигнала является равномерно распределенной случайной величиной (СВ), и белого гауссовского шума.
Свертка двух ПРВ, подчиняющихся МПРВ Вейбулла и гауссовской ПРВ, соответствующая сумме двух СВ Вейбулла и гауссовской, определяется выражением:

     (6)

Результаты расчетов по формуле (6) помещены в виде графиков на рисунке 1 для трех различных значений параметров ПРВ Вейбулла: ; ;; . и - параметры распределения.
Как следует из рисунка 1, сумма гауссовской СВ и СВ, подчиняющейся МПРВ Вейбулла нормализуется. При этом наличие сигнальной составляющей приводит к появлению ненулевого положительного математического ожидания (МО) в ПРВ. Отличия в графиках в основном касаются МО СВ, которые увеличиваются с ростом .

Формально постановка и решение задачи обнаружения сигнала с амплитудой, распределенной по закону Вейбулла, и равномерно распределенной фазой на фоне гауссовской помехи точно такая же, как и в гауссовском случае. Разница состоит лишь в том, как распределены помехи и шум. Наибольший интерес для практики представляет случай, когда помехи
и шум, или только шум, распределены по гауссовскому закону. В случае коррелированных выборок  это означает, что по каждой из проверяемых гипотез ПРВ будет иметь вид:

 (7)

где , ;

- соответствует математическому ожиданию от соответствующего вектора ;
- ковариационная матрица вектора .
Таким образом, для фиксированного  можно считать, что векторы условного математического ожидания по гипотезам  и  равны  и  и соответствующие ковариационные матрицы определяются выражениями  и .
Используя представление экспоненты под интегралом по параметрам 
в виде степенного ряда и ограничивая количество членов конечным числом L, приводим (7) к более удобному виду. С учетом вышесказанного логарифм отношения правдоподобия будет равен:

 (8)

где , .

Аналогичный вид имеет и , но с учетом того, что вместо используется , а вместо подставляется .
На рисунке 2 представлен один из вариантов реализации схемы, реализующей задачу совместного обнаружения и оценивания прямого сигнала, принимаемого при наличии многолучевого распространения и помех.

Рис. 2. Вариант реализации схемы, реализующей задачу совместного
обнаружения и оценивания прямого сигнала, принимаемого
при наличии многолучевого распространения и помех

На рисунке 2 в блоке 1 выполняется вычисление компонентов .
В блоке 2 производится вычисление компонентов . Заметим, что реализация блоков 1 и 2 может осуществляться в различных вариантах, рассмотрение которых выходит за рамки работы.
Поскольку  имеет ненулевой вектор МО, реализация отличается от известных схем [1,2], используемых для обработки гауссовских сигналов, наличием нижней ветви схемы, реализующей второе слагаемое в (8).
Следует отметить, что схемы, подобные изображенной на рисунке 2, будут использоваться и для обработки сигналов с амплитудой, распределенной по логарифмически нормальному и m (Накагами) законам распределения вероятностей. Отличия будут только в величинах  и .
Таким образом в статье была сформулирована и решена задача совместного обнаружения и оценивания прямого сигнала, принимаемого при наличии многолучевого распространения и помех в случаях, когда амплитуда распределена по логарифмически нормальному, Вейбулловскому и (Накагами) законам распределения вероятностей. Для решения указанной задачи были разработаны аналитические выражения для многомерных плотностей распределения вероятностей случайного процесса сигнала в случаях, когда амплитуда имеет распределение одного из трех указанных выше типов. Был представлен вариант реализации схемы, реализующей задачу совместного обнаружения и оценивания прямого сигнала, принимаемого при наличии многолучевого распространения и помех.

           (1)

где  - соответствующие диагональные матрицы весовых коэффициентов фильтра  размера . Заметим, что матрицы весовых коэффициентов  могут быть представлены в виде соответствующих произведений матриц и имеют вид

           (2)

- диагональная матрица весовых коэффициентов фильтра размера  с элементами , равными коэффициентам передачи.

Систему уравнений (1) удобно записать с помощью матричного уравнения

           (3)

где , ,

Последовательный сдвиг каждого из элементов изображения строки матрицы также может рассматриваться как результат обработки в фильтре размера , матрица весовых коэффициентов которого имеет вид

Это означает, что на выходе МПЗС получим вектор изображений в соответствии с выражением

           (4)

где

.

Анализируя вид матрицы , приходим к выводу, что наибольшие искажения претерпевают изображения, которые находятся в верхнем левом углу изображения.
Поскольку коэффициенты фильтров  и ,  для всех МПЗС будут различными, их можно считать случайными величинами, а сами фильтры – фильтрами со случайными передаточными характеристиками. Для каждого конкретного МПЗС имеем неслучайную передаточную характеристику  фильтра. При этом можно утверждать, что  является невырожденной матрицей и имеет обратную, равную

.

Для того чтобы компенсировать ошибки, возникающие за счет считывания информации с МПЗС обратимся к формуле (4) и определению обратной матрицы . Умножение (4) слева на матрицу  позволяет разрешить его относительно исходного изображения

           (5)

Оценить  можно применяя в качестве исходного тест – изображение. Таким изображением может служить равномерная засветка, в соответствии с которой , где с – константа, зависящая от времени накопления. Тогда, считывая изображение, получим

           (6)

Умножая на  обе части (6), получим

           (7)

Заметим, что (7) можно разрешить, если ввести в рассмотрение псевдообратную матрицу к . Для получения однозначного решения необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

               (8)
           (9)
           (10)
           (11)

При соблюдении условий (8) – (11) матрица  будет псевдообратной матрицей Мура – Пенроуза для .
Псевдообратная матрица Мура – Пенроуза для  будет иметь вид . Докажем, что для матрицы  выполняется свойство (8):

а также свойство (9):

Выполнение свойств (10) и (11) очевидно.
Умножая на  справа обе части равенства (7), получим, что

           (12)

Таким образом, доказано, что, используя равномерную засветку, можно оценить для каждой конкретной МПЗС . Поскольку вычислить точно математическое ожидание по выборкам на конечном интервале наблюдения не представляется возможным, вместо истинного значения  будет получена ее оценка, которая в асимптотике сходится к истинному значению.