Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации» » Букушева Алия Владимировна

Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры

Букушева Алия Владимировна — Fri, 17 Apr 2015 13:03:25 +0000

В работах [1-6] было показано, что на распределении D, заданном на многообразии с почти контактной метрической структурой  естественным образом определяется новая почти контактная метрическая структура , называемая продолженной почти контактной метрической структурой.
Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1,  -  - модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса . В работе [7] были получены алгебры Ли инфинитезимальных преобразований всех трехмерных максимально подвижных почти контактных метрических пространств. В частности, в работе рассмотрена структура , , , . В адаптированных координатах [3] структурные аффиноры продолженной структуры примут следующий вид:
, .
Пусть , где ; ;  - векторное поле, сохраняющее продолженную структуру.
Система уравнений, содержащая неизвестные компоненты, принимает вид:

Интегрируя систему уравнений, находим ее общее решение:

Из полученной системы видно, что базисные операторы группы имеют вид

(1)

Теорема. Для продолженной почти контактной метрической структуры базисные операторы алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов этой структуры можно записать в виде (1).

Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур

Букушева Алия Владимировна — Sat, 23 May 2015 17:27:29 +0000

Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, - - модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса . В работах [1-6] изучались (продолженные) почти контактные метрической структуры , естественным образом определяемые на распределенииD почти контактной метрической структуры . В предлагаемой работе используются так называемые адаптированные координаты [3]. Карту (α, β, γ = 1,…, n; a, b, c, e = 1,…, n-1) многообразия X будем называть адаптированной к неголономному многообразию D, если . Пусть P: TX>D - проектор, определяемый разложением . Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: . Таким образом, мы имеем на многообразии X неголономное поле базисов и соответствующее ему поле кобазисов . Адаптированным будем называть также базис , как базис, определяемый адаптированной картой. Тензорное поле типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если его координатное представление в адаптированной карте имеет вид:

Введем на D структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте  на многообразии X сверхкарту  на многообразии D, где x^n+a - координаты допустимого вектора в базисе . Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной.
Пусть на многообразии X задана контактная метрическая структура . Определим на распределении D как на гладком многообразии почти контактную метрическую структуру , полагая , , , , .
Векторные поля  определяются здесь продолженной связностью [1-6]. Полученную структуру будем называть продолженной почти контактной метрической структурой.
Теорема. Пусть  - допустимое векторное поле Киллинга, заданное на многообразии X. Тогда, полный лифт поля : , является инфинитезимальной изометрией .
Доказательство теоремы сводится к непосредственным вычислением производной Ли от метрического тензора, координатное представление которого имеет вид .

Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры

Букушева Алия Владимировна — Thu, 16 Jul 2015 20:47:59 +0000

Пусть D - гладкое распределение почти контактной метрической структуры на Х, определяемое формой η, - его оснащение. Карту (α, β, γ = 1,…, n; a, b, c, e = 1,…, n-1) многообразия X будем называть адаптированной к распределению D, если [1]. Пусть P: TX>D - проектор, определяемый разложением . Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: . Имеет место равенство , где . Адаптированным будем называть также базис , как базис, определяемый адаптированной картой. Заметим, что имеет место равенство . Преобразование компонент допустимого тензорного поля [1] в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:

, где .

Пусть  - внутренняя линейная связность на многообразии с почти контактной метрической структурой [1]. Коэффициенты внутренней линейной связности определятся из соотношения .
Кручение внутренней линейной связности S по определению полагается равным .
Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем .
Действие внутренней линейной связности естественным образом продолжается на произвольные допустимые тензорные поля.
Говорят, что над распределением D задана связность, если распределение , где  разбивается в прямую сумму вида , где  – вертикальное распределение на тотальном пространстве D.
Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта  такого, что , где . В случае, когда , связность над распределением определяется внутренней линейной связностью.
Векторные поля  определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы  – соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,
,
.

Определим на распределении D как на гладком многообразии почти контактную метрическую структуру , полагая , , , , .
Векторные поля  определяются здесь продолженной связностью [1, 2, 3]. Полученную структуру будем называть продолженной почти контактной метрической структурой.
Определим форму , полагая в адаптированных координатах .
Если форма  замкнута, то она определяет на распределении D допустимую симплектическую структуру.
Векторное поле , где  - адаптированное поле базисов, является инфинитезимальным автоморфизмом [4,5] допустимой симплектической структуры, если выполняется равенство  .
Имеет место
Теорема. Для того, чтобы полный лифт  векторного поля , заданного на многообразии X, был инфинитезимальным эндоморфизмом структуры , необходимо и достаточно, чтобы поле  было инфинитезимальной изометрией.

Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях

Букушева Алия Владимировна — Thu, 27 Aug 2015 20:49:41 +0000

Гиперкомплексной структурой на гладком многообразии X называется тройка интегрируемых почти комплексных структур I, J, K, удовлетворяющих соотношению IJ=-JI=K. При этом Х называется гиперкомплексным многообразием.
Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=4m+1, - - модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса . Почти контактной гиперкомплексной метрической структурой на Х [1] называется совокупность тензорных полей на Х, где φ_i QUOTE (i=1, 2, 3) – тензоры типа (1,1), называемые структурными эндоморфизмами, и η - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g – (псевдо) риманова метрика. При этом

. Требуется также, чтобы тензоры φ_i принадлежали к классу допустимых интегрируемых структур [2]. В работе [3] приводится пример почти контактной гиперкомплексной метрической структуры, возникающей на распределении почти контактной кэлеровой структуры. Мы продолжим полученный в работе [1] результат на случай почти контактной гиперкэлеровой структуры.
Многообразие с почти контактной гиперкомплексной метрической структурой назовем почти контактным гиперкэлеровым пространством, если внешние 2-формы замкнуты. Пусть, теперь, – почти контактная кэлерова структура, заданная на многообразии X. Воспользовавшись введенной в работах [4,5] метрической N-продолженной связностью, а также используя процедуру продолжения почти контактных метрических структур [6,7], определим на распределении D почти контактного кэлерова пространства почти контактную гиперкомплексную метрическую структуру , полагая,

, , , , , , , .

Теорема. Структура является почти контактной гиперкэлеровой структурой тогда и только тогда, когда тензор Схоутена исходной почти контактной кэлеровой структуры обращается в нуль.