,     (1)

где  при  и может обращаться в нуль при  и , .
Пусть  – конечная односвязная область плоскости независимых переменных  с границей  – часть Г, где характеристическая форма уравнения (1) , а  совпадает с множеством точек , для которых функции  – направляющие косинусы вектора нормали к Г, , .
Заметим, что уравнение (1) является прямым параболическим уравнением при  и обратно параболическим [1] при  и .
Задача G. Найти регулярное решение  уравнения (1) в области из класса , удовлетворяющее краевому условию

.      (2)

Пусть L^* – оператор, сопряженный по Лагранжу с оператором L:

,      (3)

 пространство Соболева [2] со скалярным произведением  и нормой 
Обозначим через  множество функций  из класса , для которых  и соблюдено краевое условие (2), а через  – множество функций  из W, для которых  и выполнено краевое условие

,     (4)

здесь  – множество точек , где функция .
Для любых функций  и  справедливо равенство

.      (5)

Действительно, пусть  – область прямой параболичности уравнения (1), а  и  – области обратной параболичности (1). Тогда, будем иметь [3]:

где  – элементы длины , () – направляющие косинусы внешней нормали N к границам областей . Принимая во внимание условия (2) и (4), а также и свойства направляющих косинусов, из последнего выражения получаем равенство (5).
В соответствии с этим задачу : найти функцию  из класса , удовлетворяющую уравнению (3) в области и краевому условию (4), будем называть сопряженной задаче G.
Слабым решением задачи G назовём любую функцию , для которой

, ,

а слабым решением задачи  – функцию , для которой

, .

Для любых функций  и  имеют место энергетические неравенства

 ,      (6)
 ,      (7)

где  – положительные постоянные, независящие от , соответственно.
В самом деле, пусть  – произвольная функция класса , обладающая тем свойством, что

.      (8)

Из очевидных тождеств

,

В результате почленного сложения и применения формулы Грина аналогично [4, 5], нетрудно убедиться в справедливости равенства:

      (9)

Из (9), с учётом (2) и (8), заключаем, что

,      (10)

где

.

Далее, пользуясь хорошо известным неравенством , получаем

.

Из последнего неравенства и (10), убеждаемся в справедливости (6). Аналогично может быть получена априорная оценка для.
Энергетические неравенства (6) и (7) – необходимое и достаточное условие существования при любой  полусильного решения.

. (1)

Для нагруженного уравнения (1) исследуется следующая задача А:
Найти регулярное решение уравнения (1) в области _i, i= 1,2 непрерывное в  и непрерывно – дифференцируемое по х в вплоть до прямых  и  и удовлетворяющее условиям:

 (2)
 (3)
,  (4)
,  (5)

где ,  и  - заданные непрерывные функции, - заданные достаточно гладкие функции .
Для доказательства существования и единственности решения данной краевой задачи, редуцируем ее к системе интегральных уравнений.
Рассмотрим сначала решение задачи (1)-(5) в области O₂. В области  х>0, поэтому уравнение (1) будет иметь вид:
 (1^/)
Левая часть нагруженного уравнения (1^/) представляет собой уравнение теплопроводности. Рассмотрим для него нелокальную задачу (3), (4) и  в области , решение которой обозначим как .Используя дифференциальные и конструктивные свойства функции

которая является фундаментальным решением уравнения ФурьеL₀u = u_t – u_xx = f₁(x,t),нетрудно доказать справедливость леммы:
Лемма: Пусть существует регулярное в решение u(х,t) уравнения (1), которое непрерывно в  и имеет непрерывную при , производную по переменной х. Тогда u(х,t) является решением интегрального уравнения:

 (7)

 

где

.

Доказательство леммы проводится аналогично доказательству леммы 6.3.1. [5] при условии, что .
Выпишем теперь общее решение задачи (1)-(5) в области . Здесь уравнение имеет вид: 
 . (1^//)
Невырожденной заменой независимых переменных по формулам,  получаем задачу, аналогичную задаче (1^/), (3), (4) и  в терминах х₁ и t₁, решение которой дается формулой (7). Переходя к прежним переменным, получаем общее решение задачи (1^//) , (2), (5) и  в области , которое обозначим через :

 (8)

,

где

.

В уравнении (7)переходя к пределу при получаем:

 

. (9)

В уравнении (8 )переходя к пределу при получаем:

 

 . (10)

С учетом краевых условий Стеклова первого класса (2) и (3) из (9) и (10) получим:

 

 , (11)

 

. (12)

Вводя обозначения
,

 ,из (11) получим:

 . (13)

Если в уравнении (12) положить

 ,
то данное уравнение примет вид:

. (14)

Найдем теперь следы решения u(x,t) из областей O₁ и O₂ при х=0:

.

Т.к. требуется найти регулярное в  решение u(x,t) уравнения (1),
то u⁺(0,t) =u^—(0,t) и с учетом условий (2) , (3), получим:

.

С учетом условий (2) и (3) получим:

.

Вводя обозначения

получим:

. ( 15)

Находя u⁺(х,t) и u^-(х,t), затем устремляя х к 0 и в силу регулярности решения u(x,t) задачи (1) – (5), , с учетом краевых условий типа Стеклова первого класса (2) и (3), получим:

. (16)

, (17)

где

 

 ;
 .

Следовательно, для определения неизвестных функций , , и  получена система интегральных уравнений (13), (14), (15) и (17). Уравнения (13), (14), (15) представляют собой интегральные уравнения Вольтерра II рода, ядра которых содержат слабые (интегрируемые особенности) порядка .
Уравнение (17) не интегрируемо в обычном смысле, т.к. его ядра содержат особенность . Будем понимать интеграл, стоящий в левой части (16) в смысле конечной части по Адамару [3].
Таким образом задача Стеклова первого класса для нагруженного уравнения параболического типа редуцирована к нахождению решения системы (13), (14), (15) и (17), из разрешимости которой следует, что задача первого класса по терминологии Стеклова (2)-(5) для уравнения (1) имеет единственное непрерывное решение.

 (1)

где  – область ограниченная отрезками АВ, ВС, СО и ОА прямых , , ,  соответственно;  – характеристический треуголь­ник, ограниченный отрез­­ком ОА оси абсцисс и двумя характеристиками АD: , ОD:  уравнения (1), выходящими из точек А, О и пересекающимися в точке D;  и – заданные коэффициенты, ; .
Задача 1. Найти регулярное в , , решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее краевым условиям ,

, (2)
 (3)

и условиям сопряжения:

  (4)

где , , , , , причем .
Задача 2. Найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме условия (5), которое заменено условием

где , , , , причем .
На отрезке АО имеем функциональное соотношение принесенное из области 

. (5)

Соотношение же между  и , принесенное на отрезок АО из гиперболической части  смешанной области  легко получить выписав решение соответствующей задачи Коши, а затем удовлетворив его краевому условию (3). В результате этих преобразований, находим

, (6)

где

.

Подставляя  из первого уравнения условий (4) во второе, получим

или

,

где

, ,
.

Отсюда, с учетом (5), следует, что

. (7)

Теперь, подставляя  из первого уравнения условий (4) в соотношение (6), будем иметь

или

, (8)

где

, , .

Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (8) через резольвенту  ядра , получим

или

, (9)

где

, .

Подставляя равенство (9) в соотношение (7), будем иметь

.

Отсюда, в результате ряда элементарных преобразований, получим

.

Полагая здесь

, ,

приходим к равенству

.

Интегрируя полученное равенство, будем иметь

.

Меняя порядок интегрирования в третьем слагаемом последнего равенства, получим

или

, (10)

где

, .

Интегрируя равенство (10), будем иметь

.

Вновь меняя порядок интегрирования, но теперь, во втором слагаемом, приходим к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно функции :

, (10)

где

,


.

Заметим, что  зависит от двух неизвестных постоянных , , первая из которых легко находится из условия (2). В самом деле, из этого равенства, имеем .
Теперь, обращая интегральное уравнение (10), через резольвенту  ядра , будем иметь

. (11)

Очевидно, что функция  представима в виде

,

где

.

Отсюда, с учетом (11), будем иметь

.

Полагая в этом равенстве , получим

.

Таким образом, отсюда находим искомую постоянную , при условии, что . Тогда, функция  однозначно определяется равенством (11), функции же  находятся из соотношения (9), а  – из условий сопряжения (4). Теперь, очевидно, что решение задачи 1, легко найти как решение соответствующей задачи Коши в области  и первой краевой задачи в области , для уравнения (1).
В заключении отметим, что условие  в задаче 1 не является необходимым, так как при его нарушении, условия (4), как легко заметить, представляют собой частный случай условий сопряжения задачи 2, которая исследуется аналогично задаче 1.