В настоящем статье обсуждается вопрос минимизации энергопотребления для двигателя, работающего в установившемся режиме с постоянным моментом нагрузки. Описываемый далее алгоритм относится к методам на основе модели мощности потерь. Вычисленная уставка тока намагничивания минимизирует установившуюся мощность потерь в обмотках без учета мощности в потерь в сердечнике.

Главное отличие описанного метода от других ранее опубликованных состоит в параметрической идентификации модели потерь за счет накопления данных о найденных ранее оптимумах энергопотребления. Таким образом, реализованный метод представляет собой гибридный алгоритм, основанный на поисковой оптимизации, которая заменяется после идентификации модели на прямое вычисление уставки тока намагничивания.

В этой главе мы не детализируем алгоритм до степени, достаточной для его прямой реализации. Вместо этого приводится описание концепта и его проверка на корректность по снятым с электродвигателей экспериментальным данным.

1. Предварительные сведения

1.1 Модель электродвигателя

Рассмотрим модель двигателя на основе обратной Г-образной схемы замещения [8] с ориентацией оси d вращающейся системы координат параллельно потокосцеплению ротора . В пространстве состояний, данная модель реализуется системой дифференциальных уравнения четвертого порядка:

где – синхронная скорость, – скорость вращения вала двигателя (электрическая – т.е. механическая , умноженная на число пар полюсов p), – электромагнитный момент вращения, развиваемый двигателем. Параметры статора двигателя: , параметры ротора двигателя .

Все напряжения и токи в модели являются действующими значениями и полученными с помощью преобразований Кларка и Парка, инвариантных по мощности.

1.2 Модель потерь в обмотках при магнитном насыщении

Насыщение индуктивностей в асинхронных электродвигателях – неотъемлемая черта их функционирования даже для токов статора, заметно меньших номинальных значений. Модель потерь [7] в установившемся режиме как функция от тока намагничивания

(*)

оказывается недостаточно точной, поскольку при насыщении индуктивности намагничивания двигателя, значение перестает быть постоянным и является функцией от тока .

С учетом насыщения индуктивности намагничивания, квадратурный ток в устанавливавшемся режиме записывается в виде:

тогда мощность потерь выражается как

Характеристика может быть получена в результате следующей экспериментальной процедуры. Вал двигателя связывается с нагрузочной машиной, обеспечивающей известный постоянный момент . При ступенчатом варьировании тока намагничивания измеряется установившееся значение квадратурного тока как зависимость от . В результате, искомая характеристика может быть вычислена как . Очевидно, что подобная процедура может быть выполнена только в лабораторных условиях, что значительно затрудняет применимость методов на основе модели потерь к произвольному двигателю.

2. Метод минимизации энергопотребления

2.1 Условие оптимальности

Дифференцирование по дает

Обозначив и приравняв , находим условие минимума энергопотребления

(1)

При отсутствии насыщения это условие интерпретируется как равенство мощностей потерь по оси d и по оси q .

Разрешение уравнения (1) по для получения минимизирующей уставки тока – есть основа предлагаемого метода. Однако, для решения должна быть известна характеристика .

2.2 Идентификация характеристики намагничивания

Предположим, что найдено оптимальное значение тока намагничивания . Это может быть сделано, например, в результате применения методов поисковой оптимизации, описанных в предыдущей главе. Тогда условие (1) выполняется для значения . Решая (1) как уравнение относительно x, получаем

. (2)

где и – значения токов при минимальном .

Если электродвигатель работает с различными механическими нагрузками (или, эквивалентно, обеспечивается движение с различными постоянными ускорениями), то определение оптимума в каждом случае дает свое значение x. В результате, имеем вектор собранных ранее значений оптимального тока намагничивания и соответствующих им значений характеристики x: , таких что .

Анализ экспериментальных данных показывает, что зависимость может быть аппроксимирована линейно. Таким образом, возникает задача линейной регрессии по экспериментальным данным и X для получения коэффициентов линейной аппроксимации:

(3)

Для ее решения предлагается использование рекурсивного алгоритма наименьших квадратов [9], который позволяет осуществить вычисление коэффициентов b без хранения векторов и X. Рекурсивное обновление вектора коэффициентов b осуществляется по следующим соотношениям:

(4)

где – ковариационная матрица размерностью , изначально заполненная достаточно большими числами (близкими к машинной бесконечности), .

Каждый раз после того как найден новый оптимум потерь согласно (*), происходит обновление вектора коэффициентов b согласно правилу рекурсивного алгоритма наименьших квадратов (4).

2.3 Алгоритм

Полный алгоритм минимизации энергопотребления не приводится, далее рассматриваются только его основные составляющие.

Начальными условиями являются . Если обнаружено, что момент двигателя изменился и токи статора установились и постоянны в течение некоторого времени, то инициируется численный поиск оптимального значения уставки тока намагничивания . В качестве начального значения используется решение (1) относительно , в котором характеристика согласно линейной аппроксимации (3). После того, как найдено , вычисляется значение x согласно (2) и коэффициенты линейной аппроксимации обновляются по правилу (4). Исключение поискового алгоритма возможно после некоторого момента, когда постоянно обнаруживается, что найденный оптимум совпадает с начальным значением, вычисляемым по (1). На всех этапах алгоритма необходимо контролировать, чтобы уставка тока намагничивания не превышала номинальные значения.

3. Экспериментальная проверка

Для проверки работоспособности были проделаны эксперименты с двумя электродвигателями: номинальной мощностью 4 кВт (DRS112M4) и 0.37 кВт (DRS71S4). Суть экспериментов сводилась к следующему: электродвигатель, связанный с управляемой нагрузочной машиной, был запитан от векторного частотного преобразователя, при этом изменялась уставка тока намагничивания и вычислялась мощность потерь в обмотках согласно (*). Эксперимент повторялся для разных значений нагрузки на валу . В результате получилось семейство характеристик мощности потерь для разных моментов нагрузки на валу.

Измеренные данные обрабатывались следующим образом. По характеристике , снятой для конкретного момента нагрузки , определялось значение тока намагничивания , минимизирующее мощность потерь и рассчитывалась величина x согласно (2). По собранным значениями и x для различных моментов на валу проводилась линейная регрессия для получения коэффициентов аппроксимации (3).

С использованием аппроксимированной зависимости согласно (2) были вычислены оптимальные значения , удовлетворяющие (1). Результаты были нанесены на экспериментально полученные графики для того, чтобы убедиться в соответствии вычисленным и действительным минимумам мощности потерь. Соответствующие зависимости приведены на рисунках 1-4.

Рисунок 1. Зависимость для двигателя 0.37 кВт: экспериментальные точки (обозначены квадратными маркерами) и линейная аппроксимация.

Рисунок 2. Зависимости для двигателя 0.37 кВт, квадратными точками обозначены вычисленные минимумы согласно (1).

Рисунок 3. Зависимость для двигателя 4 кВт: экспериментальные точки (обозначены квадратными маркерами) и линейная аппроксимация.

Рисунок 4. Зависимости для двигателя 4 кВт, квадратными точками обозначены вычисленные минимумы согласно (1).

Из представленных на рисунках 2 и 4 графиков видно, что теоретически вычисленные минимумы согласно условию (1) и линейной аппроксимации с практической точки зрения хорошо согласуются с действительными минимумами мощности потерь двигателя.

Заключение

В настоящем разделе был рассмотрен вариант метода минимизации мощности потерь в обмотках двигателя, который использует информацию о найденных ранее минимумах потерь для идентификации характеристики насыщения индуктивности намагничивания двигателя. Алгоритм не требует предварительного измерения зависимости индуктивностей от тока намагничивания и может применяться при работе электродвигателя в составе оборудования. Метод использует на своем начальном этапе работы алгоритм прямого численного поиска минимума мощности потерь, и таким образом относится к гибридным алгоритмам. По мере накопления информации о характеристике насыщения двигателя, численный поиск исключается как избыточный этап.

Векторное управление асинхронными двигателями — в настоящий момент доминирующая технология в области промышленного и транспортного электропривода переменного тока. Преимуществами векторного управления являются: обеспечение динамических характеристик, сравнимых с серводвигателями постоянного тока; увеличение КПД электропривода; возможность работы на малых скоростях в безредукторном приводе.

Структура статьи следующая: сначала кратко описывается алгоритм векторного управления по полю, потом описывается реализованная модель, далее описываются аппаратные средства и приводится результат реального испытания алгоритма.

1.1 Модель двигателя

На системном уровне описания, двигатель представляет собой элемент с тремя входами напряжения , входом момента нагрузки и выходами фазных токов , а также выходом скорости (которую мы далее будем считать электрической, т.е. отличающейся от реальной механической в p раз).

Известно, что электрические величины трехфазной цепи (например, фазные токи) могут быть представлены во вращающейся со скоростью системе координат d и q как два ортогональных компонента :

(1)

где — угловое положение вращающейся системы координат.

Преобразование вида (1) может быть аналогично применено и для фазных напряжений . Выражение (1) называется инвариантным по амплитуде преобразованием Парка [1] или dq0-преобразованием. Важно отметить, что при соответствующем выборе (при вращении системы координат синхронно с вращением вектора тока), величины становятся постоянными и при этом — амплитуда переменного тока.

Рассмотрим инверсную Г-модель двигателя с ориентацией потокосцепления ротора вдоль оси d синхронно вращающейся системы координат [2]. В пространстве состояний модель реализуется системой дифференциальных уравнений четвертого порядка:

(2)

где — токи статора во вращающейся системе dq-координат, — напряжения статора в системе dq-координат, — скорость вращения вала двигателя, — электромагнитный момент, развиваемый двигателем.

Параметры модели двигателя в (2) обозначены: — приведенное сопротивление ротора, — сопротивление статора, — приведенная индуктивность статора, — приведенная индуктивность намагничивания, — число пар полюсов, — момент инерции ротора и нагрузки.

Система dq-координат вращается с синхронной скоростью вращения двигателя:

(3)

1.2 Векторное управление с ориентацией по полю

Метод векторного управления с ориентацией системы координат полю ротора (field-oriented control, FOC) можно резюмировать следующим образом.

Измеряемыми величинами являются фазные токи статора и скорость вращения вала . Измеренные значения токов преобразуются с помощью (1) в постоянные . Для такого преобразования необходимо знать синхронную скорость , которая зависит от измеренной скорости и скольжения. Таким образом, реализация векторного управления содержит в себе блок вычисления по соотношению (3) и первому уравнению в (2). Важно заметить, что вычисление использует значение потокосцепления , которое оценивается на основе модели двигателя (2). Отсюда, важным является знание параметров двигателя .

Векторное управление для стабилизации скорости вращения двигателя состоит их трех ПИ-регуляторов, два из которых предназначены для поддержания токов статора. Обозначим — уставки соответствующих токов статора. Из второго и третьего уравнения в (2) видно, что в первом приближении динамика токов статора относительно напряжений может быть представлена как система первого порядка с возмущениями, вызванными противо-ЭДС и взаимозависимостью токов.

Динамика ПИ-регуляторов может быть записана обычным образом

(4)

При соответствующем выборе коэффициентов ПИ-регуляторов возможна достаточно точная регулировка токов и достижение . В таком случае, можно записать сокращенную модель двигателя

Заметим, что — это уставка тока намагничивания, которая определяется пользователем, обычно в процентах от номинального тока. Значение устанавливается ПИ-регулятором, обеспечивающим стабилизацию скорости :

(5)

Выходы ПИ-регуляторов (4) — это напряжения статора, которые подаются непосредственно на двигатель после обратного преобразования координат:

(6)

2. Модель в Simulink

Алгоритм векторного управления реализован в виде модели Simulink, показанной на рисунке 1.

Рисунок 1. Модель векторного управления в Simulink.

Для упрощения отладки в модель включена возможность управления в скалярном (U/f) режиме, который является частным случаем векторного, в котором , — определяет амплитуду выходного напряжения, а — уставка выходной частоты, .

Входы модели:

theta — угловое положение ротора (электрический угол);
enable — если enable=1, то активизируется векторное управление, если enable=0 — то скалярное;
I_a, I_b — токи фаз A и B с датчиков (в А);
scalar_freq — задание частоты для скалярного режима (в Гц);
omega_ref — задание частоты для векторного режима (в рад/сек);
i_sd_ref — задание тока намагничивания для векторного режима (в А);
scalar_ampl — амплитуда выходного напряжения для скалярного режима (нормированное значение, от 0 до 1).

Выходы модели:

u_abc — выходы напряжения фаз A,B,C (нормированное значение от -1 до 1);
i_s_dq — ток статора во вращающейся синхронной системе координат (в А);
slip — скорость скольжения;
debug — выход для отладочных сигналов.

Модель состоит из нескольких укрупненных подсистем:

Scalar generator — генерация для скалярного режима;
FOC — реализация регуляторов векторного алгоритма (4) и (5), а также инверсное преобразование (6) для генерации трехфазного напряжения;
Current sensors — преобразование измеренных значений тока к вращающейся системе координат, согласно (1);
Slip calculation — вычисление скорости скольжения согласно (3) и первому уравнению в (2).

Центральной частью реализации является подсистема FOC, показанная на рисунке 2. В данном блоке векторное управление реализуется в точности так, как это было описано в предыдущем разделе.

Рисунок 2. Подсистема FOC, реализующая (4), (5) и (6).

С целью оптимизации, вычисление тригонометрических функций и сосредоточено в одном месте модели.

Для верификации реализованного алгоритма была создана модель, в которой описанный векторный регулятор соединен с моделью асинхронного электродвигателя из библиотеки SimPowerSystems. Результаты моделирования полностью подтверждают работоспособность алгоритма управления.

3. Аппаратная реализация

В качестве аппаратной платформы выбрана плата STM32F4DISCOVERY, процессор STM32F407 которой позволяет реализовывать сложные численные алгоритмы и содержит всю необходимую периферию. Фрагменты кода для генерации ШИМ и считывания инкрементального энкодера взяты из библиотеки STM32 FOC firwmare libraries v2.0 [3].

Для силового модуля был использован частотный преобразователь китайского производства. Он состоит из платы управления и платы ключей, соединяемых проводом-шлейфом. Плата STM32F4DISCOVERY была подключена вместо штатной платы управления.

В качестве датчиков тока использовались LEM HX03-P, сигнал с которых нормировался к интервалу 0 — 3 В с помощью операционного усилителя. Компенсация дрейфа нуля датчиков в микроконтроллере реализована с помощью скользящего среднего с интервалом 1 с для динамической калибровки нуля.

Задание скорости осуществляется с помощью переменного резистора, подключенного к микроконтроллеру. Для отображения числовой информации к микроконтроллеру также был подключен ЖКИ индикатор 20×4 типа AV2040.

Схема задействованных выводов микроконтроллера и их подключение представлена на рисунке 3.

Рисунок 3. Подключение микроконтроллера.

Модель Simuink алгоритма векторного управления была транслирована в код на языке Си с помощью встроенного в MATALB средства Embedded Coder [4]. В качестве стратегии интегрирования выбрана одношаговая схема (ode1). Вся арифметика алгоритма реализована с плавающей точкой одинарной точности (float), которую аппаратно поддерживает микроконтроллер STM32F4. Ядро процессора работает на частоте 168 МГц. Время расчета одного цикла алгоритма — 150 мкс. Частота дискретизации алгоритма была выбрана в 500 мкс.

В качестве компилятора исходного кода использовался KEIL uVision 4.70. Откомпилированная программа занимает 25 кБайт памяти.

Для отладки внутренние сигналы алгоритма управления выводились на два встроенных в микроконтроллер ЦАП.

Рисунок 4. Общий вид макета векторного управления электродвигателем.

Для испытаний был выбран двигатель DRS71S4 производства SEW Eurodrive, для которого известны параметры Ом, мкГн. Для тестирования механической нагрузки, шкив двигателя был соединен с управляемым серводвигателем, создающим постоянный тормозящий момент 2 Нм. Отработка профиля скорости показана на рисунке 5.

Рисунок 5. Уставка и действительное значение скорости .

Заключение

В результате испытаний было установлено, что алгоритм векторного управления может быть реализован с помощью автоматической генерации кода из модели в Simulink. Возможностей и быстродействия микроконтроллера STM32F4 достаточно для выполнения алгоритма векторного управления с вычислениями с плавающей точкой. Наличие встроенного в микроконтроллер АЦП, а также интерфейса с энкодером позволяет создать компактное и дешевое устройство для промышленной реализации частотного преобразователя, а также в исследовательских целях для разработки новых алгоритмов управления.

В заключение, стоит сказать, что все представленные модели, а также проект для компилятора Keil можно скачать в архиве по ссылкам
https://sites.google.com/site/akpc806a/VFD_Models_post.rar
https://sites.google.com/site/akpc806a/Project_STM32F4_FOC_Post.rar

Дата-центры (центры обработки данных, ЦОД) играют ключевую роль в инфраструктуре глобальной сети Интернет, осуществляя хостинг, обработку и хранение данных веб-сайтов, а также предоставляя облачные сервисы. Дата-центры давно стали системами критического применения. Отказ даже одного сервера вследствие проблем с электроснабжением с частичной потерей данных в большинстве случаев приводит к тяжелым финансовым последствиям как для пользователей, так и для владельцев дата-центра.

Современные дата-центры крупных интернет-компаний являются по сути промышленными объектами, которые занимают большие площади и требуют отдельного электроснабжения. Так например один из небольших дата-центров компании Facebook занимает 2300 м2 и с суммарным потреблением 5 МВт [1].

В этой связи, вопросы проектирования и моделирования резервных источников бесперебойного питания (UPS, ИБП) дата-центров как объектов критического применения являются актуальными и требуют всестороннего исследования.

Простейшим подходом к моделированию динамики систем с резервированием является применение цепей Маркова [2]. Однако, средняя наработка до отказа для систем бесперебойного питания зависит от состояния заряда батареи на момент отключения электрической сети. Естественным формализмом моделирования подобных систем является полумарковский процесс [2]. Вопросам моделирования восстанавливаемых систем с помощью полумарковских процессов посвящены монографии отечественных [3] и зарубежных ученых [4].

Полумарковская модель

Пусть отказ и восстановление электропитания подчиняются классическими требованиями для марковских процессов непрерывного времени: переходы между состояниями статистически независимы и подчинены экспоненциальному распределению с интенсивностью отказов и восстановления , соответственно. Таким образом, имеем два марковских состояния 1 – присутствие напряжения в сети, 2 – отказ электропитания с активацией бесперебойного источника. Кроме того, существует еще одно состояние 3, в которое переходит система при полном разряде батареи – полный отказ электроснабжения, в том числе резервного. Очевидно, что переход из 2 в 3 (как и из 2 в 1) не подчиняется условиям классического марковского процесса и зависит от состояния заряда батареи (показаны на рисунке 1 серым цветом). Пусть величина – время работы системы от аккумулятора. Переход из 2 в 3 происходит если за время электроснабжение не восстановлено. Переход из 3 в 1 происходит в соответствии с экспоненциальным распределением с интенсивностью восстановления .

Рисунок 1. Диаграмма состояний полумарковской модели ИБП.

Отсюда имеем следующую матрицу переходных вероятностей

где

– вероятность того, что электроснабжение откажет до или в момент времени ;

– вероятность того, что электроснабжение будет восстановлено до момента времени ;

– вероятность того, что электроснабжение не будет восстановлено до момента времени ;

– вероятность того, что электроснабжение будет восстановлено до или в момент времени ;

– единичная ступенчатая функция.

Интересующий параметр – стационарный коэффициент готовности, который выражается через финальную вероятность нахождения в состоянии 3:

Для вычисления запишем уравнения марковского восстановления [4]:

,   (1)

где , – вероятность нахождения в состоянии после состояния в момент времени , – символ Кронекера, , – вероятность того, что система не покинет состояния до момента времени :

.

Первое слагаемое в (1) удобно представить в виде диагональной матрицы с элементами :

.

Далее уравнение (1) может быть записано в операторной форме, если осуществить преобразование Лапласа для всех элементов матриц:

,
,
.

Если также учесть, что второе слагаемое в (1) – свертка, которая есть произведение операторных образов функций и , то в матричном операторном виде (1) записывается как:

.

Отсюда

,

где – единичная диагональная матрица.

Согласно предельной теореме для преобразования Лапласа, получаем матрицу установившихся вероятностей переходов:

.

Кроме того, вследствие эргодичности полумарковского процесса, все элементы столбцов матрицы окажутся равными между собой, т.е. мы можем взять любую строку в качестве финальных вероятностей, например первую

.

Непосредственные вычисления дают:

,
,
.

В силу относительной простоты выражений для , инверсия матрицы может быть выполнена аналитически и выражения для могут быть получены в явном виде. В настоящей работе был использован пакет символьных вычислений Symbolic Toolbox для системы Matlab в качестве инструмента автоматических преобразований формул.

Искомая вероятность для определения коэффициента готовности определятеся как:

.

Обратное преобразование Лапласа дает вероятность пребывания в аварийном состоянии в явном виде:

.

Отсюда непосредственно получается финальная вероятность и стационарный коэффициент готовности

,
.

Очевидно, что по заданному коэффициенту готовности можно определить требуемую емкость батареи , что является основной задачей выбора ИБП для ЦОД:

.

Из общеизвестных положений теории надежности [2], коэффициент готовности определяется как отношение наработки на отказ к общему периоду работы (наработки на отказ и времени восстановления ):

.

Среднее время восстановления для экспоненциального распределения равно , отсюда можно вычислить среднюю наработку на отказ:

.

Имитационное моделирование

Для верификации аналитической модели было проведено имитационное моделирование в среде Matlab.

Рассмотрим пример, приближенный к реальности, на основе ЦОД с полной нагрузкой 100 кВт и соответствующего ИБП типа Symmetra PX 100KW, обеспечивающего минут непрерывной работы системы от аккумуляторов. Под восстановлением работоспособности можно понимать время запуска и выхода на режим аварийных генераторов, взяв вполне реалистично минуты. Внеплановое отключение электричества в среднем происходит один раз в год, что дает среднее время между отказами минут. Для большей репрезентативности моделирования, представим гипотетическую ситуацию когда питание отключается в среднем каждые минут (что на 5 порядков больше реальной интенсивности отказов).

Моделирование полумарковского процесса осуществлялось до достижения 1000 переходов между состояниями. Заряд батареи варьировался в пределах минут с шагом 0.1. Каждый численный эксперимент для конкретного был проведен 500 раз с целью накопления необходимой статистики для оценки среднего и вычисления доверительных интервалов (с уровнем 0.95).

Результаты моделирования показаны на рисунке 2.

Рисунок 2. Результаты имитационного моделирования и аналитическая зависимость 

Как следует из представленных результатов, разработанная аналитическая модель для оценки полностью согласуется с данными имитационного моделирования.

Исходный код имитационной модели вместе со всеми необходимыми функциями для Matlab можно скачать по ссылке:
https://sites.google.com/site/akpc806a/SemiMarkov_ups.rar