ХАОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Целью работы было изучение нелинейных динамических систем. Большинство явлений природы нелинейные по своей сути. Модели погоды, турбулентный режим движения жидкостей являются примерами нелинейных процессов. Специальный случай нелинейной системы, рассматриваемый в данной работе, представляет хорошо известный всем математический маятник. Общей задачей классической механики является, как известно, определение координат и скоростей системы частиц или тела, подверженных действию определенных сил. Удивительным является то, что мы не в состоянии предсказать долговременное поведение для большинства орбит. При определенных условиях эти системы проявляют хаотическое поведение, т.е. их траектории оказываются очень чувствительными к начальным данным и к любым приближениям, сделанным в ходе вычисления траектории.
Чтобы движение маятника было более интересным, рассмотрим маятник с затуханием, у которого точка подвеса движется вертикально. Второй закон Ньютона для этой системы записывается в виде [1]:
,

где  - угол, образуемый маятником с вертикальной осью;  - коэффициент затухания,  собственная частота колебаний математического маятника, А – амплитуда внешней силы,  - частота колебаний вынуждающей силы. Начальные условия были зафиксированы:  рад/с,  сек^-1,  рад/с. Анализ движения маятника проводили с помощью фазовой плоскости, т.е. с помощью графиков угловой скорости  в зависимости от угловой координаты , а также зависимости угла отклонения маятника от времени . Для простого гармонического движения траекторией на фазовой плоскости является эллипс. Если имеется затухание и отсутствует внешняя сила, то траектория представляет собой скручивающуюся спираль.
Маятник возвращается в состояние покоя, точка, в которой ,  является так называемым в теории хаоса, устойчивым аттрактором. Далее изменяли амплитуду внешней силы (в дальнейшем параметр А) от 0 до 2. При последовательном изменении параметра А система – маятник выходит в установившийся периодический режим с периодом внешней силы , вплоть до некоторого значения амплитуды.
При дальнейшем увеличении амплитуды вынуждающей силы, система может быть стабильной (система имеет один период колебаний) и нестабильной (система имеет более одного периода колебаний). Стабильное состояние наблюдается до значения параметра А равного 0,61. При значении параметра А от 0,61 до 0,63 система имеет 3 периода колебаний математического маятника. Данное состояние является хаотическим.
При дальнейшем изменении амплитуды мы можем наблюдать чередование стабильных и нестабильных состояний системы. Причем, в хаотическом состоянии может происходить многократное увеличение количества периодов колебаний математического маятника. Наибольший интерес представляют значении параметра А, при которых поведение системы из стабильного состояния переходит в хаотическое наоборот.
На примере математического маятника, мы видим, что даже простые нелинейные системы необязательно обладают простыми динамическими свойствами. Описание динамических систем позволяет нам понять, каким образом можно воздействовать на нелинейную систему, чтобы добиться ее стабильного или нестабильного состояния.

1. Стрельцов А.Н. Хаос в динамических системах. — М.: Физматлит, 2019. — 320 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1: Механика. — М.: Наука, 2020. — 224 с.
3. Moon F.C. Chaotic Vibrations: An Introduction for Applied Scientists and Engineers. — Wiley, 2018. — 400 с.
4. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. — Ижевск: РХД, 2021. — 560 с.
5. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация: фундаментальное нелинейное явление. — М.: Техносфера, 2017. — 496 с.
6. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. — Cambridge University Press, 2022. — 478 с.
7. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. — СПб.: Лань, 2018. — 352 с.
8. Hilborn R.C. Chaos and Nonlinear Dynamics. — Oxford University Press, 2019. — 704 с.
9. Капица С.П. Неизбежность хаоса. — М.: Алгоритм, 2020. — 240 с.
10. Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. — Wiley, 2021. — 528 с.

Все статьи автора «author5632»