Введение. Одним из важных классов нелокальных уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа (впервые термин “нагруженное уравнение” появился, применительно к интегральным уравнениям, в исследованиях А. Кнезера [1]). 
Нагруженные дифференциальные уравнения и краевые задачи к ним являются объектом исследования многих авторов [2-4]. Повышенный интерес к исследования локальных и нелокальных краевых задач в теории дифференциальных уравнений с частными производными объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их важными практическими приложениями.
Постановка задачи. В односвязной области , где , рассмотрим уравнение

. (1)

Для нагруженного уравнения (1) исследуется следующая задача А:
Найти регулярное решение уравнения (1) в области _i, i= 1,2 непрерывное в  и непрерывно – дифференцируемое по х в вплоть до прямых  и  и удовлетворяющее условиям:

 (2)
 (3)
,  (4)
,  (5)

где ,  и  - заданные непрерывные функции, - заданные достаточно гладкие функции .
Для доказательства существования и единственности решения данной краевой задачи, редуцируем ее к системе интегральных уравнений.
Рассмотрим сначала решение задачи (1)-(5) в области O₂. В области  х>0, поэтому уравнение (1) будет иметь вид:
 (1^/)
Левая часть нагруженного уравнения (1^/) представляет собой уравнение теплопроводности. Рассмотрим для него нелокальную задачу (3), (4) и  в области , решение которой обозначим как .Используя дифференциальные и конструктивные свойства функции

которая является фундаментальным решением уравнения ФурьеL₀u = u_t – u_xx = f₁(x,t),нетрудно доказать справедливость леммы:
Лемма: Пусть существует регулярное в решение u(х,t) уравнения (1), которое непрерывно в  и имеет непрерывную при , производную по переменной х. Тогда u(х,t) является решением интегрального уравнения:

 (7)

 

где

.

Доказательство леммы проводится аналогично доказательству леммы 6.3.1. [5] при условии, что .
Выпишем теперь общее решение задачи (1)-(5) в области . Здесь уравнение имеет вид: 
 . (1^//)
Невырожденной заменой независимых переменных по формулам,  получаем задачу, аналогичную задаче (1^/), (3), (4) и  в терминах х₁ и t₁, решение которой дается формулой (7). Переходя к прежним переменным, получаем общее решение задачи (1^//) , (2), (5) и  в области , которое обозначим через :

 (8)

,

где

.

В уравнении (7)переходя к пределу при получаем:

 

. (9)

В уравнении (8 )переходя к пределу при получаем:

 

 . (10)

С учетом краевых условий Стеклова первого класса (2) и (3) из (9) и (10) получим:

 

 , (11)

 

. (12)

Вводя обозначения
,

 ,из (11) получим:

 . (13)

Если в уравнении (12) положить

 ,
то данное уравнение примет вид:

. (14)

Найдем теперь следы решения u(x,t) из областей O₁ и O₂ при х=0:

.

Т.к. требуется найти регулярное в  решение u(x,t) уравнения (1),
то u⁺(0,t) =u^—(0,t) и с учетом условий (2) , (3), получим:

.

С учетом условий (2) и (3) получим:

.

Вводя обозначения

получим:

. ( 15)

Находя u⁺(х,t) и u^-(х,t), затем устремляя х к 0 и в силу регулярности решения u(x,t) задачи (1) – (5), , с учетом краевых условий типа Стеклова первого класса (2) и (3), получим:

. (16)

, (17)

где

 

 ;
 .

Следовательно, для определения неизвестных функций , , и  получена система интегральных уравнений (13), (14), (15) и (17). Уравнения (13), (14), (15) представляют собой интегральные уравнения Вольтерра II рода, ядра которых содержат слабые (интегрируемые особенности) порядка .
Уравнение (17) не интегрируемо в обычном смысле, т.к. его ядра содержат особенность . Будем понимать интеграл, стоящий в левой части (16) в смысле конечной части по Адамару [3].
Таким образом задача Стеклова первого класса для нагруженного уравнения параболического типа редуцирована к нахождению решения системы (13), (14), (15) и (17), из разрешимости которой следует, что задача первого класса по терминологии Стеклова (2)-(5) для уравнения (1) имеет единственное непрерывное решение.

1. Kneser A. Rendicon ti del Circolo Matematico di Palermo. 1914, t.37 -P.169-197.
2. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. – М.: Наука, 2012. – 232 с.
3. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30. №2. – С.230-237.
4. Лайпанова А.М Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка // Доклады АМАН. – 2003. Т.6. №2. – С.57-59.
5. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. – М.: Высшая школа, 1995. – 301 с.

Все статьи автора «Желдашева Анна Олеговна»