Неоднородность взрыхленной почвенной среды вызы­вает колебания сил сопротивления движения рабочего органа. По этому колебания синусоидально-логарифмического рабочего органа будет иметь вариационный ха­рактер.
Рассмотрим перемещение рабочего органа на основе определения изгиба упругого консольного стержня, имеющего криволинейную ось, при этом модель включает:
1. Упругий модельный стержень, имеющий интенсивность массы, опре­деляемую как, (1)где - элементарный прогиб рабочего органа в данной отрезке рабочего органа, м;d – диаметр стержня, м;
γ- плотность материала рабочего органа кг/м; 
g – ускорение свободного падения, м/с;

при этом первый член представляет собой массу единицы длины рабочего органа, а второй функцию динамического ускорения.
2. Криволинейность оси рабочего органа описывается уравнением лога­рифмической спирали, (2)где r – радиус крепления рабочего органа, м;
k – коэффициент кривизны логарифмической спирали,
f - угол поворота радиуса логарифмической спирали, градус.
3. Изгибная жесткость рабочего органа определяется согласно выражению, (3)а, распределенная сила упругости
, (4)
где,  - четвертая частная производная по длине рабочего органа и определяет перемещение его в рассматриваемом сечении.
4. Обобщенная координата, учитывающая динамический изгиб u(t,x) является функцией времени t и координаты рассматриваемого сечения х.
5. Интенсивность внешней силы, т.е. изменчивость воздействия почвы на рабочий орган

Эта функция характеризуется зависимостью от времени, для чего рас­смотрим давление почвенной среды на рабочий орган. При этом рабочий орган ис­пытывает давление почвенной среды по нормали к касательной логарифмиче­ской спирали, действующих сил по двум направлениям: вдоль и поперек рабочего органа (рис.4.13).
Распределенные силы, действующие по этим направлениям, изменяется по закону:
 (6)
где, s – длина рабочего органа, м;
k – коэффициент кручения логарифмической спирали, 
q – давление почвы, Н/м².
Силы, действующие вдоль рабочего органа, обжимают его с двух сторон, вы­зывая изгиб во внутреннюю сторону кривизны рабочего органа, а силы, действующие в поперечном направлении стремится расправить рабочий орган.
Величина силы составляющего по оси х по мере приближения к середине по­степенно исчезает, действующие поперек достигает максимального значения. Кроме того, силы направленные по оси х являются знакопеременным. Схема нагружения рабочего органа показана на рис.1.
На основании этих функций строим функцию q (х)
. (7)
Обозначив,  и  тогда изменчивость воздействия почвы на рабочий орган учитываем при помощи двух гармоник вида (рис. 2) 
, (8)
где, x – длина рассматриваемой части рабочего органа, м;
q₁и q₂ - амплитуды интенсивности внешней силы, Н/м; 
s – длина рабочего органа дуги, м.

Эпюра действующих сил почвенной среды на рабочий орган

Рис. 1.

Далее принимаем время воздействия одного почвенного комка на рабочий орган 
, (9)
где d_cрк - средний диаметр комка, м; 
₀ - окружная скорость ротора, м/с. 

Окружная скорость определяется 
, (10)
где ω - угловая скорость ротора, с^-1;
R – расстояние от точки воздействия до оси вращения, м.
Функция импульса будет иметь вид:
 (11)

Схемы нагружения рабочего органа.

Рис.2.

Наиболее вероятное количество разрушаемых комков за один оборот ротора, можно принять в пределах N_k=2 … 4 и с учетом этого получим
 (12)
Решению этого уравнения разделим на две составляющие
У(t,x)=у₁(t,x)+у₂(t,x). (13)
В основании выше изложенного получим следующее дифференциальное уравнение колебаний рабочего органа
 (14)
Далее находим решение задачи для каждой гармоники, обозначив

тогда уравнение для первой формы колебаний
 (15)
В начале принимаем функцию решения в виде
, (16)
и находим две частные производные от этой функции

 (17)

Подставив (4.39) в уравнение (4.37) получим
 (18)
После сокращения членов на  и обозначив , получим

 (19)

Решим дифференциальное уравнение методом операционного ис­числения (19), для чего осуществляем переход к функциям изображения.

Учитывая начальные условия u₁(0)=0,  имеем

 (20)

Решения в изображениях будет

 (21)

Для того, чтобы от изображения перейти к оригиналу, воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и разложим на простые дроби

(22)

Составим систему уравнений коэффициентов

Решив систему уравнений, имеем

 (23)

Подставив (24) в (23) получим

Решение в изображениях, разложенных в простые дроби

 (24)

Уравнение для второй гармоники имеет вид
 (25)
Решения будем искать в виде
 (26)
Частные производные от этой функции
 (27)
Подставим (27) в (25)

Сокращаем на 

Обозначив,  и = _в получим

 (28)

Решая с помощью операционного исчисления, получим

. (29)

Подставив (27) и (29) в (13) имеем

. (30)

Производим выбор параметров рабочего органа, используя уравнение (30). Воспользуемся условием минимального прогиба рабочего органа под действием давления почвенной среды.
Для того чтобы уравнение принимала минимальное значение, должно быть:
e^at+e^-at=2; cosω_bt =1; a²>>ω²_B; x = s;
тогда

. (31)

Теперь произведем расчет гибкого синусоидально логарифмического рабочего органа, из условия минимальной амплитуды колебания конца рабочего органа, при x = S, d = 10 мм, k = 1,3734;

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М. Наука. 1981.
2. Отаханов Б.С., Умаралиев Ю.Ю, Тухлиев Г.А., Разаков А. Кинетическая энергия и скорость гибкого рабочего органа при ударе о комок // Научное обозрение: теория и практика. Научный журнал-2013-№2,-С. 63-66.
3. Терехов О.Н. Путрин А.С. Определение параметров рабочих органов, адаптированных под экстремальное состояние. Научные труды ВИМ, 2002, том 144, -С. 38-46.

Все статьи автора «Солиев Махаммаджон Исматуллаевич»