Рассматрим нестационарное течение упругой вязкопластичной жидкости. При течении аномальной жидкости в пласте образуется две области фильтрации, на границе которой величина градиента давления должен равняться предельному значению градиента, а давление – пластовому [1-2].
Для однотемпературного приближения уравнение энергии имеет вид: 
(1)
В дальнейшим будем пренебрегать продольной теплопроводностью, а также будем считать, что пористость достаточно мала, так что последнее слагаемое в первой части уравнения теплопроводности (1) не существенна.
Для температуры примем следующие начальноеи граничное   условия.
В начальный момент времени  на границе пласта  начинает работать добывающая галерея, на которой поддерживается постоянное давление . При таком воздействии в пласте образуются две зоны, а именно зона фильтрации жидкости и зона застоя. Граница раздела между этими зонами перемещается со временем по закону причем. В области фильтрации давление удовлетворяет уравнению[1-2]:

, , , (2)

с граничными условиями 
,  при  (3)
и вне области фильтрации давление равно пластовому давлению:,  при . (4)Необходимо найти распределение давления и температуры в области .
Скорость фильтрации будет определятся из следующего соотношения:

, при , (5)
, при .

Решение уравнения (2) найдено методом интегральных соотношений [1]. Распределение давления в области  имеет вид:
, (6)

, (7)

где - перепад давления.
В силу изложенного выше допущений, а также используя (8), уравнение (1) представим в виде:
 (8)
Уравнение (8) решается модифицированным методом характеристик. Уравнение характеристики имеет вид:

, (9)

 определяется из уравнения (3) с помощью интегрального соотношения, характеризующего условие материального баланса [1]: 
. (10)
Решение уравнения (9) имеет вид:
, (11)
где , ,

.

На рис.1 приведена динамика движения границы для перепада давления P=10⁶ Па при разных значениях начального градиента давления.
Уравнение для изменения температуры системы, вдоль характеристики в возмущенной области , имеет вид:
 (12)
Отсюда получено выражение, описывающее распределение температуры:

 (13)

Хотя получено аналитическое решение, анализ затруднен, так как зависимость  явно не выражена, поэтому ниже приводится численный расчет[3].
Результаты вычисления с использованием конечно-разностной схемы для плоско-параллельной задачи представлены ниже в виде графиков. На рис. 2 приведены зависимости температуры от времени при разных значениях начального градиента давления. Где кривые 1, 2 соответствуют значениям х=0,4 м; 0,6 м при G₀=0,95_*10⁵ Па/м; 3,4 – х=0,4 м; 0,6 м при G₀=0,5_*10² Па/м. На рис.3 иллюстрируется график зависимости температуры от расстояния в разные моменты времени, при разных значениях начального градиента давления и фиксированном перепаде давления (G₀=0,95_*10⁵ Па/м, 1-t=60 мин, 2-t=120 мин; G₀=0,01 Па/м, 3-t=60 мин, 4-t=120 мин, P=10⁶ Па). Из графиков следует, что при фильтрации аномальной жидкости вблизи границы температурного эффекта больше, чем при обычной жидкости, но в то же время глубина прогрева в первом случае меньше. Это обстоятельство объясняется тем, что в случае аномальной жидкости при заданном перепаде давления движение прекращается раньше, нежели в случае обычной жидкости.

 
Рисунок 1. Зависимость движения границы от времени (1-G₀=0,95_*10⁵ Па/м, 2-G₀=0,085_*10⁵ Па/м, 3-G₀=0,0075_*10⁵ Па/м, P=10⁶ Па)

Рисунок 2. Зависимость температуры от времени при различных значениях х (1-G₀=0,95_*10⁵ Па/м, х=0,4 м; 2 – G₀=0,95_*10⁵ Па/м, х=0,6 м, 3 – G₀=0 Па/м, х=0,4 м, 4 – G₀=0 Па/м, х=0,6 м, P=10⁶ Па)

Рисунок 3. Зависимости температуры от расстояния в различные моменты времени (G₀=0,95_*10⁵ Па/м, 1-t=60 мин, 2-t=120 мин; G₀=0,01 Па/м, 3-t=60 мин, 4-t=120 мин, P=10⁶ Па).

1. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидродинамика. М.: Недра, – 1993. – 416 c.
2. Алишаев М.Г., Розенберг М.Д., Теслюк Е.В. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений. – М.: Недра, 1985. – 271 с.
3. Хусаинова Г.Я. Исследование температурных полей при фильтрации аномальных жидкостей. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Уфа, 1998. – С. 14.

Все статьи автора «Хусаинова Гузалия Ядкаровна»