Учитывая, что в строительном вузе при преподавании курса математики особое место должны занимать задачи прикладной направленности, предлагается в последнем семестре обучения специалистов-инженеров по направлению: “Строительство уникальных зданий и сооружений” наиболее тесно “связать” с дисциплинами “Механика” и “Сопротивление материалов”. 
В качестве примера междисциплинарных связей при изучении дисциплины математика рассмотрим решение дифференциального уравнения балки на упругом основании с помощью тригонометрических рядов. Известно, что прогиб w однородной балки на упругом основании, находящейся под действием внешней нагрузки р(x) определяется уравнением

.

Задача сводится к определению коэффициентов p_n тригонометрического ряда, апроксимируещего функцию распределения нагрузки. Рассмотрим разложение произвольной функции в бесконечный тригонометрический ряд., где p_n являются коэффициентами ряда Фурье функции р(x).
Функцию p(x) распределения нагрузки выразим в виде:

.

Для этого введем новую переменную  и расширим определение функции p(x)=f (z) на интервале 0<x<2l, который соответствует интервалу 0<z<2 p. 
Примем, что при x>l имеет место равенство:

или

(2p - z)= -(z)

При разложении функции (z) в ряд Фурье все коэффициенты при косинусах исчезают и в разложении участвуют только члены, которые содержат синусы:

.

Подставляя в уравнение:

вместо w тригонометрический ряд

,

получим:

.

Допустим, что аналогичным путем решено уравнение для той же балки, но без упругого основания (k=0). Это решение имеет вид:

.

Получим для  формулу:

.

Подсчитаем разность между w и , получим:

.

Это равенство позволяет подсчитать влияние упругого основания, если известен изгиб балки без упругого основания. Если безразмерная величина  не очень мала, то знаменатели членов в правой части очень быстро возрастают, во многих случаях достаточно бывает сохранить в равенстве один или два члена. Таким образом, проблема сведена к вычислению изгиба балки и подсчета нескольких поправочных членов в соответствии с равенством:

.

Изгибающий момент

.

Если обозначить изгибающий момент при отсутствии упругого основания через , то следует, что:

,

где  - коэффициенты Фурье функции , то есть:

.

Применим эти результаты к случаю балки, которая нагружена сосредоточенной нагрузкой р в ее центре. Максимум момента

 =.

Тогда:

, для 0<x<
, для 0<x<
 для х< .

Если вместо х подставить (l – x), то получим выражение для М, удовлетворяющее х>. 
Если обозначить расстояние от нулевой точки кривой прогиба до точки приложения сосредоточенной нагрузки, в случае бесконечной балки при

и, принимая во внимание, что , получим:

Предположим, что , следовательно, максимальный момент (в точке х=), равен:

или:

Можно увидеть, что вычисление трех членов ряда Фурье дает поправки к значению , составляющие соответственно 65, 3.8, 0.5 процента. При точности, которая требуется обычно в таких вычислениях, можно ограничиться первыми двумя членами тригонометрического ряда.
Таким образом, на рассматриваемом примере показано, как ряды Фурье помогают решать задачи прикладной направленности и наглядно продемонстриррованы междисциплинарные связи курсов математики и сопротивления материалов.

Все статьи автора «Снежкина Ольга Викторовна»