Обычно, с того, что функция является асимптотическим (приблизительным) решением дифференциального уравнения, мы имеем в виду, что эта функция удовлетворяет уравнению с небольшим несоответствием. Малость этого несоответствия понимается как малость по некоторой равномерной метрике в предположении, что малый параметр стремится к нулю.

Функция называется слабым асимптотическим решением, если после подстановки этой функции в уравнение, существует расхождение, что малость в слабом смысле, как малый параметр стремится к нулю. В этом случае функционалы, как предполагается, зависят как и от времени так, и от параметра.

Например, при таком подходе, приближение обобщенной функции оказывается ее слабой асимптотикой и мы можем выбрать обобщенные функции, чтобы были начальные условия и использовать их приближения для построения решений. В этом случае мы получим малый параметр, который является либо параметром приближения, или же малым параметром в исходном уравнении. В последнем случае, этот исходный малый параметр берется параметром аппроксимации.

На самом деле, такой подход близок к идеям, предложенным Коломбо и другими авторами, которые построили различные алгебры обобщенных функций [1]. Разница в том, что в нашем подходе осреднения выбирается не из рассмотрения алгебраического построения, а от рассмотрения исходного дифференциального уравнения.

1. Некоторые формулы слабой асимптотики

1.1. Допустим  где ?? пространство Шварца. Рассмотрим такую функцию  и вычислим слабую асимптотику. Обращаясь  как к обобщенной функции, для любой функции  имеем

 (1.1.1)

Где последнее соотношение является формальным и означает, что левая часть может быть представлена ​​в виде асимптотического ряда, представленными на правой стороне,

 (1.1.2)

Определим по  элемент  такой, что

 (1.1.3)

Где последнее оценка (которая употребляется для любой функции ) понимается в обычном смысле [2]. Теперь для любого  пишем

 (1.1.4)

1.2. Допустим  Рассмотрим слабую асимптотику выражения  Имеем

 (1.2.1)

Наконец, мы получим следующую формулу, которая является однородной и симметричной в 

 (1.2.2)

Где

 (1.2.3)

1.3. Теперь    

Вычислим слабую асимптотику производной

 (1.3.1)

Так же, как и ранее, имеем

Где

 (1.3.2)

имеем

 (1.3.3)

Вычисляя исходное уравнение, получаем

 (1.3.4)

1.4. В предположениях при условии, что  функции  являются приближенными (слабая асимптотика) функций ,

 (1.4.1)

Следовательно, мы можем переписать (1.2.2) как

 (1.4.2)

Подобным образом, при выполнении условий раздела 2.3,  являются приближением функции Хевисайда. Следовательно, мы можем переписать (1.3.4) как

 (1.4.3)

2. Нелинейные структуры. Покажем, как приведенные выше формулы могут быть использованы для описания взаимодействия нелинейных структур.

2.1. Взаимодействие ударных волн для уравнения Хопфа [3]. Рассмотрим задачу Коши

_x  (2.1.1)

Где  положительные постоянные,  Приблизим начальное условие по формулам из раздела 1.3 и ищем слабые асимптотики решения в виде

 (2.1.2)

Вычисляя слабую асимптотику выражения ² по формулам раздела 1.3, получим

²

 (2.1.3)

где

 (2.1.4)

И, в отличие от раздела 1.3, имеем  но, как и раньше, 

Подставим приближение  в уравнение Хопфа и требуем, чтобы отношение  должно быть удовлетворено (это определение решения слабой асимптотики в этом случае) [4]. Кроме того, функция  должна быть слабо кусочно-непрерывна по  для каждого  Получим

 (2.1.5)

Слабый предел  решения слабой асимптотики  удовлетворяет классическому определению обобщенного решения (в виде интегрального тождества) и условию стабильности. Волновые процессы являются эффективным средством передачи энергии и информации. Поэтому исследование закономерностей распространения волн различной природы является важной и актуальной задачей. В этой статье был получен результат для описания взаимодействия нелинейных структур.

1. Данилов В.Г. “Новое определение слабых решений для полулинейных уравнений с малым параметром”. Успехи математических наук 51, №5, 184, 1997.
2. Данилов В.Г., Омельянов Г.А. и Радкевич Е.В. Условия типа-Гюгонио и слабые решения к системе фазовых полей. Европейский журнал прикладной математики 10, №1, 55-57, 1999.
3. Распространение и взаимодействие ударных волн для квазилинейных уравнений. Нелинейные исследования 8, №1, стр.135-169, 2001.
4. Распространение бесконечно узких солитонов. http://arxiv.org/abs/math-ph/0012002, 2000.

Все статьи автора «Сейдахмет Султанали Сейдахметулы»