УДК 519.7/530.12

О ВОССТАНОВЛЕНИИ СИГНАЛОВ В ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

Сучилин Владимир Александрович
Transoffice-Information GbR
Фильдерштадт (Германия), Технический директор

Аннотация
Рассмотрена постановка задачи, при которой процедуры дискретизации сигнала и его восстановления выполняются в разных инерциальных системах отсчета. Показано, что в этом случае необходимо учитывать относительную скорость перемещения инерциальной системы отсчета. В то же время, формулировка теоремы отсчетов дополняется т.н. Лоренц-фактором. Приводится пример восстановления гармонического сигнала в движущейся инерциальной системе отсчета.

Ключевые слова: восстановление сигнала, инерциальная система отсчета, Лоренц-фактор, теорема отсчетов


ON SIGNAL RECONSTRUCTION IN INERTIAL FRAMES

Soutchilin Vladimir
Transoffice-Information GbR
PhD, Chief Technology, Filderstadt (Germany)

Abstract
The formulation of the problem is considered, in which the procedures of sampling and reconstruction of a signal are performed in different inertial frames. It is shown that in this case it is necessary to take into account the relative velocity of the inertial frame. At the same time, the formulation of the sampling theorem is completed by so-called Lorentz factor. An example of the reconstruction of a harmonic signal in a moving inertial frame is given.

Keywords: inertial frame, Lorentz factor, sampling theorem, signal reconstruction


Рубрика: 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Сучилин В.А. О восстановлении сигналов в инерциальных системах отсчета // Современные научные исследования и инновации. 2018. № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2018/06/86983 (дата обращения: 24.09.2018).

Введение

В современной теории сигналов [1] де-факто исходят из того, что процедуры дискретизации и восстановления сигнала выполняются в одной и той же инерциальной системе отсчета (ИСО). В то же время с точки зрения специальной теории относительности (СТО), постановка задачи восстановления сигналов должна включать ситуацию, когда дискретизация сигнала выполняется в одной ИСО, а его восстановление в другой. В дальнейшем будем называть первую ИСО стационарной, а вторую движущейся. При этом все обозначения с апострофом (´) будут относиться к движущейся ИСО.

Согласно СТО связь между интервалами времени возникновения любого события в разных ИСО выражается преобразованием Лоренца [2]:

Δt´ = γ Δt (1)γ = 1 /

где:
γ - Лоренц-фактор ( γ ≥ 1 )
 - скорость движущейся ИСО
с - скорость света в вакууме

Последовательность отсчетов дискретного сигнала рассматривается ниже как ряд событий, следующих друг за другом с временным интервалом Δt и «возникающих» в той или иной ИСО.

Восстановление сигнала в движущейся ИСО

Рассмотрим сигнал с ограниченным спектром, дискретизированный с постоянным интервалом выборки в стационарной ИСО и подлежащий восстановлению в движущейся ИСО.

В соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона (далее, теорема отсчетов) такой сигнал может быть восстановлен в соответствии с выражением [1]:

S(t)´ =    (2)

где:
Δ - интервал выборки в движущейся ИСО
Δt - интервал дискретизации в стационарной ИСО
 - граничная частота спектра сигнала
s(k) - отсчеты сигнала, сформированные в стационарной ИСО

При этом согласно теореме отсчетов интервал выборки должен удовлетворять неравенству:

Δ ≤      (3)

С другой стороны, на основании соотношения (1) между интервалами выборки в стационарной и движущейся ИСО можно записать

γΔt ≤      (4)

Поскольку всегда γ>1, отсюда следует:

Δt ≤      (5)

Таким образом, для безыскажающего восстановления сигнала в движущейся ИСО интервал выборки этого сигнала в стационарной ИСО должен быть уменьшен в γ раз по сравнению интервалом в случае постановки задачи, когда дискретизация и восстановление сигнала происходят в одной и той же ИСО. Заметим, что неравенство (5) соответствует релятивисткой формулировке, которая при γ=1 сводится к стандартной теореме отсчетов [3].

Пример восстановления сигнала в движущейся ИСО

Рассмотрим единичный гармонический сигнал:

E(t) = cos(t)     (6)

Далее, в соответствии с теоремой отсчетов примем в нашем примере интервал выборки:

Δt =       (7)

Тогда согласно соотношению (1):

Δ =       (8)

В этом случае в соответствии с выражением (2) для сигнала, который должен быть восстановлен в движущейся ИСО, можно записать:

E(t)´ =     (9)

где:

e(k) = cos(πk/6)     (10)

Результаты компьютерного моделирования восстановления сигнала (6) в соответствии с выражением (9) представлены ниже в графической форме для трех значений Лоренц-фактора (точки на графике соответствуют отдельным отсчетам).

Рис.1 Восстановление гармонического сигнала при γ=1

Рис.2 Восстановление гармонического сигнала при γ=1,1

Рис.3 Восстановление гармонического сигнала при γ=1,2

Обсуждение полученных результатов

Из вышеприведенного примера следует, что при восстановлении сигналов в движущейся ИСО могут возникать гармонические искажения, величина которых возрастает с увеличением Лоренц-фактора, если не принять меры к уменьшению интервала выборки в стационарной ИСО согласно (5) [3].

В таблице ниже представлены соответствующие значения коэффициента гармонических искажений (КГИ) в зависимости от величины Лоренц-фактора.

Таблица 1. Коэффициент гармонических искажений в зависимости от γ

γ
КГИ (%)
1,00
0,00
1,05
6,38
1,10
12,89
1,15
18,14
1,20
23,39

Таким образом, КГИ фактически зависит от скорости движущейся ИСО. Следует отметить, что на практике наиболее высокая скорость, которая была достигнута космическим аппаратом «Helios 2», составляет ≈0,0229% скорости света [4], что соответствует величине Лоренц-фактора ≈1,000000026. В вышеприведенном примере КГИ при этом оценивается на уровне ≈0,000001%. Таким образом, что касается рассмотренной постановки задачи, эти искажения в настоящее время находятся в пределах допустимой погрешности измерения.

Выводы

Рассмотрена постановка задача восстановления сигнала в движущейся ИСО по выборке отсчетов, сгенерированной в стационарной ИСО. При этом показано, что при выборе интервала дискретизации необходимо учитывать значение Лоренц-фактора, которое зависит от относительной скорости перемещения движущейся ИСО. В связи с этим предложена расширенная формулировка теоремы отсчетов. Помимо часто теоретического аспекта, рассмотренный подход может быть полезным в соответствующих приложениях, требующих особо высокой точности восстановления сигнала, или при достижении уровня техники, обеспечивающего достаточно высокие скорости космических аппаратов.

Поделиться в соц. сетях

0

Библиографический список
  1. Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ. 2011: 151 с.
  2. Forshaw Jeffrey, Smith Gavin.  Dynamics and relativity. John Wiley & Sons: 2014: 344 p.
  3. Сучилин В.А. Relativistic Approach to Signals and Systems // Современные научные исследования и инновации. 2017. № 11 [Электронный ресурс] URL: http://web.snauka.ru/issues/2017/11/84761
  4. Книга рекордов Гиннеса // Guinness-World-Records. [Электронный ресурс] URL: http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/66135-fastest-spacecraft-speed


Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Сучилин Владимир Александрович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация