УДК 531, 621.91.002

МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ГЕТЕРОСТРУКТУР СНЕГОЛЕДОВЫХ МАСС

Вдовикина Ольга Анатольевна1, Кузнецов Никита Сергеевич2, Смогунов Владимир Васильевич3, Шорин Владимир Алексеевич4, Юрков Николай Кондратьевич5
1Пензенский государственный университет, кандидат технических наук, доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика и графика»
2Пензенский государственный университет, студент
3Пензенский государственный университет, доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика и графика»
4Пензенский государственный университет, кандидат технических наук, доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика и графика»
5Пензенский государственный университет, доктор технических наук, профессор кафедры «Конструирование и производство радиоаппаратуры»

Аннотация
В статье приведены результаты разработки моделей динамики гетероструктур снеголедовых масс: фундаментальной модели нестационарного теплообмена, конечно-разностной модели гетероструктур, модели организации внешнего и внутреннего итерационных процессов, модели процесса замерзания жидкого слоя. Установлены новые закономерности протекания нестационарных процессов в гетероструктурах снеголедовых масс, позволяющие получать более безопасные конструкции и технологии. Сформулированы рекомендации по целесообразному устройству снегозадержания и уменьшению сосулькообразования, а также предложены материалы и технологии нанесения новых композитов для безопасных конструкций.

Ключевые слова: гетероструктуры, динамика, модели, снеголедовые массы, фазовые переходы


MODELS OF DYNAMICS OF HETEROSTRUCTURES OF SNOW-ICE MASSES

Vdovikina Olga Anatolevna1, Kuznetsov Nikita Sergeevich2, Smogunov Vladimir Vasilyevich3, Shorin Vladimir Alekseevich4, Jurkov Nikolai Kondratievich5
1Penza State University, candidate of Technical Sciences, associate professor the Chair of Theoretical and applied mechanics and graphics
2Penza State University, student
3Penza State University, doctor of Technical Sciences, professor the Chair of Theoretical and applied mechanics and graphics
4Penza State University, candidate of Technical Sciences, associate professor the Chair of Theoretical and applied mechanics and graphics
5Penza State University, doctor of Technical Sciences, professor the Chair of Designing and manufacture of radio

Abstract
The article presents results of the development of models for the dynamics of heterostructures of snow-ice masses are presented: a fundamental model of nonstationary heat transfer, a finite-difference model of heterostructures, a model for organizing external and internal iteration processes, and a model for the freezing process of a liquid layer. New regularities of nonstationary processes in heterostructures of snow-ice masses have been established, which allow obtaining safer designs and technologies. Recommendations are formulated on the expedient arrangement of snow retention and reduction of soter formation, as well as materials and technologies for applying new composites for safe structures.

Keywords: dynamics, heterostructures, models, phase transitions, snow-ice masses


Рубрика: 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Вдовикина О.А., Кузнецов Н.С., Смогунов В.В., Шорин В.А., Юрков Н.К. Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс // Современные научные исследования и инновации. 2017. № 4 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2017/04/80911 (дата обращения: 18.04.2017).

Введение
Динамика гетерогенных структур с фазовыми переходами на границах играет важную роль в природных и искусственных системах [1].
Например, каждую зиму в г.Москве от сорвавшихся с крыш снеголедовых масс и сосулек страдает более 50 человек и до 300 автомобилей.
Самолеты, вертолеты, морские суда, портовые сооружения, нефтегазовые, космические объекты и др. подвержены обледенению. Эти процессы чреваты серьезными финансовыми потерями, гибелью людей.
Математическое моделирование динамики гетерогенных структур снеголедовых масс является актуальной задачей.
1. Фундаментальная модель нестационарного теплообмена
Модель описывается в рамках двухмерного нестационарного уравнения теплопроводности, граничные условия задают конвективный теплообмен с окружающей средой.
Рассматривается бесконечная структура прямоугольного сечения, составленная из разнородных материалов. Материалы различаются теплофизическими свойствами: теплопроводностью , удельной теплоемкостью С, коэффициентом теплообмена с окружающей средой . На верхних и нижней гранях происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой . Две другие грани теплоизолированы.
В начальный момент времени структура нагрета до температуры . Задача состоит в нахождении поля температур .
В математическом отношении задача сводится к решению нестационарного уравнения теплопроводности в двухмерной области G c соответствующими краевыми и начальными условиями:
;
;
.
Здесь  тепловой поток;  – коэффициент теплопроводности,  – удельная теплоемкость;  – температура в момент . Решение  ищется в цилиндре , основанием которого является прямоугольник G с границей дG.
2. Конечно-разностная модель гетероструктуры
Задача решается методом конечных разностей, в G вводится пространственная сетка



и сетка по времени

Здесь  – переменные шаги сетки по пространству в направлениях Х и Y и по времени, соответственно.
Задача решается на сетке , вводится сеточная функция температуры , определенная на . Разностная схема во внутренней области G записывается на крестообразном шаблоне с центром в узле 
На сетке  рассматривается ячейка с центром в узле  и вершинами в полуцелых узлах, то есть образованными пересечением прямых, проходящих через середины отрезков, соединяющих узлы шаблона, параллельно направлениям X и Y. Размеры ячейки по этим направлениям:


Площадь ячейки , разностные производные определяются



Здесь введены безиндексные обозначения для размеров ячейки и производных Вводятся также безиндексные обозначения для потоков через грани ячейки:



В соответствии с интегро-интерполяционным методом построения разностных схем уравнение теплового баланса для ячейки имеет вид:
 (2)
Здесь использовано обозначение 
Узлам, лежащим на границе дG, будут соответствовать шаблоны и ячейки несколько иного вида. Если дополнить шаблон в этих точках фиктивными узлами, то уравнение баланса в них запишется так же, требуется только положить нулевым соответствующие фиктивные шаги. В общем случае размеры ячейки будут:
 (3)
где .
Потоки через пограничные грани ячейки определяются в случае граничного узла из краевых условий исходной задачи:




Разностная схема на сетке :
, (4)
где




Таким образом, на каждом временном слое  получена нелинейная система алгебраических уравнений (4), в которую решение подобной системы на предыдущем слое входит как неизвестная функция. На нулевом слое задано начальное распределение:
.
3. Модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов.
Для организации внешнего интеграционного процесса вводится вектор-функция  и операторы , определенные равенствами:
, тогда система (4) запишется так:
. (5)
Для решения ее используется линейно-квадратический процесс. Система (5) переписывается в виде: 
(здесь  – значение функции на верхнем временном слое), применяется линейно-квадратичный итерационный процесс:
.
Верхним индексом помечается номер итерации. Здесь  и  линейные операторы
,
где например,


.
Внутренний итерационный процесс организуется следующим образом. На каждой итерации внешнего процесса линейная система разностных уравнений записывается без индексов внешней итерации, вводится диагональный оператор D так, что , и в операторном виде система имеет вид:
.
Для приближения решения этого оператора уравнения применяется двухслойная итерационная схема с чебышевским упорядоченным набором параметров
.
Здесь  – упорядоченный чебышевский набор параметров. В пространственной сеточной функции  в смысле некоторого скалярного произведения удовлетворяются условия самосопряженности, положительной определенности и ограниченности оператора 
,
,
,
,
гарантирующие сходимость внутреннего итерационного процесса.
Границы спектра  и  оператора  эффективно оцениваются по теории Гершгорина.
4. Импульс градиента температур
Конкретные исследования по описанию алгоритму проведены для следующих значений параметров линейной задачи:



где 
Температурное поле и характер его изменения во времени имеют общий для всех вариантов расчета характерный вид. Температура металла практически постоянна по объему, и при переходе из стали в наледь поверхности теплообмена со средой круто падает, то есть в точках наледи, лежащих на его поверхности по границе с металлом, возникает значительный градиент температуры, направленный вдоль поверхности наледи. Кривая зависимости градиента температуры в угловой точке от времени имеют характерную форму, близкую к форме импульса. Близость кривой к импульсной форме определяется величинами  и .
При уменьшении и  импульс сглаживается. Такая зависимость от  и  сохраняется при всех исследованных отношениях , причем от  острота и амплитуда импульса зависят существенно сильнее, чем от , отношение  слабо влияют на форму зависимости и определяет преимущественно амплитуду импульса.
Градиент температуры в угловой точке достигает своего максимального значения примерно в одно и то же время (около одной секунды с начала остывания) при различных значениях из исследованных интервалов. Крутизна фронта пропорциональна его амплитуде и растет с увеличением как  и , так и с увеличением отношения . В то же время крутизна спада слабо зависит от отношения  и определяется главным образом значениями  и .
Полученные результаты позволяют объяснить предпочтения в выборе материала кровли.
5. Модель процесса замерзания жидкого слоя
Математическое моделирование нестационарных тепловых полей состоит в решении нестационарного уравнения теплопроводности в двумерной области G с соответствующими граничными и начальными условиями:
 (6)
Особенностью рассматриваемой задачи является необходимость учета фазового перехода из жидкого в твердое состояние.
Для сквозного счета таких задач без явного выделения фронта затвердевания нужно учесть, что при температуре фазового перехода энергия Е, как функция температуры, испытывает переход величины , который называется теплотой фазового перехода, поэтому для энергии справедливо:
, где

Это выражение подставляется в уравнение энергии:
, и учитывая что 
есть дельта-функция Дирака, получается уравнение:
, справедливое и в области фазового перехода. Выражение  и  входят в уравнение одинаковым образом, причем  представляет собой сосредоточенную теплоемкость на поверхности .
Для перехода к разностной схеме заменяется дельта-функция приближенно – образной или размазанной функцией , где – величина полуинтервала, на котором функция отлична от нуля.
Таким образом, вводится сглаженная или эффективная теплоемкость , которая удовлетворяет условию  вне интервала .
Изменение энтальпии на интервале  сокращается, т.е.
.
На интервале можно, например, взять , что будет соответствовать интерполяции – функции с помощью прямоугольного импульса. На том же интервале производится сглаживание коэффициента теплопроводности . Вводится сглаженный, или, эффективный коэффициент , совпадающий с  при  и с  при .
Например, если задавалось

То можно взять

В результате получается задача для уравнения теплопроводности со сглаженными коэффициентами:
,
.
Моделирование процессов затвердевания границ льда и основы позволяют выбрать композитные тонкие слои по границам гетероструктур [1].

Выводы
1. Рассмотрена фундаментальная модель процесса теплообмена в гетероструктуре в форме нестационарного уравнения теплопроводности.
2. Описана конечно-разностная модель гетероструктур с введением пространственной сетки и применением интегро-интерполяционного метода построения разностных схем.
3. Предложена эффективная модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов с применением двухслойной итерационной схемы с чебышевским упорядоченным набором параметров.
4. Модель процесса замерзания жидкого слоя наледи построена без явного выделения фронта затвердевания с учетом теплоты фазового перехода.
5. Проведены системные исследования тепловых процессов в гетероструктурах, установлены закономерности протекания нестационарных процессов.
Заключение
1. Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс с фазовыми переходами на границах позволили установить новые закономерности нестационарных процессов обледенения наиболее распространенных в технике гетероструктур.
2. Использование установленных закономерностей в практике проектирования гетероструктур представляет новые возможности в получении более безопасных конструкций.
3. Наиболее распространенные гетероструктуры крыш зданий и сооружений целесообразно устраивать с разными коэффициентами трения точечно по всей крыше и узкой (около 1 %), полосе гидрофобного композита по краям крыш для снижения размера сосулек до безопасного. В качестве тонкослойных композитов для разных материалов крыш разработаны и испытаны эффективные, весьма долговечные и недорогие составы, а также технологии их нанесения с учетом конкретных условий применения.


Библиографический список
  1. Динамика гетероструктур. Фундаментальные модели. Смогунов В.В., Климинов И.П., Вдовикина О.А. и др. Пенза, Изд-во ПензГУ, 2002. – 598 с.


Все статьи автора «Шорин Владимир Алексеевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация