УДК 514.18

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ НА НАКЛОННУЮ ПЛОСКОСТЬ

Черкасова Елена Юрьевна
Уральский государственный университет путей сообщения
старший преподаватель кафедры «Проектирование и эксплуатация автомобилей»

Аннотация
В данной статье предлагается рассмотреть методику решения типовых задач инновационным способом ортогонального параллельного проецирования на три плоскости, одна из которых произвольного положения. Этот способ позволяет решать различные позиционные и метрические задачи по начертательной геометрии с помощью универсальной однотипной методике. Представленная в статье разработка дает возможность достигнуть результата с меньшим числом графических построений и может говорить о простоте и точности построений.

Ключевые слова: графические построения, метрические задачи, многоугольник, однотипность решения, плоскости проекций, плоскость проецирования, плоскость произвольного положения, простота и точность построения, треугольник преобразования, Универсальный метод


THE DECISION OF GEOMETRICAL PROBLEMS BY THE WAY OF ORTHOGONAL PROJECTION ON THE INCLINED PLANE

Сherkasova Elena Yuryevna
Ural State University of Railway Transport
Senior Lecturer of the Department of design and operation of motor vehicles

Abstract
This article is invited to consider the methods of common tasks decision by innovative way of orthogonal parallel projection on the three planes, one of which is of arbitrary position. This method allows to solve different the positional and metric problems on descriptive geometry using this universal way. The method described in the article gives an opportunity to achieve results with less graphical representations and speaks of its simplicity and accuracy of construction.

Keywords: converting triangle, graphical representations, metric problems, plane arbitrary position, plane of projection, polygon, projection on the plane, simplicity of construction, uniformity of solution, universal way


Рубрика: 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Черкасова Е.Ю. Решение геометрических задач способом ортогонального проецирования на наклонную плоскость // Современные научные исследования и инновации. 2017. № 4 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2017/04/80614 (дата обращения: 29.04.2017).

Одной из основных задач начертательной геометрии является решение инженерных задач графическим способом. И от того, как точно и быстро будут решены эти задачи, зависит дальнейшее применение этих решений. В своей основополагающей книге Гаспар Монж предлагал решать задачи проецированием на две взаимно перпендикулярные плоскости, но допускал и варианты, в которых проецирование возможно на неперпендикулярные плоскости [1, с.9].

Изучив разработки по применению не традиционных способов решения задач [2, с.4], автор создал свой оригинальный способ решения позиционных и метрических задач начертательной геометрии с помощью единой методики.

Суть способа состоит в том, что пространственный объект (точка, отрезок прямой, плоскость и т.д.) проецируется на три плоскости проекций: фронтальную, горизонтальную и произвольную, угол наклона которой выбирается в зависимости от условия решаемой задачи. Проецирующие лучи перпендикулярны соответствующей плоскости проекций. Фронтальная плоскость поворачивается на угол 90°, а третья на угол α до совпадения их с горизонтальной плоскостью проекций. В равной степени третью плоскость можно совмещать и с фронтальной плоскостью проекций. При решении задач используется прямоугольный треугольник, названный треугольником преобразования. Один катет этого вспомогательного прямоугольного треугольника – отрезок проецирующего луча, а второй – разность координат концов этого отрезка от плоскости проекций и может быть определен графически на горизонтальной или фронтальной проекции. Гипотенуза называется координатой преобразования и определяется построением. Вычерчивание треугольников преобразования и является основой данного метода.

Ранее в работе автора [3, с.2] уже подробно описывалось применение этого метода при решении более простых задач.

Ниже будет показано, что этим способом можно решать задачи, которые обычно решаются такими методами преобразования ортогональных проекций, как способ замены плоскостей проекций, включая последовательную замену двух плоскостей проекций, способ совмещения, способ вращения вокруг прямой уровня, а также способ прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка общего положения и угла его наклона к плоскости проекций[4, с.65] . Кроме того, этим способом можно определять видимость элементов на эпюре без использования конкурирующих точек.

В данной работе предлагается рассмотреть еще несколько примеров решения задач способом проецирования на наклонную плоскость.

Пример 1. Построить недостающую проекцию точки М, удаленной на 15 мм от прямой АВ.

Приводим алгоритм решения (рис. 1).

  1. Ось t проводим через фронтальный след прямой АВ перпендикулярно фронтальной проекции А2В2. В результате отрезок АВ спроецируется в точку, совпадающую с Аt.
  2. Геометрическим местом точек, удаленных на 15 мм от прямой АВ, есть поверхность цилиндра диаметром 30 мм. Поскольку принят метод прямоугольного параллельного проецирования, проекцией цилиндра на плоскость π4 будет окружность радиусом 15 м. Построим эту окружность с центром в точке Аt.
  3. В месте пересечения луча, выходящего из точки М2 и параллельного выбранному направлению проецирования, с осью t находим точку Мt, а с окружностью – точки Мπ1и Мπ2.
  4. С помощью прямоугольного треугольника определяем угол наклона ψ проецирующего луча к фронтальной плоскости проекций.
  5. Через точку Мt проводим линию преобразования, параллельную гипотенузе вспомогательного треугольника. С помощью треугольника преобразования находим координаты преобразования y. Численно они одинаковы, но имеют разные знаки.
  6. Откладываем значения у на линии связи, проведенной перпендикулярно оси х из точки Мt, в положительном направлении от оси х для точки М1 и в отрицательном – для точки М2.
  7. Через полученные точки проводим прямые параллельные горизонтальной проекции проецирующего луча, до их пересечения с линией связи, проведенной из заданной проекции M2 перпендикулярно оси х. Полученные точки M11 и M12 есть искомые горизонтальные проекции точек М1 и М2 пространства.

    Рисунок 1. Решение задачи 1

Пример 2. Определить натуральную величину треугольника ABC.

Подобные задачи также могут быть решены рассматриваемым способом. Направление проецирования в этом случае следует выбирать совпадающим с направлением плоскости – перпендикуляром к ней.

Решение приведено на рис. 2. При этом выполнены следующие этапы.

  1. Из точки В к плоскости заданного треугольника восставлен перпендикуляр BD. Направление проецирования выбрано совпадающим с направлением перпендикуляра.
  2. Ось t выбрана перпендикулярно горизонтальной проекции направления проецирования.
  3. Описанным выше способом определен угол α и координаты преобразования точек A, B и С.
  4. Через точку Ct параллельно гипотенузе вспомогательного треугольника проведена линия преобразования, на ней отложены найденные ранее координаты преобразования, а с помощью перпендикуляров на соответствующую линию связи – искомые проекции вершин треугольника и, следовательно, его натуральная величина.

Приведенное описание пригодно для нахождения натуральной величины любой плоской фигуры, однако, учитывая то, что заданная плоскость и плоскость проецирования π4 параллельны друг другу, можно предложить более простое решение.

Рисунок 2. Решение задачи 2

Рассмотрим рис. 3. На нем в плоскости, перпендикулярной оси t, показаны наклоненные под углом απ заданная плоскость и плоскость π4. Отрезок АВ заданной плоскости, совпадающий по направлению с линией наибольшего ската плоскости, имеет проекцией равный ему отрезок AπBπ.

Его численную величину графически можно определить из прямоугольного треугольника А2В2b. В нем катет bВ2 есть горизонтальная проекция линии наибольшего ската, а А2b
разность аппликат концов отрезка, а гипотенуза – искомая проекция, она же натуральная величина отрезка.

Из изложенного следует, что если ось t расположить параллельно следу (или горизонтали) заданной плоскости, то все горизонтали заданной плоскости будут проецироваться на плоскость π4 без искажения. С другой стороны, определяя натуральные величины линий наибольшего ската изложенным выше способом, получим неискаженное изображение заданной фигуры и во втором направлении, перпендикулярном первому.

Кроме того, из рассмотрения рис. 3 следует, что точка заданной фигуры с аппликатой z=0 проецируется ниже оси t. Для ее точного определения необходимо строить дополнительный прямоугольный треугольник. Однако, для упрощения построений, будем считать, что ось t совпадает с горизонтальным следом заданной плоскости, но методом плоскопараллельного переноса расположена в удобном месте чертежа.

Рисунок 3. Упрощенное решение задачи 2

Как известно, построение изображения с однозначным определением координат любой точки в двух взаимно перпендикулярных направлениях есть цель нахождения натуральной величины плоской фигуры и эта цель достижима излагаемым способом, причем, как показано ниже, в большинстве случаев, более простыми построениями.

Так, в подтверждение этого тезиса, на рис. 4 показано решение предыдущей задачи методом проецирования на плоскость, параллельную заданной.

  1. Ось t выбрана параллельно горизонтали заданной фигуры в произвольном месте.
  2. С использованием горизонтальной проекции линии наибольшего ската (B1F1) на фронтальной проекции построен вспомогательный прямоугольный треугольник с катетами, равными ∆z и B1D1, гипотенуза которого, в данном случае, будет линией преобразования.
  3. Из проекции C2 проводим линию, параллельную оси x, до пересечения с линией преобразования.
  4. На гипотенузе отмеряем отрезки 12, 13, 1B2 и откладываем их на соответствующих линиях связи, перпендикулярных оси t. Полученные точки есть вершины треугольника, спроецированного на плоскость π4 в натуральную величину.


Рисунок 4. Решение задачи 2 методом проецирования на плоскость, параллельную заданной

При желании, решение этой же задачи может быть еще упрощено (см. рис.5).

Ось t принята совпадающей с горизонтально заданного треугольника, проходящей через точку A1. Тогда точка A1 одновременно будет являться и совмещенной своей проекцией. Отложив на линии связи точки B1 отрезки, равные 3B2 и 32, построенные аналогично приведенному выше варианту, и проведя перпендикуляр на линию связи точки C1, получим новые проекции точек Bπ и Cπ и вместе с тем натуральную величину треугольника.

В принципе, последний вариант решения подобен известному как метод вращения вокруг прямой уровня.


Рисунок 5. Упрощенное решение задачи 2 методом проецирования на плоскость, параллельную заданной

На рис. 6 показан вариант решения, который может быть особенно эффективен при определении натуральной величины многоугольника.

Пример 3. Определить натуральную величину параллелограмма ABCD.

Принципиальных отличий от приведенных выше вариантов здесь нет. Упрощение решения достигнуто за счет достроения плоской фигуры до треугольника таким образом, чтобы одна его сторона стала горизонтальным следом плоскости в которой лежит заданная фигура.

Ось t принята совпадающей с этим горизонтальным следом.

В этом случае две точки (в приведенном варианте три) искомой фигуры будут лежать на оси t, и для решения задачи необходимо с помощью построения вспомогательного прямоугольного треугольника B212 построить одну новую совмещенную проекцию точки – вершину треугольника Bπ. Остальные вершины параллелограмма найдены путем построения линий связи, перпендикулярных оси t, и проходящих через горизонтальные проекции заданной фигуры.


Рисунок 6. Упрощенное решение задачи 3

Сказанное свидетельствует об определенной универсальности метода. Естественно, речь не идет о замене известных методов решения задач начертательной геометрии другими, но пользователю предоставляется право выбирать. При этом следует учесть, что использование описываемого метода помимо однотипности решения различных задач во многих случаях позволяет достигнуть результата с меньшим числом графических построений, т.е. проще и точнее.

Комментируя последнее высказывание, будем исходить из тезиса, что более простое при прочих равных условиях дает и более точное решение, так как каждое ручное графическое построение неизбежно приносит в ответ определенную ошибку, которые в итоге накапливаются и искажают результат. В литературе имеются даже количественные оценки точности построения. Так, А.И. Иерусалимский предложил каждой графической операции (измерить, отложить, провести и т.д.), где пользователь не может достичь абсолютной точности, присваивать условный коэффициент простоты [5, с.209]. В частности, следуя логике автора, сложность построения, к примеру, перпендикуляра к прямой оценивается коэффициентом 9. Суммарный коэффициент есть сумма операционных. Из сказанного вытекает, что в этой концепции количество графических операций – синоним точности построения.

Не оспаривая правомерности подобной методики оценки сложности решения, примем в первом приближении, опять же для простоты рассуждений, что простота определяется только количеством графических операций. Более того, для сравнения решений одной и той же задачи, приведенных на рис 6 и рис. 210 [6, с.85] , возьмем лишь одну операцию измерить-отложить, как самую «ошибочную».

В методе решения на рис. 6 таких операций 10, а на рис. 210, где приведено решение такой же задачи традиционным способом замены плоскостей проекций – 16. Естественно, не будем утверждать, что второй путь в 1,6 раза сложнее, но однозначно можно утверждать, что излагаемый метод, по крайней мере, не сложнее других и даже несколько проще и точнее.

Используя литературные данные, предложен непротиворечивый метод решения позиционных и метрических задач, частными случаями которого могут служить традиционные методы начертательной геометрии.

К достоинствам метода, во-первых, следует отнести его универсальность, так как по одной методике можно решать различные задачи. В частности, изложенный метод применим к решению задач, в которых обычно используются методы преобразования чертежа, в том числе и последовательную замену плоскостей проекций.

Во-вторых, показано, что рассматриваемым методом в ряде случаев решение может быть получено меньшим числом графических построений, что обычно равносильно точности решения.

Применение излагаемого метода делает практически не нужным метод конкурирующих точек, так как видимость элементов чертежа в данном случае определяется фактически автоматически. Подтверждение этому может служить решение соответствующих задач в последующих разработках автора.


Библиографический список
  1. Гаспар Монж. Начертательная геометрия –  М., Изд-во АН СССР, 1947.
  2. Савельев Ю.А. Начертательная геометрия (часть1): учеб. пособие –  Екатеринбург, УрГУПС, 1998.
  3. http://web.snauka.ru/issues/2016/10/73026
  4. Фролов С.А. Начертательная геометрия. Способы преобразования ортогональных проекций: учеб. пособие для вузов. –   3­-е изд., испр. и доп. –  ­ М. : Высш. шк., 2002.
  5. Иерусалимский А.М. Начертательная геометрия: учебник для техн. специальностей вузов/ Под ред. проф. Н. Н. Иванова. – 2-е изд., перераб   – М.: Росвузиздат, 1963.
  6. Гордон В.О., Семенцов – Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии:   учеб. пособие/ Под ред. Ю.Б.Иванова. – 23-е изд., перераб. – М.: Наука, 1988.


Все статьи автора «Черкасова Елена Юрьевна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация