УДК 512

РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ К ЕГЭ

Габитова Альбина Ринатовна
Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова

Аннотация
В статье рассмотрены понятие производной. Разработан комплекс задач с применением производной для подготовки учащихся старших классов к ЕГЭ, для каждого типа задач разработан их алгоритм решения.

Ключевые слова: ЕГЭ, производная


DEVELOPMENT OF COMPLEX TASKS USING THE DERIVATIVE TO PREPARE HIGH SCHOOL STUDENTS FOR THE EXAM

Gabitova Albina Rinatovna
Magnitogorsk State Technical University G. I. Nosov

Abstract
The article describes the concept of the derivative. The complex of problems with the use of derivatives to prepare high school students for the exam, for each type of task to develop an algorithm for solving them.

Рубрика: 13.00.00 ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Габитова А.Р. Разработка комплекса задач с применением производной для подготовки учащихся старших классов к ЕГЭ // Современные научные исследования и инновации. 2017. № 2 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2017/02/77673 (дата обращения: 02.06.2017).

Введение понятия производной в школьный курс математики до сих пор вызывает споры между методистами. Одни считают, что производную достаточно изучать только в вузе, другие считают ее введение необходимым. Так, например, Мордкович А.Г. считает, что функциональная линия должна быть ведущей при обучении математике в школе. Вне зависимости от этих разногласий учитель стоит перед необходимостью учить детей элементам анализа. Пропедевтика математического анализа начинается в средней школе, а ключевое понятие математического анализа «производная», вводится в курсе средней школы [3].

Все вышеизложенные противоречия между специалистами, в частности, связаны со сложностями учащихся в усвоении школьниками понятия производной . Для того чтобы овладеть производной учащимся необходимо иметь хорошие представления о бесконечно малых и больших величинах, пределе, приращении функции, дифференцировании и др.

Наше исследование связано с изучением сложившихся тенденций в обучении решению задач, связанных с производной функции в старшей школе и разработки комплекса заданий, способствующих помочь учащимся, учителю в сдаче Единого государственного экзамена.

Для того, чтобы составить представление о типах задач на применение производной в базовом уровне ЕГЭ по математике обратимся к открытому банку заданий Федерального Института Педагогических Измерений (ФИПИ) [1], так как именно он является первоисточником всех заданий ЕГЭ, все остальные, представленные в очень большом количестве электронные и бумажные издания, интернет сайты и так далее составлены на основе именно этого интернет ресурса.

Открытый банк заданий базового уровня ЕГЭ по математике содержит разделы:

- алгебра;

- уравнения и неравенства;

- функции;

- начала математического анализа;

- геометрия;

- элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

Задания на применение производной представлены в двух разделах: функции и начала математического анализа, причем какой-то системы по их размещению нет.

Мы полагаем, что для эффективного обучения решению этих задач необходимо разбить их по типам в соответствии с темами, способами решения и необходимыми знаниями для решения.

Для лучшего обзора представим основные типы задач с применением производной в виде таблицы 1.

Таблица 1- Основные типы задач с применением производной

Уровень

Базовый

Профильный

№ задания

14

В8

В12

Типы      задач

Задания на характеристики функции и производной

Задания на определение по графику производной функции свойств функции.

Задания на нахождение точек экстремума функции

Задания на определение значения производной функции в точке

Задачи на определение по графику функции свойств или значений  производной

Задания на нахождение наименьшего и наибольшего значений функции

Задания на нахождение по графику функции, с проведенной касательной к точке графика значения производной в этой точке

Задания на определение по графику функции свойств касательной

Задания на механический смысл производной функции

Проверяемые требования (умения) в заданиях В8 по кодификатору:

- Определять значение функции по значению аргумента при различных спо­собах задания функции;

- Описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

- Строить графики изученных функций;

- Вычислять производные и первообразные элементарных функций;

- Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций.

Рассмотрим некоторые примеры задач.

  •   Подготовка  к решению задачи 14 базового уровня

Пример 1.  На рисунке 1 изображен график функции  и отмечены точки -6, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

 

Рисунок 1

Алгоритм решения задач на определение значения производной в точке по графику

  1. Определить в каких точках графика касательная возрастает
  2. Распределить данные в ответе положительные значения по правилу: чем «круче возрастает касательная», тем больше значение
  3. Определить в каких точках графика касательная убывает
  4. Распределить данные в ответе отрицательные значения по правилу: чем «круче убывает касательная», тем меньше значение
  5. В точках, в которых касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, значение производной равно нулю
  •     Геометрический смысл производной

Пример 2. Найдите значение параметра, при котором прямая  будет являться касательной к графику функции  .

Решение представлено рисунке 2.

Рисунок 2 – Решение примера 2

Алгоритм решения задачи с параметрами на геометрический  смысл производной

  1. Найти производную функции
  2. Найти угловой коэффициент   касательной по ее уравнению
  3. Найти абсциссу точки касания, для этого решить уравнение
  4. Подставить, найденное значение  в уравнения касательной или функции и найти значения параметров
  •  Физический смысл производной функции

Пример 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону  , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите расстояние, пройденное точкой от начала движения до остановки.

Решение. Найдем момент времени, когда скорость точки равна нулю. Так как , то из уравнения  находим . Тогда искомое расстояние равно  (м).

Ответ:  25 м.

Таблица 2  – Алгоритм решения задачи на физический  смысл производной

1. Определить, что надо найти в задаче

Расстояние от начала движения

Скорость

Время

2. Найти производную функции

3. Найти время остановки, для этого решить уравнение

4. Подставить найденное значение  в

3. Подставить значение  в

3. Подставить значение  в

4. Решить уравнение, найти t  

  •  Промежутки монотонности

Пример 4. На рисунке 3 изображен график функции , определённой на интервале (—1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Рисунок 3

Алгоритм решения задачи на нахождение по графику функции  количества целых точек, в которых производная положительная (отрицательная, равна нулю)

  1. Если необходимо найти точки, в которых производная положительная, выбрать из указанных на графике точек те, в которых функция возрастает;
  2. Если необходимо найти точки, в которых производная отрицательная, выбрать из указанных на графике точек те, в которых функция убывает;
  3. Если необходимо найти точки, в которых производная равна 0, выбрать из указанных на графике точек те, в которых функция имеет экстремум.
  4. Посчитать количество этих точек.
  •    Точки экстремума

Пример 5. На рисунке 4 изображен график функции , определенной на интервале (-6;8). Найдите: а) количество точек, в которых касательная к графику функции  параллельна прямой y = -1000000; б) сумму точек экстремума функции  .

Рисунок 4

Алгоритм решения задания на точки экстремума (точки, в которых касательная к графику функции параллельна прямым вида )

  1. Найти точки экстремума функции (экстремум –это абсцисса );
  2. Выбрать те, которые принадлежат указанному интервалу
  3. Если необходимо сложить их значения
  •   Промежутки монотонности

Пример 6. На рисунке 5 изображен график  - производной функции , определенной на интервале (—1; 13). Найдите промежутки возрастания функции  . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Рисунок 5

Алгоритм решения зада на нахождение промежутков возрастания (убывания) функции по графику производной

  1. Если необходимо найти промежутки возрастания функции, то на графике производной ищем промежутки, в которых производная положительная, то есть график расположен выше оси абсцисс
  2. Если необходимо найти промежутки убывания функции, то на графике производной ищем промежутки, в которых производная отрицательная, то есть график расположен ниже оси абсцисс
  3. Находим сумму целых значений x из этих промежутков, либо находим длину наибольшего (наименьшего) из промежутков, либо количество этих точек.

Анализ школьных учебников, учебных пособий и научно-методической литературы по проблеме исследования показал, что несмотря на то, что теоретические знания и практические умения на тему производной необходимы для решения одной задачи базового и двух задач профильного уровня в школьной литературе не только нет выделенного блока таких заданий, но и вообще отсутствуют прототипы некоторых заданий, что в свою очередь затрудняет подготовку к ЕГЭ.

В открытом банке задания на производную ФИПИ расположены в хаотичном порядке, их изучение позволило нам разделить их на типы по содержанию и способу решения.

Подробный разбор каждого типа заданий на производную, позволил выделить различные приемы и способы решения задач на производную, а также выявить в них «подводные камни», «задачи-ловушки» и так далее.

Изучение элементов математического анализа в школе имеет несомненную важность в развитии представлений учащихся о структуре математики и ее приложений. Именно приложения производной, ее геометрическое и механическое толкования и являются принципиальными при формировании содержания задач ЕГЭ. Это вопросы применения производной в исследовании функций, в прикладных задачах и определение по графику производной свойств функции, а также обратная задача.

Систему упражнений для подготовки к ЕГЭ рекомендовано строить так, чтобы она способствовала систематизации основополагающих понятий, давала новое видение изученного материала и  его качественное усвоение.

В нашей работе мы выделили основные типы задач, содержащихся в открытом банке заданий ФИПИ ЕГЭ, обратили внимание на сложности в  их решении, рассмотрели требования ФГОС и ЕГЭ, провели анализ учебных пособий и задач ЕГЭ по математическому анализу, составили систему задач, дающую представление учащимся и учителю, о предлагаемых задачах на ЕГЭ. Таким образом, задачи исследовательской работы выполнены.


Библиографический список
  1. Федеральный институт педагогических измерений [Электронный ресурс] URL: http://www.fipi.ru/. Режим доступа: (Дата обращения: 9.06.2016).
  2. Стандарты образования. Электронный журнал об образовании и воспитании [Электронный ресурс] URL:  http://www.edustandart.ru. Режим доступа: (Дата обращения: 19.05.2016).
  3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы./Задачник для общеобразовательных учреждений /- 8-е изд., стер. – М., Мнемозина,- 2007. – С315.
  4. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: концептуальная мето­дика, рекомендации, советы, замечания. Обучение через задачи /- М., Школа-Пресс, -1999. – С272.
  5. Стандарты образования. Электронный журнал об образовании и воспитании [Электронный ресурс] URL:  http://www.edustandart.ru. Режим доступа: (Дата обращения: 19.05.2016).


Все статьи автора «Габитова Альбина Ринатовна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: