Для аналитического исследования математической модели рассмотрим следующую систему:
с граничными условиями вида:
В нашей системе (1): — параметр шероховатости земной поверхности, — объемная концентрация положительных и отрицательных ионов, — подвижность ионов, — напряженность электрического поля, — коэффициент рекомбинации ионов, — интенсивность ионообразования ионов, — элементарный заряд, — электрическая постоянная.
Для аналитического исследования предположим в (1): ,
Тогда запишем второе уравнение (1) следующим образом:
Уравнение (3) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Решение ищется в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть:
Рассмотрим соответственно однородное уравнение:
И для его решения определим корень соответствующего характеристического уравнения:
т.е. .
Из (6) получаем:
С учетом (7) общее решение однородного уравнения:
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
Учитывая (8) и (9), запишем решение уравнения (1):
С помощью граничного условия (2) найдем значение константы :
Таким образом, с учетом (10) и (11) получаем решение нашего уравнения:
Для полученного решения построим графики зависимости при разных значениях напряженности и при .
Рисунок 1. Распределение при и ,
Рисунок 2. Распределение при и
Рисунок 3. Распределение при и
На основании полученного решения для рассчитаем теперь напряженность электрического поля. Используем уравнение Пуассона:
при выполнении условия:
где, зная, что выполнено соотношение (14) получаем следующее:
Проинтегрировав выражение (16), запишем конечный результат для напряженности электрического поля в виде
Так же построим график зависимости при .
Высота приэлектродного слоя изменяется в зависимости от значений поля и интенсивности ионообразования .
Рисунок 5. Распределение при и
Рисунок 6. Распределение при и
Рисунок 8. Распределение при и
Библиографический список
- Thomson J.J. Conduction of electricity through gases Cambrige:1903.566 p.
- Куповых Г. В., Клово А.Г. Моделирование электрического состояния приземного слоя // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях», Ставрополь, 2000 г.
- Swan W.F.G. The atmospheric potential gradient and a theory as to the cause of its connection with other phenomena in atmosphere electricity, together with certain conclusionsas to expression for the electric force between two parallel charged plates // Terr. Magn, Atmos.Elec.,18,1913.P.163-184.
- Tuomi T.J. The atmospheric electrode effect over snow // J.Atm. and Terr.Phys.1982.V.44.P.737-745.
- Самарский А.А., Гулин А.В., Численные методы математической физики, 2003.
Количество просмотров публикации: Please wait