УДК 514.18

СПОСОБ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

Черкасова Елена Юрьевна
Уральский государственный университет путей сообщения
старший преподаватель кафедры «Проектирование и эксплуатация автомобилей»

Аннотация
В статье изложен инновационный универсальный способ ортогонального параллельного проецирования на три плоскости, одна из которых произвольного положения. Этот способ предназначен для решения различных классических задач по начертательной геометрии и позволяет достигнуть более точного результата с меньшим числом графических построений. С помощью этого метода возможно решать задачи любой сложности по единой методике.

Ключевые слова: метрические задачи, плоскости проекций, плоскость, плоскость произвольного положения, прямая, точка, треугольник преобразования, универсальный способ, эпюр


THE WAY OF ORTHOGONAL PARALLEL PROJECTION ON THE THREE PLAINS ONE OF WHICH IS OF ARBITRARY POSITION

Сherkasova Elena Yuryevna
Ural State University of Railway Transport
Senior Lecturer of the Department of design and operation of motor vehicles

Abstract
The paper contemplates the innovative way of orthogonal parallel projection on the three plains one of which is of arbitrary position. This method is intended to solve different classical problems on descriptive geometry and helps to achieve better results with fewer graphic constructions. Through this method onecan solve problems of any difficulty using the same methodology.

Keywords: diagram, dot, metric problems, plain arbitrary position, plains of projection, projection, straight, transformation triangle, universal way


Рубрика: 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Черкасова Е.Ю. Способ ортогонального параллельного проецирования на три плоскости, одна из которых произвольного положения // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 10 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2016/10/73026 (дата обращения: 20.11.2016).

Гаспар Монж на первых страницах своей основополагающей книги [1, с.9] писал: «Высказанное здесь не зависит от положения плоскостей проекций и имеет место, каков бы ни был угол, составленный этими двумя плоскостями». И далее: «…плоскости проекций выбирают всегда перпендикулярными между собой, за исключением разве случаев, когда неперпендикулярные плоскости проекций представляют какие-либо упрощения».

Из приведенных цитат выделим два момента. Во-первых, высказывания относятся к двум плоскостям проекций. Во-вторых, допустимы варианты, в которых проецирование на неперпендикулярные плоскости дает более простое решение [2, с.5].

Ниже изложен способ ортогонального прямоугольного проецирования на три плоскости проекций, в котором третья плоскость выбирается под произвольным углом к одной из первых двух плоскостей проекций.

Возможность решения задач излагаемым ниже способом показана в [3, с.110]. Его разработка и расширенное применение дало следующие положительные результаты.

  1. Непротиворечивость традиционным методам решения аналогичных задач. Более того, они являются частным случаем рассматриваемого, что делает его более общим в сравнении с применяемыми.
  2. Применимость к решению всех метрических и позиционных задач, решаемых обычно способами преобразования чертежа, что говорит об универсальности метода.
  3. Рассмотрение совмещенной проекции с разных позиций дает ответ о видимости отдельных элементов изображения без использования конкурирующих точек. Этот факт можно рассматривать как новый способ определения видимости на эпюре.

Привычным вариантом решения задач начертательной геометрии является способ проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости (прямоугольный трехгранник в формулировке [4, с.154]). Однако, некоторые задачи сложно или невозможно решить указанным способом. Приходится прибегать к способам преобразования ортогональных проекций, например, к способу замены плоскостей проекций, причем в ряде случаев этот способ необходимо применять последовательно дважды.

Предлагаемый способ изначально не предполагает никаких ограничений. Используемые в нем графические построения применимы и в частных случаях, когда плоскость перпендикулярна одной или двум первым плоскостям проекций. В первом случае, как будет показано ниже, этот способ известен как способ замены плоскостей проекций. Во втором – традиционный метод проецирования на три перпендикулярные плоскости.

Суть способа состоит в том, что пространственный объект (точка, отрезок прямой, плоскость и т.д.) проецируется на три плоскости проекций: фронтальную, горизонтальную и произвольную, угол наклона которой выбирается в зависимости от условия решаемой задачи. Проецирующие лучи перпендикулярны соответствующей плоскости проекций. Фронтальная плоскость поворачивается на угол 90°, а третья на угол α до совпадения их с горизонтальной плоскостью проекций. В равной степени третью плоскость можно совмещать и с фронтальной плоскостью проекций.

Введем следующие обозначения. Фронтальную, горизонтальную плоскости проекций и ось абсцисс обозначим традиционно π1, π2 и x соответственно. Третью плоскость проекций обозначим буквой π4, угол ее наклона – α, а линии пересечения с плоскостями проекций π1 и π2 – оси координат – соответственно – t и u. Другие обозначения будут вводиться по мере их возникновения.

На рис.1 во фронтальной диметрии показаны плоскости проекций π1, π2 и π4 и точка А в пространстве. Точку пересечения проецирующего луча, проходящего через точку А перпендикулярно плоскости проекций π4, как обычно, назовем проекцией А на π4 и обозначим А4. Проекция проецирующего луча на плоскость π1 – отрезок A1At, а на плоскость π4 – A4At. Как и в обычной системе плоскостей проекций, эти отрезки перпендикулярны оси t и называются линиями связи.

Поскольку описываемый метод позволяет решать метрические задачи, рассмотрим способ построения проекции A4. С этой целью на рис. 2 показана проекция проецирующего луча в плоскости, перпендикулярной оси t.

Построим перпендикуляр из точки At к плоскости π1. Точку его пересечения с проецирующим лучом АA4 обозначим ZА. Рассмотрим прямоугольный по построению треугольник ZАA4At. Он является ключевым в излагаемом методе, поэтому назовем его треугольником преобразования.

Острый угол при вершине At равен углу наклона проецирующего луча α, т.к. является дополнительным к углу наклона плоскости π4 – углу α4. Гипотенуза ZAAt, которую назовем координатой преобразования, численно равна отрезку AxZA (рис. 1) и может быть определена построением. Катет AtA4 есть искомая координата u проекции точки А на плоскость π4.

Угол α будем считать всегда заданным. Если его численное значение условием задачи не определено, то каждый раз его величину будем находить с помощью вспомогательного прямоугольного треугольника, в котором один катет – отрезок проецирующего луча, а второй – разность координат концов этого отрезка от плоскости проекций и может быть определен графически на горизонтальной или фронтальной проекции. Приведенных рассуждений необходимо и достаточно для решения многих задач начертательной геометрии описанным способом, причем как будет показано ниже, с меньшим количеством графических построений.

Для получения совмещенного чертежа плоскость проекций π4 повернем вокруг оси t на угол ее наклона α4 до совмещения с горизонтальной (или фронтальной) плоскостью.

Метод построения совмещенной проекции А4 произвольной точки пространства А показан на рис. 3. Исходными заданными значениями будем считать координаты y и z точки А, а также направление проецирующего луча.

На горизонтальной проекции на свободном поле эпюра перпендикулярно горизонтальной проекции проецирующего луча проведем ось t. На фронтальной проекции проецирующего луча с помощью линии связи, проведенной из точки Аt, найдем точку ZA. Измерив разность аппликат ΔZ точек Ax и ZA и построив прямоугольный треугольник A1At11, в котором один катет отрезок A1At , а второй – величина ΔZ, графически найдем угол α.

С вершиной в точке At строим прямоугольный треугольник преобразования AtA0A4 , в котором гипотенуза AtA0 параллельна отрезку A111 и численно равна AxZA. Перпендикуляр из точки A0 на горизонтальную проекцию проецирующего луча определяет искомую точку.


Рисунок 1. Проецирование точки А во фронтальной диметрии


Рисунок 2. Проекция проецирующего

луча в плоскости, перпендикулярной

оси t.



Рисунок 3. Метод построения совмещенной проекции произвольной точки А

Гипотенузу AtA0 назовем линией преобразования. В решении задач при построении проекций нескольких точек допустимо для каждой из них строить свой треугольник преобразования, но для сокращения числа графических операций удобнее координаты преобразования откладывать на одной линии преобразования и построением перпендикуляров на соответствующую линию связи находить проекции точки.

Ниже приведено решение задач описанным методом. Показаны некоторые варианты его упрощения в зависимости от решаемой задачи, а также дано сопоставление с решением этих задач традиционным методом. Кроме того, показано, что многие применяемые методы являются частным случаем приведенного при вариации угла наклона третьей плоскости проекций.

Пример 1: Определить расстояние между параллельными прямыми ABи CD. Решение выполняем в следующей последовательности (рис.4).

  1. Плоскость проекций π4 выбираем перпендикулярно заданным прямым AB и CD. С этой целью ось t проводим из произвольной точки перпендикулярно горизонтальным проекциям отрезков A1B1 и C1D1.
  2. Продолжаем A1B1 до пересечения с осью t в точке At. Через A2B2 проводим луч в сторону оси x. Из точки At проводим вертикальную линию связи.
  3. Находим величину ∆Z отрезка AB. Построением вспомогательного прямоугольного треугольника определяем угол α, используя в качестве направления одного катета A1At, второго – ∆Z.
  4. Строим прямоугольный треугольник преобразования с углом α при вершине At. Гипотенуза этого треугольника по направлению параллельна гипотенузе вспомогательного треугольника, а численно равна координате z точки ZA. Вершина треугольника A4, она же B4, есть искомая проекция прямой AB на плоскость π4.
  5. Выполняем п.п. 2,3,4 для прямой CD. Определяем совмещенную проекцию отрезка CD – точку C4.
  6. Определяем искомое расстояние между параллельными прямыми.

Анализируя приведенное решение, отметим следующее.

  1. Для определения точек ZA и ZC необходимо выполнять три графических действия (рис. 5а, 5б).
  2. Координаты Z точек построения могут иметь как положительное (рис. 5а), так и отрицательное значения (рис. 5б).
  3. Учитывая то, что ось t можно проводить в заданном направлении через любую точку плоскости, рекомендуем в качестве таковой выбирать конец или середину одного из отрезков (рис. 5в). Это позволит исключить графические действия 1 и 2.
  4. Более того, в тех случаях, когда это возможно, ось t следует проводить через горизонтальный (или, как это будет показано ниже, фронтальный) след одного из отрезков (рис. 5г). Координата Z в этом случае будет равна 0, что также несколько упрощает построение.

Учитывая вышесказанное на рис. 6 приведено упрощенное решение, а на рис. 7, для сравнения, решение этой же задачи традиционным способом последовательной замены плоскостей проекций.


Рисунок 4. Решение задачи 1


а                     б                     в                   г

Рисунок 5. Последовательность выполнения трех графических действий




Рисунок 6. Упрощенное решение

задачи



Рисунок 7. Традиционный способ решения задачи

Пример 2. Определить величину двугранного угла при ребре SB пирамиды SABC.

Решение выполним в следующем порядке (рис. 8).

  1. Ось t проводим через точку B1–горизонтальный след ребра SB. Эта точка, как показано выше, одновременно есть B4 и S4–вершина двугранного угла.
  2. Определяем угол α, используя в качестве катетов S1B1 и ∆ZSB.
  3. Из произвольной точки Dt на оси t проводим линию, параллельную гипотенузе прямоугольного треугольника. На ней откладываем точки 1 и 2, равные соответственно аппликатам Z точек A и C.
  4. Из точек 1 и 2 проводим линии, параллельные оси t. В пересечении с соответствующей линией связи находим точки A4 и C4, а затем и искомый угол φ.


Рисунок 8. Решение задачи 2

Пример 3. Определить величину двугранного угла между пересекающимися плоскостями α и β.

Решение показано на рис. 9 по приводимому алгоритму.

  1. Построим линию AB пересечения плоскостей α и β.
  2. Выберем произвольные точки C и D соответственно в заданных плоскостях α и β.
  3. Ось t проводим перпендикулярно AB в произвольном месте (точка At).
  4. Определяем угол α, используя в качестве катетов BAt и AxZA.
  5. Параллельно AB
    через точки C и D проводим линии до пересечения с осью t (точки Ctи Dt).
  6. Через точки Ct и Dt проводим вертикальные линии связи.
  7. Параллельно A2B2 через точки C2 и D2 проводим линии до пересечения с соответствующей вертикальной линией связи.
  8. Через точки At, Ct и Dt проводим линии, параллельные гипотенузе вспомогательного треугольника.
  9. На них откладываем отрезки Ct1, равный CxZC, Dt2, равный DxZD и At3, равный AxZA.
  10. Из точек 1, 2, 3 проводим линии, параллельные оси t, до пересечения с соответствующей линией связи. В пересечении находим искомые проекции точек A4, C4, D4.
  11. Измеряем искомый двугранный угол φ.


Рисунок 9. Решение задачи 3

Пример 4. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD.

Решение выполним следующим образом (рис. 10).

  1. Ось t проведем перпендикулярно горизонтальной проекции A1B1 через горизонтальный след отрезка AB.
  2. Угол α построим на фронтальной проекции, используя, как обычно, в качестве катетов ∆ZAB и A2B2. В этом случае, как показано выше, At=A4=B4.
  3. Для сокращения графических операций величины ZC и ZD отложим непосредственно на гипотенузе прямоугольного треугольника B23=ZC, 25=ZD.
  4. Точки C4 и
    D4 находим по отрезкам 14 и 62, отложенных на линиях связи CtC4 =14 и DtD4=62.
  5. Определяем искомое расстояние между скрещивающимися прямыми как перпендикуляр из точки A4 на отрезок C4D4.

    Рисунок 10. Решение задачи 4

Все приведенные выше задачи решены проецированием на плоскость проекций, перпендикулярно выбранному направлению, и совмещением ее с горизонтальной плоскостью проекций. С тем же успехом совмещение можно осуществлять и с фронтальной плоскостью проекций.

В статье приведены решения далеко не всех сложных задач. В последующих публикациях будет продолжено рассмотрение решения позиционных и метрических задач способом ортогонального параллельного проецирования на три плоскости, из которых одна произвольного положения. Это задачи с условиями:

  1. Построить недостающую проекцию точки, удаленной от прямой
  2. Определение натуральной величины плоской фигуры
  3. Определить натуральную величину отрезка прямой общего положения и угол наклона его к плоскости проекций
  4. Определить натуральную величину проецирующего четырехугольника
  5. Построить точку пересечения прямой c плоскостью треугольника
  6. Построить точку пересечения профильной прямой с плоскостью треугольника
  7. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения

Тем ни менее, уже по данным примерам можно сделать вывод, что решать подобные задачи можно по единой методике. Было показано, что этим способом можно решать задачи, которые обычно решаются такими методами преобразования ортогональных проекций, как способ замены плоскостей, включая последовательную замену двух плоскостей проекций, способ совмещения, способ вращения вокруг прямой уровня, а также способ прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и угла его наклона к плоскости проекций. Кроме того, видимость элементов на эпюре можно определять без использования конкурирующих точек.

Сказанное свидетельствует об определенной универсальности метода. Естественно, речь идет не о замене известных методов решения задач начертательной геометрии другими, но пользователю предоставляется право выбирать. При этом следует учесть, что использование описываемого метода помимо однотипности решения различных задач во многих случаях позволяет достигнуть результата с меньшим числом графических построений, т.е. проще и точнее.

Комментируя последнее высказывание, будем исходить из тезиса, что более простое при прочих равных условиях дает и более точное решение, т.к. каждое ручное графическое построение неизбежно привносит в ответ определенную ошибку, которые в итоге накапливаются и искажают результат.


Библиографический список
  1. Гаспар Монж. Начертательная геометрия –  М., Изд-во АН СССР, 1947.
  2. Савельев Ю.А. Начертательная геометрия (часть1): учеб. пособие –  Екатеринбург, УрГУПС, 1998.
  3. Фролов С.А. Начертательная геометрия. Способы преобразования ортогональных проекций: учеб. пособие для вузов. –   3­-е изд., испр. и доп. –  ­ М. : Высш. шк., 2002.
  4. Гордон В.О., Семенцов – Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: учеб. пособие/ Под ред. Ю.Б.Иванова. – 23-е изд., перераб. – М.: Наука, 1988.


Все статьи автора «Черкасова Елена Юрьевна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация