В работе исследованы две краевые задачи для уравнения смешанного типа
где – область ограниченная отрезками АВ, ВС, СО и ОА прямых , , , соответственно; – характеристический треугольник, ограниченный отрезком ОА оси абсцисс и двумя характеристиками АD: , ОD: уравнения (1), выходящими из точек А, О и пересекающимися в точке D; и – заданные коэффициенты, ; .
Задача 1. Найти регулярное в , , решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее краевым условиям ,
(3)
и условиям сопряжения:
где , , , , , причем .
Задача 2. Найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме условия (5), которое заменено условием
где , , , , причем .
На отрезке АО имеем функциональное соотношение принесенное из области
Соотношение же между и , принесенное на отрезок АО из гиперболической части смешанной области легко получить выписав решение соответствующей задачи Коши, а затем удовлетворив его краевому условию (3). В результате этих преобразований, находим
где
Подставляя из первого уравнения условий (4) во второе, получим
или
где
.
Отсюда, с учетом (5), следует, что
Теперь, подставляя из первого уравнения условий (4) в соотношение (6), будем иметь
или
где
Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (8) через резольвенту ядра , получим
или
где
Подставляя равенство (9) в соотношение (7), будем иметь
Отсюда, в результате ряда элементарных преобразований, получим
.
Полагая здесь
приходим к равенству
Интегрируя полученное равенство, будем иметь
Меняя порядок интегрирования в третьем слагаемом последнего равенства, получим
или
где
Интегрируя равенство (10), будем иметь
Вновь меняя порядок интегрирования, но теперь, во втором слагаемом, приходим к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно функции :
где
,
.
Заметим, что зависит от двух неизвестных постоянных , , первая из которых легко находится из условия (2). В самом деле, из этого равенства, имеем .
Теперь, обращая интегральное уравнение (10), через резольвенту ядра , будем иметь
Очевидно, что функция представима в виде
где
.
Отсюда, с учетом (11), будем иметь
Полагая в этом равенстве , получим
Таким образом, отсюда находим искомую постоянную , при условии, что . Тогда, функция однозначно определяется равенством (11), функции же находятся из соотношения (9), а – из условий сопряжения (4). Теперь, очевидно, что решение задачи 1, легко найти как решение соответствующей задачи Коши в области и первой краевой задачи в области , для уравнения (1).
В заключении отметим, что условие в задаче 1 не является необходимым, так как при его нарушении, условия (4), как легко заметить, представляют собой частный случай условий сопряжения задачи 2, которая исследуется аналогично задаче 1.
Библиографический список
- Елеев В.А., Лесев В.Н. Задачи со смещением для вырождающихся гиперболических и смешанных уравнений. Конспект лекций. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2003. – 109 с.
- Желдашева А.О., Лесев В.Н. Краевая задача для смешанного уравнения в ограниченной области // Фундаментальные исследования. 2015. №9-3. С. 460-463.
- Лесев В.Н. Нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений с негладкими линиями изменения типа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Нальчик, 2003.
- Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия Смоленского государственного университета. 2013. № 3 (23). – С. 379-386.
- Лесев В.Н., Желдашева А.О. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка в характеристической области // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 2012. – № 3 (106). – С. 52-56.
- Лесев В.Н., Кодзоков А.Х., Бжеумихова О.И., Карова Ф.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа. Конспект лекций. Учебное пособие. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2014. – 110 с.
Количество просмотров публикации: Please wait