УДК 517.946

О ДВУХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ЛИНИИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА

Желдашева Анна Олеговна1, Жемухова Майя Залимовна2
1Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений
2Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, старший преподаватель кафедры геометрии и высшей алгебры

Аннотация
В данной работе доказана однозначная разрешимость краевых задач для параболо-гиперболического уравнения в характеристической области с интегральными условиями сопряжения на линии изменения типа.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение Вольтерра, уравнение смешанного типа


ABOUT TWO BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE MIXED EQUATIONS WITH INTEGRAL CONDITIONS LINE CHANGE TYPE

Zheldasheva Anna Olegovna1, Zhemuhova Maya Zalimovna2
1Kabardino-Balkar State University Н.M. Berbekova, Senior Lecturer, Department of Differential Equations
2Kabardino-Balkar State University Н.M. Berbekova, Senior Lecturer, Department of Higher Algebra and Geometry

Abstract
In this paper we prove the unique solvability of boundary value problems for parabolic-hyperbolic equation in a characteristic area with integral conjugation conditions on the line type of change.

Keywords: boundary problem, equation of mixed type, Volterra equation


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Желдашева А.О., Жемухова М.З. О двух краевых задачах для смешанного уравнения с интегральными условиями на линии изменения типа // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 3 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2016/03/65890 (дата обращения: 29.09.2017).

В работе исследованы две краевые задачи для уравнения смешанного типа

 (1)

где  – область ограниченная отрезками АВВССО и ОА прямых  соответственно;  – характеристический треуголь­ник, ограниченный отрез­­ком ОА оси абсцисс и двумя характеристиками АDОD уравнения (1), выходящими из точек АО и пересекающимися в точке D и – заданные коэффициенты, .
Задача 1. Найти регулярное в , решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее краевым условиям ,

, (2)
 (3)

и условиям сопряжения:

  (4)

где , причем .
Задача 2. Найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме условия (5), которое заменено условием

где , причем .
На отрезке АО имеем функциональное соотношение принесенное из области 

. (5)

Соотношение же между  и , принесенное на отрезок АО из гиперболической части  смешанной области  легко получить выписав решение соответствующей задачи Коши, а затем удовлетворив его краевому условию (3). В результате этих преобразований, находим

, (6)

где

.

Подставляя  из первого уравнения условий (4) во второе, получим


или

,

где

,
.

Отсюда, с учетом (5), следует, что

. (7)

Теперь, подставляя  из первого уравнения условий (4) в соотношение (6), будем иметь

или

, (8)

где

.

Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (8) через резольвенту  ядра , получим

или

, (9)

где

.

Подставляя равенство (9) в соотношение (7), будем иметь

.

Отсюда, в результате ряда элементарных преобразований, получим


.

Полагая здесь

,

приходим к равенству

.

Интегрируя полученное равенство, будем иметь

.

Меняя порядок интегрирования в третьем слагаемом последнего равенства, получим

или

, (10)

где

.

Интегрируя равенство (10), будем иметь

.

Вновь меняя порядок интегрирования, но теперь, во втором слагаемом, приходим к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно функции :

, (10)

где


,


.

Заметим, что  зависит от двух неизвестных постоянных , первая из которых легко находится из условия (2). В самом деле, из этого равенства, имеем .
Теперь, обращая интегральное уравнение (10), через резольвенту  ядра , будем иметь

. (11)

Очевидно, что функция  представима в виде

,

где



.

Отсюда, с учетом (11), будем иметь

.

Полагая в этом равенстве , получим

.

Таким образом, отсюда находим искомую постоянную , при условии, что . Тогда, функция  однозначно определяется равенством (11), функции же  находятся из соотношения (9), а  – из условий сопряжения (4). Теперь, очевидно, что решение задачи 1, легко найти как решение соответствующей задачи Коши в области  и первой краевой задачи в области , для уравнения (1).
В заключении отметим, что условие  в задаче 1 не является необходимым, так как при его нарушении, условия (4), как легко заметить, представляют собой частный случай условий сопряжения задачи 2, которая исследуется аналогично задаче 1.


Библиографический список
  1. Елеев В.А., Лесев В.Н. Задачи со смещением для вырождающихся гиперболических и смешанных уравнений. Конспект лекций. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2003. – 109 с.
  2. Желдашева А.О., Лесев В.Н. Краевая задача для смешанного уравнения в ограниченной области // Фундаментальные исследования. 2015. №9-3. С. 460-463.
  3. Лесев В.Н. Нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений с негладкими линиями изменения типа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Нальчик, 2003.
  4. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия Смоленского государственного университета. 2013. № 3 (23). – С. 379-386.
  5. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка в характеристической области // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 2012. – № 3 (106). – С. 52-56.
  6. Лесев В.Н., Кодзоков А.Х., Бжеумихова О.И., Карова Ф.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа. Конспект лекций. Учебное пособие. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2014. – 110 с.


Все статьи автора «Желдашева Анна Олеговна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: