УДК 517.946

О ДВУХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ЛИНИИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА

Желдашева Анна Олеговна1, Жемухова Майя Залимовна2
1Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений
2Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, старший преподаватель кафедры геометрии и высшей алгебры

Аннотация
В данной работе доказана однозначная разрешимость краевых задач для параболо-гиперболического уравнения в характеристической области с интегральными условиями сопряжения на линии изменения типа.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение Вольтерра, уравнение смешанного типа


ABOUT TWO BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE MIXED EQUATIONS WITH INTEGRAL CONDITIONS LINE CHANGE TYPE

Zheldasheva Anna Olegovna1, Zhemuhova Maya Zalimovna2
1Kabardino-Balkar State University Н.M. Berbekova, Senior Lecturer, Department of Differential Equations
2Kabardino-Balkar State University Н.M. Berbekova, Senior Lecturer, Department of Higher Algebra and Geometry

Abstract
In this paper we prove the unique solvability of boundary value problems for parabolic-hyperbolic equation in a characteristic area with integral conjugation conditions on the line type of change.

Keywords: boundary problem, equation of mixed type, Volterra equation


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Желдашева А.О., Жемухова М.З. О двух краевых задачах для смешанного уравнения с интегральными условиями на линии изменения типа // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 3 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2016/03/65890 (дата обращения: 13.01.2018).

В работе исследованы две краевые задачи для уравнения смешанного типа

 (1)

где  – область ограниченная отрезками АВВССО и ОА прямых  соответственно;  – характеристический треуголь­ник, ограниченный отрез­­ком ОА оси абсцисс и двумя характеристиками АDОD уравнения (1), выходящими из точек АО и пересекающимися в точке D и – заданные коэффициенты, .
Задача 1. Найти регулярное в , решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее краевым условиям ,

, (2)
 (3)

и условиям сопряжения:

  (4)

где , причем .
Задача 2. Найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме условия (5), которое заменено условием

где , причем .
На отрезке АО имеем функциональное соотношение принесенное из области 

. (5)

Соотношение же между  и , принесенное на отрезок АО из гиперболической части  смешанной области  легко получить выписав решение соответствующей задачи Коши, а затем удовлетворив его краевому условию (3). В результате этих преобразований, находим

, (6)

где

.

Подставляя  из первого уравнения условий (4) во второе, получим


или

,

где

,
.

Отсюда, с учетом (5), следует, что

. (7)

Теперь, подставляя  из первого уравнения условий (4) в соотношение (6), будем иметь

или

, (8)

где

.

Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (8) через резольвенту  ядра , получим

или

, (9)

где

.

Подставляя равенство (9) в соотношение (7), будем иметь

.

Отсюда, в результате ряда элементарных преобразований, получим


.

Полагая здесь

,

приходим к равенству

.

Интегрируя полученное равенство, будем иметь

.

Меняя порядок интегрирования в третьем слагаемом последнего равенства, получим

или

, (10)

где

.

Интегрируя равенство (10), будем иметь

.

Вновь меняя порядок интегрирования, но теперь, во втором слагаемом, приходим к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно функции :

, (10)

где


,


.

Заметим, что  зависит от двух неизвестных постоянных , первая из которых легко находится из условия (2). В самом деле, из этого равенства, имеем .
Теперь, обращая интегральное уравнение (10), через резольвенту  ядра , будем иметь

. (11)

Очевидно, что функция  представима в виде

,

где



.

Отсюда, с учетом (11), будем иметь

.

Полагая в этом равенстве , получим

.

Таким образом, отсюда находим искомую постоянную , при условии, что . Тогда, функция  однозначно определяется равенством (11), функции же  находятся из соотношения (9), а  – из условий сопряжения (4). Теперь, очевидно, что решение задачи 1, легко найти как решение соответствующей задачи Коши в области  и первой краевой задачи в области , для уравнения (1).
В заключении отметим, что условие  в задаче 1 не является необходимым, так как при его нарушении, условия (4), как легко заметить, представляют собой частный случай условий сопряжения задачи 2, которая исследуется аналогично задаче 1.

Поделиться в соц. сетях

0

Библиографический список
  1. Елеев В.А., Лесев В.Н. Задачи со смещением для вырождающихся гиперболических и смешанных уравнений. Конспект лекций. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2003. – 109 с.
  2. Желдашева А.О., Лесев В.Н. Краевая задача для смешанного уравнения в ограниченной области // Фундаментальные исследования. 2015. №9-3. С. 460-463.
  3. Лесев В.Н. Нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений с негладкими линиями изменения типа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Нальчик, 2003.
  4. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия Смоленского государственного университета. 2013. № 3 (23). – С. 379-386.
  5. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка в характеристической области // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 2012. – № 3 (106). – С. 52-56.
  6. Лесев В.Н., Кодзоков А.Х., Бжеумихова О.И., Карова Ф.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа. Конспект лекций. Учебное пособие. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2014. – 110 с.


Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Желдашева Анна Олеговна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: