УДК 512.541.3

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПОДГРУПП ПОДПРЯМОЙ СУММЫ ДЕЛИМЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ГРУПП

Трухманов Вячеслав Борисович
Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, Арзамасский филиал
кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация
В данной статье рассматриваются некоторые свойства подгрупп групп одного из подклассов класса абелевых групп без кручения ранга 2, а именно, подпрямых сумм двух делимых рациональных групп, порождающая группа которых либо группа рациональных чисел, либо ее фактор-группа по некоторой подгруппе.

Ключевые слова: абелева группа без кручения, делимая абелева группа, подпрямая сумма абелевых групп, рациональная группа


ON SOME PROPERTIES OF THE SUBGROUP SUBDIRECT SUM OF DIVISIBLE RATIONAL GROUPS

Trukhmanov Vyacheslav Borisovich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
candidate of physico-mathematical sciences, associate professor

Abstract
The article deals with one of the subclasses of the class of Abelian torsion-free groups of rank 2, namely, Abelian groups that are subdirect sum of two divisible rational groups, which gen-erates a group or a group of rational numbers, or its quotient group of some subgroup.

Keywords: Abelian torsion-free group, divisible group, rational group, subdirect sum of Abelian groups


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подгрупп подпрямой суммы делимых рациональных групп // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 2 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2016/02/64302 (дата обращения: 20.11.2016).

Абелевы группы без кручения ранга 2, представимые в виде подпрямой суммы абелевых групп без кручения ранга 1 образуют важный для изучения подкласс класса абелевых групп без кручения конечного ранга, а описание таких групп достаточно актуально в теории абелевых групп. В работах автора [1] – [4] ранее изучались группы из данного подкласса.
Определение 1. Пусть  прямое произведение абелевых групп. Подгруппа G группы А называется подпрямой суммой групп Аi, если отображение  для каждого номера i, где – проекция прямого произведения А на прямой сомножитель Аiявляется эпиморфизмом [5].
Группа G является подпрямой суммой групп А и В тогда и только тогда, когда существует группа F и такие эпиморфизмы  и , что  для любых элементов  и [5]. 
Группу F назовем порождающей группой, а эпиморфизмы  и  – определяющими эпиморфизмами для группы G – подпрямой суммы групп А и В
Необходимые термины и обозначения приведены в работах [1-10].
Также будем использовать стандартные обозначения:  – наибольший общий делитель целых чисел х и у – соответственно, их наименьшее общее кратное.
В данной статье продолжено изучение строения одного подкласса класса абелевых групп – так называемых специальных или s-групп (определение дается ниже) – в зависимости от основного элемента.
Далее, всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы, группы А и В – рациональные делимые, G – подпрямая сумма групп А и В, порождающую группу которой обозначаем через F, а также введем обозначения:  и .
Символом  обозначаем циклическую абелеву группу, порожденную элементом , символом  множество всех подпрямых сумм групп А и B с порождающей группой .
Определение 2. Абелева группа называется рациональной если она изоморфна группе рациональных чисел или ее подгруппе [5].
Определение 3. Абелева группа А называется делимой, если для любого натурального числа ппА = А [5].
Пусть Т – некоторое числовое множество, х – некоторый элемент произвольной группы, тогда  будем обозначать множество 
Определение 4. Пусть группа . Будем говорить, что группа G обладает основным элементом , если ,. Такую группу мы будем называть специальной или s-группой.
Пусть G – s-группа с основным элементом . Введем следующие обозначения:


где – натуральное число простое число, т, т’ – целые числа, взаимно простые с числом р
Предложение 1. Для любого натурального числа п множество  с операцией сложения является группой.
Доказательство. Пусть п – произвольное натуральное число. Покажем сначала, что  (*) для любого целого числа k. 
Пусть . Условие (*) очевидно для взаимно простых чисел и d, так как  и, следовательно, по определению, принадлежит 
Пусть , и пусть , Поскольку, очевидно, , а также, как известно, числа  и  взаимно просты, то получаем: 

Далее рассмотрим два произвольных элемента

 и 

из множества  и покажем, что их сумма также принадлежит .
Пусть , причем , . Тогда
 , 
Поскольку, как нетрудно видеть, , то, следовательно,  Откуда вытекает, что  есть группа.
Докажем аналогичное утверждение для множества .
Предложение 2. Пусть G – s-группа. Для любого простого числа р множество  образует группу подгруппу группы G.
Доказательство. Покажем также сначала, что произведение ru содержится в  для любого целого числа и любого элемента .
Пусть для некоторых простого числа р и натурального числа i элемент . Тогда для взаимно простых чисел и p, очевидно, 
Пусть , где , и пусть . Тогда

Установим теперь замкнутость множества  относительно операции сложения. Рассмотрим два произвольных элемента

 и 

из множества  и покажем, что их сумма также принадлежит .
Пусть . Тогда

Поскольку, как нетрудно видеть,

,

то, следовательно, Откуда вытекает, что  есть группа. 
Предложение 3.  для любого натурального числа i и для любого простого числа p.
Доказательство непосредственно следует из определения множества 
Определение 5. Пусть группы А и В изоморфны рациональной группе  для некоторого простого числа р. И пусть для некоторой группы G* выполняются следующие условия:
1) группа G* является подпрямой суммой групп А и В, с порождающей группой ;
2) группа G* обладает основным элементом.
Тогда группу G* будем называть р-специальной (или ps-группой).
Теорема 1. Пусть – s-группа с основным элементом . Тогда, для любого простого числа р, выполняются условия: 
подгруппа  группы G является рs-группой;
группа может быть получена как объединение своих подгрупп, образующих бесконечную возрастающую цепь:

где .
Доказательство. Рассмотрим группу для некоторого простого числа p. Тогда по определению, для некоторых рациональных групп  и . Покажем, что группа  образует подпрямую сумму групп  и , порожденную группой , с основным элементом 

Пусть элемент , причем числа т и рi взаимно просты. Тогда найдется такое целое число m‘ взаимно простое с числом рi, что элемент  принадлежит группе  – подгруппе группы . Но, по предложению 2 [5], если m” также целое число, причем числа m” и m‘ не сравнимы по модулю рi в кольце целых чисел, то элемент  и, следовательно, 
Таким образом, доказано, что проекция  является эпиморфизмом. Аналогично доказывается, что эпиморфизмом также является проекция 
Следовательно, можем сделать вывод, что во-первых группа  есть подпрямая сумма групп  и , а, во-вторых, порождающей группой является группа .
Из определения групп и  для каждого целого положительного числа i, непосредственно следует условие 2.
Теорема 2. Пусть – s-группа с основным элементом  и с порождающей группой , и пусть элемент , причем . Тогда существуют и причем, с точностью до нумерации, единственные простые числа р1, р2, …, рr такие, что

,

где

, , , …, .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть п – целое положительное число, . И пусть для некоторых целых чисел и т взаимно простых с числом п элемент . Тогда, очевидно, имеет место следующее равенство:

,

где st, k’ и m’ – целые числа, причем k’ и m’ – наименьшие положительные, что . Кроме того,  и  (см. [4]), следовательно, 
Пусть  каноническое разложение числа п на простые множители. Как известно, такие простые числа р1, р2, …, рrсуществуют и единственны с точностью до нумерации. Нетрудно видеть, что найдутся целые числа х1у1х2у2, …, хryr такие, что

.

Введя обозначения:

, …, ,

а также , мы докажем требуемое утверждение.


Библиографический список
  1. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп //
    Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С. 15-19.
  2. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп //
    Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С. 45-50.
  3. Трухманов В.Б. О некоторых специальных и р-специальных группах // Исследования в области естественных наук. 2014. № 6 (30). С. 5.
  4. Трухманов В.Б. O подпрямой сумме делимых рациональных групп и ее основных элементах // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1(48). С. 6-10.
  5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.
  6. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
  7. Широков Л.В. Класс пространств и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.
  8. Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.
  9. Широков Л.В. Современные проблемы радиоэлектроники с позиций теории конформных отображений / Ямпурин Н.П., Широков Л.В., Садков В.Д., Потехин В.А. Монография / Арзамасский филиал ННГУ, АПИ филиал НГТУ. Арзамас: Изд-во Арзамасского филиала ННГУ , 2014. 209 с.
  10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys. 1987. Т. 42. № 2. С. 297-298.


Все статьи автора «Трухманов Вячеслав Борисович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация