УДК 536.21

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПЛОСКОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЕ

Дмитриев Владислав Леонидович1, Тодорович Анастасия Андреевна2
1Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной информатики и программирования
2Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, студентка 4 курса факультета математики и информационных технологий

Аннотация
В работе рассматривается задача моделирования теплопроводности в плоской неоднородной пластине, содержащей области с источниками тепла и холода прямоугольной формы. Для решения задачи о распределении температур записано уравнение теплопроводности для двумерной среды в конечно-разностной схеме. Написана компьютерная программа, позволяющая рассчитывать распределение температур в пластине.

Ключевые слова: источники тепла, конечно-разностная аппроксимация, уравнение теплопроводности, численное моделирование


NUMERICAL SIMULATION OF HEAT CONDUCTIVITY IN INHOMOGENEOUS FLAT PLATE

Dmitriev Vladislav Leonidovich1, Todorovich Anastasia Andreevna2
1Sterlitamak branch of the Bashkir state University, Ph.D. (Physics and Mathematics), associate Professor of the Department of applied informatics and programming
2Sterlitamak branch of the Bashkir state University, the 4th year student of the faculty of mathematics and information technology

Abstract
This paper considers the problem of modeling heat conduction in inhomogeneous flat plate containing a region with sources of heat and cold in rectangular shape. To solve the problem of the distribution of temperatures recorded by the heat conduction equation for two-dimensional environment in a finite-difference scheme. Written a computer program to calculate the temperature distribution in the plate.

Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Дмитриев В.Л., Тодорович А.А. Численное моделирование теплопроводности в плоской неоднородной пластине // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 12 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/12/61187 (дата обращения: 20.11.2016).

Решения задач теплопроводности для относительно простых случаев стандартных геометрических тел (стержень, цилиндр, плоскость, сфера, и т.д.) могут быть легко получены аналитически. Однако на практике чаще приходится иметь дело с задачами теплопроводности, которые или не поддаются аналитическим методам решения, или аналитические методы оказываются для них крайне неэффективными. Это может быть связано как со сложной геометрией рассматриваемых объектов, так и с нелинейностью построенных для решения задачи математических моделей (например, учитывающих неоднородность посторонних включений или свойств самого объекта).

В таких случаях применяются универсальные способы решения с использованием компьютера, в качестве которых выступают численные методы. Их программная реализация в относительно простых случаях может быть выполнена самим исследователем на одном из языков программирования. В более сложных случаях может использоваться какая-либо подходящая вычислительная система, например, MathCAD или Matlab.

Большие инженерные задачи обычно требуют специальных математических вычислительных комплексов [1], таких как, например, ANSYS и PHOENICS. Первый из них предназначен для решения различных физических задач (расчет прочности, тепломассообмена, задачи теплофизики, гидрогазодинамики, электромагнетизма, и т.д.). Второй имеет специальную ориентацию на задачи компьютерного моделирования в области динамики жидкости и тепломассообмена.

В представленной работе рассматривается учебная задача о моделировании процесса теплопроводности в плоской неоднородной (составной) пластине, состоящей из нескольких слоев с отличающимися теплофизическими свойствами. Задача может быть использована при обучении студентов основам компьютерного моделирования реальных физических процессов и, в частности, процессов теплопроводности.

Рассмотрим плоскую пластину, состоящую из нескольких слоев. Будем считать, что нижняя сторона пластины теплоизолирована, а остальные поддерживаются при постоянной температуре. Пластина может содержать различные протяженные области, занятые источниками тепла или холода определенной мощности (прямоугольной формы). Рассчитаем распределение температур в пластине в произвольные моменты времени.

Рассматриваемая в такой постановке задача, вообще говоря, является трехмерной, т.к. температура будет изменяться как в плоскости пластины (вдоль осей x и y), так и по ее толщине (по оси z). Однако изменениями температуры по оси z можно пренебречь, если пластина достаточно тонкая, ее теплопроводность велика, а коэффициенты теплоотдачи на верхней и нижней поверхностях относительно малы [1]. Будем считать, что для нашей пластины перечисленные условия выполнены и поэтому температурное поле будет двумерным.

Для решения задачи запишем дифференциальное уравнение теплопроводности:

,                 (1)

где , .

Для двумерного случая уравнение (1) перепишется в виде

.            (2)

В случае необходимости теплообмен с окружающей средой через верхнюю и нижнюю поверхности пластины можно имитировать внутренним стоком теплоты:

,        (3)

где – температура окружающей среды, – площадь верхней (нижней) поверхности пластины, – коэффициент теплоотдачи.

В случае стационарного (установившегося) процесса уравнение теплопроводности (2) перепишется в виде:

.            (4)

На основе (4) можно рассчитать температурное поле в пластине для стационарного случая.

Для численных расчетов будем использовать уравнение (2). Перепишем его в конечно-разностной схеме:


откуда

        (5)

На основе (5) решим задачу о распределении температур в пластине, состоящей из набора слоев.

Моделирование рассматриваемого процесса выполнено в компьютерной программе, написанной в среде визуального программирования Delphi. Для ускорения работы с изображением при разработке программы использовано свойство битовой карты TBitMap – ScanLine [2, 3], представляющее собой массив указателей на строки с данными битовой карты (строки точечного изображения).

Программа позволяет задавать размеры области моделирования (прямоугольной пластины), параметры материала слоев пластины и их размер, мощности источников тепла или холода. Распределение источников тепла (холода) в пластине задается путем выделения мышью областей на пластине.

На рис. 1-2 рассмотрены последовательные этапы моделирования в случае пластинки размером 36×36 см. Пластинка состоит из трех слоев: олово (ширина 15 см), алюминий (ширина 12,5 см) и медь (ширина 8,5 см). Начальные параметры металлов [4], из которых состоят слои пластины, взяты при температуре около 293 К: олово – , , ; алюминий – , , ; медь – , , . Отметим, что параметры металлов изменяются в зависимости от температуры.

Для случая, представленного на рис. 1 на пластинке расположены два источника тепла и прямоугольной формы (15×5 см и 5×8 см) с отличающимися мощностями . Моменты времени: а) t=3 с, б) а) t=8 с, в) t=22 с, г) t=42 с, д) t=68 с, е) t=128 с.

Для случая, представленного на рис. 2 на пластинке расположен источник тепла и источник холода прямоугольной формы (15×5 см и 5×5 см) с отличающимися мощностями . Моменты времени: а) t=3 с, б) а) t=7 с, в) t=20 с, г) t=34 с, д) t=55 с, е) t=108 с. Видно, что источник тепла постепенно нагревает слои пластины и уменьшает область низких температур, образованных источником холода.


Рисунок 1. Распределение температур в пластине в случае двух источников тепла


Рисунок 2. Распределение температур в пластине в случае источников тепла и холода

Материал, изложенный в статье, будет интересен и полезен студентам физико-математических специальностей. На основе него могут быть проведены численные эксперименты в следующих направлениях: изучение влияния коэффициента теплоотдачи на распределение температур в пластине; изучение влияния свойств материала пластины и свойств отдельных включений на распределение температур в пластине; исследование температурных режимов стен зданий при различных погодных изменениях температуры; решение задачи об определении температуры в центральной части пластины на основе значений температур ее поверхностей, и т.д.


Библиографический список
  1. Солодов А.П. Тепломассообмен в энергетических установках. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://twt.mpei.ac.ru/solodov/HMT-eBook_2009/index.htm
  2. Дмитриев В.Л. Модификация LSB-метода на основе последовательностей особенных точек изображения // Отраслевые аспекты технических наук. 2013. № 12. – С. 17-20.
  3. Дмитриев В.Л. Защита сетевых публикаций на основе динамически изменяющихся изображений // Отраслевые аспекты технических наук. 2014. № 6. – С. 15-19.
  4. Дмитриев В.Л. Элементы линейной акустики. – Уфа: РИЦ БашГУ, 2008. – 85 с.


Все статьи автора «Дмитриев Владислав Леонидович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация