УДК 338.27

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Кузьмичева Екатерина Сергеевна1, Обидина Виктория Ивановна1
1Московский городской психолого-педагогический университет, студент очного отделения магистратуры факультета Государственное и муниципальное управление

Аннотация
Данная статья посвящена моделированию динамики социально-экономических процессов. Построенные модели позволяют прогнозировать будущие состояния экономических показателей и планировать мероприятия, направленные на повышение эффективности управленческой деятельности, что является особо важным в современных социально-экономических условиях.

Ключевые слова: ВВП, динамика, инвестиции, моделирование, прогнозирование, статистика, управление, экономические методы, экономические процессы


MODELING THE DYNAMICS OF ECONOMIC PROCESSES

Kuzmicheva Ekaterina Sergeevna1, Obidina Victoria Ivanovna1
1Moscow State University of Psychology & Education, student full-time graduate Department of the faculty of State and municipal management

Abstract
This article is devoted to modeling the dynamics of socio-economic processes. The constructed models allow to predict future States of economic indicators and plan activities aimed at improving the efficiency of managerial activity, which is particularly important in the current socio-economic conditions.

Keywords: dynamics, economic methods, economic processes, GDP, investment, Management, modeling, prediction, statistics


Рубрика: 08.00.00 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Кузьмичева Е.С., Обидина В.И. Моделирование динамики экономических процессов // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 10 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/10/58439 (дата обращения: 19.11.2016).

Моделирование социально-экономических процессов по своей сути является воспроизведением данных процессов в малых экспериментальных формах, в искусственно созданных условиях. Чаще всего для этих целей используется математическое моделирование, описывающее социально-экономические процессы при помощи математических зависимостей. 
Созданная математическая модель обычно подкрепляется реальными статистическими данными, а результаты расчетов, выполненные в рамках построенной модели, позволяют строить прогнозы и проводить объективные оценки. 
По фактору времени принято выделять статические и динамические модели. Статические модели описывают поведение объекта в какой-либо конкретный момент времени. Данные модели применяют для описания статических систем, путем характеристики их состояния в заданный момент времени. При этом полученные, при помощи статического моделирования данные, не дают достоверного представления о динамической системе, можно судить лишь о ее поведении в строго определенный момент времени. 
Динамические модели – модели, учитывающие взаимосвязи переменных во времени. Такие модели не сводятся к простой сумме ряда статических моделей, а описывают силы и взаимодействия, определяющие ход процессов в экономических системах. Модель является динамической, если в данный момент времени она учитывает значения входящих в нее переменных, относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени. 
В экономических исследованиях очень часто для изучения факторов, определяющих уровень и динамику экономических процессов, используются модели корреляционно-регрессионного типа. При этом задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между изменяющимися признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак. Задачи регрессионного анализа заключаются в выборе типа модели, установлении степени влияния независимых переменных на зависимую переменную и определении расчетных значений зависимой переменной. 
Модели корреляционно-регрессионного типа в зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, бывают простого (парного) и множественного вида. В свою очередь, парная регрессия и корреляция может определяться как наличием линейных связей между переменными, так и наличием нелинейных связей. 
Простая регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняемой) переменной yрассматривается как функция одной независимой (объясняющей) переменной x, то есть данная модель имеет вид:
. (1)
Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной. В уравнении регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи, выраженной соответствующей математической функцией. Практически в каждом отдельном случае величина y, складывается из двух слагаемых:
, (2)
где  – фактическое значение результативного признака;  – теоретическое значение результативного признака, найденное по соответствующему уравнению регрессии;  – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.
Случайная величина  включает влияние неучтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели обусловлено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных и особенностями измерения переменных. 
При построении регрессионных моделей могут использоваться как линейные, так и нелинейные функции. 
Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими объясняющими (независимыми) переменными:
(3)
Множественная регрессия широко используется при решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а так же совокупное воздействие их на моделируемый показатель. 
Основной недостаток использования регрессионных моделей в экономике – не всегда достоверные результаты прогнозов, рассчитанных по данным моделям. Несмотря на то, что данные модели при проверке и обладают высоким качеством, но они не учитывают влияние, оказываемое предыдущими результатами на результат текущий. Это может в определенных случаях искажать прогнозные значения, полученные при помощи данных моделей. 
Для большей достоверности полученных прогнозов в экономической и управленческой деятельности стоит учитывать динамические особенности прогнозируемых явлений.
Одним из типов динамических моделей, применяемых для исследования социально-экономических процессов, являются модели с распределенным лагом, в которых значения переменных за прошлые периоды непосредственно включены в модель. 
В общем виде рассмотрим алгоритм построения модели социально-экономических процессов при помощи построения динамической модели с распределенным лагом – моделью с лагами Алмон: 
, (4)
где  - максимальная величина лага; – параметры оценок; 
 – текущий момент времени;  - случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического. 
Данный метод хорошо описан в труде Елисеевой И.И. [1] и реализован на примере моделирования зависимости ВВП от инвестиций в экономику США. Исходная статистическая информация представлена в табл. 1.

Таблица 1. Динамика объема ВВП США (у) и валовых внутренних инвестиций в экономику США (х) в ценах 1987 г., млрд долл. США
Год
ВВП (y)
Инвестиции (x)
1981
1931,3
296,4
1982
1973,2
290,8
1983
2025,6
289,4
1984
2129,8
321,2
1985
2218
343,3
1986
2343,3
371,8
1987
2473,5
413
1988
2622,3
438
1989
2690,3
418,6
1990
2801
440,1
1991
2877,1
461,3
1992
2875,8
429,7
1993
2965,1
481,5
1994
3107,1
532,2
1995
3268,5
591,7
1996
3248,1
543
1997
3221,7
437,6
1998
3380,8
520,6
1999
3533,2
600,4
2000
3703,5
664,6
2001
3796,8
669,7
2002
3776,3
594,4
2003
3843,1
631,1
2004
3760,3
540,5
2005
3906,6
599,5
2006
4148,5
757,5
2007
4279,8
745,9
2008
4404,5
735,1
2009
4540
749,3
2010
4781,6
773,4
2011
4836,9
789,2
2012
4884,9
749,5
2013
4848,4
672,6

Пусть максимальная длина лага равна четырем, тогда вид лаговой модели будет следующим:

 (5)

Для определения коэффициентов модели воспользуемся обычным МНК, с помощью стандартной функции ExcelЛинейн. Результаты моделирования представлены на рисунке 1.


Рисунок 1 – результаты моделирования

Конкретный вид модели:

 (6)

Из рисунка видно, что совпадение экспериментальных данных и результатов моделирования достаточно неплохое. Подтверждением тому является высокий коэффициент детерминации = 0,9914. Однако коэффициенты при лаговых переменных  и  являются статистически незначимыми. Кроме того применение метода МНК к таким моделям в общем случае некорректно по ряду причин:Высокий уровень мультиколлинеарности факторов модели;
При большой величине лага снижается число наблюдений, используемых при моделировании, что естественным образом ведет к снижению числа степеней свободы;
Неизбежным также является наличие автокорреляции остатков.Вышеперечисленные факторы свидетельствуют о значительных нарушениях предпосылок МНК, что приводит к неэффективным, а зачастую и к смещенным оценкам. 
Следует отметить, что несостоятельность модели становится более выраженной при увеличении количества коэффициентов, когда по смыслу задачи ожидается влияние с большим запаздыванием.
Для преодоления этих трудностей обычно предлагается та или иная форма «гладкости» распределения лагов. Это приводит к уменьшению числа оцениваемых параметров. 
Пусть модель с распределенным лагом порядка  имеет вид:

 (7)

В преобразовании Алмон коэффициенты модели представлены степенными полиномами, факторами которых является величина лага. Для полинома k – ой степени эта зависимость имеет вид:
 (8)
Если подставить значения (8) в исходную модель (7), то получим модель вида:

 (9)

где  
Для нашего примера, с максимальным лагом =4, модель преобразуется к виду:

 (10)

где 


Оценим (10) с помощью МНК. Результаты моделирования представлены на рисунке 2.

Рисунок 2 – результаты моделирования при помощи лаговой модели

Коэффициенты модели Алмон:
, , , .
Подставив эти значения в (4) получим модель с распределенным лагом

 (11)

В этом случае коэффициент детерминации даже несколько ниже, чем в предыдущем случае R2 = 0,99, однако все коэффициенты являются статистически значимыми. 
Данный метод имеет два неоспоримых преимущества. Во-первых, он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов. Во-вторых, при относительно небольшом количестве переменных, которое не приводит к потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины. 
Результаты исследований с использованием этих преобразований показали, что, несмотря, на некоторое снижение коэффициента детерминации, эффективность оценок повышается, они становятся статистически более значимыми. Однако не снимается главная проблема – наличие мультиколлинеарности. Кроме того величина лага должна быть известна заранее. 
Выбор длины лага меньше реального приведет к искажению динамики процесса: не будут учтены факторы, оказывающие значительное влияние на результат. В этом случае остатки будут неслучайными и оценки по МНК окажутся неэффективными и смещенными. Проявление этих проблем будет заметным особенно при определении прогнозных значений зависимой переменной с использованием других статистических данных.
Выбор большей величины лага по сравнению с ее реальным значением приведет к включению в модель слабо значимых факторов, а, следовательно, к снижению эффективности оценок. Кроме того при этом происходит уменьшение объема выборки, используемой для моделирования, что ведет также к снижению эффективности и состоятельности оценок.
Для моделирования динамики можно использовать непрерывную модель, представленную дифференциальным уравнением. Наиболее предпочтительным является использование линейных уравнений первого и второго порядков:

 (12)
 (13)

где  – постоянная времени; ζ- коэффициент затухания; – установившееся значение.
В (12) и (13) под установившимся значением понимается тренд между переменными  и  в установившемся режиме, когда = const и отклики на «предысторию» значений объясняющей переменной завершены.
Трендовая составляющая моделей (12) и (13) может быть как линейной, так и нелинейной, например:

 (14)
 (15)

Для оценки параметров модели Т, ζ,   , можно использовать дискретно-непрерывный метод идентификации, основанный на соотношениях дискретного линейного фильтра Калмана [2], [3]. 
Используя статистику (табл. 1), построим математическую модель зависимости ВВП от инвестиций в форме (12), (14)
 (16)
где параметры модели Т подлежат оцениванию. 
Для идентификации параметров Т составим расширенную модель вида:

. (17)

Обозначим . Тогда исходную систему для идентификации можно представить в виде:

 (18)

где ,
 вектор шумов с дисперсионной матрицей 
.
Модель измерения координат состояния имеет вид:

 (19)

где  
Модель измерения управления

 (20)

где  - измеренные значения,  - истинные значения управления.
В (19) и в (20)  ,  - центрированные случайные шумы с известными дисперсиями: .
Для оценки вектора  модели (18) воспользуемся алгоритмом дискретно-непрерывного метода.
Оценка параметров модели и численное моделирование динамики инвестиций были реализованы с помощью ППП Mathcad.
Результаты идентификации представлены на рисунке 3.

 

Рисунок 3- Результаты идентификации. Z1(1) - , Z1(2) - , Z1(3) - ,

Z1(4)Исследования показали, что эффективность оценки коэффициента  достаточно низкая, так как в эксперименте нет установившегося значения x(t). Поэтому пришлось варьировать начальное значение этого коэффициента: если тенденция его оценки была возрастающая и не была установившейся, то начальное значение еще увеличивали, до тех пор, пока тенденция не сменила знак, т.е. стала убывающей. Затем начальное значение принималось в районе смены тенденции, «зажималась» его начальная дисперсия (дисперсия принималась небольшой, чтобы этот коэффициент не «раскачивался») и осуществлялось окончательное оценивание, результаты которого представлены на рисунке. Итоговые оценки были выбраны следующими: =509; =5,9; Т = 3,92.
Результаты проверки соответствия модели экспериментальным данным представлены на рисунок 4.

Рисунок 4 – результаты проверки соответствия модели экспериментальным данным

Из рисунка видно, что совпадение модельных и экспериментальных данных достаточно высокое. Свидетельством тому является значение коэффициента детерминации R2 = 0,992.
Следующим этапом проверки адекватности модели экспериментальным данным была проверка полноты моделирования динамических свойств модели с лаговыми переменными (5) и непрерывной модели вида (16). Как уже отмечалось выше, неполное отражение динамических свойств в первую очередь скажется на точности прогноза при других значениях фактора (не используемых при идентификации).
С этой целью для оценки параметров моделей (5) и (16) была использована статистика без последних четырех измерений. Результаты эксперимента показали, что оценки модели (16) практически не изменились, а оценки же лаговой модели изменились существенно:

(21)

Осуществим прогноз по последним четырем наблюдениям объясняющего фактора, т.е. объема ВВП на 1988 – 1991г.г.
На рисунке 5 показаны ошибки прогноза, полученного с помощью этих моделей.


Рисунок 5 – Ошибки прогноза непрерывной и лаговой моделей

Из рисунка видно, что адекватность динамических свойств непрерывной модели гораздо выше, чем модели с распределенными лагами. При этом для непрерывной модели на период прогноза суммарные ошибки составили = 50077, а для лаговой модели = 176547,52.
Оценка параметров динамической модели показала следующее:
1) соответствие модельных и экспериментальных данных является достаточно высоким;
2) моделирование динамических свойств модели является полным. При использовании других значений факторов оценки модели практически не изменились;
3) адекватность динамических свойств модели достаточно высока.
Таким образом, применение динамического моделирования с использованием дифференциальных уравнений помогает избежать проблем, возникающих при использовании лаговой модели, а также дает наиболее точные и достоверные результаты с возможностью прогнозирования. Результаты численного моделирования показали, что предложенный алгоритм идентификации параметров модели достаточно эффективен и может использоваться для оценки динамических свойств экономических процессов.


Библиографический список
  1. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2007. – С. 298-305
  2. Колпаков В.Ф. Параметрическая идентификация модели лесных пожаров // Безопасность жизнедеятельности – 2012. – № 5. – С. 39-44.
  3. Синицын И.И. Фильтры Калмана и Пугачева: Учебное пособие. – М.: Университетская книга, Логос, 2006. – С. 320-327


Все статьи автора «eshvyryaeva»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация