УДК 512

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Поставничий Юрий Сергеевич
ФГБОУ ВО "Вологодский государственный университет"
студент 1 курса магистратуры факультет прикладной математики, компьютерных технологий и физики

Аннотация
В данной статье рассматривается одна из классификаций методов решения иррациональных уравнений с параметрами. Данная классификация является результатом анализа многих классификаций и объединила в себе самые эффективные методы. Для каждого метода разобраны конкретные примеры с пояснениями и комментариями.

Ключевые слова: иррациональное уравнение, иррациональные уравнения с параметром, решение иррациональных уравнений


METHODS OF THE SOLUTION OF THE IRRATIONAL EQUATIONS WITH PARAMETER

Postavnichiy Yuriy Sergeevich
Vologda State University
1 year master student of the Faculty of Applied Mathematics, Physics and Computer Technology

Abstract
In this article one of classifications of methods of the solution of the irrational equations with parameters is considered. This classification is result of the analysis of many classifications and united in itself the most effective methods. For each method kontkretny examples with explanations and comments are sorted.

Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Поставничий Ю.С. Методы решения иррациональных уравнений с параметром // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 10 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/10/58207 (дата обращения: 28.09.2017).

Самым первым иррациональным уравнение, с которым сталкиваются школьники, является уравнение вида:

Решая данное уравнение, ученики знакомятся с иррациональными уравнениями с параметром. Рассматривают самое простейшее решение и исследуют множество случаев, где возникают спорные ситуации, в которых могут появиться посторонние корни или наоборот произойдет потеря корней.

Покажем решение данного уравнения:

Рассматривая разные значения параметра, мы замечаем, что могут возникнуть три случая:

a) если , то уравнение корней не имеет;

b) если , то ;

c) если , то .

Если классифицировать иррациональные уравнения с параметром, то мы можем получить два основных уравнения общего вида (:

Многие уравнения сводятся именно к решению этих двух или являются частным случаем данных уравнений. При выполнении действий с корнями мы получаем уравнения, более высокого уровня (:

Рассмотрим различные методы решения иррациональных уравнений с параметром на частных примерах, а также подберем систему заданий на отработку того или иного метода.

Замечание: Некоторые уравнения могут быть решены несколькими способами. Способ решения выбирается исходя из удобства применения.

Переход к смешанной системе, путем возведения обеих частей уравнения в необходимую одинаковую степень

При решении уравнений этим методом необходимо помнить, что в результате возведения обеих частей уравнения в одинаковую степень получается уравнение, являющееся следствием исходного, т.е. область определения расширяется, а значит, возможно появление «посторонних корней», которые должны быть устранены проверкой. Именно поэтому мы используем следующую эквивалентность (при ):

Замечание: При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

Пример. Иррациональное уравнение вида 

Рассмотрим решение уравнений вида:

Решение. Используя переход к эквивалентной системе и решив полученную систему, найдем решение исходного уравнения:

Ответ: Если  то уравнение решений не имеет;если  то решение принимает вид: 
Метод замены

Данные метод заключается в замене данной переменной на новую и сведения исходного уравнения к более простому.

Пример. Иррациональное уравнение вида 

Для каждого значения параметра a решить уравнение

Решение. Обозначим , где . Учитывая исходное уравнение, получим систему вида:

Вычитая из первого уравнения второе, получим новое уравнение:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Произведем обратную замену:

Оба уравнения совокупности соответствуют уравнению вида

и решаются методом перехода к смешанной системе. Исходя из этого, решим уравнения, начиная с первого:

Решим квадратное уравнение относительно переменной x, с помощью формул корней квадратного уравнения:

Проверим условие :

и получим, что  является корнем уравнения при .

Условие , выполняется для любого .

Аналогично решим второе уравнение совокупности  и получим

Проверим условие  для :

Получили, что  является корнем уравнения  при  Также проверяется условие  для 

Решением данного неравенства является пустое множество (), так как отрицательное число всегда меньше выражения с радикалом.

Объединяя полученные решения, запишем ответ.

Ответ: Если , то решений нет;если , то ;если , то ;

если , то 

Метод введения вспомогательного неизвестного (метод подстановки)

Данный метод состоит во введении вспомогательных неизвестных, с помощью которых уравнение сводится к системе рациональных уравнений относительно новых переменных. Например:

Пример 8. Иррациональное уравнение вида

Для каждого значения параметра a решить уравнение

Решение. Прежде чем приступить к решению уравнения нам необходимо найти ОДЗ. Найдем ее:

Найденная область допустимых значений: . Введем вспомогательные неизвестные:

и получим следующую систему:

Заметим, что при  система решений не имеет. Так как

то при  получаем

Учитывая, что , находим

Значения параметра a, при которых выполнены оба условия  и , найдем, решив систему неравенств

Первое неравенство справедливо при , второе неравенство справедливо при . Следовательно, оба неравенства справедливы, а значит и оба условия выполняются одновременно при . При данных значениях параметра получаем уравнение, которое можем решить.

Ответ: Если , то ;если , то решений нет.
Графический метод

Стандартный способ решения уравнений в отдельных случаях приводит к сложным преобразованиям. Процесс решения может быть упрощен, если применить графический прием. Использование графического метода сводится к построению и анализу графиков функций, с помощью которых составлено уравнение.

Можно выделить две разновидности рассматриваемого метода:

1. изображение на плоскости , где  – неизвестное;  – параметр;2. на плоскости  рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра .

Первый способ используется в задачах, которые содержат лишь неизвестную и параметр, или сводящихся к таким. Второй способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром.

Пример. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы один корень.

Решение. Применяя графический метод решения, найдем все значения параметра, при которых прямая  имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции . Заметим, что для прямой  параметр а является угловым коэффициентом (при изменении параметра одна прямая будет переходить в другую с помощью поворота около точки (-1;0), так как для любого .


По графику (рис. 2) видим, что искомыми являются прямые, лежащие внутри заштрихованной пары вертикальных углов, включая границы. Им соответствуют значения  отвечает моменту касания прямой  графика функции . (Заметим, что ).

Значение  находим из условия, что уравнение  имеет ровно один корень. После преобразований получим квадратное уравнение

Так как , то искомое значение 

Ответ: 
Метод функционального исследования

Иррациональные уравнения с параметром можно решать, основываясь на знаниях о свойствах функций, составляющих данное уравнение. При решении уравнения мы можем ссылаться как на одно свойство, так и на совокупность нескольких свойств. Метод функционального исследования зачастую используют для решения уравнений повышенного уровня. Мы рассмотрим основные свойства, используемые при решении иррациональных уравнений с параметром, и приведем примеры использования данных свойств.

Монотонность

Знание свойств монотонных функций очень часто помогает при решении систем уравнений. Напомним некоторые свойства монотонных функций:

1) Если функции  и  возрастающие (убывающие), причем пересечение областей определения данных функций не равно пустому множеству , то функция  возрастающая (убывающая);

2) Если функции  и  возрастающие (убывающие), причем пересечение областей определения данных функций не равно пустому множеству  и  при всех допустимых значениях x, то функция  возрастающая (убывающая).

3) Если функция  монотонная, то уравнение  имеет не более одного корня; другими словами, монотонная функция каждое свое значение принимает ровно один раз.

Пример. Решите систему уравнений

Решение. В данной системе вычтем из первого уравнения второе. Получим

Рассмотрим функцию  Используя свойство суммы возрастающих функций, делаем вывод что функция  возрастающая. Заметим, что . Следовательно . Отсюда

Очевидно что:

Ответ: Если , то если, то система решений не имеет.
Метод итерации

Вообще говоря метод итерации можно включить в метод исследования монотонности, но рассмотрим его отдельно, потому что очень часто задачи с итерациями дают на вступительных экзаменах по математике в ведущих ВУЗах России.

Рассмотрим уравнение

n-разОчевидно, что все корни уравнения  являются корнями уравнения (1), но эти уравнения, вообще говоря, не эквивалентны. Однако, если функция строго монотонна на некотором промежутке, то эти уравнения равносильны всюду на этом промежутке.

Рассмотрим практическое применение метода итерации при решении уравнения.

Пример. Найти все значения параметра а, при которых уравнение


имеет два различных корня.
Решение. Приведем данное уравнение к виду

где  возрастает на промежутке . Значит исходное уравнение равносильно уравнению . Путем рассуждений и используя свойство монотонной функции мы пришли к более простому иррациональному уравнению с параметром, которое можем решить приведением к смешанной системе (см. Пример 3).



Решим уравнение системы, как квадратное относительно переменной .

Проверим условие  Для этого подставим вместо  полученное нами значение и решим неравенство относительно параметра:

Данное неравенство будет верным для любого значения параметра

так как область значений функции  равна интервалу  при , а значит  корнем исходного уравнения является при любом .

Аналогично проверим условие 

Получили, что  является корнем исходного уравнения при . Объединяя все результаты рассуждений и решений, делаем вывод, что исходное уравнение имеет два различных корня при 

Ответ: 
Наибольшее (наименьшее) значение функции и дифференцируемость функции

Для определения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке используют несколько теорем:Теорема ВейерштрассаФункция, непрерывная на отрезке  имеет наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка.Теорема о наибольшем и наименьшем значениях на незамкнутом промежуткеЕсли функция, непрерывная на интервале , имеет в этом интервале только одну точку экстремума , и если  – точка максимума, то  – наибольшее значение функции  на интервале ; если  – точка минимума, то  – наименьшее значение функции  на интервале .

Частные методы решения иррациональных уравнений с параметром

В данном разделе рассмотрим задания, которые решаются с помощью использования нескольких стандартных методов или без их использования, а также задания повышенного уровня сложности.

Пример. Для каждого значения параметра а решить уравнение

Решение. При  данное уравнение равносильно совокупности

Отсюда  при любом  при .

Ответ: Если , то ;если , то .

Замечание. При решении уравнения вида

следует учитывать, что оно равносильно уравнению

 

Рассмотрим далее решение примера, в котором используется прием решения уравнения относительно параметра.

Пример. Для каждого значения параметра а решить уравнение

Решение. Избавимся от иррациональности в данном уравнении путем перехода к смешанной системе

Раскрывая скобки и группируя члены в уравнении последней системы, получим  Выражение в левой части – это квадратный трехчлен относительно а, который можно разложить на множители:

Следовательно,

Первая система полученной совокупности не имеет решений, так как при условии  получаем, что  Вторая система равносильна системе

Заметим, что при  корни  совпадают и равны .

Ответ: Если , то решений нет;если , то  и ;если  и , то .

Очень часто параметр стоит либо в под знаком корня, либо отдельно от него; но бывает так, что в качестве параметра рассматривается показателя корня. Рассмотрим такой пример.

Пример. В зависимости от значений параметра  решить уравнение

Решение. Подстановкой убеждаемся, что  не является корнем исходного уравнения. Поэтому после деления обеих частей уравнения на получим равносильное уравнение

Заменим , и придем к квадратному уравнению относительно новой переменной

Так как показатель  может принимать четные значения, то  в данном случае нужно отбросить, так как .

Таким образом, при четном показателе  имеем

При нечетном показателе  уравнение  имеет два корня:

Ответ: Если  – четное, то если  – нечетное, то 

Рассмотрим уравнение, в котором сочетаются несколько видов функций.

Пример. При каких а уравнение

имеет ровно 8 корней.

Решение. Решим уравнение, как обыкновенное тригонометрическое:

При каждом  количество корней уравнения будет равно двум. Значит, условие нашей задачи будет выполнятся при . Мы не рассматриваем отрицательные значения , так как  стоит во второй степени, следовательно . Выпишем предполагаемые корни:

Для того чтобы наши предполагаемые корни являлись искомыми, необходимо чтобы выполнялись следующие условия:

Ответ: 


Все статьи автора «Поставничий Юрий Сергеевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: