УДК 514.76

СВЯЗНОСТИ, СОВМЕСТИМЫЕ С ДОПУСТИМОЙ ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

Галаев Сергей Васильевич
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии

Аннотация
Определяются внутренняя и N-продолженная симплектические связности. Изучаются их свойства.

Ключевые слова: внутренняя симплектическая связность, почти контактная метрическая структура


CONNECTIONS COMPATIBLE WITH ADMISSIBLE ALMOST SYMPLECTIC STRUCTURE

Galaev Sergei Vasilievich
Saratov State University
PhD in Physics and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Geometry Department

Abstract
We define the intrinsic and N-extended symplectic connections. We study their properties.

Keywords: almost contact metric structure, intrinsic symplectic connection, N-extended symplectic connection, N-продолженная симплектическая связность


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Галаев С.В. Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/07/56672 (дата обращения: 19.11.2016).

Контактная структура  является аналогом симплектической структуры для многообразия нечетной размерности 2m+1. Ограничение замкнутой дифференциальной 2-формы  на распределении D контактной структуры задает невырожденную форму. В случае почти контактной метрической структуры  на распределении D возникает еще одна невырожденная 2-форма – фундаментальная форма структуры Ω. В общем случае . Формы ω, Ω относятся к классу допустимых тензорных структур к распределению D [1]. Замкнутая допустимая 2-форма в настоящей работе называется допустимой симплектической структурой. Таким образом, допустимые симплектические структуры естественным образом возникают на почти контактных метрических пространствах. Внутренних симплектических связностей, совместимых с данной допустимой симплектической формой бесконечно много.
Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1,  -  модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса .
Предположим, что на X задана почти контактная метрическая структура  [1]. Пусть D - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формойη - его оснащение: . Будем называть распределением почти контактной метрической структуры. 
Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t – полилинейное отображение t, где F(X) - кольцо гладких функций на X. Допустимую замкнутую внешнюю дифференциальную 2-форму максимального ранга будем называть допустимой симплектической 2-формой. Таким образом, в контактном случае форма  представляет собой естественный пример допустимой симплектической формы. 
Пусть ω - произвольная допустимая внешняя 2-форма максимального ранга. В адаптированных координатах ненулевые компоненты ее внешнего дифференциала имеют следующий вид:

,
.

Последнее замечание дает мотивацию для названия допустимой тензорной структуры, сохраняющей постоянными компоненты в некотором адаптированном базисе, интегрируемой допустимой тензорной структурой
Пусть ω - допустимая симплектическая структура. Внутреннюю линейную связность  будем называть внутренней симплектической связностью, если N-продолженную симметричную связность [2-5]  будем называть N-продолженной симплектической связностью, если . Последнее равенство сводится к двум равенствам: . Таким образом, N-продолженная симплектическая связность получается из внутренней симплектической связности добавлением эндоморфизма N, такого, что выполняется .
Теорема 1. Пусть  - произвольная N-продолженная связность без кручения. Рассмотрим тензоры N1 и N2, определяемые, соответственно, равенствами

,
.

Тогда, связность , определяемая условиями

,
,

является N-продолженной симплектической связностью. 
Теорема 2. Допустимая дифференциальная 2-форма максимального ранга ω является допустимой симплектической формой тогда и только тогда, когда существует совместимая с ней симметричная связность Бежанку.
Доказательство. Если ω - допустимая симплектическая форма, то достаточно положить в карте Дарбу коэффициенты искомой связности равными нулю. Пусть, теперь,  - симметричная связность Бежанку, сохраняющая форму ω. Условие  выполняется, так как N=0. Далее, проводя циклическую перестановку индексов в равенстве  и складывая, затем, полученные равенства, получаем , что и доказывает теорему.


Библиографический список
  1. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. Вып. 1. С. 16-22.
  2. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/04/52009 (дата обращения: 24.06.2015).
  3. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/05/53589 (дата обращения: 25.06.2015).
  4. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/04/52011 (дата обращения: 25.06.2015).
  5. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/05/53580 (дата обращения: 25.06.2015).


Все статьи автора «Галаев Сергей Васильевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация