УДК 515.12

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, РЕТРАКТЫ И ПРОСТРАНСТВА ДУГУНДЖИ

Широков Лев Васильевич
Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация
Исследуются связи функциональных операторов с ретрактами и пространствами Дугунджи. Рассматривается классификация функциональных операторов.

Ключевые слова: компакт, непрерывное отображение, пространства Дугунджи, ретракт, топологический оператор, топологическое пространство, функциональный оператор


FUNCTIONAL OPERATORS, RETRACTS AND DUGUNDJI SPACES

Shirokov Lev Vasilievich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
Candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor

Abstract
Explored the links functional operators with retracts and Dugundji spaces. Discusses the classification of functional operators.

Keywords: compact, continuous mapping, Dugundji spaces, functional operators, retract, topological operator, topological space


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Широков Л.В. Функциональные операторы, ретракты и пространства Дугунджи // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 3. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/03/50842 (дата обращения: 04.10.2017).

Исследуемые в данной работе вопросы возникли в результате проведения анализа взаимоотношений между задачами продолжения непрерывных отображений и поведением различного рода семейств функций, определенных на топологических пространствах. Подобного типа определение содержания исследований весьма актуально. Последнее подтверждается результатами работ . Описание всех используемых в данной статье понятий можно найти в работах . В дальнейшем компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства . Всякое отображение  называется топологическим оператором. Далее  - множество непрерывных функций на пространстве  - множество неотрицательных непрерывных функций на пространстве  - функция на , тождественно равная  на  . Пусть  и . Всякое отображение  называется функциональным оператором.
Определение 1. Пусть  и  - топологические пространства. Функциональный оператор  называется слабо инъективным, если для любой константы  выполняется условие .
Определение 2. Функциональный оператор  называется -оператором, если отображение  слабо инъективно и выполняются следующие условия:
1) 
2)  для любых ,
3)  для любых .
Определение 3. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  называется слабо инъективным, если для любых  таких, что  выполняется условие .
Определение 4. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  называется -оператором, если отображение  слабо инъективно и удовлетворяет условиям:
1) ,
2)  для любых ,
3)  для любых дизъюнктных  таких, что .
Лемма 1. Пусть  и  - компакты. Если существует -оператор , то существует -оператор  .
Доказательство. Пусть -оператор. Определим топологический оператор  правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -оператором. 
Покажем, во-первых, что для любой функции  такой, что  выполняется . Допустим противное, то есть, что существует функция  такая, что , но . Положим . Очевидно . Учитывая условия 1) и 3) определения 2 и слабую инъективность оператора  имеем . Отсюда получаем равенство  - противоречие. 
Докажем слабую инъективность оператора . Пусть  такие, что  и пусть, для определенности,  и . Выберем функцию  такую, что . Покажем, что для любого элемента  такого, что  выполняется условие . Допустим противное, то есть, что существует элемент . Тогда  и  и, следовательно, выполняется условие . С другой стороны, выполняются равенства  - противоречие. Итак, слабая инъективность оператора  доказана. 
Выполнение условия 1) определения 4 следует из того, что .
Докажем справедливость условия 2) определения 4. Покажем, во-первых, что  для любых . Пусть  такое, что . Тогда  и . Последнее означает, что и , то есть, выполняется . Докажем обратное включение, то есть, что . Пусть  и  такие, что  и . Введем следующие обозначения:  и . Покажем, что существует функция  такая, что выполняются условия  и . Положим . Ясно, что . Допустим, что существует элемент  такой, что , то есть . Так как , то . Так как  для любых  (условие 3) определения 2), то . Полученное противоречие завершает доказательство справедливости условия 2) определения 4.
Докажем справедливость условия 3) определения 4., то есть, что  для любых дизъюнктных  таких, что . Итак, пусть , причем . Положим . Ясно, что . Выберем функции  и  такие, что , причем выполняется условие . Покажем, что . Положим . По построению, для любого  выполняется . Пусть . Тогда выполняются следующие равенства . Так как , то . Последнее означает, что для любого элемента  выполняется , то есть,  для любого . Отсюда следует, что , а это и означает, что выполняется равенство . Лемма доказана.
Теорема 1. Для компактов  и  следующие условия эквивалентны:
1) существует сюръективное непрерывное отображение ;
2) существует -оператор .
Доказательство. Докажем импликацию . Функциональный оператор  определим правилом:  для каждого . Очевидно выполнение условия 1) определения 2. Докажем, что выполняется условие 2) определения 2, то есть, что справедливо равенство  для любых . Для любого элемента  выполняются равенства . Так как справедливо , то . Аналогично доказывается выполнение условия 3) определения 2. Импликация  доказана.
Докажем импликацию . Пусть существует -оператор . Тогда, в силу леммы 1, существует -оператор . Для каждой точки  обозначим через  семейство  и положим . Так как семейство  центрировано, то множество  не пусто для каждого . Равенство  для любого  следует из условия 3) определения 4. Отображение  определим следующим образом: для каждого  положим . Сюръективность построенного отображения  следует из того, что для любых  таких, что  выполняется . Докажем непрерывность отображения . Пусть  и . Так как , то существует  такое, что  и . Тогда для всякого элемента множества  его образ относительно отображения  содержится в . Теорема доказана.
Определение 5. Пусть  и  - сюръективное отображение. Топологический оператор  называется оператором продолжения топологии пространства  относительно отображения , если выполняется условие  для любого .
Определение 6. Пусть  - вложение пространства  в пространство . Топологический оператор  продолжения топологии пространства  относительно отображения , называется оператором продолжения топологии  пространства .
Определение 7. Пусть  - вложение пространства  в пространство . Функциональный оператор  называется оператором продолжения функций, если для любой функции  выполняется условие 
Из теоремы 1 с учетом естественных уточнений следует теорема 2. 
Теорема 2. Пусть Для компактов  и  следующие условия эквивалентны:
1) компакт  является ретрактом компакта ;
2) существует -оператор продолжения функций .
Напомним, что функция  называется полунепрерывной снизу, если для любого  множество  является открытым подмножеством пространства . Далее  - множество неотрицательных полунепрерывных снизу функций на пространстве  - функция на , тождественно равная  на .
Определение 8. Функциональный оператор  называется -регулярным оператором, если отображение  слабо инъективно и выполняются следующие условия:
1) 
2)  для любых .
Определение 9. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  называется -регулярным оператором, если отображение  слабо инъективно и удовлетворяет условиям:
1) ,
2)  для любых .
Многозначное отображение  - отображение, ставящее в соответствие каждому  некоторое замкнутое подмножество  пространства . Отображение  называется полунепрерывным сверху, если для любого открытого в  множества  малый прообраз  - открытое в  множество. 
Лемма 2. Пусть  и  - компакты. Если существует -регулярный топологический оператор , то существует многозначное полунепрерывное сверху отображение  такое, что  для любого .
Доказательство. Итак, пусть  - -регулярный топологический оператор. Также как и при доказательстве теоремы 1 для каждой точки  обозначим через  семейство  и положим . Так как семейство  центрировано, то множество  не пусто для каждого . Многозначное отображение  определим следующим образом: для каждого  положим . Покажем, что отображение  является полунепрерывным сверху. Пусть  - произвольное открытое подмножество пространства  и  для некоторого . По построению отображения  и определению -регулярного топологического оператора найдется открытое множество  такое, что  и . Ясно, что для любого  выполняется . Таким образом, полунепрерывность отображения  доказана. Осталось доказать, что для любого непустого открытого множества  выполняется условие . Пусть , причем . Так как , то по определению -регулярного топологического оператора выполняется условие . Отсюда следует, что для любого выполняется . Лемма доказана. 
Лемма 3. Пусть  и  - компакты,  - полунепрерывное сверху многозначное отображение, причем для любого непустого открытого множества  выполняется . Тогда существует -регулярный оператор .
Доказательство. Пусть  - полунепрерывное сверху многозначное отображение. Оператор  определим правилом: для всякой функции  положим  для любого элемента . Очевидно, для любой функции  выполняется  и . Докажем, что отображение  слабо инъективно. Допустим, что существуют функция , константа  такие, что  для любого элемента  и  не равная тождественно  на . Тогда существуют точки  такие, что  и . Рассмотрим окрестность  точки , не содержащую точку . Для получения противоречия теперь достаточно учесть условие леммы 2: для любого открытого множества  множество . Докажем, что  для любых . Рассмотрим произвольную точку . Имеем . Так как выполняется равенство , то тем самым доказательство свойства 2) определения 9 завершено. Лемма доказана.
Теорема 3. Для компактов  и  следующие условия эквивалентны:
существует -регулярный функциональный оператор ;
существует -регулярный топологический оператор .
Доказательство. Докажем импликацию . Пусть  - -регулярный функциональный оператор. Также как и при доказательстве леммы 1 определим топологический оператор  правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -регулярным оператором. Докажем слабую инъективность оператора . Пусть  такие, что  и пусть, для определенности,  и . Выберем функцию  такую, что . Покажем, что для любого элемента  такого, что выполняется условие  справедливо равенство . Допустим противное, то есть, что существует элемент . Тогда  и  и, следовательно, выполняется условие . С другой стороны, выполняются равенства  - противоречие. Итак, слабая инъективность оператора  доказана. 
Выполнение условия 1) определения 9 следует из того, что .
Докажем справедливость условия 2) определения 9. Покажем, во-первых, что  для любых . Пусть функция  такая, что . Тогда  и . Последнее означает, что и , то есть, выполняется условие . Докажем обратное включение, то есть, что . Пусть  и  такие, что  и . Пусть, далее,  и . Покажем, что существует функция  такая, что выполняются условия  и . Положим . Ясно, что . Допустим, что существует элемент  такой, что , то есть . Так как , то . Так как  для любых  (условие 2) определения 8), то . Полученное противоречие завершает доказательство справедливости условия 2) определения 9. Импликация  доказана.
Докажем импликацию . Для доказательства этой импликации достаточно воспользоваться соответствующей комбинацией лемм 2 и 3.
Определение используемого далее понятия пространства Дугунджи, а также характеризации пространств Дугунджи посредством использования операторов продолжения топологий можно найти в работах .
Теорема 4. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
1) компакт  является пространством Дугунджи;
2) для любого (некоторого) вложения  в тихоновский куб  существует -регулярный функциональный оператор продолжения функций .
Справедливость теоремы 4 следует из результатов работ  и теоремы 3 данной статьи.
Замечание. Возможные обобщения результатов данной статьи, могут быть определены содержанием работ .


Библиографический список
  1. Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения. – М.: Мир,1970. – 144 с.
  2. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
  3. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys. 1987. Т. 42. № 2. С. 297-298.
  4. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
  5. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
  6. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
  7. Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. 176 с.
  8. Engelking R. General Topology. – Warszawa: PWN, 1977. – 626 p.
  9. Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.
  10. Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.
  11. Широков Л.В. О характеризации AE(n)-бикомпактов // Доклады Болгарской академии наук. 1989. Т. 42. № 12. С. 9-10.
  12. Широков Л.В. О сигма-спектрах и абсолютных экстензорах для некоторых классов пространств // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 301-302.
  13. Широков Л.В. О некоторых свойствах непрерывных образов открытых подмножеств каппа-метризуемых компактов // Исследования в области естественных наук. 2014. № 6 (30). С. 18-22.
  14. Широков Л.В. О некоторых свойствах пределов обратных спектров топологических пространств // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С. 40-44.
  15. Широков Л.В. О радиальных пространствах // Austrian Journal of Technical and Natural Sciences. 2014. № 7-8. С. 19-21.
  16. Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки. 2013. № 9. С. 3-9.


Все статьи автора «Широков Лев Васильевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: