УДК 531.1

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ УСКОРЕНИЙ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ В ЕСТЕСТВЕННЫХ КООРДИНАТАХ В КОМПАКТНОЙ ФОРМЕ

Шеин Александр Иванович1, Бочкарев Роман Вадимович2
1Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, доктор технических наук, профессор кафедры «Механика»
2Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, аспирант кафедры «Механика»

Аннотация
Статья посвящена решению задачи нахождения уравнений для ускорений второго и третьего порядков в естественных координатах в компактной форме. Решение основано на использовании формул Френе, сопровождается математическими выкладками и представлено в виде формул. Эти формулы могут быть использованы при моделировании динамики сооружений в исследованиях.

Ключевые слова: рывок, ускорение второго порядка, ускорение третьего порядка


DERIVATION OF THE EQUATIONS FOR THE ACCELERATION OF THE SECOND AND THIRD ORDER IN THE NATURAL COORDINATES IN A COMPACT FORM

Shein Alexander Ivanovich1, Bochkarev Roman Vadimovich2
1Penza State University of Architecture and Construction, Doctor of Technical Sciences, Professor of "Mechanics"
2Penza State University of Architecture and Construction, Graduate student of "Mechanics"

Abstract
Article is devoted to solving the problem of finding the equations for the acceleration of the second and third order in the natural coordinates in a compact form. The solution is based on the use of the Frenet formulas, accompanied by mathematical calculations and presented in the form of formulas. These formulas can be used for modeling the dynamics research facilities.

Keywords: acceleration third order, jerk, second-order acceleration


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Шеин А.И., Бочкарев Р.В. Вывод уравнений для ускорений второго и третьего порядков в естественных координатах в компактной форме // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 3. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/03/48813 (дата обращения: 01.10.2017).

Современный уровень развития машин, механизмов, летательных аппаратов, требует от строительной механики использования в расчетах движения ускорений высших порядков. Напомним, что собственно «ускорение» – вектор, характеризующий быстроту изменения скорости по величине и направлению [1-4]. Понятие рывка, связанного с третьей производной по координате, используется, например, в прямых методах решения задач динамики[5-12] – методе линейного ускорения. В этом методе на каждом шаге по времени предполагается, что ускорение изменяется линейно, т.е. на каждом шаге рывок постоянный.

Рывок называется ускорением 2-го порядка. Основные понятия и кинематические теоремы ускорений высших порядков были сформулированы Резалем и Сомовым в 1862 – 1866 г.г. В настоящее время большое значение приобретают динамические аспекты использования ускорений высших порядков в теории сейсмостойкости и исследовании колебаний зданий.
В данной работе предполагается компактный вывод формулы рывка в естественных координатах. При этом используются уравнения дифференциальной геометрии – формулы Френе.
Примем следующие обозначения:  - единичные векторы, направленные по осям естественного трехгранника,  - кривизна траектории, χ – кручение траектории, - радиус кривизны, T– радиус кручения,  - скорость точки, S – дуговая координата, - рывок.
Выражение для ускорения в естественных координатах имеет вид:

. (1)

Дифференцируя уравнение (1) по времени получим:

. (2)

Для упрощения этого уравнения используем формулы Френе:

. (3)

и переходные формулы вида:

. (4)

В результате несложных преобразований:

мы получаем формулу рывка или ускорения второго порядка в естественных координатах:

. (5)

Ускорение третьего порядка () можно получить аналогичным образом.

Дифференцируем уравнение (5) по времени по частям:

. (6)
. (7)

. (8)

 (9)
. (10)

Подставляем уравнения (6) – (10) в уравнение (5) и получаем формулу ускорения третьего порядка:

 (11)

Библиографический список
  1. Никитин Н.Н. КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. М., Высшая школа, 1990.-607 с.
  2. Кононенко Т.И.  К ТЕОРИИ УСКОРЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Теоретическая механика. Сборник научно-методических статей №7, м., Высшая школа,1976.
  3. Воднев В.Т. и др. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ. М., Высшая школа, 1980.-336с.
  4. Шеин А.И. КРАТКИЙ КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Пенза, ПГУАС, 2005.-224с.
  5. Шеин А.И. РЕШЕНИЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДННАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СЕТОЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ
    Промышленное и гражданское строительство. 2002. № 2. С. 27.
  6. Шеин А.И., Зайцев М.Б. МЕТОД СМЕЩЕННЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
    Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 2. С. 38-41.
  7. Шеин А.И., Бакушев С.В. , Зайцев М.Б., Земцова О.Г. ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ
    в 3 ч. / А. И. Шеин [и др.] ; М-во образования и науки Российской Федерации, Гос. образовательное учреждение высш. проф. образования “Пензенский гос. ун-т архитектуры и стр-ва”. Пенза, 2011.
  8. Шеин А.И., Шмелев Д.А. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ АКТИВНОГО ЖИДКОСТНОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
    Строительная механика и расчет сооружений. 2014. № 1 (252). С. 59-63.
  9. Шеин А.И., Земцова О.Г. СХЕМЫ И ТЕОРИЯ ГАСИТЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СООРУЖЕНИЙ
    Региональная архитектура и строительство. 2010. № 1. С. 45-52.
  10. Шеин А.И., Земцова О.Г. СНИЖЕНИЕ УРОВНЯ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ «УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ – ВЫСОТНОЕ СООРУЖЕНИЕ» С ПОМОЩЬЮ НЕЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ
    Региональная архитектура и строительство. 2011. № 2. С. 83-90.
  11. Шеин А.И., Земцова О.Г. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОМАССОВЫХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
    Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2010.№ 1. С. 113-122.
  12. Шеин А.И., Шмелёв Д.А. ПОСТРОЕНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ ЗДАНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЕАКТИВНЫХ ГАСИТЕЛЕЙ
    Региональная архитектура и строительство. 2014. № 1. С. 96-103.


Все статьи автора «Шеин Александр Иванович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: