Современный уровень развития машин, механизмов, летательных аппаратов, требует от строительной механики использования в расчетах движения ускорений высших порядков. Напомним, что собственно «ускорение» – вектор, характеризующий быстроту изменения скорости по величине и направлению [1-4]. Понятие рывка, связанного с третьей производной по координате, используется, например, в прямых методах решения задач динамики[5-12] – методе линейного ускорения. В этом методе на каждом шаге по времени предполагается, что ускорение изменяется линейно, т.е. на каждом шаге рывок постоянный.

Рывок называется ускорением 2-го порядка. Основные понятия и кинематические теоремы ускорений высших порядков были сформулированы Резалем и Сомовым в 1862 – 1866 г.г. В настоящее время большое значение приобретают динамические аспекты использования ускорений высших порядков в теории сейсмостойкости и исследовании колебаний зданий.
В данной работе предполагается компактный вывод формулы рывка в естественных координатах. При этом используются уравнения дифференциальной геометрии – формулы Френе.
Примем следующие обозначения:  - единичные векторы, направленные по осям естественного трехгранника,  - кривизна траектории, χ – кручение траектории, - радиус кривизны, T– радиус кручения,  - скорость точки, S – дуговая координата, - рывок.
Выражение для ускорения в естественных координатах имеет вид:

. (1)

Дифференцируя уравнение (1) по времени получим:

. (2)

Для упрощения этого уравнения используем формулы Френе:

. (3)

и переходные формулы вида:

. (4)

В результате несложных преобразований:

мы получаем формулу рывка или ускорения второго порядка в естественных координатах:

. (5)

Ускорение третьего порядка () можно получить аналогичным образом.

Дифференцируем уравнение (5) по времени по частям:

. (6)
. (7)

. (8)

 (9)
. (10)

Подставляем уравнения (6) – (10) в уравнение (5) и получаем формулу ускорения третьего порядка:

 (11)

1. Никитин Н.Н. КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. М., Высшая школа, 1990.-607 с.
2. Кононенко Т.И.  К ТЕОРИИ УСКОРЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Теоретическая механика. Сборник научно-методических статей №7, м., Высшая школа,1976.
3. Воднев В.Т. и др. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ. М., Высшая школа, 1980.-336с.
4. Шеин А.И. КРАТКИЙ КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Пенза, ПГУАС, 2005.-224с.
5. Шеин А.И. РЕШЕНИЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДННАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СЕТОЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ
   Промышленное и гражданское строительство. 2002. № 2. С. 27.
6. Шеин А.И., Зайцев М.Б. МЕТОД СМЕЩЕННЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
   Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 2. С. 38-41.
7. Шеин А.И., Бакушев С.В. , Зайцев М.Б., Земцова О.Г. ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ
   в 3 ч. / А. И. Шеин [и др.] ; М-во образования и науки Российской Федерации, Гос. образовательное учреждение высш. проф. образования “Пензенский гос. ун-т архитектуры и стр-ва”. Пенза, 2011.
8. Шеин А.И., Шмелев Д.А. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ АКТИВНОГО ЖИДКОСТНОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
   Строительная механика и расчет сооружений. 2014. № 1 (252). С. 59-63.
9. Шеин А.И., Земцова О.Г. СХЕМЫ И ТЕОРИЯ ГАСИТЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СООРУЖЕНИЙ
   Региональная архитектура и строительство. 2010. № 1. С. 45-52.
10. Шеин А.И., Земцова О.Г. СНИЖЕНИЕ УРОВНЯ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ «УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ – ВЫСОТНОЕ СООРУЖЕНИЕ» С ПОМОЩЬЮ НЕЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ
    Региональная архитектура и строительство. 2011. № 2. С. 83-90.
11. Шеин А.И., Земцова О.Г. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОМАССОВЫХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
    Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2010.№ 1. С. 113-122.
12. Шеин А.И., Шмелёв Д.А. ПОСТРОЕНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ ЗДАНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЕАКТИВНЫХ ГАСИТЕЛЕЙ
    Региональная архитектура и строительство. 2014. № 1. С. 96-103.

Все статьи автора «Шеин Александр Иванович»