УДК 515.12

О РЕТРАКТАХ, ПСЕВДОКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРАХ

Широков Лев Васильевич
Арзамасский филиал Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация
Исследуются связи топологических операторов с ретрактами и псевдокомпактными пространствами. Рассматривается соответствующая классификация топологических операторов.

Ключевые слова: компакт, непрерывное отображение, псевдокомпактное пространство, ретракт, топологический оператор, топологическое пространство


ABOUT THE RETRACTS, PSEUDOCOMPACT SPACES AND TOPOLOGICAL OPERATORS

Shirokov Lev Vasilievich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod (UNN)
Candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor

Abstract
Explored the links topological operators with retracts and pseudocompact spaces. Considered appropriate classification of topological operators.

Keywords: compact, continuous mapping, pseudocompact space, retract, topological operator, topological space


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Широков Л.В. О ретрактах, псевдокомпактных пространствах и топологических операторах // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 2. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/02/46875 (дата обращения: 02.06.2017).

Результаты, приведенные в данной статье, возникли под влиянием вопросов теории топологических операторов, изученных в работах , там же можно найти определение всех используемых понятий, терминов и обозначений. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства .
Определение 1. Пусть  и  - топологические пространства. Всякое отображение  называется топологическим оператором. Топологический оператор  - называется -регулярным оператором ( - натуральное число, отличное от нуля), если отображение  инъективно и удовлетворяет условиям:
1) 
2) если , то  для любых ,
3) для любого покрытия  пространства  открытыми множествами,  является покрытием пространства 
Лемма 1. Если  - нормальное пространство,  - -регулярный оператор и , то  является -регулярным оператором для любого .
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Начало индукции суть условие леммы. Допустим, что то  является -регулярным оператором и докажем его -регулярность. Предположим противное. Тогда существует покрытие  пространства  открытыми множествами такое, что  не является покрытием пространства . Положим . Рассмотрим два семейства  и  открытых подмножеств пространства . В силу предположения противного ни одно из них не является покрытием пространства . Следовательно, подмножества  и  замкнутые непересекающиеся непустые подмножества пространства . Так как  - нормальное пространство, то существуют открытые в  множества  и  такие, что  и , причем . В силу предположения индукции семейства открытых множеств  и  пространства являются покрытиями . Тогда  и , а это противоречит тому, что . Лемма доказана.
Определение 2. Пусть  и  - сюръективное отображение. Топологический оператор  называется оператором продолжения топологии пространства  относительно отображения , если выполняется условие  для любого .
Лемма 2. Если существует -регулярное вложение компакта  в тихоновский куб , то и всякое вложение  в произвольный компакт является -регулярным.
Доказательство леммы не сложно и основано на классических свойствах тихоновских кубов.
Из лемм 1 и 2 и результатов работы  вытекает
Теорема 1. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
1) является абсолютным ретрактом (в классе компактов);
2) всякое вложение  в тихоновский куб  является 3-регулярным.
Доказательство. Доказательство импликации  тривиально и основано на леммах 1 и 2 и результатах работы .
Докажем импликацию . Пусть  - произвольный компакт,  и  - 3-регулярный оператор продолжения топологии пространства . Двойственный оператор продолжения замкнутых подмножеств пространства  обозначим через . Для любого замкнутого подмножества  пространства  выполняется . Для каждой точки  через  обозначим семейство всех замкнутых подмножеств  пространства  таких, что . Ясно, что для любого  семейство  является центрированным и, следовательно, для любого  множество  не пусто. Покажем, что для любого  выполняется . Допустим противное, т. е. существует  и  такие, что . Выберем непересекающиеся открытые множества  соответственно содержащие  и . Тогда точка  содержится или в , или в . Последнее противоречит правилу построения множеств . Отображение  определим правилом  для любого 
Докажем непрерывность отображения . Пусть  – произвольное открытое подмножество бикомпакта  и  – произвольная точка множества . Выберем окрестность  точки  в такую, что . Положим . Ясно, что . Покажем, что для любого  выполняется . Достаточно показать, что . Допустим, что . Выберем открытое подмножество  такое, что  и . Выполнение условия  и приводит к противоречию. 
Таким образом,  - искомая ретракция. Теорема доказана.
Пространство  называется совершенно каппа-нормальным, если всякое каноническое замкнутое в  множество является множеством нулей некоторой непрерывной на  вещественной функции . Ясно, что если  является компактным, то это равносильно тому, чтобы каждое каноническое замкнутое подмножество  имело тип  в .
Лемма 3. Пусть  - совершенно каппа-нормальный компакт,  - всюду плотное в  подпространство и точка  такая, что для любого замкнутого подмножества  типа  в , содержащего эту точку, пересечение множества  с  не пусто. Тогда , где  - стандартное отображение стоун-чеховской компактификации  пространства  на .
Доказательство. Допустим, что . Обозначим через  семейство всех замкнутых типа  подмножеств пространства , содержащих точку . Ясно, что  для любого элемента . Так как отображение  замкнуто, то  для любого . Заметим, что для любого счетного подсемейства  выполнено , т. е. семейство  является центрированным. Так как  - компакт, то множество  не пусто. Выберем в  точки  и  такие, что  и . Рассмотрим непересекающиеся окрестности  и  этих точек в . Так как отображение  неприводимо, то множества  и  являются каноническими замкнутыми подмножествами , причем . Так как  для любого элемента , то  для любого . Отсюда следует, что замкнутое типа  в  множество  не может принадлежать семейству . Это означает, что точка  содержится в . Так как точка  принадлежит множеству , то  - противоречие. Лемма доказана.
Предложение 1. Для того, чтобы множество  было всюду плотным псевдокомпактным подмножеством совершенно каппа-нормального компакта  необходимо и достаточно, чтобы любое замкнутое подмножество  типа  в  имело непустое пересечение с .
Доказательство. Необходимость. Пусть  - всюду плотное псевдокомпактное подпространствосовершенно каппа-нормального компакта  и  - замкнутое типа  подмножество . Так как для каждого центрированного счетного семейства  открытых в  множеств имеет место , то .
Достаточность. Пусть  - произвольная счетная центрированная система открытых подмножеств пространства . Тогда семейство  является центрированным в , т. е. множество  не пусто. Так как компакт  совершенно каппа-нормален, то множество  имеет тип  в  и, следовательно, . Пусть . Ясно, что , т. е. пространство  является псевдокомпактным. Предложение доказано.
Теорема 2. Стоун-чеховская компактификация  всюду плотного и псевдокомпактного подмножества  совершенно каппа-нормального компакта  совпадает с .
Доказательство. Пусть  - стандартное отображение  на . Из предложения 1 следует, что любое замкнутое подмножество  типа  в  имеет не пустое пересечение с множеством . В силу леммы 3 выполняется  для любой точки , т. е.  - гомеоморфизм. Теорема доказана.
Так как всякий каппа-метризуемый компакт  совершенно -нормален, то из теоремы 2 вытекает
Следствие 1. Стоун-чеховская компактификация  всюду плотного и псевдокомпактного подмножества  каппа-метризуемого компакта  совпадает с .
Лемма 4. Если  - 1-регулярное вложение псевдокомпактного пространства  в тихоновский куб , то  является стоун-чеховским расширением пространства 
Доказательство. Так как  является совершенно каппа-нормальным компактом, то справедливость данного утверждения обосновывается теоремой 2. Лемма доказана. 
Теорема 3. Для псевдокомпактного пространства  следующие условия эквивалентны:
1) является каппа-метризуемым пространством;
2) существует 1-регулярное вложение  в тихоновский куб .
Доказательство. Докажем импликацию . Так как пространство  каппа-метризуемо и псевдокомпактно, то стоун-чеховское расширение  является каппа-метризуемым компактом . Для завершения доказательства данной импликации остается воспользоваться результатами работ .
Докажем импликацию . Пусть  - 1-регулярное вложение псевдокомпактного пространства  в тихоновский куб . В силу лемма 4  является стоун-чеховским расширением пространства . Кроме того,  1-регулярно вложено в тихоновский куб  и, следовательно, является каппа-метризуемым пространством . Для завершения данной импликации остается воспользоваться теоремой 2 . Теорема доказана.
Следствие 2 . Каждое псевдокомпактное каппа-метризуемое пространство удовлетворяет условию Суслина. 
Пример. Полученные результаты позволяют построить пример псевдокомпактного каппа-метризуемого пространства , для которого существует вложение в тихоновский куб, не являющееся 1-регулярным. Для построения этого вложения достаточно взять такое псевдокомпатное каппа-метризуемое пространство, у которого существует компактное расширение , не являющееся стоун-чеховским, и рассмотреть произвольное вложение его в некоторой тихоновский куб . Сужение этого вложения на пространство  является искомым.


Библиографический список
  1. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
  2. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
  3. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
  4. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
  5. Трухманов В.Б. Об одном подклассе класса абелевых групп без кручения ранга 2 // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 283-285.
  6. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
  7. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.
  8. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.
  9. Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. 176 с.
  10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys 42 (2). 297-298.
  11. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // УМН. 1976. т. 31. вып. 5.  С. 191-226.
  12. Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.
  13. Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.
  14. Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки. 2013. № 9. С. 3-9.
  15. Чигогидзе А.Ч. О -метризуемых пространствах //  Успехи математических наук. 1982. Т. 37. Вып. 2 (224). С. 241–242.


Все статьи автора «Широков Лев Васильевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: