УДК 519.632.4

АППРОКСИМАЦИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Бабинер Елена Станиславовна1, Чепулаев Николай Васильевич2
1Приамурский государственный университет им. Шолом-Алейхема, старший преподаватель кафедры высшей математики и методики обучения математике
2Приамурский государственный университет им. Шолом-Алейхема, студент 3 курса факультета математики, информационных технологий и техники

Аннотация
В статье рассматривается применение метода конечных элементов при аппроксимации вариационной постановки краевой задачи на прямоугольной и трапециевидной областях. В результате перехода от непрерывной задачи к конечномерной задаче получают систему уравнений. В статье описаны этапы генерации такой системы.

Ключевые слова: Метод конечных элементов, стационарные краевые задачи


APPROXIMATION OF A FLAT PROBLEM OF THE THEORY OF ELASTICITY BY THE FINITE ELEMENT METHOD

Babiner Elena Stanislavovna1, Chepulaev Nikolay Vasilievich2
1Amur River Region State Sholom-Aleihem University, Senior lecturer, department of mathematics and methods of teaching mathematics
2Amur River Region State Sholom-Aleihem University, student of the 3th course of faculty of mathematics, information technologies and technics

Abstract
In article application of the finite element method at approximation of variation statement of a boundary problems on rectangular and trapezoid areas is considered. In result of transition from a continuous problem to a finite-dimensional problem receive system of the equations. In article stages of generation of such system are described.

Keywords: stationary boundary problems, The finite element method


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Бабинер Е.С., Чепулаев Н.В. Аппроксимация плоской задачи теории упругости методом конечных элементов // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 1. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/01/42945 (дата обращения: 03.06.2017).

Рассмотрим стационарную краевую задачу на области , представленную разрешающими уравнениями в перемещениях [1, c.75]:

в ,        (1)

на .        (2)

Вариационная постановка задача (1), (2):

    в     (3)

на     (4)

Случай прямоугольной области

Проведем триангуляцию прямоугольной области на сетке , и пронумеруем треугольники конечных элементов:


Рисунок 1. Триангуляция области .

Для перехода от непрерывной задачи к дискретной в качестве приближенного решения берем:

,                    (5)

где базисная функция, заданная на области . Конечный элемент, соответствующий внутреннему узлу сетки с координатами и с заданными на нем функциями , имеет вид:

Рисунок 2. Конечный элемент с координатами .

В таблице 1 приведено соответствие областей , базисных функций и их частных производных в узлах сетки [2, с.184].

Таблица 1. Вид базисных функций и их частных производных

Подставляя (5) в (4), получаем:

.

Пусть

,,

,

тогда

.        (6)

Учитывая необходимое и достаточное условие минимума функционала (6), приходим к системе:

,

или

                (7)

где , .

Прямоугольная область состоит из одного основного конечного элемента (рис. 3г) и из восьми видов конечных элементов на границе (рис. 3).

        

а         б        в

    

г            д     е         ж         з        и

Рисунок 3. Виды конечных элементов.

Вычисление элементов , и для внутренних узлов

Основные конечные элементы (рис. 3г)

Рассмотрим конечный элемент, соответствующий узлу с координатами . Он имеет пересечения с конечными элементами, координаты которых , , , , , . Следовательно, интегрирование может проводиться только по этим пересечениям. Например, для узлов и интегрирование проводится по областям и (рис. 4).

Рисунок 4. Пересечение конечных элементов для узлов и .

При этом области соответствует функция узла и функция узла . Для области от узла берется функция , а от узла – функция . Таким образом, например, элемент матрицы на данном пересечении будет вычисляться следующим образом:

.

Учитывая это, элементы ,
и
для внутренних узлов вычисляются следующим образом:

,

    ,

    ,

    

    

    

    ,

,

    ,

,

,

    ,

    ,

,

    ,

    ,

,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    .

Введем обозначения:

,    ,    ,

,            ,

,            ,

,                ,

,

,

.

Тогда система (7) в развернутом виде:

        (8)

Вычисление элементов , и для угловых узлов

Угол А

Конечный элемент (рис. 3в)

    ,

,

,

,,    ,    ,    ,

,,

,

.

Система (7) имеет вид:

        (9)

Угол В

Конечный элемент (рис. 3а)

,

,

,

,    ,    ,

,

,

.

Система (7) в развернутом виде:

        (10)

Угол C

Конечный элемент (рис. 3з)

,,

,

    ,

,    ,    ,    ,

    ,

,

,

.

Система (7) имеет вид:

        (11)

Угол D

Конечный элемент (рис. 3и)

,

,

,

,    ,    ,

,

,

.

Система (7) в развернутом виде:

        (12)

Вычисление элементов , и для граничных узлов

Сторона

Конечный элемент (рис. 3д)

,

    ,

,

    ,

,

,    ,    ,    ,

,

,

,

,

    ,

    .

Система (7) приобретает вид:

        (13)

Сторона ВС

Конечный элемент (рис. 3б)

,,

    ,

    ,

,

,    ,    ,    ,

,

    ,

,

    ,

    ,

.

Система (7) в развернутом виде:

        (14)

Сторона СD

Конечный элемент (рис. 3е)

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    .

Система (7) имеет вид:

        (15)

Сторона АD

Конечный элемент (рис. 3ж)

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    .

Система (7) в развернутом виде:

        (16)

Случай трапециевидной области

Рассмотрим аппроксимацию поставленной задачи методом конечных элементов, где трапеция , а . Проведем триангуляцию области с шагами , , (рис. 5).

Вычисление коэффициентов , и , соответствующих конечным элементам 8 – 13 было рассмотрено в случае прямоугольной области. Остановимся подробнее на каждом из элементов 1 – 7.

Рис. 5. Триангуляция трапециевидной области.

Вычисление элементов , и для внутренних узлов

треугольной области

Основные конечные элементы 3 (рис.5)

На сетке , базисные функции и их частные производные представлены в таблице 2.

Таблица 2. Вид базисных функций и их частных производных

Тогда

,    ,

,    ,    ,

,    ,    ,

Элементы не изменятся. Тогда система (7) приобретает вид:

        (17)

Вычисление элементов , и для внутренних узлов

границы изменения области AD

Конечные элементы 6 (рис.5)

Базисные функции и их частные производные представлены в таблице 3.

Таблица 3. Вид базисных функций и их частных производных

Элементы ,
и
для внутренних узлов границы изменения области вычисляются следующим образом:

,    ,

,    , ,

, , ,

Элементы не изменятся и система (7) в развернутом виде:

    (18)

Вычисление элементов , и для угловых узлов

Угол Е

Конечный элемент 1 (рис.5)

,    ,        ,

,    ,    ,

,    ,    .

Таким образом, система (7) принимает вид:

                (19)

Угол D

Конечный элемент 7 (рис.5)

,    ,        ,    

,    ,    ,    

,    ,    ,    .

Система (7) в развернутом виде:

    (20)

Вычисление элементов , и для граничных узлов

треугольной области

Сторона АЕ

Конечные элементы 2 (рис.5)

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    .

Система (7) принимает вид:

            (21)

Вычисление элементов , и для граничных узлов

треугольной области

Сторона ЕD

Конечные элементы 4 (рис.5)

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    ,

,    ,    ,    .

Следовательно, система (7) примет вид:

    (22)

Вычисление элементов , и для граничного узла А

Конечный элемент 5 (рис.5)

, , , ,

,

, , , ,

,

,    ,    ,    .

Система (7) в развернутом виде:

    (23)


Библиографический список
  1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высш. шк., 1990. 400 с.
  2. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 416 с.


Все статьи автора «Елена Станиславовна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: