Постановка вопросов, рассмотренных в данной статье, инспирирована результатами работ , там же можно найти определение всех используемых понятий, терминов и обозначений. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Всюду далее произведения топологических пространств наделены тихоновской топологией .
Если - тихоновское произведение топологических пространств и , то через обозначается грань . Естественная проекция пространства на грань обозначается через . Через обозначается произведение , где ,…, и для всех остальных индексов . Множество называется основанием множества .
Пусть - тихоновское произведение топологических пространств и , причем .
Определение. Замкнутое подмножество пространства называется накрытием грани с основанием (или просто накрытием с основанием ), если .
Пусть - некоторое подмножество множества . Множество тех точек , у которых для всех значения фиксированы и принадлежат множеству , а все остальные координаты произвольны, называется слоем пространства с основанием . Ясно, что если , то каждый слой с основанием является накрытием с тем же основанием. Множество , где , а , является примером накрытия, не являющегося слоем. Оказывается, что во многих случаях накрытие с основанием мощности содержит слой с основанием той же мощности.
Лемма 1. Пусть - тихоновское произведение компактов , - накрытие с основанием мощности и вес не превосходит для любого , где - бесконечный кардинал. Тогда множество содержит слой с основанием мощности .
Доказательство. Если , то выберем произвольную точку и положим .
Пусть . Построение слоя проведем по трансфинитной индукции. Рассмотрим базу пространства мощности . Зафиксируем на множестве некоторое вполне упорядочение и рассмотрим наименьший элемент такой, что и . Положим и . Тогда . Отсюда следует, что , где
т. е. либо множество либо множество имеет непустую внутренность в . Пусть, например, множество удовлетворяет этому условию. Выберем в слой с конечным основанием и положим и . Если , то положим , в противном случае продолжаем построение по индукции.
Предположим, что для каждого множества и построены, причем выполняются следующие условия:
1. если , то и ;
2. для любого множество является накрытием с основанием ;
3. для любого ;
4. для любого .
Положим и . Ясно, что множество является накрытием с основанием мощности . Если , то положим и построение завершено, в противном случае рассмотрим наименьший элемент такой, что и . Положим и . Тогда . Отсюда следует, что , где
т. е. либо множество либо, множество имеет непустую внутренность в . Пусть, например, множество удовлетворяет этому условию. Выберем в слой с конечным основанием и положим
Если , то положим , и построение завершено, в противном случае продолжаем построение по индукции. Покажем, что . Допустим противное и рассмотрим наименьший элемент такой, что . Тогда имеем и получаем противоречие с тем, что - наименьший элемент множества , для которого выполняется и . Так как - компакт, то множество не пусто. Положим . Так как , и , то множество является искомым слоем. Лемма доказана.
Напомним, что -характером множества в пространстве называется наименьшая мощность такой системы , состоящей из непустых открытых подмножеств , что для всякого открытого множества , содержащего , существует такое, что .
Теорема 1. Пусть , - тихоновское произведение компактов веса и . Тогда для того, чтобы замкнутое подмножество пространства было накрытием в с основанием мощности , необходимо и достаточно, чтобы -характер множество в не превосходил .
Доказательство. Необходимость следует из леммы 1. Докажем достаточность. Пусть - -база множества в мощности . Для каждого открытого множества обозначим через индексное подмножество мощности такое, что каноническое замкнутое множество не зависит от множество . Положим и покажем, что . Допустим противное, т. е. что существует точка , не принадлежащая множеству . Выберем открытое множество такое, что и . Тогда . Так как для любого , то для любого - противоречие. Таким образом, , а так как , то множество является накрытием в с основанием мощности . Теорема доказана.
Предложение 1. Если , то , где .
Доказательство. Предположим, что . Зафиксируем некоторую точку . Из определения накрытия следует, что существует точка такая, что , но тогда - противоречие. Предложение доказано.
Множество имеет тип в пространстве , если существует семейство открытых в подмножеств такое, что и .
Теорема 2. Пусть и - тихоновские произведения топологических пространств, причем , , для любого , где - бесконечный кардинал, - всюду плотное в подпространство и - подмножество такое, что для любого замкнутого подмножества вида в , имеющего непустое пересечение с , множество содержит накрытие некоторой грани пространства с основанием мощности . Тогда существует множество типа в такое, что и .
Доказательство. Можно предположить, что . Зафиксируем в каждом сетевую базу мощности и положим для каждого . Для каждой точки рассмотрим множество вида в , содержащее , такое, что ,…, и . Множество назовем правильным, если не существует никакой такой собственной части , что . Так как множество - конечно, а в конечном множестве не существует бесконечной убывающей последовательности его собственных подмножеств, то для каждой точки существует правильное множество , содержащее такое, что . Обозначим семейство всех различных таких правильных множеств через , где - набор индексов . Если удастся показать, что , то множество , очевидно, будет искомым.
Допустим, что . Тогда . Поэтому существует подсемейство семейства (для которого сохраним обозначение ), все элементы которого имеют один и тот же ранг (т. е. для любого ), причем . Пусть - накрытие грани пространства с основанием мощности , содержащееся в . Из предложения 1 следует, что для любого элемента . Каждому поставим в соответствие мощность тех , основания которых содержит индекс . Так как , а , то существует подсемейство семейства , причем , все основания элементов которого содержат один и тот же индекс . Так как , то существует подсемейство семейства , все элементы которого на индексе имеют одно и тоже множество , причем . Далее продолжим по индукции. Допустим, что найдено подсемейство семейства , причем , все основания элементов которого содержат одни и те же индексы , и на координатах элементы имеют одни и те же множества , где . Рассмотрим произвольного представителя этого семейства. Ясно, что множество уже не является правильным и, следовательно, множество содержит накрытие грани пространства с основанием мощности . Так как все элементы семейства являются правильными, то для любого элемента множество пересекает по индексам, не принадлежащим множеству . Так как , а , то существует подсемейство семейства , причем , все основания элементов которого содержат один и тот же индекс . Так как , то существует подсемейство семейства , все элементы которого на координате имеют одно и тоже множество , причем . Таким образом, построено семейство , все основания элементов которого содержат одни и те же индексы , и все элементы которого имеют на координатах одни и те же множества, где . Следовательно, не более чем через шагов будет показано существование семейства , причем , все элементы которого совпадают, что противоречит тому, что все элементы различны. Таким образом, доказано, что . Теорема доказана.
Замечание. Пусть - семейство правильных множеств, рассмотренное при доказательстве теоремы. Положим . Ясно, что множество не зависит от , причем . Отсюда следует, что множество также не зависит от .
Следствие 1. Пусть , - тихоновское произведение пространств сетевого веса и - замкнутое подмножество такое, что для любого замкнутого подмножества вида в , имеющего непустое пересечение с , множество содержит накрытие некоторой грани пространства с основанием мощности . Тогда множество имеет тип в , причем существует множество мощности такое, что не зависит от .
Доказательство. Из теоремы 2 следует, что существует множество типа в такое, что , причем, как было отмечено в замечании к теореме, существует множество мощности такое, что не зависит от . Легко показать, что множество также не зависит от . Так как множество имеет тип в , то множество имеет тип в . Следствие доказано.
Следствие 2. Пусть , - тихоновское произведение пространств сетевого веса и - подмножество пространства , причем , где - множества типа в для любого . Тогда множество имеет тип в , причем существует множество мощности такое, что не зависит от .
Доказательство. В случае справедливость утверждения следует из того, что . Пусть . Покажем, что для любого замкнутого подмножества вида в , имеющего непустое пересечение с , множество содержит слой с основанием мощности . Выберем такое, что множество не пусто и пусть . Ясно, что существует множество такое, что , причем не зависит от , где - некоторое подмножество мощности . Тогда множество не зависит от и, следовательно, содержит слой с основанием мощности . Теперь справедливость утверждения вытекает из следствия 1. Следствие доказано.
Библиографический список
- Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях. // Сиб. матем. журн. 1992. т. 33. № 2. С. 151-156.
- Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов. // Докл. АН СССР. 1982. т. 263. № 5. С. 1073-1077.
- Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. -176 с.
- Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces. // Russian Mathematical Surveys 42, (2), 297-298.
- Трухманов В. Б. О некоторых специальных и р-специальных группах // Исследования в области естественных наук. – Июнь 2014. – № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/06/7405 (дата обращения: 25.06.2014).
- Трухманов В. Б. Подпрямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1. // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т.13. №3. – С. 209-221.
- Trukhmanov V. B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Vol.154. №3. – P. 422-429.
- Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. Тамбов: Грамота. 2014. №9. – С. 131-134.
- Ефимов Б.А. Диадические бикомпакты. // Труды Моск. Мат. Общ., 1965. т. 14. С. 211-247.
- Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1986. 751 с.
Количество просмотров публикации: Please wait