УДК 517.958:531.72, 517.958:539.3(4)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ МАСКЕТА

Гальцева Оксана Александровна1, Гальцев Олег Владимирович2
1Белгородский государственный национальный исследовательский университет, магистрант факультета математики и естественнонаучного образования
2Белгородский государственный национальный исследовательский университет, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры информационных систем управления

Аннотация
Статья посвящена фильтрации неоднородных жидкостей. Среди математических моделей совместного движения двух жидкостей многим хорошо знакома задача Маскета. В работе представлен алгоритм численной аппроксимации задачи Маскета точными микроскопическими моделями.

Ключевые слова: задача Маскета, задача со свободной границей, фильтрация жидкости.


MODELING OF THE MUSKAT PROBLEM

Galtseva Oksana Aleksandrovna1, Galtsev Oleg Vladimirovich2
1Belgorod State National Research University, undergraduate of faculty of mathematics and science education
2Belgorod State National Research University, Ph.D., Senior Lecturer, Department of Information Systems Management

Abstract
The article is dedicated filtering inhomogeneous fluids. Among the mathematical models for simultaneous flow of two fluids many familiar Muskat problem. The paper presents an algorithm for the numerical approximation of the problem Muskat accurate microscopic model.

Keywords: fluid filtration., free boundary problem, Muskat problem


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Гальцева О.А., Гальцев О.В. Моделирование задачи Маскета // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 12. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/12/40741 (дата обращения: 04.10.2017).

Настоящая работа посвящена фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей с различными вязкостью и плотностью, жидкости разделены свободной границей.

Движение жидкости с постоянной плотностью в области   описывается системой уравнений фильтрации Дарси

        (1)   

        (2)   

где давление в жидкости,  в ,  в и - матрица проницаемости.

На свободной границе  контакта жидкостей выполняются условия

        (3)   

где  есть нормальная скорость границы контакта в направлении нормали . Условие (3) означает, что граница  есть материальная поверхность. Этот факт позволяет найти слабую формулировку проблемы Маскета: пусть


тогда неизвестные функции , ,  и  удовлетворяют системе фильтрации Дарси, записанной в виде:



На границе  выполняется условие:

        (4)   

Хорошо известно, что система фильтрации Дарси есть асимптотический предел системы Стокса, когда размер поры стремится к нулю. Но система Стокса на микроскопическом уровне – специфический случай более общей системы

        (5)   

        (6)   

для перемещения  и давления . Микроскопическая система (5), (6) описывает совместное движение жидкости в пористой среде и упругом твердом скелет и понята в смысле распределений.  - симметричная часть , - характеристическая функция порового пространства,  бесконечно малый размер поры,


 - средний размер поры,  характерный размер рассматриваемой области,  и  - соответствующие значения безразмерных плотностей жидкостей в порах и твердом скелете,  - сила тяжести,  есть вязкость жидкости, и  - постоянная Ламе.

Так как

        (7)   

то

        (8)   

и предлагается продолжить функцию скорости в упругий скелет следующим образом:

        (9)   

где  есть временной шаг,  - момент времени,  - функция перемещения жидкости на границе упругого тела. Предложенное продолжение функция скорости в твердое тело приводит к тому, что возникает более гладкая свободная граница.


Библиографический список
  1. S. Antontsev , A. Meirmanov , B. V. Yurinsky, A Free Boundary Problem for Stokes Equations: Classical Solutions. Interfaces and Free Boundaries 2, (2000), 413-424
  2. A.Meirmanov, The free boundary Muskat problem: some methods of mathematical modeling in porous media. Submitted to Mathematical Models and Methods in Applied Sciences.


Все статьи автора «Гальцев Олег Владимирович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: