УДК 512.541.3

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПОДПРЯМОЙ СУММЫ БЕСКОНЕЧНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Трухманов Вячеслав Борисович
Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация
В статье продолжено изучение одного из подклассов класса абелевых групп без кручения ранга 2, а именно, абелевых групп, являющихся подпрямой суммой двух бесконечных циклических групп с индуцирующей конечной циклической группой (такие группы называются элементарными специальными). Для групп из данного подкласса рассматриваются свойства, порождаемые свойствами отношения сравнения на множестве целых чисел.

Ключевые слова: абелева группа, абелева группа без кручения подпрямая сумма абелевых групп, бесконечная циклическая группа, кольцо классов вычетов, кольцо целых чисел


SOME PROPERTIES SUBDIRECT SUM OF THE INFINITE CYCLIC ABELIAN GROUPS

Trukhmanov Vyacheslav Borisovich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
candidate of physico-mathematical sciences, associate professor

Abstract
In this paper we continue the study of one of the subclasses of the class of Abelian torsion-free groups of rank 2, namely, Abelian groups that are subdirect sum of two infinite cyclical groups inducing a finite cyclic group (such groups are called elementary special). For groups of this subclass are considered properties of generated properties relationship comparison on the set of integers.

Keywords: Abelian group, Abelian torsion-free group, infinite cyclic group, subdirect sum of Abelian groups, the residue class ring, the ring of integers


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/10/39260 (дата обращения: 03.06.2017).

Задача описания абелевых групп без кручения конечного ранга, представимых в виде подпрямой суммы абелевых групп без кручения первого ранга впервые была поставлена Л. Я. Куликовым [1] и в настоящее время является достаточно актуальной.

В данной статье продолжено (см. [2], [3], [4]) изучение свойств подпрямых сумм бесконечных циклических абелевых групп.

Всюду в статье (если не сказано иначе) все группы – абелевы, А и В – бесконечные циклические группы: и , п – целое положительное число, причем п > 1.

Определение. Подгруппа G прямого произведения  абелевых групп называется подпрямой суммой групп Аi, если для каждого i отображение  является эпиморфизмом, где  – проекция прямого произведения А на прямой сомножитель Аi [5].

Как установлено [Там же], для того чтобы группа G являлась подпрямой суммой групп А и В, необходимо и достаточно, чтобы существовали группа F и такие эпиморфизмы и , что для любых элементов и ,

Назовем F индуцирующейч группой для подпрямой суммы G групп А и В, а эпиморфизмы и назовем определяющими для группы G.

Обозначим: ; ; ; где Н есть либо группа А, либо группа В.

Другие необходимые определения, обозначения и термины приведены в работах [1] – [10].

Определение. Если для некоторого данного числа п, большего 1, группа G является подпрямой суммой данных групп А и В, порожденной конечной циклической группой Zпаддитивной группой кольца вычетов по модулю п, – то группу G будем называть элементарной специальной п-группой (esп-группой).

ТЕОРЕМА I. Между множеством esп-групп и множеством автоморфизмов группы Zп – аддитивной группы кольца вычетов по модулю n – существует взаимно однозначное соответствие. [4]

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть G – esn-группа, и пусть и , где и . Тогда .

Доказательство. По определению подпрямой суммы имеем: . Из условия получаем:

.

Аналогично выводим. Откуда, следует, что , то есть .

Обратное утверждение доказывается обращением приведенных рассуждений.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть G – esп-группа, и пусть для некоторого целого числа . Тогда для любого целого числа т.

Доказательство непосредственно следует из предложения 1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть G – esn-группа, и пусть и , где и . Тогда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , то есть , следовательно, по определению esп-группы, . По условию имеем: и . Откуда получаем: и, следовательно, , то есть .

Обратное утверждение доказывается обращением изложенных выводов.

Введем следующие обозначения:



ТЕОРЕМА II.

1. Группа G является esn-группой тогда и только тогда, когда для некоторого автоморфизма g группы Zn:


Такой автоморфизм g группы Zмы будем далее называть склеиванием esn-группы G.
2. Для любого автоморфизма g группы Znгруппа


является esn-группой.
Доказательство непосредственно следует из теоремы I.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть G и G’– esn-группы со склеиваниями g и g’, соответственно. Тогда существует автоморфизм f группы Zп такой, что g’ = fg.
Наоборот, если g – склеивание esn-группы G, то для любого автоморфизма f группы Zп автоморфизм g’ = fg будет, очевидно, склеиванием для некоторой esn-группы G.
Доказательство. Пусть g(1) = m, g’(1) = kИ пусть f – автоморфизм группы Zтакой, что f(k) = m. Тогда, очевидно, имеет место равенство g’ = fg.

Обратно. Пусть g – склеивание esn-группы G, f – автоморфизм группы Zn. Если  и  – определяющие эпиморфизмы группы G, то в качестве определяющих эпиморфизмов искомой группы G’ выберем отображения и .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть G и G’ – esn-группы. Тогда Причем равенгство выполняется тогда и только тогда, когда число п является простым.
Доказательство. По определению попрямой суммы групп и esn-группы, прямая сумма является подгруппой каждой esn-группы G. С другой стороны, по теореме I, если , где , , и п – простое число, то существует единственная esn-группа G, такая что , из чего и следует требуемое условие.
СЛЕДСТВИЕ. Для любого натурального числа п > 1, существуют единственная esn-группа G, такая что бесконечная циклическая группа есть собственная подгруппа группы G, и единственная esn-группа G‘, такая что бесконечная циклическая группа есть собственная подгруппа группы G‘.
Доказательство непосредственно следует из предложения 4.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Пусть G – esn-группа, причем для некоторого целого числа т,

Тогда числа п и т являются взаимно простыми.
Наоборот, для любого числа т взаимно простого с числом n, существует единственная esn-группа G такая, что
Доказательство. Предположим, что , и наибольший общий делитель чисел п и m равен k > 1. Тогда, по определению НОД, существуют целые числа r и s такие, что
m = kr, n = ks, (1)
причем, очевидно, что s < п, и , но  Следовательно, , то есть число n делит число s, что противоречит равенству (1). Значит, предположение о том, что наибольший общий делитель чисел п и m больше 1 неверно, то есть числа п и m взаимно просты. Обратное утверждение непосредственно следует из теоремы I. Предложение доказано.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Пусть G – esn-группа, и пусть t – целое число, взаимно простое с числом п. Если , где ,
, то 
Доказательство. Из определения подпрямой суммы групп А и В следует, что для любого элемента найдется такой элемент , что . Но тогда, легко видеть, Следовательно,  Но тогда . А так как, числа t и п взаимно просты, то отсюда следует, что , то есть Тогда, по предложению 2, получаем, что также Что и требовалось доказать.
Далее, через G(тобозначим esn-группу, для которой склеивание g задается условием: g(1) = т.
ТЕОРЕМА III. Пусть каждое из чисел т, r и s взаимно просто с числом п. Тогда имеет место следующее утверждение:

Доказательство. Пусть , следовательно, . Тогда, так как, по определению склеивания, , то, очевидно, также . Следовательно, по предложению 1, в группе В:, или, что равносильно, в кольце Z:.
Поскольку, все данные выше рассуждения легко обратимы, то отсюда получаем обратное утверждение.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть каждое из чисел т и r взаимно просто с п. Тогда имеет место следующее утверждение

Доказательство непосредственно следует из теоремы.
ТЕОРЕМА IV. Пусть G – esn-группа, и пусть для некоторых элементов , и , каждый из классов , и каждый из классов , взаимно прост с классами и , соответственно. Если и , то существует целое число r, взаимно простое с п такое, что , . Причем число r единственно с точностью до сравнения по модулю n.
Доказательство. Пусть , , где s1, s – целые числа, каждое из которых взаимно просто с числом п. Как известно, для некоторого целого числа r, взаимно простого с числом п, имеет место сравнение из которого, очевидно, вытекает сравнение , или равносильное сравнение Поскольку, , то и, очевидно, . Следовательно, по предложению 2, в группе В имеет место сравнение .
Откуда получаем равенства: , . Теорема доказана.


Библиографический список
  1. Куликов Л. Я. О подпрямых суммах абелевых групп без кручения первого ранга // ХII Всесоюзный алгебраический коллоквиум. Свердловск, 1973.
  2. Трухманов В. Б. О некоторых специальных и р-специальных группах // Исследования в области естественных наук. 2014. № 6 (30). С. 5.
  3. Трухманов В. Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С. 45-50.
  4. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
  5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1.
  6. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и ‑метризуемых бикомпактов. // Докл. АН СССР. 1982. т. 263. № 5. С. 1073-1077.
  7. Широков Л.В. О -бикомпактах и n-мягких отображениях. // Сиб. матем. журн. 1992. т. 33. № 2. С. 151-156.
  8. Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. -176 с.
  9. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces. // Russian Mathematical Surveys 42, (2), 297-298.
  10. Trukhmanov V. B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Vol.154. №3. – P. 422-429.


Все статьи автора «Трухманов Вячеслав Борисович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: