УДК 515.12

НАКРЫТИЯ И ИХ СВОЙСТВА

Широков Лев Васильевич
Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа и прикладной информатики

Аннотация
Данная статья посвящена изучению накрытий произведений топологических пространств. Доказаны ряд свойств накрытий произведений топологических пространств, связанных с кардинальными инвариантами.

Ключевые слова: грань, кардинал, компакт, мощность, накрытие, произведение топологических пространств, слой, топологическое пространство


COVER AND THEIR PROPERTIES

Shirokov Lev Vasilievich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
Candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor

Abstract
This article is devoted to the study coverings of the products of the topological spaces. Proved a number of properties of coverings of the products of the topological spaces, associated with cardinal invariants.

Keywords: compact, covering, face, layer, power, the product of topological spaces, topological space


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/09/38690 (дата обращения: 03.10.2017).

Постановка вопросов, рассмотренных в данной статье, инспирирована результатами работ , там же можно найти определение всех используемых понятий, терминов и обозначений. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Всюду далее произведения топологических пространств наделены тихоновской топологией .
Если  - тихоновское произведение топологических пространств  и , то через  обозначается грань . Естественная проекция пространства  на грань обозначается через . Через  обозначается произведение , где ,…, и  для всех остальных индексов . Множество называется основанием множества .
Пусть  - тихоновское произведение топологических пространств  и , причем .
Определение. Замкнутое подмножество  пространства  называется накрытием грани  с основанием  (или просто накрытием с основанием ), если .
Пусть  - некоторое подмножество множества . Множество  тех точек , у которых для всех  значения  фиксированы и принадлежат множеству , а все остальные координаты произвольны, называется слоем пространства  с основанием  . Ясно, что если , то каждый слой с основанием  является накрытием с тем же основанием. Множество , где , а , является примером накрытия, не являющегося слоем. Оказывается, что во многих случаях накрытие с основанием мощности  содержит слой с основанием той же мощности.
Лемма 1. Пусть - тихоновское произведение компактов  - накрытие с основанием  мощности  и вес  не превосходит  для любого , где  - бесконечный кардинал. Тогда множество  содержит слой  с основанием мощности .
Доказательство. Если , то выберем произвольную точку  и положим .
Пусть . Построение слоя  проведем по трансфинитной индукции. Рассмотрим базу  пространства  мощности . Зафиксируем на множестве  некоторое вполне упорядочение  и рассмотрим наименьший элемент  такой, что  и . Положим  и . Тогда . Отсюда следует, что , где

 и ,

т. е. либо множество  либо множество  имеет непустую внутренность в . Пусть, например, множество  удовлетворяет этому условию. Выберем в  слой  с конечным основанием  и положим  и . Если , то положим , в противном случае продолжаем построение по индукции.
Предположим, что для каждого  множества  и  построены, причем выполняются следующие условия:
1. если , то  и ;
2. для любого  множество  является накрытием с основанием ;
3. для любого ;
4. для любого .
Положим  и . Ясно, что множество  является накрытием с основанием  мощности . Если , то положим  и построение завершено, в противном случае рассмотрим наименьший элемент  такой, что  и . Положим  и . Тогда . Отсюда следует, что , где

 и ,

т. е. либо множество  либо, множество  имеет непустую внутренность в  . Пусть, например, множество  удовлетворяет этому условию. Выберем в  слой  с конечным основанием  и положим

 и .

Если , то положим , и построение завершено, в противном случае продолжаем построение по индукции. Покажем, что . Допустим противное и рассмотрим наименьший элемент  такой, что . Тогда имеем  и получаем противоречие с тем, что  - наименьший элемент множества , для которого выполняется  и . Так как  - компакт, то множество  не пусто. Положим . Так как  и , то множество  является искомым слоем. Лемма доказана.
Напомним, что -характером множества  в пространстве  называется наименьшая мощность такой системы , состоящей из непустых открытых подмножеств , что для всякого открытого множества , содержащего , существует  такое, что .
Теорема 1. Пусть  - тихоновское произведение компактов  веса  и . Тогда для того, чтобы замкнутое подмножество  пространства  было накрытием в  с основанием мощности , необходимо и достаточно, чтобы -характер множество  в  не превосходил .
Доказательство. Необходимость следует из леммы 1. Докажем достаточность. Пусть  - -база множества  в  мощности . Для каждого открытого множества  обозначим через  индексное подмножество мощности  такое, что каноническое замкнутое множество  не зависит от множество  . Положим  и покажем, что . Допустим противное, т. е. что существует точка , не принадлежащая множеству . Выберем открытое множество  такое, что  и . Тогда . Так как  для любого , то  для любого  - противоречие. Таким образом, , а так как , то множество  является накрытием в  с основанием мощности . Теорема доказана.
Предложение 1. Если , то , где .
Доказательство. Предположим, что . Зафиксируем некоторую точку . Из определения накрытия следует, что существует точка  такая, что , но тогда  - противоречие. Предложение доказано.
Множество  имеет тип  в пространстве , если существует семейство  открытых в подмножеств такое, что  и 
Теорема 2. Пусть  и  - тихоновские произведения топологических пространств, причем  для любого , где  - бесконечный кардинал,  - всюду плотное в  подпространство и  - подмножество  такое, что для любого замкнутого подмножества  вида  в , имеющего непустое пересечение с , множество  содержит накрытие некоторой грани пространства  с основанием мощности . Тогда существует множество  типа  в  такое, что  и .
Доказательство. Можно предположить, что . Зафиксируем в каждом  сетевую базу  мощности  и положим  для каждого . Для каждой точки рассмотрим множество вида  в , содержащее , такое, что ,…, и . Множество  назовем правильным, если не существует никакой такой собственной части , что . Так как множество  - конечно, а в конечном множестве не существует бесконечной убывающей последовательности его собственных подмножеств, то для каждой точки  существует правильное множество , содержащее  такое, что . Обозначим семейство всех различных таких правильных множеств через , где  - набор индексов . Если удастся показать, что , то множество , очевидно, будет искомым.
Допустим, что . Тогда . Поэтому существует подсемейство семейства  (для которого сохраним обозначение ), все элементы которого имеют один и тот же ранг  (т. е. для любого ), причем . Пусть  - накрытие грани  пространства  с основанием  мощности , содержащееся в . Из предложения 1 следует, что  для любого элемента . Каждому  поставим в соответствие мощность тех , основания которых содержит индекс . Так как , а , то существует подсемейство семейства , причем , все основания элементов которого содержат один и тот же индекс . Так как , то существует подсемейство  семейства , все элементы которого на индексе  имеют одно и тоже множество , причем . Далее продолжим по индукции. Допустим, что найдено подсемейство  семейства , причем , все основания элементов которого содержат одни и те же индексы , и на координатах  элементы имеют одни и те же множества , где . Рассмотрим произвольного представителя  этого семейства. Ясно, что множество  уже не является правильным и, следовательно, множество  содержит накрытие  грани пространства  с основанием  мощности . Так как все элементы семейства  являются правильными, то для любого элемента  множество  пересекает  по индексам, не принадлежащим множеству . Так как , а , то существует подсемейство  семейства , причем , все основания элементов которого содержат один и тот же индекс . Так как , то существует подсемейство  семейства , все элементы которого на координате  имеют одно и тоже множество , причем . Таким образом, построено семейство , все основания элементов которого содержат одни и те же индексы , и все элементы которого имеют на координатах  одни и те же множества, где . Следовательно, не более чем через  шагов будет показано существование семейства , причем , все элементы которого совпадают, что противоречит тому, что все элементы  различны. Таким образом, доказано, что . Теорема доказана.
Замечание. Пусть  - семейство правильных множеств, рассмотренное при доказательстве теоремы. Положим . Ясно, что множество  не зависит от , причем . Отсюда следует, что множество  также не зависит от .
Следствие 1. Пусть  - тихоновское произведение пространств  сетевого веса  и  - замкнутое подмножество  такое, что для любого замкнутого подмножества вида в , имеющего непустое пересечение с , множество  содержит накрытие некоторой грани пространства  с основанием мощности . Тогда множество  имеет тип  в , причем существует множество  мощности  такое, что  не зависит от .
Доказательство. Из теоремы 2 следует, что существует множество  типа  в  такое, что , причем, как было отмечено в замечании к теореме, существует множество мощности  такое, что  не зависит от . Легко показать, что множество  также не зависит от . Так как множество  имеет тип  в , то множество  имеет тип в . Следствие доказано.
Следствие 2. Пусть  - тихоновское произведение пространств  сетевого веса  и  - подмножество пространства , причем , где  - множества типа в  для любого . Тогда множество  имеет тип  в , причем существует множество  мощности  такое, что  не зависит от .
Доказательство. В случае  справедливость утверждения следует из того, что . Пусть . Покажем, что для любого замкнутого подмножества вида  в , имеющего непустое пересечение с , множество  содержит слой с основанием мощности . Выберем  такое, что множество  не пусто и пусть . Ясно, что существует множество  такое, что , причем  не зависит от , где  - некоторое подмножество  мощности . Тогда множество  не зависит от и, следовательно, содержит слой с основанием мощности . Теперь справедливость утверждения вытекает из следствия 1. Следствие доказано.


Библиографический список
  1. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях. // Сиб. матем. журн. 1992. т. 33. № 2. С. 151-156.
  2. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов. // Докл. АН СССР. 1982. т. 263. № 5. С. 1073-1077.
  3. Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. -176 с.
  4. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces. // Russian Mathematical Surveys 42, (2), 297-298.
  5. Трухманов В. Б. О некоторых специальных и р-специальных группах // Исследования в области естественных наук. – Июнь 2014. – № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/06/7405 (дата обращения: 25.06.2014).
  6. Трухманов В. Б. Подпрямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1. // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т.13. №3. – С. 209-221.
  7. Trukhmanov V. B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Vol.154. №3. – P. 422-429.
  8. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. Тамбов: Грамота. 2014. №9. – С. 131-134.
  9. Ефимов Б.А. Диадические бикомпакты. // Труды Моск. Мат. Общ., 1965. т. 14. С. 211-247.
  10. Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1986. 751 с.


Все статьи автора «Широков Лев Васильевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: