УДК 511-33

О РАСПОЛОЖЕНИИ ПРОСТЫХ И СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ В МАТРИЦАХ РАЗЛИЧНОГО ВИДА

Спиридонов Ф.Ф.1, Смирнов В.В.2
1Тверской филиал Московского гуманитарно-экономического института
2Бийский технологический институт, филиал Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова

Аннотация
В данной статье рассмотрены матрицы, элементами которых являются простые числа и составные числа определённого вида. Числовые матрицы представлены последовательно с возрастанием числа столбцов. Позиционно расположение чисел в матрицах схоже по одному из сомножителей. Таким образом, для специальных составных чисел визуально образуется порядок. При этом последовательности составных чисел порождаются простыми числами. Эти последовательности не совпадают.

Ключевые слова: простые числа, числовые матрицы, числовые последовательности


LOCATION OF PRIME AND COMPOSITE NUMBERS IN THE MATRICES OF VARIOUS TYPES

Spiridonov Feodor Feodorovich1, Smirnov Vitaliy Vasilievich2
1Tver branch of the Moscow Humanitarian-Economic Institute
2Biysk Technological Institute - Branch of Polzunov Altai State Technical University

Abstract
This article describes a matrix whose elements are prime numbers and composite numbers of a certain type. Numerical matrices are presented consistently with increasing the number of columns. Position of numbers in the matrix is similar to one of the factors. Thus, for the special properties of composite visual image order. In this case, the sequence of composite numbers are generated by primes. These sequences are not identical.

Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Спиридонов Ф.Ф., Смирнов В.В. О расположении простых и составных чисел в матрицах различного вида // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 8. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/08/37359 (дата обращения: 03.10.2017).

Введение

Простые числа были известны давно, многие учёные занимались ими, пытались найти некий порядок в их распределении среди остальных натуральных чисел. Использовались при этом три основные группы методов исследования:

  • аналитические – заключающиеся в построении и выводе формул;
  • алгоритмические – основанные на привлечении какого-либо алгоритма, позволяющего выделить множество простых из множества натуральных чисел;
  • геометрические, графические или, как теперь говорят, визуальные методы, позволяющие каким-то образом предъявить изображение простые числа среди натуральных чисел.

Многие годы никому не удавалось достичь положительных результатов с помощью первого метода. Но греческий учёный Эратосфен придумал уникальный метод второго типа, который затем был назван «Решетом Эратосфена». Он состоит в последовательном вычёркивании составных чисел среди натуральных. При этом постепенно становятся видны простые числа, одно за одним. Недостатком метода является значительный объём вычислений, возникающий при умножении и делении очень больших чисел. Этот метод используется до сих пор, в том числе в различных вычислительных модификациях с помощью вычислительной техники, ускоряющих его работу [1,2].

Во времена Эратосфена графический или визуальный метод при решении этой задачи почти не использовался. Обычно анализировалось распределение чисел вдоль прямой линии, на которой числа в виде точек помечались разными цветами. Надо отметить, что в те времена и в последующие графический метод не принёс существенных положительных результатов.

Одним из первых аналитический метод применил Л.Эйлер. Он представил распределение простых чисел в отдельных подмножествах из их множества квадратичной зависимостью вида: x2+x+q, где q – целое число большее или равное нулю. Этот результат был получен и хорошо работал для чисел x<100. Надо отметить, что чем дальше продвигаться вдоль числовой оси, тем реже и беспорядочнее расположены простые числа. В дальнейшем метод Эйлера практически не получил развития, если не считать нахождение чисел q, таких, что формула последовательности Эйлера даёт наибольшее количество простых чисел.

В начале и в середине XX-го века учёные обратились к третьему, геометрическому методу. Предпринимались многочисленные попытки  расположить простые числа на плоскости в виде спиралей (наиболее известные из которых носят имена спирали Улама и спирали Сакса). Это был новый подход к этой задаче – рассматривать и располагать числа на плоскости определённым образом. Применение его надо признать успешным, т.к. он позволил буквально разглядеть некоторый порядок в расположении простых чисел между собой [3]. Тем не менее, большего увидеть и изучить не удавалось, т.е. метод оказался тоже ограниченным для отдельных подмножеств простых чисел из их множества. Вместе с тем, частичный порядок в распределении простых чисел стал виден и понятен, что немаловажно.

К концу XX-го века было введено понятие фракталов – объектов, размерность которых не является целым числом. В то же время, фракталы обладают свойством самоподобия, т.е. отдельные их элементы по структуре совпадают с самим фракталом. Были сделаны попытки применить фракталы к задаче о распределении простых чисел, однако, и они не принесли ощутимых результатов. Тем не менее, эти попытки продолжаются до сих пор.

Исследователи с переменным успехом занимались также рассмотрением матриц, содержащих простые и составные числа. Рассматривались прямоугольные матрицы самых разных размеров. Некоторые интересные результаты по расположению простых чисел в матрицах были получены, но, к сожалению, продолжения этих работ не было. По нашему мнению в данном направлении можно получить новые результаты, что и является целью настоящей работы.

Основная часть

Рассмотрим множество натуральных чисел. Известно, что все простые числа, за исключением 2 и 3 располагаются слева и справа от чисел кратных числу 6. В этой связи числа 2 и 3 можно считать особыми и исключить их из рассмотрения при дальнейшем анализе. Их особенность заключается в том, что это единственная пара смежных простых чисел. Поэтому в дальнейшем, по причине указанной выше, обратимся к матрицам с числом столбцов кратным числу 6. В этих матрицах будем располагать числа из множества натуральных чисел, исключив по приведённым выше причинам из этого множества числа 1, 2, 3 и все чётные числа. В указанном множестве останутся лишь простые и нечётные составные числа, представляющие собой произведения простых чисел. Первым простым числом будет 5.

Однако вначале отступим от выбранной схемы и обратимся всё-таки к матрице, число столбцов которой равно 4, ограничившись двумя десятками её строк.  Эта матрица показана на рисунке 1-а с числами, записанными в ней по порядку. Сплошными линиями разных цветов соединены простые числа и составные числа, кратные числу 5. Из рисунка хорошо видно, что линия, соединяющая составные числа, идёт сверху вниз, образуя изгибы, имеющие впадины слева и справа. Аналогичную картину мы наблюдаем, соединяя составные числа, кратные 7 и 11. Иными словами, в положении составных чисел наблюдается некоторая упорядоченность. Для простых же чисел, соединённых ломаной линией, даже при тщательном рассмотрении никакой упорядоченности не наблюдается. Кроме того, что немаловажно, нетрудно видеть, что последний столбец матрицы не содержит никаких чисел, т.е. пуст.

Перейдём к матрице с числом столбцов равных числу 6. Она показана на рисунке 1-б с размещёнными в ней числами. Здесь последний столбец также пуст, т.е. не содержит чисел. На рисунке показаны три ломаные линии. Одна соединяет числа кратные числу 5, другая – числа кратные числу 7, третья – числа кратные числу 11. Простые числа хорошо видны, но не показана соответствующая ломаная линия, которая могла бы соединять их последовательно. Она не показана для того чтобы не затемнять рисунок. Из рисунка видно, что упорядоченность последовательностей чисел по сравнению с рис.1а возросла. По сравнению с рис.1а заметны более выраженные пики или впадины на ломаных линиях. Кроме того, расстояния между пиками или впадинами стали существенно меньше, чем на рисунке 1-а.

а)

б)

Рисунок 1 – Матрицы с четырьмя (а) и шестью столбцами (б)

Перейдём к матрице с числом столбцов равных числу 12. Она показана на рисунке 2 с размещёнными в ней числами. Здесь последний столбец также пуст, т.е. не содержит чисел.

Рисунок 2 – Матрица 12 столбцов

Ломаные линии имеют как бы “пилообразный” вид. При этом шаг между вершинами (или впадинами) возрастает с ростом начального числа: 5, 7, 11. Все начальные числа являются простыми и последовательными во множестве простых чисел.

Таким образом, при увеличении числа столбцов матрицы с 4 до 6 и 12 упорядоченность рассматриваемых подмножеств чисел из множества натуральных возросла.

Перейдём к матрице с 18 столбцами, которая показана на рисунке 3. Хорошо видно, что упомянутая выше упорядоченность нарушилась. По сравнению с рисунками 1 и 2 регулярность в расположении вершин и впадин на всех линиях исчезла. Теперь трудно как-то однозначно описать поведение каждой из ломаных линий.

Рисунок 3 – Матрица 18 столбцов

Двигаясь дальше, рассмотрим матрицу с 24 столбцами, изображённую на рисунке 4. Видно, что какую-либо упорядоченность ломаных линий определить затруднительно.

Рисунок 4 – Матрица 24 столбца

Таким образом, отмеченная тенденция уменьшения упорядоченности в распределении простых и составных чисел существенно возрастает при переходе от матрицы с 12 столбцами к матрице с числом столбцов 18, 24 и более.

Выводы

Рассматривая эти результаты в совокупности можно сделать следующие выводы и указать направления возможных дальнейших исследований.

Во-первых, упорядоченность распределения составных чисел, начинающихся с простых чисел 5, 7 и 11, постепенно возрастает при возрастании числа столбцов в рассматриваемых матриц с 6 до 12. Последняя наиболее упорядоченная. Это же относится, что легко показать, и к последовательностям составных чисел, начинающихся с чисел 13, 17, 19 и т.д. Кроме того, рассмотренные распределения в некотором смысле эквивалентны. Имеется в виду следующее. Достаточно поделить каждое число из соответствующего подмножества чисел на на­чальное число 5, 7, 11 и т.д. Тогда получатся последовательности чисел начинающиеся с числа 1. Подробное рассмотрение этой эквивалентности пока не входило в задачи авторов.

Во-вторых. С ростом числа столбцов в матрицах больше 12 упорядоченность рассматриваемых распределений уменьшается и сменяется разупорядоченностью. Иными словами, происходит как бы разрушение порядка.

В третьих, можно рассмотреть степень упорядоченности в последовательности простых чисел.

В заключение можно отметить интересную особенность всех рассмотренных матриц, а именно – отсутствие любых чисел в последнем столбце. В этом все рассмотренные матрицы подобны между собой. Учитывая эту особенность рассмотренных матриц, можно осуществить следующую операцию: свернуть каждую из матриц в цилиндрическую поверхность и, например, приклеить последний из столбцов под первым. Тогда рассмотренные распределения перейдут на поверхности цилиндров разных радиусов – в зависимости от числа столбцов соответствующих матриц. При этом распределения простых и составных чисел переходят в 3-мерное пространство. Такой результат, насколько известно авторам, ранее никем получен не был.


Библиографический список
  1. Смирнов В.В., Спиридонов Ф.Ф. Компьютерная математика в исследовании простых чисел // Современные научные исследования и инновации. 2013. № 2 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2013/02/20410 (дата обращения: 27.08.2014).
  2. Смирнов В.В., Спиридонов Ф.Ф. Maple-инструменты исследования простых чисел-близнецов // Современные научные исследования и инновации. 2013. № 2 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2013/02/22270 (дата обращения: 27.08.2014).
  3. Смирнов В.В., Спиридонов Ф.Ф. Визуализация компактного представления распределения простых чисел на плоскости // Современные научные исследования и инновации. 2013. № 3 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2013/03/22562 (дата обращения: 27.08.2014).


Все статьи автора «Виталий Смирнов»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: